奥型题剖祈 第八章真空中的静电场 基本思路 本章重点是对电场强度、电势两个基本概念的理解,并围绕两个核心展开讨论;题目主要涉及 库仑定律、电场强度、高斯定理、电势能、电势、静电场力做功、电场强度和电势的关系、带电粒 子在电场中的运动等.其中电场强度E的求解,必须注意E是矢量,所以务必先分解后积分,而电 势是标量,可直接标量积分,计算过程要比求E简单 2.例题剖析 例1如图81(a)所示,有一无限长均匀带电直线,其电荷线密度+A1;另外,在垂直于它的 方向放置着一根长为L的均匀带电线AB,其电荷线密度为+A2,试求它们之间的相互作用力 a+ E (a) (b) 图8-11 分析本题用两种方法求解 (1)用库仑定律求:由于库仑定律只适用于点电荷系统.对于连续带电体之间的相互作用力问题、 需要将带电体分解为若干电荷元c1和d2(视其为点电荷),然后用库仑定律求积分.在求解过程 中注意力是矢量,必须先分解后积分 (2)先求出某带电体在另一带电体处所产生的场强,然后求出另一带电体(当然也必须分割为无 数点电荷)在此场强下的作用力 解解法Ⅰ如图8-11b所示,建立直角坐标系:ch1=Ad,c2=2dx.根据库仑定律, 可得dq1施加给c2的作用力大小为 I dq, q
典型例题剖析 第八章 真空中的静电场 1． 基本思路 本章重点是对电场强度、电势两个基本概念的理解，并围绕两个核心展开讨论；题目主要涉及 库仑定律、电场强度、高斯定理、电势能、电势、静电场力做功、电场强度和电势的关系、带电粒 子在电场中的运动等．其中电场强度 E 的求解，必须注意 E 是矢量，所以务必先分解后积分，而电 势是标量，可直接标量积分，计算过程要比求 E 简单． 2． 例题剖析 例 1 如图 8-11（a）所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷线密度 1 ；另外，在垂直于它的 方向放置着一根长为 L 的均匀带电线 AB ，其电荷线密度为 2 ，试求它们之间的相互作用力． 分析 本题用两种方法求解： ⑴用库仑定律求：由于库仑定律只适用于点电荷系统．对于连续带电体之间的相互作用力问题、 需要将带电体分解为若干电荷元 1 dq 和 dq2 （视其为点电荷），然后用库仑定律求积分．在求解过程 中注意力是矢量，必须先分解后积分． ⑵先求出某带电体在另一带电体处所产生的场强，然后求出另一带电体（当然也必须分割为无 数点电荷）在此场强下的作用力． 解 解法Ⅰ 如图 8-11(b)所示，建立直角坐标系： dq dy 1 1 ， dq dx 2 2 ．根据库仑定律， 可得 1 dq 施加给 dq2 的作用力大小为： 2 1 2 4 0 1 r dq dq dF ， L A B 1 2 a a L 1 A B 2 a y y dy x x dx r E O (a) (b) 图 8-11
r为两电荷元之间的距离.将dF沿x,y轴投影,得 dF= dFcoo, df= dFsin e 根据对称性分析可知,F,=」F,=0.因此 F=(dfx= dF cos0=m72 4丌 2mh2 ra+l sdx]o(x2+y dy 271n2 ra+L dx Mn2.a+L 4 解法Ⅱ在距无限长带电直线x处任取一电荷元c2=A2dtx,由无限长带电直线的场强公式可 知,cq2处的场强为 E 2e,x 方向沿x轴正向.于是有 dF= E 1A2 ZEo x 由于各电荷元所受力的方向均沿x轴正向,所以 F=F=「dF=- 112_A1221a+L 根据作用力与反作用力的关系可知,无限长带电直线所受的作用力F,其大小与F相等,其 方向与F相反 注意:在解法Ⅱ中,若求AB在无限长直线处的场强,再求此场强对λ1￠的作用,理论上也可 行,但数学上很难处理 例2如图8-12(a)所示,一半径为R的半球面,其上均匀地带有正电荷,电荷面密度为σ 试求球心处的电场强度E =adS R R 图8-12(a) 图8-12(b)
r 为两电荷元之间的距离．将 dF 沿 x，y 轴投影，得： dFx dF cos ， dFy dF sin ． 根据对称性分析可知， Fy dFy 0 ．因此 a L a a L a a L a a a L x dx x y dy xdx r xdxdy F dFx dF ln 4 2 2 4 ( ) 2 4 cos 0 1 2 0 1 2 0 2 2 3 / 2 0 1 2 3 0 1 2 解法Ⅱ 在距无限长带电直线 x 处任取一电荷元 dq dx 2 2 ，由无限长带电直线的场强公式可 知， dq2 处的场强为 x E 0 1 2 ， 方向沿 x 轴正向．于是有 dx x dF Edq 1 2 0 2 2 1 ． 由于各电荷元所受力的方向均沿 x 轴正向，所以： a L a x a a L x dx F F dF ln 2 2 0 1 2 0 1 2 ． 根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力 F ，其大小与 F 相等，其 方向与 F 相反． 注意：在解法Ⅱ中，若求 AB 在无限长直线处的场强，再求此场强对 dy 1 的作用，理论上也可 行，但数学上很难处理． 例 2 如图 8-12（a）所示，一半径为 R 的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为 ， 试求球心处的电场强度 E． O x R d dq dS x O R dE 图 8-12(a) 图 8-12(b)
分析求解电场强度时,我们必须把带电体分解成电荷微元,而此电荷微元产生的电场强度dE 必须是知道的,然后将dE投影、再积分,求解时,要分析对称性,同时这里电荷微元选取的巧妙与 否,直接影响到计算的简单与否.此题我们选取两种电荷微元.试加以比较 解解法Ⅰ选取将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环,其上带电量 dq=ols=a2 TRain 6·Rd 在球心处产生的场强的大小:(根据带电圆环在轴线处的结论) 的 SR cos ea_- sin 0 cos ed0,方向沿x轴 C R 所有圆环在球心处产生的场强都沿同一方向,故: e=dE simcoe 解法Ⅱ如图(b)所示.选取任一小面积dS上的电荷d为电荷微元,则此点电荷=a在 球心处产生的场强的大小为:dE=1方向如图和竖直方向成日角。根据对称性,划分成的无 数个点电荷在球心处产生的场强大小相等,水平方向相互抵消,只有竖直分量,则 E=]de cos0=Jare r2 cose, 而[dcos为半球面积在水平方向的投影=mR2.所以 E ds cos 6= 注意:解法Ⅰ中的思路是很自然的,但凡碰到圆盘、半球、球面等,我们应该把其发割成无数 个圆环(这在力学中也常用),而圆环的结论应该记住,此时统一积分变量一般用角度,计算犹为简 单;而解法Ⅱ中的思路也是从通常的想法着手,割成无数个点电荷,应用点电荷的结论 例3如图8-13所示,无限长带电圆柱面的电荷面密度为σ= 0 COS, 其中是面积元的法线方向与x轴正向之间的夹角.试求圆柱轴线z上的场强 分布 分析设该圆柱面的横截面的半径为R,借助于无限长均匀带电直线在距 离r处的场强公式,即E= 可推出带电圆柱面上宽度为d-=Rd0的 2丌E0 无限上均匀带电直线在圆柱轴线上任一点产生的场强,根据对称性分析,可知: 无数无限长均匀带电直线在O处产生的合场强,沿y方向分量为零,只有沿x 方向,而公式中的A ·dd =0. cos oRde 图8-13 解dE= cosi+ tER 2ER o. cos dei + oo sn 0 cos 8 26dD
分析 求解电场强度时，我们必须把带电体分解成电荷微元，而此电荷微元产生的电场强度 dE 必须是知道的，然后将 dE 投影、再积分，求解时，要分析对称性，同时这里电荷微元选取的巧妙与 否，直接影响到计算的简单与否．此题我们选取两种电荷微元．试加以比较． 解 解法Ⅰ 选取将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上带电量 dq ds 2Rsin Rd 在球心处产生的场强的大小：（根据带电圆环在轴线处的结论） d R R dq dE sin cos 4 2 cos 0 3 0 ，方向沿 x 轴． 所有圆环在球心处产生的场强都沿同一方向，故： 2 0 0 4 0 sin cos 2 E dE d 解法Ⅱ 如图（b）所示．选取任一小面积 dS 上的电荷 dq 为电荷微元，则此点电荷 dq ds 在 球心处产生的场强的大小为： 2 4 0 1 R dq dE 方向如图和竖直方向成 角．根据对称性，划分成的无 数个点电荷在球心处产生的场强大小相等，水平方向相互抵消，只有竖直分量，则： cos 4 1 cos 2 0 R ds E dE ， 而 ds cos 为半球面积在水平方向的投影 2 R ．所以 0 2 0 4 cos 4 1 ds R E 注意：解法Ⅰ中的思路是很自然的，但凡碰到圆盘、半球、球面等，我们应该把其发割成无数 个圆环（这在力学中也常用），而圆环的结论应该记住，此时统一积分变量一般用角度，计算犹为简 单；而解法Ⅱ中的思路也是从通常的想法着手，割成无数个点电荷，应用点电荷的结论． 例 3 如图 8-13 所示，无限长带电圆柱面的电荷面密度为 0 cos ， 其中 是面积元的法线方向与 x 轴正向之间的夹角．试求圆柱轴线 z 上的场强 分布． 分析 设该圆柱面的横截面的半径为 R，借助于无限长均匀带电直线在距 离 r 处的场强公式，即 r E 2 0 ，可推出带电圆柱面上宽度为 dl Rd 的 无限上均匀带电直线在圆柱轴线上任一点产生的场强，根据对称性分析，可知： 无数无限长均匀带电直线在 O 处产生的合场强，沿 y 方向分量为零，只有沿 x 方向，而公式中的 Rd dz dl dz cos 0 ． 解 j R i R dE sin 2 cos 2 0 0 , 2 sin cos 2 cos 0 0 0 2 0 d i d j x O 图 8-13 y z dl
E=[=-7,方向沿x轴负方向 注意:把无限长圆柱面分割成无数个无限长直线,这也是很常用的一种选取积分微元的方法.此 方法在磁学中也经常用到 例4一宽度为b的无限大非均匀带电正电板,电荷体密度为p=kx(0≤x≤b)如图8-14( 所示.试求 (1)平板两外侧任意一点P1和P2处电场强度E (2)平板与其表面上O点相距为x的点P处的电场强度E P b b 0 b 图8-14 分析这是一块有一定厚度,而且电荷分布不均匀的无限大带电板,我们应该把它分割成无数 个薄板,每个薄板的场强由高斯定理的例题可知,然后再根据场强叠加原理得到.但(1),(2)两 种情况是有区别的.其薄板的电荷面密度a·dx:dS= knox 解(1)选取坐标系如图(b)所示,平板两外侧任意点P和P2的电场看成带电板各薄层产生的 电场的叠加,在x处厚度为dx的薄板在P1点产生的电场为 x=kx女,方向沿x负方向 叠加所有的薄板,可得P1点的场强为: E dE 显然点P2的电场情况与此相同,但方向沿x轴正方向相反 (2)平板内部P点的电场是P点左右两部分产生电场的叠加,而两者方向相反,所以: LD dx k (2 注意:在(2)中,板带正电,则
2 0 0 0 2 E dE i ，方向沿 x 轴负方向． 注意：把无限长圆柱面分割成无数个无限长直线，这也是很常用的一种选取积分微元的方法．此 方法在磁学中也经常用到． 例 4 一宽度为 b 的无限大非均匀带电正电板，电荷体密度为 kx(0 x b) 如图 8-14（a） 所示．试求： ⑴平板两外侧任意一点 P1 和 P2 处电场强度 E； ⑵平板与其表面上 O 点相距为 x 的点 P 处的电场强度 E． 分析 这是一块有一定厚度，而且电荷分布不均匀的无限大带电板，我们应该把它分割成无数 个薄板，每个薄板的场强由高斯定理的例题可知，然后再根据场强叠加原理得到．但（1），（2）两 种情况是有区别的．其薄板的电荷面密度 kxdx dS dx dS ． 解 (1)选取坐标系如图（b）所示，平板两外侧任意点 P1 和 P2 的电场看成带电板各薄层产生的 电场的叠加，在 x 处厚度为 dx 的薄板在 P1 点产生的电场为： 2 0 2 0 2 0 dx kx dx dE ，方向沿 x 负方向． 叠加所有的薄板，可得 P1 点的场强为： b p kb E dE 0 0 2 1 4 显然点 P2 的电场情况与此相同，但方向沿 x 轴正方向相反． (2)平板内部 P 点的电场是 P 点左右两部分产生电场的叠加，而两者方向相反，所以： x b x x b dx dx k E E E 0 2 2 0 0 0 1 2 (2 ) 2 2 4 ． 注意：在（2）中，板带正电，则： 图 8-14 O x dx b (a) P1 x O dx b P2 (b) x O x b P (c)
E0(沿x轴正方向),x> b 例5如图8-15(a)所示,在一电荷体密度为p的均匀带电球体中,挖去一个小球体,形成 球形空腔,偏心距为a.试求腔内任一点的场强E. 分析本题若在垂直OO直线上把带电体切割成无数个带电圆盘.其中一部分为实心,一部分 为空心,根据圆盘的场强结论加以叠加,理论上可行,但实际计算中,数学运算复杂;另一方面, 由于球体中存在空腔,使带电体失去球对称性,所以若想直接用高斯定理做,也不行.但通过补偿 法,可恢复球体的对称性,则可用高斯定理求解.并应用叠加原理完成计算,求解就简洁了.可设 想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷,这样本题就可归结为求解一个体 密度为p的均匀带电大球体和一个体密度为-p的均匀带电小球体,在空腔内产生的场强叠加 E pe (a) 图8-15 解设P点为空腔内任一点,则大球在P点产生的场强(见高斯定理求解的结论):E,=PF 同理,小球在P点产生的场强为:E2=2r.如图815(b 由场强叠加原理可知,P点的总场强为 E=E1+E2=P(F-r)=2a=常矢量 结果表明,空腔内的场强是均匀的,其大小2“,其方向平行于两球心 的连线a,由O指向O′.如图8-15(b)所示 注意:此题中场强的叠加采用了矢量叠加方法.也即平行四边形法则, 而没有采用先投影,再相加.因为前者的几何关系很明显,而用后者必须建 立xy坐标系统反而繁.这必须视具体情况而定,这在力学中也是必须注意 图8-16
. 2 0 ( ) 2 0 2 0 ( ) b E x x b E x b E x x 沿 轴正方向 ， ， ； 沿 轴负方向 ， ； 例 5 如图 8-15（a）所示，在一电荷体密度为 e 的均匀带电球体中，挖去一个小球体，形成 一球形空腔，偏心距为 a．试求腔内任一点的场强 E． 分析 本题若在垂直 OO 直线上把带电体切割成无数个带电圆盘．其中一部分为实心，一部分 为空心，根据圆盘的场强结论加以叠加，理论上可行，但实际计算中，数学运算复杂；另一方面， 由于球体中存在空腔，使带电体失去球对称性，所以若想直接用高斯定理做，也不行．但通过补偿 法，可恢复球体的对称性，则可用高斯定理求解．并应用叠加原理完成计算，求解就简洁了．可设 想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷，这样本题就可归结为求解一个体 密度为 e 的均匀带电大球体和一个体密度为- e 的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加． 解 设 P 点为空腔内任一点，则大球在 P 点产生的场强（见高斯定理求解的结论）： E r e 0 1 3 ； 同理，小球在 P 点产生的场强为： E r e 0 2 3 ．如图 8-15（b）． 由场强叠加原理可知，P 点的总场强为： . 3 ( ) 3 0 0 E E1 E2 e r r e a 常矢量 结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小 3 0 ea ，其方向平行于两球心 的连线 a，由 O 指向 O ．如图 8-15（b）所示． 注意：此题中场强的叠加采用了矢量叠加方法．也即平行四边形法则， 而没有采用先投影，再相加．因为前者的几何关系很明显，而用后者必须建 立 x-y 坐标系统反而繁．这必须视具体情况而定，这在力学中也是必须注意 的一个问题． O O a e (a) 图 8-15 O O P a r r E1 E2 E (b) 图 8-16 e x P R1 R2 o
例6一均匀带电的平面圆环,内、外半径分别为R1和R2,且电荷面密度为σ.一质子被加速 器加速后,自P点沿圆环轴线射向圆心O.若质子到达O点时的速度恰好为零.试求质子位于P点 时的动能Ek(已知质子的电量为e,略去重力影响,OP=L) 分析这是静电学与力学的综合问题.根据动能定理、质子在圆环产生的电场空间中所受电场 力所做的功A等于质子动能的变化(AE=O-E=e(Vn-V);另外一种是由功的定义求解 A=Fd= .eEl,这样必须求出带电圆环在P点和O点的电势v,V以及在OP上产生 的场强 解解法Ⅰ.由电势差求A:选取坐标Ox.如图所示,可将圆环视为许多同心圆环所组成,选 取一半径为r,宽为d的带电圆环,其上带电量为dq=a·2md 根据点电荷系的电势公式,该小圆环上的电荷在P点产生的电势为 dr 由电势叠加原理,整个圆环上的电荷在P点产生的电势 r2+L2 Z2+R2-√2+R2) 圆环中心O处(即L=0处)的电势为 (R2-R1) 所以A=e(Vn-V0)=-Ek, Ek=D(R2-R-V22+R2+V2+Ri 解法Ⅱ带电量为dq的小圆环在OP上任一点x处产生的场强大小为 g mdr E 方向沿x轴方向 题中圆环在x处产生的场强为无数个小圆环产生场强矢量相加,因为各小圆环产生的场强方向 相同,故: 广=m R2+x2)2(R2+x2)2
例 6 一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为 R1和 R2，且电荷面密度为 ．一质子被加速 器加速后，自 P 点沿圆环轴线射向圆心 O．若质子到达 O 点时的速度恰好为零．试求质子位于 P 点 时的动能 Ek（已知质子的电量为 e，略去重力影响，OP=L）． 分析 这是静电学与力学的综合问题．根据动能定理、质子在圆环产生的电场空间中所受电场 力所做的功 A 等于质子动能的变化（ ( ) k k Vp VO E O E e ；另外一种是由功的定义求解 O p O p A F dl eE dl ，这样必须求出带电圆环在 P 点和 O 点的电势 Vp，Vo 以及在 OP 上产生 的场强． 解 解法Ⅰ．由电势差求 A：选取坐标 Ox．如图所示，可将圆环视为许多同心圆环所组成，选 取一半径为 r，宽为 dr 的带电圆环，其上带电量为 dq 2rdr ． 根据点电荷系的电势公式，该小圆环上的电荷在 P 点产生的电势为： 2 2 0 2 2 4 0 2 1 r L rdr r L dq dVp ， 由电势叠加原理，整个圆环上的电荷在 P 点产生的电势为： ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 1 L R L R r L rdr V dV R R p p ， 圆环中心 O 处（即 L=0 处）的电势为： ( ) 2 2 1 0 V0 R R 所以 Vp V Ek A e( 0 ) ， 2 1 2 2 2 2 2 1 0 ( 2 R R L R L R e Ek ． 解法Ⅱ 带电量为 dq 的小圆环在 OP 上任一点 x 处产生的场强大小为： 2 2 3 / 2 0 2 2 3 / 2 0 4 ( ) 2 4 ( ) x r rdr x x r dq x dE ，方向沿 x 轴方向． 题中圆环在 x 处产生的场强为无数个小圆环产生场强矢量相加，因为各小圆环产生的场强方向 相同，故： ] ( ) 1 ( ) 1 [ 2 4 ( ) 2 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 0 1 2 2 3/ 2 0 2 1 2 1 R x R x x x r r dr x E dE R R R R
A=eE dl=ol 120(R2+x2)2(R2+r2)分 R2-R-√2+R2+√2+R2) 和(Ⅰ)结果一样 注意:因为求E时是矢量积分,必须先解后积分;而求Ⅴ时是标量积分,往往后都数学运算简 单得多.因为此题求E时,各dE方向相同,不需要分解.所以此题看不出两者在数学处理上的区 别,但这一点在其它题中可明显看出.另外,方法(Ⅰ)中,只须积分一次,而方法(Ⅱ)中,须 积分两次,故此类题宜采用方法(I) 例7计算均匀带电球面电场中的电势分布:设带电球面的半径为R,总电荷量为q,求电场 中任一点P处的电势,P点与球心的距离为 分析计算电势可用两种方法:一是根据电势的定义式(8-13)来做,二是根据电势的叠加原 理(8-17)(8-18)来计算,下面分别进行求解 解解法Ⅰ根据高斯定理知空间电场的分布:其大小为 r>R E= 4Tsor 方向沿径向 r< R 我们选取沿半径方向积分,则P点的电势为:F=Ed=E 当DR时,V= q 2-4mE0 当r<R时,由于球内外场强的函数关系不同,积分必须分段进行 =」E·d+JEd=0+Rr=dq 4zE. JR2 4TER 由此可见,一个均匀带电球面在球外任一点的电势和把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷 在该点的电势相同;在球面内任一点的电势应与球面上的电势相等,故均匀带电球面及其内部是 个等电势的区域 解法Ⅱ.由题意知电荷面密度为G=q,把球面分割成无数个小圆环(如图817),每个环 4zR2 带上所带的电荷c=a·2丌· Rsin e.Rd0.此电荷元在P点的电势为 d q mR sin ede P ATSo 由图可知:12=(Rsin)2+(r-Rcos) 对上式微分得:ll= Resin a,代入dVp式中得 图8-17 d
( ) 2 ] ( ) 1 ( ) 1 [ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 0 1 R R L R L R e dx R x R x e x A eE dl o p o L ， 和（Ⅰ）结果一样． 注意：因为求 E 时是矢量积分，必须先解后积分；而求 V 时是标量积分，往往后都数学运算简 单得多．因为此题求 E 时，各 dE 方向相同，不需要分解．所以此题看不出两者在数学处理上的区 别，但这一点在其它题中可明显看出．另外，方法（Ⅰ）中，只须积分一次，而方法（Ⅱ）中，须 积分两次，故此类题宜采用方法（Ⅰ）． 例 7 计算均匀带电球面电场中的电势分布：设带电球面的半径为 R，总电荷量为 q ，求电场 中任一点 P 处的电势，P 点与球心的距离为 r． 分析 计算电势可用两种方法：一是根据电势的定义式（8-13）来做，二是根据电势的叠加原 理（8-17）（8-18）来计算，下面分别进行求解： 解 解法Ⅰ 根据高斯定理知空间电场的分布：其大小为： 0, . , , 4 2 0 r R r R r q E 方向沿径向． 我们选取沿半径方向积分，则 P 点的电势为： P r r V E dl E dr 当 r>R 时， r P r q r q dr V 0 2 4 0 4 ． 当 r<R 时，由于球内外场强的函数关系不同，积分必须分段进行，即： 2 0 0 0 4 4 R P r R R R dr q V E dl E dr r R ． 由此可见，一个均匀带电球面在球外任一点的电势和把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷 在该点的电势相同；在球面内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电球面及其内部是一 个等电势的区域． 解法Ⅱ．由题意知电荷面密度为 2 4 R q ，把球面分割成无数个小圆环（如图 8-17），每个环 带上所带的电荷 dq 2 Rsin Rd ．此电荷元在 P 点的电势为： l R d l dq dVP 0 2 0 4 2 sin 4 ， 由图可知： 2 2 2 l (Rsin) (r Rcos) ， 对上式微分得： ldl Rrsind ，代入 dVp式中得： dl r R dVP 4 0 2 ． 图 8-17 R r d l P
dvp-Areo RoV 当r<R时 ,=m1=k L 图8-18 注意:此题解法(Ⅰ)比较简单,但必须知道空间的分布,一般都是利用高斯定理的结论.而 解法(Ⅱ)的几何关系比较复杂,运算必须细心,究竟采用哪一种方法.视具体情况来定;另外从 结论来看,空间电势是连续的,而空间的电场强度则不连续,在球面上发生突变 例8有一半径为R的均匀带电球面,带电量为Q,沿半径方向上放置一均匀带电细线,电荷 线密度为λ,长度为L,细线近端离球心的距离为L,如图8-18所示,设球和细线上的电荷分布固 定,试求细线在电场中的电势能 分析本题是求连续带电体系统的电势能问题,我们知道带电量为q的点电荷在空间任一点的 电势能W=qV,V为q点处的电势,若为连续带电体,我们把带电体分割为无数点电荷,每一个点 电荷的电势能为d,这样整个带电体的电势能为W=「dhp=「,对带电体所在范围积分 所以必须知道带电体所在区域内V的情况 解根据题意可沿细线取坐标Ox,则Q在x处产生的电势为=.Q,而d=Ad,故 4丌Ex w=dw= dg. In 2 例9一无限长带电直线,电荷线密度为λ,试求空间的电势分布 分析如图8-19所示,取坐标轴Ox,原点O位于带电直线处,场A 点P距带电直线为xp.无限长带电直线的场强分布为:E=2 方向 沿x方向,若仍选取无限远处为电势零点,则由电势定义式可知P点的 图8-19 电势为:T=E·d - dx (n∞-lnxp) 2 2 结果中出现的h∞是没有物理意义的.这表明对于电荷扩展到无限远的带电系统,不能选取无 限远处为电势零点,这时可根据电势差和场强的关系式,求出在x轴上P点和a点间的电势差(因 为电势差和零点选择无关),然后再根据最后表达式,选取某处a为电势零点,尽可能使电势表达式 最为简单 解根据电势差和场强的关系式: ∫Ed=」 dx=ln-、2 'p saX 令V=0,且x。=1,使得lnx=0,则v nxp表达式最为简单 注意:此题也不能选取x=0处为电势零点,否则也出现-∞的结果,对于这类系统的电势零点
当 r>R 时， r R r R P P r q V dV 4 0 ， 当 r<R 时， R r R r P P R q V dV 4 0 ． 注意：此题解法（Ⅰ）比较简单，但必须知道空间的分布，一般都是利用高斯定理的结论．而 解法（Ⅱ）的几何关系比较复杂，运算必须细心，究竟采用哪一种方法．视具体情况来定；另外从 结论来看，空间电势是连续的，而空间的电场强度则不连续，在球面上发生突变． 例 8 有一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q，沿半径方向上放置一均匀带电细线，电荷 线密度为λ ，长度为 L，细线近端离球心的距离为 L，如图 8-18 所示，设球和细线上的电荷分布固 定，试求细线在电场中的电势能． 分析 本题是求连续带电体系统的电势能问题，我们知道带电量为 q 的点电荷在空间任一点的 电势能 W=qV，V 为 q 点处的电势，若为连续带电体，我们把带电体分割为无数点电荷，每一个点 电荷的电势能为 dq V ，这样整个带电体的电势能为 W dw dq V ，对带电体所在范围积分， 所以必须知道带电体所在区域内 V 的情况． 解 根据题意可沿细线取坐标 Ox，则 Q 在 x 处产生的电势为 x Q V 4 0 ，而 dq=λ dx，故 L L Q x Q W dw dq V dx 2 0 0 ln 2 4 4 ． 例 9 一无限长带电直线，电荷线密度为λ ，试求空间的电势分布． 分析 如图 8-19 所示，取坐标轴 Ox，原点 O 位于带电直线处，场 点 P 距带电直线为 xP．无限长带电直线的场强分布为： x E 2 0 方向 沿 x 方向，若仍选取无限远处为电势零点，则由电势定义式可知 P 点的 电势为： 0 0 (ln ln ) P 2 2 P P P x V E dl dx x x ． 结果中出现的 ln 是没有物理意义的．这表明对于电荷扩展到无限远的带电系统，不能选取无 限远处为电势零点，这时可根据电势差和场强的关系式，求出在 x 轴上 P 点和 a 点间的电势差（因 为电势差和零点选择无关），然后再根据最后表达式，选取某处 a 为电势零点，尽可能使电势表达式 最为简单． 解 根据电势差和场强的关系式： 0 0 0 ln ln 2 2 2 a P a x pa P a a P P x U V V E dl dx x x x ， 令 Va 0 ，且 xa 1 ，使得 ln 0 2 0 xa ，则 P P V ln x 2 0 表达式最为简单． 注意：此题也不能选取 x=0 处为电势零点，否则也出现 的结果，对于这类系统的电势零点 x 图 8-19 P O a 图 8-18 O R Q x dx L L x
选取,根据求出电势差的表达式,选取某处a为电势零点,尽可能使任意点电势表达式最为简单 例10电荷q均匀分布在长为2L的细直线上,试求 (1)中垂面离带电直线中心O为x处的电势和场强 (2)带电直线延长线上离中心O为y处的电势和场强 (3)和带电直线垂直离带电直线端点处为x的场点的电势和场强的x分量 分析由于电势是标量,可由电势叠加原理,先求出带电直线在P点的电势,再由场强与电势 的微分关系求P点的场强 解(1)取直角坐标系,设带电直线中心为坐标原点,如图8-20(a)所示,则在带电直线上 取电荷元d=b=9dh,在P点产生的电势为 dq 4mso√x+y 因此,整个带电系统在P点产生的电势为 dy 图8-20(a) L+√L2+x2 则该点的场强为: E 由对称性分析,显然E,=0 (2)带电直线延长线的电势,设P点位于y>L处,如图8-20(b)所示.同P 样取电荷元dq,在P点产生的电势为dP,则有 d q dy 2 则相应的场强为 图8-20(b) y4z(y2-L2) 显然,E,=0 同理在y<L处的电势有相同的结论,而场强的大小一样,方向则沿y反向 (3)如图8-20(c)所示,选取坐标系Ox,坐标原点O处于带电直线的端点处,则P点电势 为 d 2L+√4L 8丌EnL 图8-20(c)
选取，根据求出电势差的表达式，选取某处 a 为电势零点，尽可能使任意点电势表达式最为简单． 例 10 电荷 q 均匀分布在长为 2L 的细直线上，试求： ⑴中垂面离带电直线中心 O 为 x 处的电势和场强； ⑵带电直线延长线上离中心 O 为 y 处的电势和场强； ⑶和带电直线垂直离带电直线端点处为 x 的场点的电势和场强的 x 分量． 分析 由于电势是标量，可由电势叠加原理，先求出带电直线在 P 点的电势，再由场强与电势 的微分关系求 P 点的场强． 解 （1）取直角坐标系，设带电直线中心为坐标原点，如图 8-20（a）所示．则在带电直线上 取电荷元 dy L q dq dy 2 ，在 P 点产生的电势为 2 2 4 0 x y dq dVP ． 因此，整个带电系统在 P 点产生的电势为 2 2 0 2 2 2 2 0 0 4 2 ln 4 4 P P q L L dq V dV x y q dy L q L L x x y x = 则该点的场强为： 2 2 0 4 x V q E x L x ． 由对称性分析，显然 Ey 0． （2）带电直线延长线的电势，设 P 点位于 y>L 处，如图 8-20（b）所示．同 样取电荷元 dq，在 P 点产生的电势为 dVP，则有 ln ] 4 ( ) 8 2 4 ( ) 0 0 0 L L L L P y L y L L q y y dy L q y y dq V ， 则相应的场强为： 4 ( ) 2 2 0 y L q y V Ey ． 显然， Ex 0 ． 同理在 y<-L 处的电势有相同的结论，而场强的大小一样，方向则沿 y 反向． （3）如图 8-20（c）所示，选取坐标系 Oxy，坐标原点 O 处于带电直线的端点处，则 P 点电势 为 x L L x L q x y dy L q V L P 2 2 0 2 2 0 2 0 2 4 ln 4 8 2 ， x 图 8-20(a) x P O y L L x 图 8-20(b) P O y 2L dy y x 图 8-20(c) x P O y 2L dy
相应的P点场强的x分量为 E ax8E0L√4L2 注意:运用场强与电势的微分关系,先求电势,后求场强,与用场强叠加原理求场强相比要简 便得多.这主要因为,一是电势是标量,不需要考虑方向问题,在已知电荷分布的情况下,求出电 势是比较容易的:二是从数学计算来看,求导数比求积分简单.不过在用这种方法求场强时,要注 意电势公式中的变量,如例10中的(3,我们不能得到E,=-=0,因为式中V的表达式是 离带电直线端点处为x处的电势,也即给了了沿垂直于2L方向上的电势分布,即此方向的电势梯度 可求.若要求E,则须求出电势沿y方向的分布,晒是要求出空间任意点P的电势=(x、y),读 者不妨自己求解一下,这里的数学运算比较复杂
相应的 P 点场强的 x 分量为 2 2 0 4 1 8 L L x q x V Ex ． 注意：运用场强与电势的微分关系，先求电势，后求场强，与用场强叠加原理求场强相比要简 便得多．这主要因为，一是电势是标量，不需要考虑方向问题，在已知电荷分布的情况下，求出电 势是比较容易的；二是从数学计算来看，求导数比求积分简单．不过在用这种方法求场强时，要注 意电势公式中的变量．如例 10 中的（3），我们不能得到 0 y V Ey ，因为式中 V 的表达式是 离带电直线端点处为 x 处的电势，也即给了了沿垂直于 2L 方向上的电势分布，即此方向的电势梯度 可求．若要求 Ey，则须求出电势沿 y 方向的分布，晒是要求出空间任意点 P 的电势 V=V(x、y)，读 者不妨自己求解一下，这里的数学运算比较复杂．
