延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（典型例题讲解）第八章真空中的静电场.pdf_大学文库

分析求解电场强度时,我们必须把带电体分解成电荷微元,而此电荷微元产生的电场强度dE 必须是知道的,然后将dE投影、再积分,求解时,要分析对称性,同时这里电荷微元选取的巧妙与否,直接影响到计算的简单与否.此题我们选取两种电荷微元.试加以比较解解法Ⅰ选取将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环,其上带电量 dq=ols=a2 TRain 6·Rd 在球心处产生的场强的大小:(根据带电圆环在轴线处的结论) 的 SR cos ea_- sin 0 cos ed0,方向沿x轴 C R 所有圆环在球心处产生的场强都沿同一方向,故: e=dE simcoe 解法Ⅱ如图(b)所示.选取任一小面积dS上的电荷d为电荷微元,则此点电荷=a在球心处产生的场强的大小为:dE=1方向如图和竖直方向成日角。根据对称性,划分成的无数个点电荷在球心处产生的场强大小相等,水平方向相互抵消,只有竖直分量,则 E=]de cos0=Jare r2 cose, 而[dcos为半球面积在水平方向的投影=mR2.所以 E ds cos 6= 注意:解法Ⅰ中的思路是很自然的,但凡碰到圆盘、半球、球面等,我们应该把其发割成无数个圆环(这在力学中也常用),而圆环的结论应该记住,此时统一积分变量一般用角度,计算犹为简单;而解法Ⅱ中的思路也是从通常的想法着手,割成无数个点电荷,应用点电荷的结论例3如图8-13所示,无限长带电圆柱面的电荷面密度为σ= 0 COS, 其中是面积元的法线方向与x轴正向之间的夹角.试求圆柱轴线z上的场强分布分析设该圆柱面的横截面的半径为R,借助于无限长均匀带电直线在距离r处的场强公式,即E= 可推出带电圆柱面上宽度为d-=Rd0的 2丌E0 无限上均匀带电直线在圆柱轴线上任一点产生的场强,根据对称性分析,可知: 无数无限长均匀带电直线在O处产生的合场强,沿y方向分量为零,只有沿x 方向,而公式中的A ·dd =0. cos oRde 图8-13 解dE= cosi+ tER 2ER o. cos dei + oo sn 0 cos 8 26dD

分析求解电场强度时，我们必须把带电体分解成电荷微元，而此电荷微元产生的电场强度 dE 必须是知道的，然后将 dE 投影、再积分，求解时，要分析对称性，同时这里电荷微元选取的巧妙与否，直接影响到计算的简单与否．此题我们选取两种电荷微元．试加以比较．解解法Ⅰ 选取将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上带电量 dq  ds   2Rsin  Rd 在球心处产生的场强的大小：（根据带电圆环在轴线处的结论）         d R R dq dE sin cos 4 2 cos 0 3 0   ，方向沿 x 轴．所有圆环在球心处产生的场强都沿同一方向，故：      2 0 0 4 0 sin cos 2         E dE d 解法Ⅱ 如图（b）所示．选取任一小面积 dS 上的电荷 dq 为电荷微元，则此点电荷 dq  ds 在球心处产生的场强的大小为： 2 4 0 1 R dq dE   方向如图和竖直方向成  角．根据对称性，划分成的无数个点电荷在球心处产生的场强大小相等，水平方向相互抵消，只有竖直分量，则：          cos 4 1 cos 2 0 R ds E dE ，而  ds cos 为半球面积在水平方向的投影 2  R ．所以    0 2 0 4 cos 4 1       ds R E 注意：解法Ⅰ中的思路是很自然的，但凡碰到圆盘、半球、球面等，我们应该把其发割成无数个圆环（这在力学中也常用），而圆环的结论应该记住，此时统一积分变量一般用角度，计算犹为简单；而解法Ⅱ中的思路也是从通常的想法着手，割成无数个点电荷，应用点电荷的结论．例 3 如图 8-13 所示，无限长带电圆柱面的电荷面密度为    0 cos ，其中  是面积元的法线方向与 x 轴正向之间的夹角．试求圆柱轴线 z 上的场强分布．分析设该圆柱面的横截面的半径为 R，借助于无限长均匀带电直线在距离 r 处的场强公式，即 r E 2 0   ，可推出带电圆柱面上宽度为 dl  Rd 的无限上均匀带电直线在圆柱轴线上任一点产生的场强，根据对称性分析，可知：无数无限长均匀带电直线在 O 处产生的合场强，沿 y 方向分量为零，只有沿 x 方向，而公式中的      Rd dz dl dz cos  0    ．解 j R i R dE    sin 2 cos 2 0 0            , 2 sin cos 2 cos 0 0 0 2 0 d i d j                  x O 图 8-13 y z dl

               . 2 0 ( ) 2 0 2 0 ( ) b E x x b E x b E x x 沿轴正方向，，；沿轴负方向，；例 5 如图 8-15（a）所示，在一电荷体密度为  e 的均匀带电球体中，挖去一个小球体，形成一球形空腔，偏心距为 a．试求腔内任一点的场强 E．分析本题若在垂直 OO 直线上把带电体切割成无数个带电圆盘．其中一部分为实心，一部分为空心，根据圆盘的场强结论加以叠加，理论上可行，但实际计算中，数学运算复杂；另一方面，由于球体中存在空腔，使带电体失去球对称性，所以若想直接用高斯定理做，也不行．但通过补偿法，可恢复球体的对称性，则可用高斯定理求解．并应用叠加原理完成计算，求解就简洁了．可设想不带电的空腔等效于腔内有体密度相同的等值异号的两种电荷，这样本题就可归结为求解一个体密度为  e 的均匀带电大球体和一个体密度为-  e 的均匀带电小球体，在空腔内产生的场强叠加．解设 P 点为空腔内任一点，则大球在 P 点产生的场强（见高斯定理求解的结论）： E r e   0 1 3   ；同理，小球在 P 点产生的场强为： E r e     0 2 3  ．如图 8-15（b）．由场强叠加原理可知，P 点的总场强为： . 3 ( ) 3 0 0 E  E1  E2  e r  r   e a  常矢量           结果表明，空腔内的场强是均匀的，其大小 3 0   ea ，其方向平行于两球心的连线 a，由 O 指向 O ．如图 8-15（b）所示．注意：此题中场强的叠加采用了矢量叠加方法．也即平行四边形法则，而没有采用先投影，再相加．因为前者的几何关系很明显，而用后者必须建立 x-y 坐标系统反而繁．这必须视具体情况而定，这在力学中也是必须注意的一个问题． O O a  e (a) 图 8-15 O O P a  r  r   E1  E2  E  (b) 图 8-16 e x P R1 R2 o 

例 6 一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为 R1和 R2，且电荷面密度为  ．一质子被加速器加速后，自 P 点沿圆环轴线射向圆心 O．若质子到达 O 点时的速度恰好为零．试求质子位于 P 点时的动能 Ek（已知质子的电量为 e，略去重力影响，OP=L）．分析这是静电学与力学的综合问题．根据动能定理、质子在圆环产生的电场空间中所受电场力所做的功 A 等于质子动能的变化（ ( ) k k Vp VO E  O  E  e  ；另外一种是由功的定义求解       O p O p A F dl eE dl     ，这样必须求出带电圆环在 P 点和 O 点的电势 Vp，Vo 以及在 OP 上产生的场强．解解法Ⅰ．由电势差求 A：选取坐标 Ox．如图所示，可将圆环视为许多同心圆环所组成，选取一半径为 r，宽为 dr 的带电圆环，其上带电量为 dq    2rdr ．根据点电荷系的电势公式，该小圆环上的电荷在 P 点产生的电势为： 2 2 0 2 2 4 0 2 1 r L rdr r L dq dVp          ，由电势叠加原理，整个圆环上的电荷在 P 点产生的电势为： ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 1 L R L R r L rdr V dV R R p p              ，圆环中心 O 处（即 L=0 处）的电势为： ( ) 2 2 1 0 V0  R  R   所以 Vp V Ek A  e(  0 )   ， 2 1 2 2 2 2 2 1 0 ( 2 R R L R L R e Ek         ．解法Ⅱ 带电量为 dq 的小圆环在 OP 上任一点 x 处产生的场强大小为： 2 2 3 / 2 0 2 2 3 / 2 0 4 ( ) 2 4 ( ) x r rdr x x r dq x dE           ，方向沿 x 轴方向．题中圆环在 x 处产生的场强为无数个小圆环产生场强矢量相加，因为各小圆环产生的场强方向相同，故： ] ( ) 1 ( ) 1 [ 2 4 ( ) 2 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 0 1 2 2 3/ 2 0 2 1 2 1 R x R x x x r r dr x E dE R R R R                

( ) 2 ] ( ) 1 ( ) 1 [ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 0 1 R R L R L R e dx R x R x e x A eE dl o p o L                     ，和（Ⅰ）结果一样．注意：因为求 E 时是矢量积分，必须先解后积分；而求 V 时是标量积分，往往后都数学运算简单得多．因为此题求 E 时，各 dE 方向相同，不需要分解．所以此题看不出两者在数学处理上的区别，但这一点在其它题中可明显看出．另外，方法（Ⅰ）中，只须积分一次，而方法（Ⅱ）中，须积分两次，故此类题宜采用方法（Ⅰ）．例 7 计算均匀带电球面电场中的电势分布：设带电球面的半径为 R，总电荷量为 q ，求电场中任一点 P 处的电势，P 点与球心的距离为 r．分析计算电势可用两种方法：一是根据电势的定义式（8-13）来做，二是根据电势的叠加原理（8-17）（8-18）来计算，下面分别进行求解：解解法Ⅰ 根据高斯定理知空间电场的分布：其大小为：         0, . , , 4 2 0 r R r R r q E  方向沿径向．我们选取沿半径方向积分，则 P 点的电势为： P r r V E dl E dr             当 r>R 时，     r P r q r q dr V 0 2 4 0 4 ．当 r<R 时，由于球内外场强的函数关系不同，积分必须分段进行，即： 2 0 0 0 4 4 R P r R R R dr q V E dl E dr   r R               ．由此可见，一个均匀带电球面在球外任一点的电势和把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；在球面内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域．解法Ⅱ．由题意知电荷面密度为 2 4 R q    ，把球面分割成无数个小圆环（如图 8-17），每个环带上所带的电荷 dq    2  Rsin  Rd ．此电荷元在 P 点的电势为： l R d l dq dVP 0 2 0 4 2 sin 4          ，由图可知： 2 2 2 l  (Rsin)  (r  Rcos) ，对上式微分得： ldl  Rrsind ，代入 dVp式中得： dl r R dVP 4 0 2    ．图 8-17  R r d l P

dvp-Areo RoV 当r<R时 ,=m1=k L 图8-18 注意:此题解法(Ⅰ)比较简单,但必须知道空间的分布,一般都是利用高斯定理的结论.而解法(Ⅱ)的几何关系比较复杂,运算必须细心,究竟采用哪一种方法.视具体情况来定;另外从结论来看,空间电势是连续的,而空间的电场强度则不连续,在球面上发生突变例8有一半径为R的均匀带电球面,带电量为Q,沿半径方向上放置一均匀带电细线,电荷线密度为λ,长度为L,细线近端离球心的距离为L,如图8-18所示,设球和细线上的电荷分布固定,试求细线在电场中的电势能分析本题是求连续带电体系统的电势能问题,我们知道带电量为q的点电荷在空间任一点的电势能W=qV,V为q点处的电势,若为连续带电体,我们把带电体分割为无数点电荷,每一个点电荷的电势能为d,这样整个带电体的电势能为W=「dhp=「,对带电体所在范围积分所以必须知道带电体所在区域内V的情况解根据题意可沿细线取坐标Ox,则Q在x处产生的电势为=.Q,而d=Ad,故 4丌Ex w=dw= dg. In 2 例9一无限长带电直线,电荷线密度为λ,试求空间的电势分布分析如图8-19所示,取坐标轴Ox,原点O位于带电直线处,场A 点P距带电直线为xp.无限长带电直线的场强分布为:E=2 方向沿x方向,若仍选取无限远处为电势零点,则由电势定义式可知P点的图8-19 电势为:T=E·d - dx (n∞-lnxp) 2 2 结果中出现的h∞是没有物理意义的.这表明对于电荷扩展到无限远的带电系统,不能选取无限远处为电势零点,这时可根据电势差和场强的关系式,求出在x轴上P点和a点间的电势差(因为电势差和零点选择无关),然后再根据最后表达式,选取某处a为电势零点,尽可能使电势表达式最为简单解根据电势差和场强的关系式: ∫Ed=」 dx=ln-、2 'p saX 令V=0,且x。=1,使得lnx=0,则v nxp表达式最为简单注意:此题也不能选取x=0处为电势零点,否则也出现-∞的结果,对于这类系统的电势零点

当 r>R 时，      r R r R P P r q V dV 4 0 ，当 r<R 时，      R r R r P P R q V dV 4 0 ．注意：此题解法（Ⅰ）比较简单，但必须知道空间的分布，一般都是利用高斯定理的结论．而解法（Ⅱ）的几何关系比较复杂，运算必须细心，究竟采用哪一种方法．视具体情况来定；另外从结论来看，空间电势是连续的，而空间的电场强度则不连续，在球面上发生突变．例 8 有一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q，沿半径方向上放置一均匀带电细线，电荷线密度为λ ，长度为 L，细线近端离球心的距离为 L，如图 8-18 所示，设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能．分析本题是求连续带电体系统的电势能问题，我们知道带电量为 q 的点电荷在空间任一点的电势能 W=qV，V 为 q 点处的电势，若为连续带电体，我们把带电体分割为无数点电荷，每一个点电荷的电势能为 dq V ，这样整个带电体的电势能为   W  dw  dq V ，对带电体所在范围积分，所以必须知道带电体所在区域内 V 的情况．解根据题意可沿细线取坐标 Ox，则 Q 在 x 处产生的电势为 x Q V 4 0  ，而 dq=λ dx，故          L L Q x Q W dw dq V dx 2 0 0 ln 2 4 4    ．例 9 一无限长带电直线，电荷线密度为λ ，试求空间的电势分布．分析如图 8-19 所示，取坐标轴 Ox，原点 O 位于带电直线处，场点 P 距带电直线为 xP．无限长带电直线的场强分布为： x E 2 0   方向沿 x 方向，若仍选取无限远处为电势零点，则由电势定义式可知 P 点的电势为： 0 0 (ln ln ) P 2 2 P P P x V E dl dx x x                 ．结果中出现的 ln  是没有物理意义的．这表明对于电荷扩展到无限远的带电系统，不能选取无限远处为电势零点，这时可根据电势差和场强的关系式，求出在 x 轴上 P 点和 a 点间的电势差（因为电势差和零点选择无关），然后再根据最后表达式，选取某处 a 为电势零点，尽可能使电势表达式最为简单．解根据电势差和场强的关系式： 0 0 0 ln ln 2 2 2 a P a x pa P a a P P x U V V E dl dx x x x                ，令 Va  0 ，且 xa  1 ，使得 ln 0 2 0 xa    ，则 P P V ln x 2 0    表达式最为简单．注意：此题也不能选取 x=0 处为电势零点，否则也出现   的结果，对于这类系统的电势零点 x 图 8-19 P O  a 图 8-18 O R Q x dx L L  x

延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（典型例题讲解）第八章 真空中的静电场

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