奥型题剖祈 第二章牛顿运动定律 1.基本思路 用牛顿运动定律解题的思路 (1)认物体:确定研究对象; (2)看运动:分析物体的运动状态,包括运动轨迹、速度、加速度,连接体之间的运动关系 (3)查受力:对物体进行隔离体受力分析,并画出受力图 (4)建坐标:根据需要建立合适的坐标系; (5)列方程:将质量、力、加速度用牛顿第二定律联起来,列出方程式并求解。 2.例题剖析 例1一条质量为M的均匀分布的绳子,长度为L:一端栓在转轴上,并以恒定的角速度O在 水平面上旋转。设转动过程中绳始终伸直,且忽略重力与空气阻力,求距转轴为r处绳子的张力。 分析绳子在平面内转动,其各点的速度不同,各点的张力也不同,故要考虑在绳中取一小段 作为研究对象,根据牛顿第二定律列出微分方程,再由绳子末端为自由端,张力为零等条件积分求 解如图2-1所示,在距离转轴为r处取一小段绳子d为研究对象,因为绳子作圆周运动,根 据牛顿第二定律有: T(r) T(r+dr) dT=T(r)-T(r+dr)=dmro-=(dr)ro Mo L 图2 由于绳子末端为自由端,故当r=L时,T=0,(1)式两边积分 ro dT=-l Mo 所以,Tr)= Mo 可以看出:越靠近转轴绳子的张力越大。 例2升降机内有一固定光滑斜面,倾角为a,如图2-2(a)所示。当升降机以匀加速度ao上 升时,质量为m的物体A沿斜面下滑,求A对地的加速度。 分析以A为研究对象,因电梯相对地面加速上升,为非惯性系,故在以升降机为参照系研究 质点A对应考察惯性力。同样在求A对地的加速度时应考虑升降机所产生的牵连加速度
典型例题剖析 第二章 牛顿运动定律 1．基本思路 用牛顿运动定律解题的思路 (1)认物体：确定研究对象； (2)看运动：分析物体的运动状态，包括运动轨迹、速度、加速度，连接体之间的运动关系； (3)查受力：对物体进行隔离体受力分析，并画出受力图； (4)建坐标：根据需要建立合适的坐标系； (5)列方程：将质量、力、加速度用牛顿第二定律联起来，列出方程式并求解。 2．例题剖析 例 1 一条质量为 M 的均匀分布的绳子，长度为 L；一端栓在转轴上，并以恒定的角速度 在 水平面上旋转。设转动过程中绳始终伸直，且忽略重力与空气阻力，求距转轴为 r 处绳子的张力。 分析 绳子在平面内转动，其各点的速度不同，各点的张力也不同，故要考虑在绳中取一小段 作为研究对象，根据牛顿第二定律列出微分方程，再由绳子末端为自由端，张力为零等条件积分求 解。 解 如图 2-1 所示，在距离转轴为 r 处取一小段绳子 dr 为研究对象，因为绳子作圆周运动，根 据牛顿第二定律有： 2 2 ( ) ( ) ( dr)r L M dT T r T r dr dmr 即 rdr L M dT 2 由于绳子末端为自由端，故当 r=L 时，T=0，（1）式两边积分 rdr L M dT L T r r 2 0 ( ) 所以，T(r)= ( ) 2 2 2 2 rdr L r L M 可以看出：越靠近转轴绳子的张力越大。 例 2 升降机内有一固定光滑斜面，倾角为 a ，如图 2-2（ a ）所示。当升降机以匀加速度 a0 上 升时，质量为 m 的物体 A 沿斜面下滑，求 A 对地的加速度。 分析 以 A 为研究对象，因电梯相对地面加速上升，为非惯性系，故在以升降机为参照系研究 质点 A 对应考察惯性力。同样在求 A 对地的加速度时应考虑升降机所产生的牵连加速度。 图 2-1 O r L dr T (r) T(r dr) r
解质点A受支持力N,重力mg,惯性力mab方向如图22(b)所示。 图2-2 质点A加速度矢量如图2-2(c)所示,设A相对斜面的加速度为a,建立坐标系如图2-2(a),(b 所示。 根据牛顿第二定律,列出运动方程 Msna=ma=ma’cosa Ncos a-mg do =a y=-ma sin a 由以上两式解得:a'=(g+an)sna 所以A对地的加速度为:a=a0+a, 其中 a'=(g+ao)sin a cosai-(g +ao)sin2aj a=(g +ao)sn acosai +(a, cos a-gsnm a)j 例3在半径为r的光滑球面的顶点上,有一质量为m的质点沿球面从静止自由滑下,试问离 球的最底点多高处离开球面? 分析质点离开球面时对球面的作用力为零和质点运动的线速度与角速度的对应关系是求解本 题的两个关键条件。另外在运动方程的求解时还要注意适当变形以便于积分。 解如图2-3所示,设质点由A点运动到相对于竖直直径为角的B点离开球面,根据牛顿的 第二定律有 mg cos0+N=mr,m dt=mg sin e o CLozE 质点离开球面时N=0,故(1)可写为:y2= rg cos日
解 质点 A 受支持力 N，重力 mg，惯性力 ma0,方向如图 2.2(b)所示。 质点A加速度矢量如图2-2 (c)所示，设A相对斜面的加速度为 a ,建立坐标系如图2-（2 a ），（ b ） 所示。 根据牛顿第二定律，列出运动方程 N sin a ma x ma cos a N cosa mg ma0 ma y ma sin a 由以上两式解得：a (g a0 )sin a . 所以 A 对地的加速度为： a a a 0 ， 其中 a aj 0 a g a a ai g a aj 2 0 0 ( )sin cos ( )sin 所以 a g a a ai a a g a j ( )sin cos ( cos sin ) 2 2 0 0 。 例 3 在半径为 r 的光滑球面的顶点上，有一质量为 m 的质点沿球面从静止自由滑下，试问离 球的最底点多高处离开球面？ 分析 质点离开球面时对球面的作用力为零和质点运动的线速度与角速度的对应关系是求解本 题的两个关键条件。另外在运动方程的求解时还要注意适当变形以便于积分。 解 如图 2-3 所示，设质点由 A 点运动到相对于竖直直径为 角的 B 点离开球面，根据牛顿的 第二定律有 r v mg N m 2 cos ， mg sin dt dv m 。 质点离开球面时 N=0，故（1）可写为： cos 2 v rg ， 图 2-2 A a0 (a) x (b) y N ma0 mgO x (c) y a O a0 a A 图 2-3 A B R O mg m N y C x
又因为y=r=rO故(2)式可写成: d-e 将上式两边各乘得 d20 de 整理得:d )2]=-[gcos 两边积分得:f(O1 )=-g cos0+C 考虑(3)式,有 v=2rg1-cos 0)=rg cos 8 上式解得 c o6= 所以质点离开球的最底点的高度h为 her+rc ob-r 例4有一条单位长度质量为λ的匀质细绳,开始时盘绕在光滑的水平桌面上(所占的何种可 以忽略不计)。试求:(1)若以一根恒定加速度a竖直向上提绳,当提起y高度时,作用在绳端的力 为多少?(2)若一恒定速度v竖直向上提绳时,当提起y高度时,作用在绳端上的力又为多少? 分析本题为变质量问题,在应用牛顿运动定律时要注意,应将牛顿第二定律的形式写为 =中,不能写成F=mh,具体求解方程时还应将加速度作适当变形。 dv c dr dy dt c 解(1)如图2-4所示,建立坐标O,以提起的高度为y的细绳为研究对象,根据牛顿运动 定律有 F=-d1 d(yv) (1) y 所以F=4g+av2+a (2) 又因为a如_如d_h (3) 图24 dt dy dr dy 当a为恒量时,由y=0时,v=0,得:v2=2ay。(4) 将(4)式代入(3)得: F=Ayg+2/ya+ Aya=Ag+3a)y (2)当v为恒量时,a=0,代入(2)式得:F'=gy+Av2 例5如图2-5所示,光滑金属丝上穿一小环;当金属丝绕竖直轴Oy以角 速度O匀速转动时,小环可在丝上的任何位置保持与丝相对静止,求证金属丝 图2-5
又因为 dt d v r r 故（2）式可写成： sin 2 2 g dt d r ， 将上式两边各乘 dt d 得： ( ) sin( ) 2 2 dt d g dt d dt d r ， 整理得： ( ) ] [ cos ] 2 [ 2 g dt d dt r d dt d 两边积分得： g C dt r d ( ) cos 2 2 考虑（3）式，有 2 (1 cos) cos 2 v rg rg 上式解得： 3 2 cos 。 所以质点离开球的最底点的高度 h 为： h r r r 3 5 cos 例 4 有一条单位长度质量为 的匀质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上（所占的何种可 以忽略不计）。试求：（1）若以一根恒定加速度 a 竖直向上提绳，当提起 y 高度时，作用在绳端的力 为多少？（2）若一恒定速度 v 竖直向上提绳时，当提起 y 高度时，作用在绳端上的力又为多少？ 分析 本题为变质量问题，在应用牛顿运动定律时要注意，应将牛顿第二定律的形式写为 dt dp F ，不能写成 dt mdv F ，具体求解方程时还应将加速度作适当变形。 dy dv v dt dy dy dv dt dv a 。 解 （1）如图 2-4 所示，建立坐标 Oy ，以提起的高度为 y 的细绳为研究对象，根据牛顿运动 定律有： dt d yv F yg ( ) ， （1） 所以 F yg v ya 2 （2） 又因为 dy dv v dt dy dy dv dt dv a ， （3） 当 a 为恒量时，由 y 0 时，v 0，得： v 2ay 2 。 （4） 将（4）式代入（3）得： F yg 2ya ya (g 3a)y 。 (2) 当 v 为恒量时， a 0 ，代入（2）式得： 2 F gy v 。 例 5 如图 2-5 所示，光滑金属丝上穿一小环；当金属丝绕竖直轴 Oy 以角 速度 匀速转动时，小环可在丝上的任何位置保持与丝相对静止，求证金属丝 图 2-4 F y O y 图 2-5 O x y
的曲线方程应为: 分析本题可由小环在丝上的任何位置保持与丝相对静止这一条件和tn=得出轨迹的 dx 微分方程,然后积分即可。 证明设环的质量为m,位置坐标xy处丝的斜率为 10: 以丝为参照系,环受重力mg,弹力N和惯性力f作用,其中fn=mo32x 由题意环在金属丝上保持相对静止,如图26故在其切线方向有: f cos 8- mosin 8=0 所以tanb==m2 x,又tanb==x mg mg d x N 分离变量并积分 dy=o g 所以y=x2。证毕 图26 例6质量为m的汽车在恒定的牵引力下F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正 比,它能达到的最大速率是vm,试计算从静止加速到v/2所需的时间以及走过的路程。 分析由于汽车所受的阻力与其速率的平方成正比,是变量,故牛顿定律应写成微分形式,根 据提设条件积分求解。求解时要作变换a dv dy dx vd dt dx dt d 解根据题意,设汽车所受阻力f=-kv2,由牛顿第二定律有 dy 当加速度4=0车的速率最大,所以k= (2) n 联立(1)式和(2)式可得 dv (4) 由始末条件对(4)式两式积分:[d
的曲线方程应为： g x y 2 2 2 。 分析 本题可由小环在丝上的任何位置保持与丝相对静止这一条件和 dx dy tan 得出轨迹的 微分方程，然后积分即可。 证明 设环的质量为 m，位置坐标 x,y 处丝的斜率为： dx dy tan 。 以丝为参照系，环受重力 mg，弹力Ｎ和惯性力 fn 作用，其中 f m x n 2 。 由题意环在金属丝上保持相对静止，如图 2-6 故在其切线方向有： f n cos mg sin 0 所以 x g x mg m mg f n 2 2 tan ，又 x dx g dy 2 tan 分离变量并积分 xdx g dy y x 2 0 0 ， 所以 2 2 2 x g y 。证毕。 例 6 质量为 m 的汽车在恒定的牵引力下 F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正 比，它能达到的最大速率是 vm，试计算从静止加速到 vm/2 所需的时间以及走过的路程。 分析 由于汽车所受的阻力与其速率的平方成正比，是变量，故牛顿定律应写成微分形式，根 据提设条件积分求解。求解时要作变换 dx vdv dt dx dx dv dt dv a 。 解 根据题意，设汽车所受阻力 2 f kv ，由牛顿第二定律有 dt dv F kv ma m 2 ， （1） 当加速度 0 dt dv a 车的速率最大，所以 v m F k 2 。 （2） 联立（1）式和（2）式可得 dt dv m v m v F(1 ) 2 2 。 （3） 即 dv v m v F m dt 1 2 2 (1 ) 。 （4） 由始末条件对（4）式两式积分： dv v m v F m dt t vm 1 2 2 0 0 (1 ) / 2 ， 所以 ln 3 2F mv t m 。 mg N y 图 2-6 O x y x n f
再利用m2=m如女=m和始末条件对(3)式积分 dx dt dx=m[”w 解得:x
再利用 dx mvdv dt dx dx dv m dt dv m 和始末条件对（3）式积分： dv v m v v F m dx x vm 1 0 2 1 0 2 2 (1 ) ， 解得： 3 4 ln 2 2 F mv x m