鱼点难忘指导 第九章导体和电介质中的静电场 1.静电平衡 1)导体的微观电结构 金属导体在电结构方面的重要特征是具有大量的自由电子。 2)静电平衡条件的三种描述 (1)自由电子受力描述:只有当导体中任意一个自由电子所受到的合力为零,表面 自由电子所受合力垂直于导体表面时,它们才不作宏观的定向运动,即内部:∫=eE=0; 表面:f=eE方向垂直导体表面 (2)电场强度描述:内部:E=0;表面:E垂直导体表面 (3)电势描述:因为导体内任一点的E=-gud=0,即导体内各点电势的空间变 化率都等于于零,这就是说,整个导体是等势体(包括其表面)。 3)静电平衡条件下导体上的电荷分布 (1)导体内部没有净电荷存在,电荷只能分布于导体的表面上 (2)孤立导体表面的电荷分布是不均匀的:表面曲率半径大的部分面电荷密度小 表面曲率半径小的部分面电荷密度大。 (3)导体表面的E垂直于导体表面,且EaG。即曲率半径大的地方,面荷密度小, 场强小;曲率半径小的地方面电荷密度大,场强也大。 (4)若导体内有空腔,而且在空腔内没有其他带电体,则导体内没有净电荷,而且
重点难点指导 第九章 导体和电介质中的静电场 1．静电平衡 1）导体的微观电结构 金属导体在电结构方面的重要特征是具有大量的自由电子。 2）静电平衡条件的三种描述 （1）自由电子受力描述：只有当导体中任意一个自由电子所受到的合力为零，表面 自由电子所受合力垂直于导体表面时，它们才不作宏观的定向运动，即内部： f eE 0 ； 表面： f eE 方向垂直导体表面。 （2）电场强度描述：内部： E 0 ；表面： E 垂直导体表面。 （3）电势描述：因为导体内任一点的 E gradV 0 ，即导体内各点电势的空间变 化率都等于于零，这就是说，整个导体是等势体（包括其表面）。 3）静电平衡条件下导体上的电荷分布 （1）导体内部没有净电荷存在，电荷只能分布于导体的表面上。 （2）孤立导体表面的电荷分布是不均匀的：表面曲率半径大的部分面电荷密度小， 表面曲率半径小的部分面电荷密度大。 （3）导体表面的 E 垂直于导体表面，且 E 。即曲率半径大的地方，面荷密度小， 场强小；曲率半径小的地方面电荷密度大，场强也大。 （4）若导体内有空腔，而且在空腔内没有其他带电体，则导体内没有净电荷，而且
在空腔内表面也没有电荷存在,电荷只分由在导体的外表面。所以这时有空腔和无空腔 4)静电平衡的应用 (1)尖端放电:导体表面凸起部分,尤其是尖端处,面电荷密度较大这里的电场强 度将会很大,以致使周围空气发生电离,从而发生尖端放电。这种尖端放电现象在实际 上有着广泛的应用。 (2)静电屏蔽:在静电平衡状态下,空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部: 个接地的空腔导体,空腔内的带电体对腔处的物体不会产生影响。这里屏蔽的实质是: 导体外(内)表面上的感应电荷抵消了外(内)部带电体在腔内(外)空间激发的电场。 5)导体上电荷分布及空间场强的计算 首先我们假设导体表面的电荷分布,这样假设的电荷分布必须满足两个条件。一是 电荷守恒定律。二是导体内任一点的场强为零。从而得出电荷的分布情况。因而可以求 出空间的电场强度和电势的分布。 2.电容 1)电容的定义及物理意义 (1)物理意义:使导体每升高单位电势所需的电量 (2)定义:孤立导体的电容 C=g/v 电容器的电容
在空腔内表面也没有电荷存在，电荷只分由在导体的外表面。所以这时有空腔和无空腔 一样。 4）静电平衡的应用 （1）尖端放电：导体表面凸起部分，尤其是尖端处，面电荷密度较大这里的电场强 度将会很大，以致使周围空气发生电离，从而发生尖端放电。这种尖端放电现象在实际 上有着广泛的应用。 （2）静电屏蔽：在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部：一 个接地的空腔导体，空腔内的带电体对腔处的物体不会产生影响。这里屏蔽的实质是： 导体外（内）表面上的感应电荷抵消了外（内）部带电体在腔内（外）空间激发的电场。 5）导体上电荷分布及空间场强的计算 首先我们假设导体表面的电荷分布，这样假设的电荷分布必须满足两个条件。一是 电荷守恒定律。二是导体内任一点的场强为零。从而得出电荷的分布情况。因而可以求 出空间的电场强度和电势的分布。 2．电容 1)电容的定义及物理意义 (1)物理意义：使导体每升高单位电势所需的电量。 (2)定义：孤立导体的电容 C q V / (1) 电容器的电容：
实际上孤立导体也是由两个导体组成,只不过另一导体位于无穷远,且电势为零, C=q=9(假设B导体在无穷远) 2)电容的计算 (1)假定A,B导体带等量异号电荷+q,-q (2)求出A,B之间E的解析式。(记住的一些结论可直接应用)。 (3)求出A,B之间的电势差U=V4-VB=J。E (4)根据定义求出C 它是表征导体自身性质的物理量,只与A,B的大小、 形状及空间的电介质有关,而与A,B带不带电无关 3)几种典型电容器的电容(设极板间为真空) (1)孤立导体球:C=4m0R(R为球体半径) (2)平行板电容器:C (S为极板面积,d为极板间距) (3)同心球形电容器:C=4m RR (R1,R2分别为内外球极板半径) R2-R 4)同轴柱形电容器:C (R1,R2为内外圆柱体的半径,为圆柱体的长度) }--1 4)电容器的串联、并联 (1)串联:如图1所示为电容的串联,从其性质 图1 4=41=42=……=q 可推导出电容串联公式 U=U1+U2+…+Un
AB A B q q C U V V (2) 实际上孤立导体也是由两个导体组成，只不过另一导体位于无穷远，且电势为零， A B A q q C V V V （假设 B 导体在无穷远）。 2)电容的计算 (1)假定 A，B 导体带等量异号电荷+q，-q。 (2)求出 A，B 之间 E 的解析式。（记住的一些结论可直接应用）。 (3)求出 A，B 之间的电势差 A AB A B B U V V E dl 。 (4)根据定义求出 A B q C V V ，它是表征导体自身性质的物理量，只与 A，B 的大小、 形状及空间的电介质有关，而与 A，B 带不带电无关。 3)几种典型电容器的电容（设极板间为真空） (1)孤立导体球： 0 C R 4 （R 为球体半径） (2)平行板电容器： 0 S C d （S 为极板面积，d 为极板间距） (3)同心球形电容器： 1 2 0 2 1 4 R R C R R （R1，R2分别为内外球极板半径） 4)同轴柱形电容器： 0 2 1 2 ln L C R R （R1，R2为内外圆柱体的半径，为圆柱体的长度） 4)电容器的串联、并联 (1)串联：如图 1 所示为电容的串联，从其性质： 1 2 , 1 2 n n q q q q U U U U 可推导出电容串联公式： C1 C2 Cn 图 1
(3) (2)并联:如图9-2所示为电容的并联,从其性质 =U1=…=U, 可推导出电容并联公式 图 C=C C (4) 电介质 1)电介质及其分类 (1)电介质的微观电结构:电介质的主要特征在于它的原子中的电子和原子核的结合 力很强,电子处于東缚状态,在一般条件下,电子不能挣脱原子核的束缚,因而和导体 不同,电介质内无自由电子。 (2)电介质的分类 (1)无极分子:其正电荷中心和负电荷中心重合,所以固有电矩p=0。 (i)有极分子:其正电荷中心和负电荷中心不重合,所以固有电矩p=ql≠0,它相当 于一个电偶极子模型。 2)电介质的极化 (1)电介质的极化:无极分子的极化主要是在外电场的作用下,正负电荷中心被拉开, 从而导致产生电矩矢量;有极分子的极化主要是原来排列杂乱的固有电矩矢量在外电场 产生的力矩作用下,使P转向外电场的方向,从而导致电矩矢量的排列有序。无极分子 和有极分子微观极化机制是不一样的,但宏观效果相同,在内部正负电荷还是中和,但 在垂直外电场方向上的介质表面产生极化电荷(束缚电荷)
1 1 1 1 C C Cn (3) (2)并联：如图 9-2 所示为电容的并联，从其性质： n n q q q U U U 1 1 可推导出电容并联公式： C C1 Cn (4) 3．电介质 1)电介质及其分类 (1)电介质的微观电结构：电介质的主要特征在于它的原子中的电子和原子核的结合 力很强，电子处于束缚状态，在一般条件下，电子不能挣脱原子核的束缚，因而和导体 不同，电介质内无自由电子。 (2)电介质的分类： (i)无极分子：其正电荷中心和负电荷中心重合，所以固有电矩 p=0。 (ii)有极分子：其正电荷中心和负电荷中心不重合，所以固有电矩 p=ql 0，它相当 于一个电偶极子模型。 2)电介质的极化 (1)电介质的极化：无极分子的极化主要是在外电场的作用下，正负电荷中心被拉开， 从而导致产生电矩矢量；有极分子的极化主要是原来排列杂乱的固有电矩矢量在外电场 产生的力矩作用下，使 P 转向外电场的方向，从而导致电矩矢量的排列有序。无极分子 和有极分子微观极化机制是不一样的，但宏观效果相同，在内部正负电荷还是中和，但 在垂直外电场方向上的介质表面产生极化电荷（束缚电荷）。 图 2 C1 C2 Cn
(2)电介质内外的场强:很显然极化电荷产生的附加场强是和原外场强方向相反的 故空间总的场强是减小的,但由于电介质内部无自由电子,故并不可能和金属导体静电 平衡条件一样,内部合场强为零。 (3)电极化强度矢量:单位体积内分子电矩矢量的矢量和,即P= 它和合场 强之间的关系为P=x50E=E0(En-1)E。 (4)极化电荷面密度σ等于电极化强度沿外法线方向的分量: Pl-cos0=P=aP司,为外法线单位矢量,O为外法线方向和P之间的夹角 有介质时的高斯定理 1)电位移矢量 (1)定义:在各向同性介质中电位移矢量D等于场强的E倍: D=EE (2)电位移线:它和电场经有相同的规定:但D线起始于正自由电荷,终止于负自由 电荷:而E线起始于正电荷(包括自由电荷和束缚电荷),终止于负电荷,这是两者的重 要区别 2)有介质时的高斯定理 乐bds=∑q 其中∑q为高斯面S内所包围自由电荷的代数和,但必须指出,能过闭合曲面的电 位移通量只和曲面内的自由电荷有关,并不是说电位移D仅决定于自由电荷的分布,它 和极化电荷的分布也是有关的)
(2)电介质内外的场强：很显然极化电荷产生的附加场强是和原外场强方向相反的， 故空间总的场强是减小的，但由于电介质内部无自由电子，故并不可能和金属导体静电 平衡条件一样，内部合场强为零。 (3)电极化强度矢量：单位体积内分子电矩矢量的矢量和，即 V p P i ，它和合场 强之间的关系为 P e E r E ( 1) 0 0 。 (4)极化电荷面密度 等于电极化强度沿外法线方向的分量： n n n P P e P e cos 为外法线单位矢量， 为外法线方向和 P 之间的夹角。 4．有介质时的高斯定理 1）电位移矢量 (1)定义：在各向同性介质中电位移矢量 D 等于场强的 倍： D E (5) (2)电位移线：它和电场经有相同的规定：但 D 线起始于正自由电荷，终止于负自由 电荷；而 E 线起始于正电荷（包括自由电荷和束缚电荷），终止于负电荷，这是两者的重 要区别。 2) 有介质时的高斯定理 S D dS qi (6) 其中 qi 为高斯面 S 内所包围自由电荷的代数和，但必须指出，能过闭合曲面的电 位移通量只和曲面内的自由电荷有关，并不是说电位移 D 仅决定于自由电荷的分布，它 和极化电荷的分布也是有关的）
3)D,P,E的关系 D=ee+ 4)有介质时,静电学问题的处理方法 电位移矢量D没有明显的物理意义,但我们可以通过有介质时的高斯定理算出D(这 时不须考虑自由电荷),再利用D=E,算出E,再利用D=E0E+P,算出P,再利 用a'=·P,算出o’,所有问题都解决了 5.静电场能量 1)点电荷间的相互作用能 ∑q 式中V表示在给定的点电荷系中,除i个点电荷之外的所有其它点电荷在第i个点电 荷所在处激发的电势 2)电荷连续分布时的静电能 W=jCpds 式中p和σ分别为电荷的体密度和面密度,q是所有电荷在体积元dV和面积元ds 所在处激发的电势,它也包括电荷元本身在电荷无处激发的电势,仅仅是一无限小量 式(9)既包括了各个带电体之间的相互作用能(8),也包括着每一个带电体自射各部分 电荷之间的相互作用能(称为固有能),而在式(8)中却没有考虑每一个被看作点电荷
3） D ， P ， E 的关系 D E P 0 (7) 4）有介质时，静电学问题的处理方法 电位移矢量 D 没有明显的物理意义，但我们可以通过有介质时的高斯定理算出 D（这 时不须考虑自由电荷），再利用 D E ，算出 E，再利用 D E P 0 ，算出 P，再利 用 en P ，算出 ，所有问题都解决了。 5． 静电场能量 1）点电荷间的相互作用能 n i W qiVi 2 1 1 (8) 式中 Vi 表示在给定的点电荷系中，除 i 个点电荷之外的所有其它点电荷在第 i 个点电 荷所在处激发的电势。 2）电荷连续分布时的静电能 V W dV 2 1 S W dS 2 1 (9) 式中 和 分别为电荷的体密度和面密度， 是所有电荷在体积元 dV 和面积元 dS 所在处激发的电势，它也包括电荷元本身在电荷无处激发的电势，仅仅是一无限小量； 式（9）既包括了各个带电体之间的相互作用能（8），也包括着每一个带电体自射各部分 电荷之间的相互作用能（称为固有能），而在式（8）中却没有考虑每一个被看作点电荷
的固有能。我们把(9)叫做静电能。 3)电容器的储能 电容器这一带电体系的静电能为W=9 (10) 利用C=9也可演变成其他形式: w=4=lCU2=qU C 2 4)静电场能量和能量密度 (1)能量密度:在单位体积内的静电场能量: (11) 也可演变成其它形式: E=-ED (2)静电场能量: (1)若有电场的空间为匀强电场,则整个空间的静电场能量W==BE2T (ⅱi)若为非匀强电场,则可把空间分割为无数个小块,每小块的能量d=E2d 整个空间的能量为 =,a=E (12) 式中积分遍及有电场的空间,此时必须求出空间电场的分布E,才能做出这个积分 至于体积元dⅤ怎么选取,必须视E的特征来分别处理,当然(i)的情况是(ⅱ)的特
的固有能。我们把（9）叫做静电能。 3）电容器的储能 电容器这一带电体系的静电能为 C q We 2 2 （10） 利用 U q C 也可演变成其他形式： CU qU C q We 2 1 2 1 2 2 2 4)静电场能量和能量密度 (1)能量密度：在单位体积内的静电场能量： 2 2 1 E dV dW w e e ， （11） 也可演变成其它形式： E ED dV dW w e e 2 1 2 1 2 (2)静电场能量： (ⅰ)若有电场的空间为匀强电场，则整个空间的静电场能量 We weV E V 2 2 1 。 (ⅱ)若为非匀强电场，则可把空间分割为无数个小块，每小块的能量 dWe E dV 2 2 1 ， 整个空间的能量为： W w dV E dV V e V e 2 2 1 （12） 式中积分遍及有电场的空间，此时必须求出空间电场的分布 E，才能做出这个积分， 至于体积元 dV 怎么选取，必须视 E 的特征来分别处理，当然（ⅰ）的情况是（ⅱ）的特
例
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