延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（典型例题讲解）第六章 气体动理论

奥彻题剖 第六章气体动理论 .基本思路 气体动理论的习题与力学习题相比,数字计算较繁,这就要求读者对常态下气体分子的有关物 理量的级比较熟悉,以便对计算结果进行检验.另外,这一章的习题涉及单位制较多,在计算时, 名量单位制必须统一,应采用国际单位制(SI 1)应用理想气体状态方程解题的步聚 (1)根据题目所给条件并考虑到便于计算,选取研究对象即某种理想气体系统 (2)确该系统所处的平衡态,确定宏观准确宏观状态参量子力学p,V,T的值并统一单位制 (3)列方程,代人已知数据,求解 2)关于压强公式与温度公式的应用 公式中涉及的各物理量,有宏观量,有微观量,宏观量描述系统整体状态,微观量描述单个分 子的运动状态.对题目所给条件,应分清哪些是宏观量,哪些是微观量,选用适当公式将二者联系 起来 3运用平衡态下气体分子速率分布律解题 关键是明确各种函数表现形式的物理意义,首先是速率分布函数f(v)的严格定义 由速率分布律得出的气体分子热运动的三种特征速率,它们的应用场合是不同的:在讨论理想 气体的速率分布时,要用到最概然速率v;在计算分子运动走过的平均路程时,要用平均速率p 例如平均自由程;在计算分子的平均平动动能时,就应该用方均根速率 542例题剖析 例1一容器内储有氧气,其压强p=101×103Pa,温度t=27°c.求: (1)单位体积内的分子数;

典型例题剖析 第六章 气体动理论 1．基本思路 气体动理论的习题与力学习题相比，数字计算较繁，这就要求读者对常态下气体分子的有关物 理量的级比较熟悉，以便对计算结果进行检验．另外，这一章的习题涉及单位制较多，在计算时， 名量单位制必须统一，应采用国际单位制(SI)． 1)应用理想气体状态方程解题的步聚 (1)根据题目所给条件并考虑到便于计算，选取研究对象即某种理想气体系统． (2)确该系统所处的平衡态，确定宏观准确宏观状态参量子力学 p，V，T 的值并统一单位制． (3)列方程，代人已知数据，求解． 2)关于压强公式与温度公式的应用 公式中涉及的各物理量，有宏观量，有微观量，宏观量描述系统整体状态，微观量描述单个分 子的运动状态．对题目所给条件，应分清哪些是宏观量，哪些是微观量，选用适当公式将二者联系 起来． 3)运用平衡态下气体分子速率分布律解题 关键是明确各种函数表现形式的物理意义，首先是速率分布函数 f (v) 的严格定义． 由速率分布律得出的气体分子热运动的三种特征速率，它们的应用场合是不同的：在讨论理想 气体的速率分布时，要用到最概然速率 p v ；在计算分子运动走过的平均路程时，要用平均速率 v ， 例如平均自由程；在计算分子的平均平动动能时，就应该用方均根速率． 5.4.2 例题剖析 例 1 一容器内储有氧气，其压强 p Pa 5 1.0110 ，温度 t  27c ．求： （1）单位体积内的分子数；

(2)氧气的密度; (3)分子间的平均距离 分析应用理想气体的状态方程 解(1)由理想气体的状态方程p=nkT,可得 P 10l×10 M-3≈24×1023M kT1.38×10-23×300 (2)p=m:n,m为一个氧分子的质量, 3.2×10 10×2.4×102kg/m3≈1.28kg/m3 (3)n个分子占据1m3体积空间,所以每个分子平均占据的立方空间,因此分子间的平均距 离=-≈347×10 例2质量为0.kg,温度为27℃的氮气,装在容积为001m3的容器中,容器以v=100ms的速 度作匀速直线运动,若容器突然停下来,定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能,则平衡后 氮气的温度和压强各增加多少? 分析容器作匀速直线运动突然停下,容器内气体分子定向运动的动能将通过碰撞转化为分子 热运动的动能,使气体温度升高.应用能量均分定理计算内能变化. 解常温下,氮气可视为刚性双原子分子,则氮气的内能 E M RT 内能增量 R·△T, △E=M2=×0.1×1002=500), 47=2△E·2×500×28×10-3 ≈67(K) 5MR 5×0.1×8.3

（2）氧气的密度； （3）分子间的平均距离． 分析 应用理想气体的状态方程． 解 （1）由理想气体的状态方程 p  nkT ，可得 3 2 5 3 2 3 5 2.4 10 1.38 10 300 1.01 10           M M kT p n ． （2）   mn， m 为一个氧分子的质量， 2 5 3 3 2 2 2 2.4 10 / 1.28 / 6.02 10 3.2 10 n kg m kg m NA            ． （3）n 个分子占据 1m3体积空间，所以每个分子平均占据 n 1 的立方空间，因此分子间的平均距 离= m n 9 3 3.47 10 1    ． 例 2 质量为 0.1kg，温度为 27℃的氮气，装在容积为 0.01m3的容器中，容器以 v=100m/s 的速 度作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后 氮气的温度和压强各增加多少？ 分析 容器作匀速直线运动突然停下，容器内气体分子定向运动的动能将通过碰撞转化为分子 热运动的动能，使气体温度升高．应用能量均分定理计算内能变化． 解 常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则氮气的内能 RT M E 2 5    ． 内能增量 R T M E    2 5  ， 0.1 100 500( ) 2 1 2 1 2 2 E  Mv     J ， 6.7( ) 5 0.1 8.31 2 500 28 10 5 2 3 K MR E T              ．

容器内的气体作等容变化最后达到平衡态,应用理想气体状态方程 M·R 0.1×8.31 ×6.7 例3容器内某理想气体的温度T=273K,压强p=101.3Pa,密度为1,25g/m3,求: (1)气体的摩尔质量,是何种气体? (2)气体分子运动的均方根速率? (3)气体分子的平均平动动能和转动动能? (4)单位体积内气体分子的总平动动能? (5)0.3mol该气体的内能? 分析应用理想气体状态方程,求出摩尔质量,判断是何种气体;应用温度公式求√v2:应用 能量均分定理,求解平动动能、转动动能、内能. M 解(1)由p RT 得 =7=125×10×831×273024g1m) P 因此判定该气体是N2或CO 3RT 3P (2) 3×101.3 V125×10 93(m/s) (3) 273≈565×10-21() (刚性双原子分子有3个平动自由度,两个转动自由度)

容器内的气体作等容变化最后达到平衡态，应用理想气体状态方程 6.7 28 10 10 10 0.1 8.31 3 3             T V M R p  ， p Pa 4   2.010 例 3 容器内某理想气体的温度 T  273K ，压强 p 101.3Pa ，密度为 3 1.25g / m ，求： (1)气体的摩尔质量，是何种气体？ (2)气体分子运动的均方根速率？ (3)气体分子的平均平动动能和转动动能？ (4)单位体积内气体分子的总平动动能？ (5) 0.3mo1 该气体的内能？ 分析 应用理想气体状态方程，求出摩尔质量，判断是何种气体；应用温度公式求 2 v ；应用 能量均分定理，求解平动动能、转动动能、内能． 解 （1）由 RT M pV   ， V M   得 0.028( / 1) 101.3 1.25 10 8.31 273 3 kg mo p RT          ． 因此判定该气体是 N2 或 CO ． （2）   RT P v 2 3 3   493( / ) 1.25 10 3 101.3 3 2 v  m s     ． （3） 1.38 10 273 5.65 10 ( ) 2 3 2 3 2 3 2 1 kT J t           1.38 10 273 5.65 10 ( ) 23 21 kT J r          ． （刚性双原子分子有 3 个平动自由度，两个转动自由度）

(4)E,=n8t, n= P 101.3 E 1.38×10-23×273 ≈1.52×102(J/m3) (5)EsMi RT=0.3××831×273≈1.70×103(J 例4设氢气的温度为300℃,求速率在1500ms1510ms之间的分子数△N1;速率在 2170ms-2180m/s之间的分子数△2;速率在300m-3010ms之间的分子数△N3之比△N1:△N2 3 分析速率在v1~v2之间的分子数的概率为 △N f(v)·dhv f(v)为麦克斯韦速率分布函数.本题中,因速率间隔v2与v1之差Av很小,可以近似地认为在 △p这个速率区间内分布函数的值不变,所以上式的计算可简化为 △N =f()Av=4(m-)2 T 4r( 式中,=2.02×103kg/mol,R=8.31J/mol 解由分析知,分子速率在1500m/s~1510m/s的分子数占总分子数的概率 N 2.02×10 4r( 312×e2831×715×15002×10 2丌×8.31×573.15 =308×10-3 分子速率在2170ms~2180m/s的分子数占总分子数的概率

（4） t Et  n  ， kT p n  1.52 10 ( / ) 5.65 10 1.38 10 23 273 101.3 2 3 2 1 J m kT P E t t             ． （5） 8.31 273 1.70 10 ( ) 2 5 0.3 2 3 RT J M i E         ． 例 4 设氢气的温度为 300℃，求速率在 1500m/s~1510m/s 之间的分子数 N1 ；速率在 2170m/s~2180m/s 之间的分子数 N2 ；速率在 3000m/s~3010m/s 之间的分子数 N3 之比 N1 : N2 : N3 ． 分析 速率在 1 ~ 2 v v 之间的分子数的概率为     2 1 ( ) v v f v dv N N f (v) 为麦克斯韦速率分布函数．本题中，因速率间隔 2 v 与 1 v 之差 v 很小，可以近似地认为在 v 这个速率区间内分布函数的值不变，所以上式的计算可简化为 e v v RT e v v kT m f v v N N R T v kT m v              3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 2 2 ) 2 4 ( ) 2 ( ) 4 (       ， 式中， 2.02 10 / 1 3 kg mo     ， R  8.31J / mo1． 解 由分析知，分子速率在 1500m/s~1510m/s 的分子数占总分子数的概率 3 2 1 1 3 2.02 10 1500 3/ 2 2 2 8.31 573.15 3 ( ) 2.02 10 4 ( ) 1500 10 2 8.31 573.15 3.08 10 N f v v N  e                      分子速率在 2170m/s~2180m/s 的分子数占总分子数的概率

A2=f(n2) 2.02×10-3 =4x×( 21702×10 2丌×8.31×573.15 ≈3.8×10-3 分子速率在3000ms~-3010ms的分子数占总分子数的概率 =f(v3)△v 2.02×10-3×30002 =4丌x()32xe2831x15×30×10 2丌×8.31×573.15 2.9×10 △N1:△N2:△N3=3.08:38:29 从计算结果发现,分子数分布在2170m/s-2180m/s区间的比率要比另两个区间的要大.这是为 什么呢?让我们计算一下氢气在300℃时的最概然速率便知 =1414R7 V=1414×/831×573.15 ≈217lm/s V2.02×10 分子的最概然速率分布在2170m/s-2180m/s区间内,从最概然速率的物理意义可知,在桢的速 率区间内,包含最概然速率的区间分子数比例最大 例5导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动(故称电子气)。设导体中共有N个 自由电子,温度为0K时,电子的最大速率为vp(称为费米速率);而电子在速率v~v+dh之间的 概率为 4丌A Nn2d,W≥v>0,为常数) 0, (v>vE) (1)画出分布函数图 (2)用N,vF定出常数A (3)证明电子气中电子的平均动能3 其中EF-2 分析根据题意给函数关系,可求出分布函数f(v);由归一化条件定出常数A:再由分布函数

3 2 2 2 3 2.02 10 2170 3/ 2 2 2 8.31 573.15 3 ( ) 2.02 10 4 ( ) 2170 10 2 8.31 573.15 3.8 10 N f v v N  e                       ． 分子速率在 3000m/s~3010m/s 的分子数占总分子数的概率 3 2 3 3 3 2.02 10 3000 3/ 2 2 2 8.31 573.15 3 ( ) 2.02 10 4 ( ) 3000 10 2 8.31 573.15 2.9 10 N f v v N  e                       ． N1 : N2 : N3  3.08 : 3.8 : 2.9 ． 从计算结果发现，分子数分布在 2170m/s~2180m/s 区间的比率要比另两个区间的要大．这是为 什么呢？让我们计算一下氢气在 300℃时的最概然速率便知． m s RT vp 2171 / 2.02 10 8.31 573.15 1.414 1.414 3         ， 分子的最概然速率分布在 2170m/s~2180m/s 区间内，从最概然速率的物理意义可知，在桢的速 率区间内，包含最概然速率的区间分子数比例最大． 例 5 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有 N 个 自由电子，温度为 0K 时，电子的最大速率为 F v （称为费米速率）；而电子在速率 v v dv   之间的 概率为 4 2 ( 0, ) 0 ( ) F F A dN v dv v v A N N v v            ， 为常数 ； ， （1）画出分布函数图． （2）用 N，vF定出常数 A． （3）证明电子气中电子的平均动能 F   5 3  ，其中 2 2 1 F M F    ． 分析 根据题意给函数关系，可求出分布函数 f (v) ；由归一化条件定出常数 A；再由分布函数

求出y2的统计平均值y2,得出平均动能 解(1)由所给函数关系可得,分布函数f(v)的具体表达式为 4丌A f(v)= f(v) f(v)=0 (v>vE) 令常数44=k,则 f(v)= (vg≥v>0) v>v) 图5-2 显然当vF≥v>0时,f(v)为一段抛物线v>v时,f(v)突降为零f(v)与v的关系曲线如图 5-2 (2)由归一化条件[f(v)b=1 4兀A2dh+0h=1 4丌A vdv=4T Aoy 3M A 4 4丌A (vg≥v>0) (3)f(v)={N 所以 =vf()=Jp2,h+∫0dh 3 E 例6设图5-3中的两条曲线分别为氢和氧在相同温度下的麦克斯韦速率分布曲线 (1)哪条代表氢,哪条代表氧?

求出 2 v 的统计平均值 2 v ，得出平均动能． 解 （1）由所给函数关系可得，分布函数 f (v) 的具体表达式为 4 2 ( ) dN A f v v N dv N      (v  v  0) F ( ) 0 ( ) F f v v v   ， 令常数 k N A  4 ，则 2 ( 0) ( ) 0 ( ) F F kv v v f v v v        ， 显然当 vF  v  0 时， f (v) 为一段抛物线 F v  v 时， f (v) 突降为零 f (v) 与 v 的关系曲线如图 5-2． （2）由归一化条件    0 f (v)dv 1， 得 2 0 4 0 1 F F v v A v dv dv N         ， 即 2 2 0 4 4 1 3 F v A A vF v dv N N       ， 2 4 3 F v N A   ． （3） 2 2 3 4 3 ( 0) ( ) 0 ( ) F F F A v v v v f v N v v v             所以 2 2 2 2 3 0 3 ( ) 0 F F v o v F v v v f v dv v dv dv v           2 4 2 3 3 3 5 vF F o F v v dv v v     ， 1 3 1 3 2 2 ( ) 2 5 2 5 mv mvF F       ． 例 6 设图 5-3 中的两条曲线分别为氢和氧在相同温度下的麦克斯韦速率分布曲线． (1)哪条代表氢，哪条代表氧？ f v( ) vF v O 图 5-2

(2)求出氢分子的最可几速率 (3)求出氧分子的方均根速率 (4)氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比是多少? 分析由所给曲线,根据氢、氧两气体的最可几速率的大小,可判断哪条曲线代表氢,哪条曲 线代表氧.同时可求得最可几速率 解(1)最可几速率 f() 2kT 2RT p-m-imnol 当温度相同时,显然VP2>VPa2,由此判定图 1000 ms 图5-3 中曲线1代表氢,曲线2代表氧 (2)由图得:vPa2=100s M 则 mol,Np, 4vp,0h-4000m/s Vp, H=1Mmol, H2 (3) vpa2≈1225m/s (4)由图可得,氧分子最可几速率附近单位速度区间内的分子数占氧分子总数的 100√r 例7设地球大气是等温的,温度为=50℃,海平面上的气压为p0=750mmg,今测得其山 顶的气压P=590mm求山高.(已知空气的平均分子量为2897) 分析将该温度下的空气可看成理想气体,应用重力场中的气压公式 解根据等温气压公式:P=P0e,p。为h=0处的大气压强 kT 得 In P RT RT Po mg Po MmoG Po Mmdg p 所以h=831×27815×m75023别 2897×10-3×9.8590 例8在标准状况下,lcm3氮气中有多少个氮分子?氮分子的平均速率为多大?平均碰撞次数

(2)求出氢分子的最可几速率． (3)求出氧分子的方均根速率． (4)氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比是多少？ 分析 由所给曲线，根据氢、氧两气体的最可几速率的大小，可判断哪条曲线代表氢，哪条曲 线代表氧．同时可求得最可几速率． 解 （1）最可几速率 Mmol RT m kT v p 2 2   ． 当温度相同时，显然 2 2 P H P O , , v v  ，由此判定图 中曲线 1 代表氢，曲线 2 代表氧． （2）由图得： 2 PO, v =1000m/s， 则 2 P H, v 2 2 2 2 , , , , 4 4000 / mol O p O P O mol H M v v m s M    ． （3） 2 2 2 0 2 , , 3 3 1225 / 2 P O mol O RT v v m s M    ． （4）由图可得，氧分子最可几速率附近单位速度区间内的分子数占氧分子总数的 100  1 ． 例 7 设地球大气是等温的，温度为 t=5.0℃，海平面上的气压为 p0  750mmHg ，今测得其山 顶的气压 p  590mmHg 求山高．（已知空气的平均分子量为 28.97） 分析 将该温度下的空气可看成理想气体，应用重力场中的气压公式． 解 根据等温气压公式： kT m gh p p e   0 ， o p 为 h  0 处的大气压强． 得 p p Mmo RT p p Mmo RT p p mg kT h 0 0 0 ln lg ln lg   ln    ， 所以 h 235m 590 750 ln 28.97 10 9.8 8.31 278.15 3        ． 例 8 在标准状况下， 3 1cm 氮气中有多少个氮分子？氮分子的平均速率为多大？平均碰撞次数 f (v) 1 v ms /  1000 O 图 5-3 1 100  1 2

为多少?平均自由程为多大?(已知氮分子的有效直径d=3.76×10-10m) 分析标准状况下,氮气可看作理想气体。应用状态方程;平均碰撞频率及平均自由程公式。 解(1)标准状况下,p=1.013×105Pa,T=273.15K 由理想气体状态方程p=nk7得 P 1013×105 ≈268×1025m kT1.38×10-23×273.1 (2)氮分子的平均速率 8.31×273 v=1.60 ≈455m/ (3)平均碰撞次数即平均碰撞频率 =141×314×(376×10-0)2×2.68×1025×455 6.7×10 (4)平均自由程 azdn 141×3.14x(3.76×10)2×268×10 6×10-8n

为多少？平均自由程为多大？（已知氮分子的有效直径 d m 10 3.76 10   ） 分析 标准状况下，氮气可看作理想气体。应用状态方程；平均碰撞频率及平均自由程公式。 解 (1)标准状况下， p Pa 5 1.01310 ，T  273.15K 由理想气体状态方程 p  nkT 得 2 5 3 2 3 5 2.68 10 1.38 10 273.1 1.013 10          m kT p n ， 即 19 3 2.68 10  n   cm ． (2)氮分子的平均速率 m s RT v 455 / 28 10 8.31 273 1.60 1.60 3         ． (3)平均碰撞次数即平均碰撞频率 2 10 2 25 10 1 2 1.41 3.14 (3.76 10 ) 2.68 10 455 6.7 10 Z d n v s               ． (4)平均自由程 2 10 25 8 1 2 1 1.41 3.14 (3.76 10 )2 2.68 10 6 10 d n m              ．