鱼点难点指导 第八章真空中的静电场 8.库仑定律 1)点电荷 当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时,可以把带电体看作点电 荷 2)库仑定律 在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个电荷所带电量的乘积成正比, 们之间距离的平方成反比,作用力的方向沿两个点电荷的连线,同号电荷相斥,异 号电荷相吸.其数学形式可表为 F、14142 (8-1) 式中F:施力电荷指向受力电荷的矢量.如图8-1所示: q1 92 图8-1 2.电场强度 1)电场强度的定义 电场中某点电场强度E的大小等于试验正电荷q在该点受力的大小和q0的比值 其方向为试验正电荷q0受力的方向:
重点难点指导 第八章 真空中的静电场 8． 库仑定律 1)点电荷 当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电 荷． 2)库仑定律 在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个电荷所带电量的乘积成正比， 与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异 号电荷相吸．其数学形式可表为： r r r q q F 2 1 2 4 0 1 （8-1） 式中 r ：施力电荷指向受力电荷的矢量．如图8-1所示： 2．电场强度 1)电场强度的定义 电场中某点电场强度 E 的大小等于试验正电荷 q0 在该点受力的大小和 q0 的比值． 其方向为试验正电荷 q0 受力的方向： 1 q 2 q 1 q 2 q F21 F12 图 8-1
E F (8-2) 2)场强叠加原理 多个带电体在空间任意一点所激发的总场强等于各个带电体单独存在时在该点各自 所激发的场强的矢量和 E=E1+E2+…+E=∑En (8-3) 它是电场的基本性质之一.利用这一原理可以计算任意带电体所激发的场强. 3)场强的计算 (1)点电荷的场强 E=E=19 (8-4) 如图82,{9>0时,E和同向,背离 lq<0时,E和F反向,指向q 其大小为E=4,是球对称性的 图8-2 (2)点电荷系的场强 据点电荷的场强公式(8-4)和场强叠加原理(8-3),可得: E=∑E=24x60r qi Pi r;:i点电荷指向所求点 q q (3)电荷连续分布的带电体的场强 可将电荷连续分布的带电体分割成无数个点电荷, 图8-3 如图8-3:则任意点电荷dq在P点产生的场强为
q0 F E ． （8-2） 2)场强叠加原理 多个带电体在空间任意一点所激发的总场强等于各个带电体单独存在时在该点各自 所激发的场强的矢量和： n i E E E En En 1 1 2 （8-3） 它是电场的基本性质之一．利用这一原理可以计算任意带电体所激发的场强． 3)场强的计算 ⑴ 点电荷的场强 r r r q q E E o 2 0 4 1 （8-4） 如图8-2． 0 0 0 0 q ，E r ， q q ，E r ， q 时 和 反向 指向 时 和 同向 背离 其大小为 2 4 0 1 r q E ，是球对称性的． ⑵ 点电荷系的场强 据点电荷的场强公式（8-4）和场强叠加原理（8-3），可得： n i i i i i n i i r r r q E E 1 2 1 4 0 1 ， （8-5） r i i : 点电荷指向所求点． ⑶ 电荷连续分布的带电体的场强 可将电荷连续分布的带电体分割成无数个点电荷， 如 图 8-3 ： 则 任 意 点 电 荷 dq 在 P 点 产 生 的 场 强 为 q 0 r q o 图 8-2 q r P dq 图 8-3
=_1,椐场强叠加原理,把求和改成积分 4T8 r-r E d q r (8-6) 因为这是矢量积分,具体计算时,先将dE分解后,再积分 de=de i+dej+de k E=dE=∫(dEp+E,万+dE.k)=∫(E)+E,)+E.k (de, F +(de, +(dE, k=Ei+E,J+Ek .高斯定理 1)电场线 (1)定义:在空间画出的能够形象描述电场性质的一系列曲线.它必须既能反映电场 的大小,也能反映电场的方向 方向:曲线上每点的切线正向为该点E的方向。 大小:垂直于E的单位面积上的电场线根数为该处E的大小 因此电场线密的地方,E大;疏的地方,E小 (2)电场线的性质: ①电场线起始于+q,终止于-q,不间断.不闭合 ②任意两根电场线不相交.因为空间任意点场强只有一个确定的方向 2)E通量(又称电场强度通量 (1)定义:穿过电场中任一曲面的电场线总数称为通过此面的E通量
2 0 1 4 dq r dE r r ，椐场强叠加原理，把求和改成积分． 2 0 1 4 dq r E dE r r （8-6） 因为这是矢量积分，具体计算时，先将dE分解后，再积分： dE i dE j dE k E i E j E k E dE dE i dE j dE k dE i dE j dE k dE dE i dE j dE k x y z x y z x y z x y z x y z ( ) 3．高斯定理 1) 电场线 ⑴ 定义：在空间画出的能够形象描述电场性质的一系列曲线．它必须既能反映电场 的大小，也能反映电场的方向： ： E E 。 ： E 。 大小 垂直于 的单位面积上的电场线根数为该处 的大小 方向 曲线上每点的切线正向为该点 的方向 因此电场线密的地方，E大；疏的地方，E小． ⑵ 电场线的性质： ①电场线起始于+q，终止于-q，不间断．不闭合． ②任意两根电场线不相交．因为空间任意点场强只有一个确定的方向． 2）E通量（又称电场强度通量） ⑴ 定义：穿过电场中任一曲面的电场线总数称为通过此面的E通量．
(2)计算 ①匀强电场、S面为平面时:若两者垂直屮=ES.若两者不垂直, H=ES=E6o9=E.如图8-4. ②任意电场、S面为任意曲面时:如图8-5,将曲面分割成无数个小平面dS,则 dH=E·dS,式中dS的大小等于dS,方向为dS的正法线方向 ∫4= (8-8) ③任意电场,、任意闭合曲面,平=5EdS·规定法线正向为穿出曲面,这样电场 线穿出为正,穿进为负 ds 图8-4 图8- 3)高斯定理 (1)内容:在任意的静电场中,通过任一闭合曲面的E通量,等于该曲面内电荷的代数 和除以E 24(不连续分布电荷 平=E.6211m(连续分布的电苟 (2)注意点
⑵ 计算： ① 匀强电场、 S 面为平面时：若两者垂直 E ES ．若两者不垂直， cos E ES ES E S 如图8-4． ②任意电场、S面为任意曲面时：如图8-5，将曲面分割成无数个小平面dS，则， E d E dS ，式中 dS 的大小等于dS，方向为dS的正法线方向． E E S S d E dS （8-8） ③任意电场、任意闭合曲面． S E E dS ．规定法线正向为穿出曲面．这样电场 线穿出为正，穿进为负． 3）高斯定理 ⑴内容：在任意的静电场中，通过任一闭合曲面的E通量，等于该曲面内电荷的代数 和除以 0 ． s V n i i E dV q E dS ( ) 1 ( ) 1 0 0 1 连续分布的电荷 不连续分布电荷 ⑵注意点： E dS S S n E 图 8-4 图 8-5
①式中E为内、S外的电荷共同产生的,而平=E.dS只和S内的电荷有关,即 要区分E和E通量两个不同概念 ②若∑q,=0,表示S内电荷代数和为零,并不是S内无电荷,由∑q1=0可得到 E.dS=0但不能得到空间E=0,如图8-6 ③高斯定理说明静电场是有源场,电荷为其电场线的 -qd (3)应用:虽然理论上由点电荷场强公式和场强叠加原 图8-6 理可求任意电荷分布的电场强度,但数学运算比较繁,而对于一些电荷对称分布的情况 由高斯定理可简单求出.一些典型电荷分布的场强可由高斯定理求出,结论如下: ①均匀带电球面的场强 (球体内) 球面外,方向沿径向,相当于把qg放在球心处的点电荷) 电场强度不连续,在球面R处发生突变 ②均匀带电球体的场强: 4丌ER3 (球体内) (球体外) 方向均沿径向,电场强度的分布为连续分布,球体外同①
①式中 E 为S内、S外的电荷共同产生的，而 S E E dS 只和S内的电荷有关，即 要区分 E 和 E 通量两个不同概念． ②若 0 1 i n i q ，表示S内电荷代数和为零，并不是S内无电荷，由 0 1 i n i q 可得到 0 S E dS 但不能得到空间 E =0，如图8-6． ③高斯定理说明静电场是有源场，电荷为其电场线的 源． ⑶应用：虽然理论上由点电荷场强公式和场强叠加原 理可求任意电荷分布的电场强度，但数学运算比较繁，而对于一些电荷对称分布的情况 由高斯定理可简单求出．一些典型电荷分布的场强可由高斯定理求出，结论如下： ①均匀带电球面的场强： ( ). 4 0 ( ). 2 0 球面外，方向沿径向，相当于把 放在球心处的点电荷 球体内 q r E q 电场强度不连续，在球面R处发生突变． ②均匀带电球体的场强： ( ). 4 ( ). 4 2 0 3 0 球体外 球体内 r q R qr E 方向均沿径向，电场强度的分布为连续分布，球体外同①． E1 E2 q q E 图 8-6
③无限长均匀带电直线(电荷线密度为A)的场强: ,方向沿径向 ④无限长均匀带电圆柱面(电荷线密度为2)的场强 (圆柱面内) E (圆柱面外,方向沿径向) 电场强度的分布为不连续分布,圆柱面外同③. ⑤无限长均匀带电圆柱体(电荷线密度为A)的场强 (圆柱体内 2TE R E (圆柱体外) [2TEor 方向沿径向、电场强度的分布为连续分布,圆柱体外同③,④. ⑥无限大均匀带电平面(电荷面密度为a)的场强: 方向垂直于带电平板,为匀强电场 (⑦)虽然有些电荷分布不具有对称性,但我们可以由高斯定理的结论及场强叠加原理 算出电场强度.具体例子见74典型题剖析 4.电势 1)静电场力做功的特点
③无限长均匀带电直线（电荷线密度为 ）的场强： r E 2 0 ，方向沿径向． ④无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为 ）的场强： 电场强度的分布为不连续分布，圆柱面外同③． ⑤无限长均匀带电圆柱体（电荷线密度为 ）的场强： 方向沿径向、电场强度的分布为连续分布，圆柱体外同③，④． ⑥无限大均匀带电平面（电荷面密度为 ）的场强： 2 0 E ． 方向垂直于带电平板，为匀强电场． ⑺虽然有些电荷分布不具有对称性，但我们可以由高斯定理的结论及场强叠加原理 ，算出电场强度．具体例子见7.4典型题剖析． 4． 电势 1)静电场力做功的特点 ( , ). 2 0 ( ). 2 0 圆柱面外 方向沿径向 圆柱面内 r E ( ). 2 ( ). 2 0 2 0 圆柱体外 圆柱体内 r R r E
只和始末位置有关,与路径无关,所以静电场为保守场,静电场力为保守力 2)静电场的环路定理 在静电场中,电场强度沿任一闭合路径的线积分恒为零: E1·dl=0 (8-10) 它是静电场力做功和路径无关及电力线不闭合的数学表述 3)电势能 因为静电场是保守场、静电场力是保守力,所以可以引出电势能的概念: A=q0Ed=-△W=(W6-H) 电势能是个相对的量.若电荷分布有限,则令W=0,b→∞.则 qo 电荷φ在电场中某点a的电势能,在数值上等于把电荷从该点沿任意路径移到无限远 处,静电力所作的功 4)电势 (1)定义:电场中某点的电势,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能.即 把单位正电荷从该点沿任意路径移到电势能零点,电场力所作的功: (8-13) (2)电势差:空间任意两点之间的电势之差 Um=V-V=Ed-「Ed=[E:d (8-14) 与零点选择无关
只和始末位置有关，与路径无关，所以静电场为保守场，静电场力为保守力． 2)静电场的环路定理 在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的线积分恒为零： 0 L L E dl （8-10） 它是静电场力做功和路径无关及电力线不闭合的数学表述． 3)电势能 因为静电场是保守场、静电场力是保守力，所以可以引出电势能的概念： ( ) 0 b a ab W Wb Wa A q E dl 电势能是个相对的量．若电荷分布有限，则令 W 0，b ．则 a W q E dl 0 （8-12） 电荷q0在电场中某点a的电势能，在数值上等于把电荷从该点沿任意路径移到无限远 处，静电力所作的功． 4)电势 ⑴定义：电场中某点的电势，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能．即 把单位正电荷从该点沿任意路径移到电势能零点，电场力所作的功： a a a E dl q W V 0 （8-13） ⑵电势差：空间任意两点之间的电势之差． a b a b ab a b U V V E dl E dl E dl ， （8-14） 与零点选择无关．
这样,静电场力做功即可以用E也可以用U出来表示 (8-15) Uob =go(a-vb (3)电势的计算 ①点电荷: q 图8-7 d= E·d E·d d (8-16) 4 jq>0时,V。>0,V。=0为空间电势最低点 q<0时,V<0,Vn=0为空间电势最高点 ②点电荷系: .=Ed(E+E+…+E)d=m=∑ (8-17) q到a点的距离.这就是电势的叠加原理 ③电荷连续分布:如图8-8 dq (8-18) 图8-8 此处积分是标量积分,不像求E时是矢量积分,所 以这里计算时比较方便简单 5计算电势的两种方法 计算电势一种方法是根据电势的叠加原理(8-17)、(8-18)来计算,(8-17)中V只
这样，静电场力做功即可以用E也可以用Uab来表示： 0 ). 0 ( , o ab a b b a ab q U q V V q E dl A （8-15） ⑶电势的计算： ①点电荷： a a dl d r a a r q dr r q V E dl E dr 0 2 0 4 4 （8-16） q V V 。 q V V 。 a a 时， ， 为空间电势最高点 时， ， 为空间电势最低点 0 0 0 0 0 0 ②点电荷系： a n i i i n i n ai a a r q V E dl E E E dl V 1 1 0 1 2 4 ( ) （8-17） ri：qi到a点的距离．这就是电势的叠加原理． ③电荷连续分布：如图8-8． r dq dVa 4 0 ， r dq Va dVa 4 0 （8-18） 此处积分是标量积分，不像求 E 时是矢量积分，所 以这里计算时比较方便简单． 5)计算电势的两种方法： 计算电势一种方法是根据电势的叠加原理（8-17）、（8-18）来计算，（8-17）中 Vai 只 q r a 图 8-7 q r q dq 图 8-8
要是已知带电体产生的电势即可,不一定非要是点电荷产生的电势 另一种方法是根据定义式(8-13)来计算,这时空间E必须已知,然后选取适当的 积分路径.一般就选项E的方向作为积分路径,如从a到无穷远积分时,E的表达式分段 不同,必须分段积分 5.电场强度和电势梯度的关系 1)等势面 (1)定义:电势相等的点组成的面.如点电荷(V=9)的等势面是同心球面 (2)电场线与等势面处处正交且电场线指向电势降低的方向.两性质可由(8-15)来证 明 (3)等势面的画法:相邻等势面电势差相等.这样等势面密处,场强大;等势面疏处 ,场强小 电场强度和电势梯度的关系 E·d (1)积分关系: lu sV, -=rE-d. (2)微分关系: E=-gradk (8-19) 上式在任一a方向上的分量的大小为: d 在直角坐标系中可写成
要是已知带电体产生的电势即可，不一定非要是点电荷产生的电势． 另一种方法是根据定义式（8-13）来计算，这时空间 E 必须已知，然后选取适当的 积分路径．一般就选项 E 的方向作为积分路径，如从a到无穷远积分时， E 的表达式分段 不同，必须分段积分． 5．电场强度和电势梯度的关系 1)等势面 ⑴定义：电势相等的点组成的面．如点电荷（ r q Va 4 0 ）的等势面是同心球面． ⑵电场线与等势面处处正交且电场线指向电势降低的方向．两性质可由（8-15）来证 明． ⑶等势面的画法：相邻等势面电势差相等．这样等势面密处，场强大；等势面疏处 ，场强小． 2)电场强度和电势梯度的关系 ⑴积分关系： b a ab a b a a U V V E dl V E dl . , ⑵微分关系： E gradV （8-19） 上式在任一 dl 方向上的分量的大小为： dl dV El 在直角坐标系中可写成：
E=E i+E,j+Ek=_av- avaI ar ay/+ak) (8-20 如果我们知道空间的电势分布xy),(可由标量积分求得),则求偏导数后求得空 间E.这比直接用矢量积分求场强在数学上要简单 6.带电粒子在静电场中的运动 1)电偶极子在静电场中所受的作用及其运动情况 (1)电偶极子在静电场中所受的作用及其运动情况 如图89,所受合力为零,电偶极子不会产生平动:所受力矩M=pxE(p称为电 偶极矩,p=q,r从q指向+q),使得p转向E的方向,直到p和E的方向一致时( θ=0),力矩等于零而平衡 F Pe/ME F F E q 图8-9 图8-10 (2)非匀强电场 如图810,所受合力F=F+E1=p.E1=E2指向E较强的方向,产生平动:同时, r 所受力矩M≈p×E,发生转动 2)带电粒子在匀强电场所受的作用及其运动情况 (D)va∥/E: 带电粒子的加速度a=F=里E,为匀加速直线运动,所以y2-y3=20s=2.9Es
( k ) z V j y V i x V E E i E j E k x y z ． （8-20） 如果我们知道空间的电势分布V(x,y,z)，（可由标量积分求得），则求偏导数后求得空 间 E ．这比直接用矢量积分求场强在数学上要简单． 6．带电粒子在静电场中的运动 1)电偶极子在静电场中所受的作用及其运动情况 ⑴电偶极子在静电场中所受的作用及其运动情况 如图8-9，所受合力为零，电偶极子不会产生平动；所受力矩 M pe E （ pe 称为电 偶极矩， e e p qr ， e r 从-q指向+q），使得 pe 转向 E 的方向，直到 pe 和 E 的方向一致时（ 0 ），力矩等于零而平衡． ⑵非匀强电场： 如图8-10，所受合力 e e r E E F F F p 1 2 1 2 指向 E 较强的方向，产生平动；同时， 所受力矩 M pe E ，发生转动． 2)带电粒子在匀强电场所受的作用及其运动情况 ⑴ v E // 0 ： 带电粒子的加速度 m qE m F a ，为匀加速直线运动，所以 s m qE v v 2as 2 2 0 2 ， F1 pe F2 M q q E 图 8-9 F1 pe F2 M q q E E2 E1 图 8-10