鱼点难点指导 第十四章波动学基础 1.机械波的产生与传播 生机械波应具备两个条件:一个是有能引起波动的振动物体,称为波源;另一个 就是有能传播机械振动的弹性介质。在振动传播过程中,介质质元只是在其平衡位置附 近作振动,并不随波移动,波传播的只是振动状态(相位)。 介质质元的振动方向与波的传播方向是两个不同的概念,两者方向不一定一致。若 介质的振动方向与波的传播方向一致,称为纵波:若介质的振动方向与波的传播方向垂 直,则为横波 还可以按照波面的形状将波分为平面波和球面波。波面是指在波的传播过程中,同 时刻波传播到各点所连成的曲面。同一波面上所有质点的振动状态(相位)相同,所 以波面又称为同相面。最前面的那个波面称为波前。波的传播方向称为波线,在各向同 性介质中,波线总是与波面垂直。 2.描述机械波的物理量 1)波长 波线上振动状态完全相同的两个相邻质元之间的距离称为波长,波长反映了波在传 播过程中的空间周期性。 2)频率ν和周期T 波向前推进一个波长所需的时间称为波的周期,以T表示。周期反映了波的时间周
重点难点指导 第十四章 波动学基础 1．机械波的产生与传播 产生机械波应具备两个条件：一个是有能引起波动的振动物体，称为波源；另一个 就是有能传播机械振动的弹性介质。在振动传播过程中，介质质元只是在其平衡位置附 近作振动，并不随波移动，波传播的只是振动状态（相位）。 介质质元的振动方向与波的传播方向是两个不同的概念，两者方向不一定一致。若 介质的振动方向与波的传播方向一致，称为纵波；若介质的振动方向与波的传播方向垂 直，则为横波。 还可以按照波面的形状将波分为平面波和球面波。波面是指在波的传播过程中，同 一时刻波传播到各点所连成的曲面。同一波面上所有质点的振动状态（相位）相同，所 以波面又称为同相面。最前面的那个波面称为波前。波的传播方向称为波线，在各向同 性介质中，波线总是与波面垂直。 2．描述机械波的物理量 1）波长 波线上振动状态完全相同的两个相邻质元之间的距离称为波长，波长反映了波在传 播过程中的空间周期性。 2）频率 v 和周期 T 波向前推进一个波长所需的时间称为波的周期，以 T 表示。周期反映了波的时间周
期性,波的周期等于波源的振动周期。 周期的倒数称为波的频率,以ν表示。波的频率等于波源振动的频率。 振动频率(或周期)是由振动系统(波源)固有的性质决定的。所以波的频率(或 周期)也是由振源性质决定的,与传播波的介质的性质无关。 )波速u 某一振动状态(相位)在单位时间内传播的距离称为波速,以u表示。波速又称相 速。介质中质元的振动速度与波速是两个完全不同的概念。波速只与介质的性质有关, 同一频率的波在不同的介质中传播时,其波长和波速是不同的。 个周期内,振动状态在波线上传播的一个波长的距离,故有: 3.平面简谐波的波动方程 最简单、最基本的波是波面为平面的简谐波,称平面简谐波。任何一种复杂波都可 以是若干平面简谐波的叠加。 设一平面简谐波,在无吸收、均匀、无限大的介质中,沿x轴正方向传播,波速为u 将介质中各质元在波线上的位置用x表示,质无相对于其平衡位置的位移用y表示,则 波动方程为 Acos[o(t--)+o] (2) 若波沿x轴负向传播,则波动方程为 y=Acos[o(t+-)+I
期性，波的周期等于波源的振动周期。 周期的倒数称为波的频率，以 v 表示。波的频率等于波源振动的频率。 振动频率（或周期）是由振动系统（波源）固有的性质决定的。所以波的频率（或 周期）也是由振源性质决定的，与传播波的介质的性质无关。 3）波速 u 某一振动状态（相位）在单位时间内传播的距离称为波速，以 u 表示。波速又称相 速。介质中质元的振动速度与波速是两个完全不同的概念。波速只与介质的性质有关， 同一频率的波在不同的介质中传播时，其波长和波速是不同的。 一个周期内，振动状态在波线上传播的一个波长的距离，故有： v T u 。 (1) 3． 平面简谐波的波动方程 最简单、最基本的波是波面为平面的简谐波，称平面简谐波。任何一种复杂波都可 以是若干平面简谐波的叠加。 设一平面简谐波，在无吸收、均匀、无限大的介质中，沿 x 轴正方向传播，波速为 u。 将介质中各质元在波线上的位置用 x 表示，质无相对于其平衡位置的位移用 y 表示，则 波动方程为 cos[ ( ) ] 0 u x y A t , (2) 若波沿 x 轴负向传播，则波动方程为： cos[ ( ) ] 0 u x y A t＋ ， (3)
式中A是振幅,O是角频率,φ0是原点O的振动初相位。 1)波动方程的建立 分析:图1为t0时刻的波形图。以O为坐标原点,B为x轴上的一个质点。设t时 刻O点的振动状态经过△时间后传到B点,如图2所示,M==B,即B点振动状态 落后于O点,t=10+M时刻B点的振动状态与1时刻O点的相同。 =l+ 图 第一步:写出O点的振动方程 yo=Acos(ot+Po) 第二步:写出离O点xB处质点B的振动方程 yB=AcosO(t--)+Po 第三步:考虑x轴上任一质点,则y表示任一质点离开平衡位置的位移,去掉yB的 下标B,并以x代替xB,就得到所要建立的沿x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程 yB=Acos[o(t-2)+Po] 2)波动方程的物理意义 波动方程中的位移y是时间t和空间x的函数,即y=y(tx)
式中 A 是振幅， 是角频率， 0 是原点 O 的振动初相位。 1)波动方程的建立 分析：图 1 为 t0 时刻的波形图。以 O 为坐标原点，B 为 x 轴上的一个质点。设 t0时 刻 O 点的振动状态经过 t 时间后传到 B 点，如图 2 所示， u x t B ，即 B 点振动状态 落后于 O 点， t t t 0 时刻 B 点的振动状态与 t0 时刻 O 点的相同。 第一步：写出 O 点的振动方程 cos( ) 0 0 y A t (4) 第二步：写出离 O 点 xB 处质点 B 的振动方程 cos[ ( ) ] 0 u x y A t B B (5) 第三步：考虑 x 轴上任一质点，则 y 表示任一质点离开平衡位置的位移，去掉 yB的 下标 B，并以 x 代替 xB，就得到所要建立的沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程 cos[ ( ) ] 0 u x y A t B B (6) 2）波动方程的物理意义 波动方程中的位移 y 是时间 t 和空间 x 的函数，即 y=y(t,x) y O B x u B t t t 0 图 2 x y O x u B 0 t 图 1
(1)当x不变时,波动方程变成该坐标处质点的振动方程 (2)当t不变时,方程表示某一时刻媒质中各质点离开各自平衡位置的位移分布情况, 即某一时刻的波形曲线; (3)当Lx都在变时,方程表示了波线上各质点在不同时刻的位移分布,体现了行波的 特点。 3)平面波的微分方程 1a2 波动过程中的能量传播 机械波是振动状态的传播,而一定的振动状态对应于一定的能量,所以振动状态的 传播必然伴随着能量的传播。 波的能量即为介质的动能和势能之和。介质中任一体积元dV所具有的能量为 dE =dEk +de,= AdvA'o-sin @(t--) 其中dE和dE分别为体积元d的动能和势能 in o(t-), 质元的总能量随时间作周期性变化,说明该质元和邻近质元之间在不断交换能量。 由于波的能量伴同波的传播,宛若能量在不断地流动着,故又称能流。波的能量常 用能量密度来计算,能量密度是波传播时介质单位体积内的总能量,以w表示,即为 de 波的能量传播常用平均能流密度(也称波的强度)来描述,平均能流密度指通过垂
(1)当 x 不变时，波动方程变成该坐标处质点的振动方程； (2)当 t 不变时，方程表示某一时刻媒质中各质点离开各自平衡位置的位移分布情况， 即某一时刻的波形曲线； (3)当 t,x 都在变时，方程表示了波线上各质点在不同时刻的位移分布，体现了行波的 特点。 3）平面波的微分方程 2 2 2 2 2 1 t y x u y (7) 4． 波动过程中的能量传播 机械波是振动状态的传播，而一定的振动状态对应于一定的能量，所以振动状态的 传播必然伴随着能量的传播。 波的能量即为介质的动能和势能之和。介质中任一体积元 dV 所具有的能量为： sin ( ), 2 2 2 u x dE dE dE dVA t K p (8) 其中 dEk 和 dEp 分别为体积元 dV 的动能和势能。 sin ( ), 2 1 2 2 2 u x dE dE dVA t k p (9) 质元的总能量随时间作周期性变化，说明该质元和邻近质元之间在不断交换能量。 由于波的能量伴同波的传播，宛若能量在不断地流动着，故又称能流。波的能量常 用能量密度来计算，能量密度是波传播时介质单位体积内的总能量，以 w 表示，即为 sin ( ), 2 2 2 u x A t dV dE w (10) 波的能量传播常用平均能流密度（也称波的强度）来描述，平均能流密度指通过垂
直于波线上的单位面积的平均能流,以I表示 (11) 5.波的相干叠加 1)波的叠加原理 数列波同时在介质中传播时,各自将保持原有的振幅、波长、振动方向等特征互不 相干地独立向前传播而激发介质质元振动,即介质中各质元的振动是各列波单独存在时 所激发振动的合振动,即为波的叠加原理。它是波动所遵循的基本规律。 2)波的干涉现象 相干波条件:频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定。 满足相干条件的两列波称为相干波,其波源称为相干波源。两列相干波在空间相遇 叠加时,将使空间某些地方振动始终加强,某些地方振动始终减弱,产生波的干涉现象。 干涉现象是波动的重要特征之 干涉加强和减弱的条件: △=(q2-91)+(1-n2), (12) △q=±2k丌k=0,1,2,干涉加强; (13) △q=±(2k+1)xk=0,1,2,干涉减弱。 (14) 驻波 振源在无界介质中激发的波是行波,行波由于能量的传播,使波形不断前进。但实 际上介质总是有一定范围的,当入射波到达介质的界面上时要发生波的反射和透射,反
直于波线上的单位面积的平均能流，以 I 表示 2 2 2 1 I uA 。 (11) 5．波的相干叠加 1）波的叠加原理 数列波同时在介质中传播时，各自将保持原有的振幅、波长、振动方向等特征互不 相干地独立向前传播而激发介质质元振动，即介质中各质元的振动是各列波单独存在时 所激发振动的合振动，即为波的叠加原理。它是波动所遵循的基本规律。 2）波的干涉现象 相干波条件：频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定。 满足相干条件的两列波称为相干波，其波源称为相干波源。两列相干波在空间相遇 叠加时，将使空间某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减弱，产生波的干涉现象。 干涉现象是波动的重要特征之一。 干涉加强和减弱的条件： ( ) 2 ) 2 1 1 2 r r ＝（ ， (12) ＝ 2k k=0,1,2,…干涉加强； (13) ＝（2k＋1) k=0,1,2,…干涉减弱。 (14) 6．驻波 振源在无界介质中激发的波是行波，行波由于能量的传播，使波形不断前进。但实 际上介质总是有一定范围的，当入射波到达介质的界面上时要发生波的反射和透射，反
射波和入射波干涉形成驻波,因此在有界介质中激发的是驻波。驻波是波动干涉的特例 1)驻波的形成 沿相反方向传播的两列等幅相干波叠加而成。 2)驻波的表达式 y=Acoso(t--)+Acos o(t +-)=2 Acos 2T. cos@t (15) 3)驻波的特征 (1)介质各点的振幅: 即驻波的振幅随x作空间周期性变化,但不随时间而变。 波腹坐标 k (17) 波节坐标: b=(+1 (2)介质各点的相位 相邻波节点间各质点同相位;一个波节点两侧各质点反相位 (3)驻波的能量 势能集中在波节附近,动能集中在波腹附近,动能、势能不断来回转换,平均能流 为零 7.多普勒效应
射波和入射波干涉形成驻波，因此在有界介质中激发的是驻波。驻波是波动干涉的特例。 1) 驻波的形成 沿相反方向传播的两列等幅相干波叠加而成。 2) 驻波的表达式 t x A u x A t u x y A t cos( ) cos( ) 2 cos2 cos (15) 3) 驻波的特征 (1)介质各点的振幅： x A合 ＝2Acos 2 ， (16) 即驻波的振幅随 x 作空间周期性变化，但不随时间而变。 波腹坐标： 2 x腹 k 。 (17) 波节坐标： 2 ) 2 1 ( x节 k (18) (2) 介质各点的相位： 相邻波节点间各质点同相位；一个波节点两侧各质点反相位。 (3) 驻波的能量： 势能集中在波节附近，动能集中在波腹附近，动能、势能不断来回转换，平均能流 为零。 7．多普勒效应
当波源或接收器相对于介质运动时,接收器所接收到的频率不同于波源的振动频率, 这种现象称为多普勒效应。考虑波源和接收器在同一直线上运动,有 (19) l4-1 其中,v为接收器接收到的频率,vs为波源的振动频率,vR为接收器运动的速度 vs为波源的运动速度。波速u恒为正值,当波源S和接收器R相向运动(彼此靠近)时 vs>0,v>0;相背运动(彼此远离)时,vs<0,vx<0。 8.电磁波的性质 (1)电磁波是横波 (2)电矢量和磁矢量垂直,即E⊥H (3)E和H同相变化(相位关系)。 (4)E和H的瞬时数值满足 E=√H (5)电磁波的传播速度 (真空中c= (6)电磁波的强度(波印廷矢量) E×H
当波源或接收器相对于介质运动时，接收器所接收到的频率不同于波源的振动频率， 这种现象称为多普勒效应。考虑波源和接收器在同一直线上运动，有 s s R v u v u v vR ， (19) 其中，vR 为接收器接收到的频率，vS 为波源的振动频率，vR 为接收器运动的速度， vS 为波源的运动速度。波速 u 恒为正值，当波源 S 和接收器 R 相向运动（彼此靠近）时， vS>0, vR>0；相背运动（彼此远离）时，vS<0, vR<0。 8． 电磁波的性质 (1) 电磁波是横波。 (2) 电矢量和磁矢量垂直，即 E H 。 (3) E 和 H 同相变化（相位关系）。 (4) E 和 H 的瞬时数值满足 E＝ H (20) (5) 电磁波的传播速度： 1 u （真空中 0 0 1 c ）。 (21) (6) 电磁波的强度（波印廷矢量）： S E H 。 (22)