奥团题剖彻 第十五章光的衍射 1.基本思路 计算光的衍射问题,衍射角是一个很重要的概念。利用半波带法分析夫琅和费单缝衍射,明确单缝衍 射明暗纹的形成条件,明确公式及其中各个符号的物理意义是基础和关键。光栅衍射是单缝衍射与缝间干 涉的总效果,出现明纹的条件是相邻两缝发出的光束的光程差满足波长的整数倍,光栅方程的具体形式应 根据具体问题具体分析,一般当入射光垂直入射时,光栅方程:(a+b)snO=k,中央主明纹对应于k 0;另外衍射光谱线的数目与两个因素有关:光栅方程的限制及缺级现象。本章的基本题型主要涉及单缝 衍射问题、光栅方程的应用、光栅的缺级问题、光栅光谱的重叠问题、光学仪器分辨率问题等 2.例题剖析 例1用橙黄光(A=600mm~650m)平行垂直地照射到缝宽为a=0.6mm的单缝上,缝后放置 焦距∫=40cm的透镜。如屏幕上离中央明纹中心处为14mm处的P点为第三级明纹。求(1)入射光的 波长;(2)从P点盾,单缝处波阵面被分成多少个半波带:(3)中央明纹的宽度;(4)第一级明纹所对应 的衍射角;(5)如另有一波长为4286nm的光一同入射,能否和600nm的光的明纹重叠?如果重叠,它们 各是第几级? 分析半波带法分析单缝衍射,对于衍射角θ,如果单缝恰能被分成奇数个半波带,即 asm=(2k+1)2,则此方向上所有的子波线在屏幕上相互叠加,将出现光强极大,即明纹,当缝宽a 定时,入射光波长较大的,相同级次衍射明纹的衍射角也越大,不同波长不同级次的衍射纹的角位置相 同时,即(2k1+1)1=(2k2+1)2,A的k级明纹与的k2级明纹将发生重叠 解(1)由明纹条件amO=(2k+1以及衍射装置上的几何关系tnp=x,考虑到角很小,则 可得入射光的波长为
典型例题剖析 第十五章 光的衍射 1．基本思路 计算光的衍射问题，衍射角是一个很重要的概念。利用半波带法分析夫琅和费单缝衍射，明确单缝衍 射明暗纹的形成条件，明确公式及其中各个符号的物理意义是基础和关键。光栅衍射是单缝衍射与缝间干 涉的总效果，出现明纹的条件是相邻两缝发出的光束的光程差满足波长的整数倍，光栅方程的具体形式应 根据具体问题具体分析，一般当入射光垂直入射时，光栅方程： (a b)sin k ，中央主明纹对应于 k =0；另外衍射光谱线的数目与两个因素有关：光栅方程的限制及缺级现象。本章的基本题型主要涉及单缝 衍射问题、光栅方程的应用、光栅的缺级问题、光栅光谱的重叠问题、光学仪器分辨率问题等。 2． 例题剖析 例 1 用橙黄光（ 600nm ~ 650nm ）平行垂直地照射到缝宽为 a=0.6mm 的单缝上，缝后放置一 焦距 f 40cm 的透镜。如屏幕上离中央明纹中心处为 1.4mm 处的 P 点为第三级明纹。求（1）入射光的 波长；（2）从 P 点盾，单缝处波阵面被分成多少个半波带；（3）中央明纹的宽度；（4）第一级明纹所对应 的衍射角；（5）如另有一波长为 428.6nm 的光一同入射，能否和 600nm 的光的明纹重叠？如果重叠，它们 各是第几级？ 分析 半波带法分析单缝衍射，对于衍射角 ，如果单缝恰能被分成奇数个半波带，即 2 sin (2 1) a k ，则此方向上所有的子波线在屏幕上相互叠加，将出现光强极大，即明纹，当缝宽 a 一定时，入射光波长较大的，相同级次衍射明纹的衍射角也越大，不同波长不同级次的衍射纹的角位置相 同时，即 1 1 2 2 (2k 1) (2k 1) ，1 的 1 k 级明纹与 2 的 2 k 级明纹将发生重叠。 解 (1)由明纹条件 2 sin (2 1) a k 以及衍射装置上的几何关系 f x tan ，考虑到 角很小，则 可得入射光的波长为
2ax (2k+1)f 将k=3a=0.60×10-3m,x=14x10-3,f=40×10-2m代入上式得 =600mm (2)从P点看,单缝处波阵面被分成的半波带数目为 2k+1=2×3+1=7 (3)中央明纹宽度为 2×600×10-9 Ab=f=40×102×060×10-3-=08mm (4)第一级明纹对应的衍射角q1满足 33×600×10 =1.5×10-3rad 22×0.60×10 (5)1=600m的k级明纹和2=4286mm的k2级明纹若能重叠,则其衍射角应该相等,即 asin( =(2K,+1), (2k2+1) (2k+1)2=(2k2+1)2 由此得 2k+1_2_42 2k2+1x160007 k2+1=7得k1=2k2=3 可知,波长为600nm光的第二级明纹可与波长为4286nm光的第三级明纹重叠。 例2一束直径为2mm的激光東(波长设为630nm)自地球发向月球(如图5)。设地球和月球相隔3. 8×108m,问(1)月球上得到的光斑多大?如将该激光扩成2m和5m的光束再发向月球,将得到多大的
k f ax (2 1) 2 。 将 k a m x f m 3 3 2 3, 0.60 10 , 1.4 10 , 40 10 代入上式得 600nm. (2)从 P 点看，单缝处波阵面被分成的半波带数目为 2k 1 231 7 。 (3)中央明纹宽度为 0.8 . 0.60 10 2 600 10 40 10 2 3 9 2 0 mm a x f (4)第一级明纹对应的衍射角 1 满足 2 sin (2 1 1) 1 a ， rad 3 3 9 1 1.5 10 2 0.60 10 3 600 10 2 3 (5) 1 600 1 nm的k 级明纹和 2 6 2 428. nm的k 级明纹若能重叠，则其衍射角应该相等，即： 2 sin (2 1) 1 1 a k ， 2 sin (2 1) 2 2 a k ， 2 (2 1) 2 (2 1) 2 2 1 1 k k ， 由此得 7 5 6000 4286 2 1 2 1 1 2 2 1 k k 。 故 2k1 1 5,2k2 1 7,得k1 2,k2 3。 可知，波长为 600nm 光的第二级明纹可与波长为 428.6nm 光的第三级明纹重叠。 例 2 一束直径为 2mm 的激光束（波长设为 630nm）自地球发向月球（如图 5）。设地球和月球相隔 3. 8 m 8 10 ，问（1）月球上得到的光斑多大？如将该激光扩成 2m 和 5m 的光束再发向月球，将得到多大的
光斑:(2)当D增大时,d是增大还是减小?如果D不断增大,d能否小于D? 分析激光束通过直径为D的窗口射出,将发生衍射,因地、月的距离R较大,可近似看作夫琅和 费圆孔衍射,月面(可近似看作平面)上的衍射光斑的半径对地面上光束中心的夹角△O即为圆孔衍射的 中央主极大的半角宽度,即爱里斑的角半径,也就是圆孔几何光学仪器的最小分辨角。 解圆孔几何光学仪器的最小分辨角为:日0=1.22,当日较小 时,光斑半径为 △e R 图5 将不同数据代入,即可求得 D=2mm d1=146×10°m D2 d,=1.46×10 d,=58m (2)从以上数据可见当D增大时,d不断减小。不过当A/D趋于零时,△趋于零,即光束沿着原方 向前进,不散开,这时候可以不考虑衍射效应,几何光学中的直线传播定律成立。因此在极限情况下,d 只能等于D,不可能小于D。 例3波长600nm的单色光垂直入射光栅后,其第二、三级明纹分别出现在2= arcsin0.20和 3= arcsin0.30的方向上,第四级缺级,问(1)光栅常数?(2)光栅上狭缝的最小宽度有多大?(3) 该光栅实际能呈现哪些级次的条纹? 分析光栅实际能呈现的条纹的级次与两个因素有关:光栅方程的限制及缺级现象。 解(1)由光栅方程(a+b)sin4=k,有 (a+b)sn62=2×6.0×10-, (a+b)sin63=3×60×10- 由此得光栅常数为 a+b=60×10°m
光斑：（2）当 D 增大时，d 是增大还是减小？如果 D 不断增大，d 能否小于 D? 分析 激光束通过直径为 D 的窗口射出，将发生衍射，因地、月的距离 R 较大，可近似看作夫琅和 费圆孔衍射，月面（可近似看作平面）上的衍射光斑的半径对地面上光束中心的夹角 即为圆孔衍射的 中央主极大的半角宽度，即爱里斑的角半径，也就是圆孔几何光学仪器的最小分辨角。 解 圆孔几何光学仪器的最小分辨角为： D 0 1.22 ，当 0 较小 时，光斑半径为： D R d R 0 1.22 ， 将不同数据代入，即可求得： D mm d m 5 1 2 , 1 1.4610 ， D m d m 2 2 2 , 2 1.4610 ， D3 5m, d3 58m。 (2)从以上数据可见当 D 增大时，d 不断减小。不过当 / D 趋于零时， 趋于零，即光束沿着原方 向前进，不散开，这时候可以不考虑衍射效应，几何光学中的直线传播定律成立。因此在极限情况下，d 只能等于 D，不可能小于 D。 例 3 波长 600nm 的单色光垂直入射光栅后，其第二、三级明纹分别出现在 2 arcsin 0.20 和 3 arcsin 0.30 的方向上，第四级缺级，问（1）光栅常数？（2）光栅上狭缝的最小宽度有多大？（3） 该光栅实际能呈现哪些级次的条纹？ 分析 光栅实际能呈现的条纹的级次与两个因素有关：光栅方程的限制及缺级现象。 解 （1）由光栅方程 (a b)sin k k ，有 7 ( )sin 2 2 6.0 10 a b ， 7 ( )sin 3 3 6.0 10 a b 。 由此得光栅常数为 a b m 6 6.0 10 。 D 2d R 图 5
(2)由于第四级缺级,说明第四级干涉明纹恰好落在单缝衍射的暗纹上,根据 a+b k a+ 取狭缝的最小宽度,则k′=1,由此求得狭缝的最小宽度a=1.5×10°m。 (3)由光栅方程得 (a+b)sin 8 光栅可能出现的最高级次条纹将位于sinO=1=z方向上,于是得 k=a+b=60×10~=10 6.0×10- 所以该光栅所能呈现的全部主明纹级次为k=0,±1,±2,±3,+5,+6,±7,±9。其所缺级次为±4,±8:而第 10级条纹,因对应于b=90°,实际上观察不到。 例4波长为500nm的单色光,垂直入射到光栅上,(1)如果要求第一级谱线的衍射角为30°,问光 栅每毫米应刻几条线?(2)如果单色光不纯,波长在0.5%范围内变化,则相应的衍射角变化范围△b如 何?(3)如果光栅上下移动而光源保持不动衍射θ有何变化? 解(1)根据光栅方程 (a+b)sin 0=n a+b=2 500×10-9 =10 insn30° (2)对光栅方程两边取微分 (a+b)cosO△=△ 0.5%×500×10-9 A6 (a+b)cosB1-10x×cos30°-=289×107ad, 即波长在05%范围内变化,相应的衍射角变化范围△约287×10-3rad
(2)由于第四级缺级，说明第四级干涉明纹恰好落在单缝衍射的暗纹上，根据 k k a a b ， 现知 k=4，故 k a b a 4 。 取狭缝的最小宽度，则 k 1 ，由此求得狭缝的最小宽度 a m 6 1.5 10 。 (3)由光栅方程得 (a b)sin k ， 光栅可能出现的最高级次条纹将位于 2 sin 1, 方向上，于是得 10 6.0 10 6.0 10 7 6 a b k 。 所以该光栅所能呈现的全部主明纹级次为 k=0, 1,2,3,5,6,7,9 。其所缺级次为 4,8 ；而第 10 级条纹，因对应于 90 ，实际上观察不到。 例 4 波长为 500nm 的单色光，垂直入射到光栅上，（1）如果要求第一级谱线的衍射角为 30º，问光 栅每毫米应刻几条线？（2）如果单色光不纯，波长在 0.5%范围内变化，则相应的衍射角变化范围 如 何？（3）如果光栅上下移动而光源保持不动衍射 有何变化？ 解 (1)根据光栅方程 (a b)sin1 , a b m 6 9 1 10 sin 30 500 10 sin . (2)对光栅方程两边取微分 (a b)cos1 , rad a b 3 6 9 1 2.89 10 10 cos30 0.5% 500 10 ( ) cos , 即波长在 0.5%范围内变化，相应的衍射角变化范围 约 rad 3 2.87 10
(3)光源不动,光栅上下移动,根据几何光学成像规律,此时入射平行光仍应会聚于焦点上,中央主明 纹以及各级衍射明纹的角位置,即衍射角θ保持不变。 例5在比较两条单色Ⅹ射线的谱线时发现:谱线A与一晶体的表面成30°掠射角处,出现第一级反 射极大。已知谱线B的波长为0.097nm,在与该晶面成60°掠射角处,出现第三级反射极大,试求谱线A 的波长及该晶面的晶格常数。 分析掠射角θ满足布喇格公式:2dsinθ=kλ时,晶面间散射射线相互加强出现极大值。 解由2dsnb=k,对波长A的谱线A,有: 对波长λ的谱线B,有: 2dsin60°=3λ 「解得: d 33×0.097×10 168×10-10m=0.168mm dsn60° A4=2dsn30°=0.168m
(3)光源不动，光栅上下移动，根据几何光学成像规律，此时入射平行光仍应会聚于焦点上，中央主明 纹以及各级衍射明纹的角位置，即衍射角 保持不变。 例 5 在比较两条单色 X 射线的谱线时发现：谱线 A 与一晶体的表面成 30º掠射角处，出现第一级反 射极大。已知谱线 B 的波长为 0.097nm，在与该晶面成 60º掠射角处，出现第三级反射极大，试求谱线 A 的波长及该晶面的晶格常数。 分析 掠射角 满足布喇格公式： 2d sin k 时，晶面间散射射线相互加强出现极大值。 解 由 2d sin k ，对波长 A 的谱线 A，有： d A 2 sin 30 ， 对波长 B 的谱线 B，有： d 60 3 B 2 sin ， 可解得： m nm d d B 1.68 10 0.168 2sin 60 3 0.097 10 2 sin 60 3 1 0 9 。 A 2d sin 30 0.168nm