第3章刚体力学 一般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动 在质点力学的讨论中,只研究了物体运动中最常见的一种一一平动其它的运动被作为 暂时的、次要的东西忽略了,结果物体被简化为质点在质点的平动问题解决以后,平动 退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有形状大小的物体在实践中我们 都知道物体在力的作用下形状和大小要发生变化例如:一块棉花原来形状设为正方 形现在用双手捏可以将它捏成圆形、长方形或其它形状也可以把它压得很小,放开使 它的体积又较大,总之在力的作用下使它的形状和大小发生了变化但是在有些问题中 这种变化很不明显,我们眼睛几乎发现不了例如:一张桌子,人们经常爬在上边写字,但 在短时间我们并没有发现它的形状和大小有明显的变化这时就可以将它的微小形变 忽略掉又将此物体简化为一种理想的模型一一刚体所谓刚体,就是在外力作用下, 形状和大小都不改变的物体也就是说刚体内各质点之间的距离保持不变刚体的各部 分之间没有相对运动本章主要研究刚体的基本运动规律 §31刚体的运动 刚体的基本运动 平动 转动 复杂运动(平面运动、定点转动) 、刚体的平动和转动 平动刚体在运动过程中如果各个时刻刚体中任意一条直线始终保持彼此平行, 这种运动称为刚体的平动(也称为平行移动) 刚体平动过程中,其上各点运动轨迹的形状相同,且彼此平行;每一瞬时各点的速 度、加速度相等因此可用刚体上任意一点的运动 来描述平动刚体的运动 对上述结论可作如下解释如图3.1所示由刚 A 体的定义及刚体的平动的定义知矢量BA为常矢 量由于=+BA,说明A、B两点的轨迹彼此 平行而A、B两点是任意选定的所以在刚体的平 图31刚体的平动 动中,其上各点的轨迹形状相同且彼此平行,将 F=+BA两边对时间t求一阶导数得 (3.1)式对时间t再求一次导数得 du. du (3.2)
1 第 3 章 刚体力学 一般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动. 在质点力学的讨论中,只研究了物体运动中最常见的一种——平动,其它的运动被作为 暂时的、次要的东西忽略了,结果物体被简化为质点.在质点的平动问题解决以后,平动 退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有形状大小的物体.在实践中我们 都知道,物体在力的作用下形状和大小要发生变化.例如:一块棉花,原来形状设为正方 形,现在用双手捏可以将它捏成圆形、长方形或其它形状,也可以把它压得很小,放开使 它的体积又较大,总之在力的作用下使它的形状和大小发生了变化.但是在有些问题中, 这种变化很不明显,我们眼睛几乎发现不了.例如:一张桌子,人们经常爬在上边写字,但 在短时间,我们并没有发现它的形状和大小有明显的变化.这时就可以将它的微小形变 忽略掉,又将此物体简化为一种理想的模型 —— 刚体 .所谓刚体,就是在外力作用下, 形状和大小都不改变的物体.也就是说,刚体内各质点之间的距离保持不变,刚体的各部 分之间没有相对运动.本章主要研究刚体的基本运动规律. §3.1 刚体的运动 复杂运动(平面运动、定点转动) 转动 平动 刚体的基本运动 ⎯复合⎯→ 一、刚体的平动和转动 平动 刚体在运动过程中,如果各个时刻刚体中任意一条直线始终保持彼此平行, 这种运动称为刚体的平动(也称为平行移动). 刚体平动过程中,其上各点运动轨迹的形状相同,且彼此平行;每一瞬时各点的速 度、加速度相等.因此可用刚体上任意一点的运动 来描述平动刚体的运动. 对上述结论可作如下解释,如图 3.1 所示,由刚 体的定义及刚体的平动的定义知,矢量 BA 为常矢 量.由于 rA = rB + BA ，说明 A、B 两点的轨迹彼此 平行.而 A、B 两点是任意选定的,所以在刚体的平 动中,其上各点的轨迹形状相同且彼此平行,将 rA = rB + BA 两边对时间 t 求一阶导数得 A B A B dt dr dt dr = 即 = (3.1) (3.1)式对时间 t 再求一次导数得 A B A B a a dt d dt d = = 即 (3.2)
式(31)、(32)说明任一瞬时平动刚体上各点的速度加速度均相等 转动如果刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动就称这一运动为刚体转动此直 线称为转轴转轴固定于参考系(即转轴的位置和方向相对于参考系是固定的)的情况 称为定轴转动例如门窗、钟表指针、砂轮、电机轴子等的转动都属于定轴转动若转 轴上有一点静止于参考系而转轴的方向在变化这种转动称为定点转动例如气象雷达 天线的转动玩具陀螺的转动就属于定点转动 刚体的定轴转动是转动中基本而普遍的情况,也是本章的重点内容对于定点转动 只简单介绍陀螺的运动 二、刚体的定轴转动 描述刚体的运动首先要确定刚体的位置在定轴转动的情况下,转轴已固定,取垂 直于转轴的平面为转动平面如图3.2所示在此转动平面内取一坐标轴ax,这样就可以 对刚体转动作定量描述 1刚体角坐标和角位移 在转动平面内任选一点A,设A的位置矢量为r, 因其大小不变故其位置可用自x轴转至OA的角0 表示,此θ称为定轴转动刚体的角坐标规定自x轴 逆时针转向OA时0为正刚体定轴转动可用函数 图3.2刚体定轴转动 e=(1) (3.3) 描述,此即刚体绕定轴转动的运动学方程 绕定轴转动的刚体在Δt时间内角坐标的增量△称为该时间内的角位移面对z轴 观察若△0>0,刚体逆时针转动;若△00逆时针 →0 (34) △t dk<0顺时针 上式说明定轴转动刚体的角速度等于其角坐标对时间t的一阶导数而且刚体上各点的 角速度都相同因此角速度是描述整个刚体转动快慢的物理量o为正,表示刚体沿逆时 针方向转动;0为负表示刚体沿顺时针方向转动角速度的单位为弧度/秒 在工程中把每分钟转动的圈数称为转速用n表示,单位为转/分,则o与n的关系
2 式(3.1)、(3.2) 说明任一瞬时平动刚体上各点的速度,加速度均相等. 转动 如果刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动就称这一运动为刚体转动,此直 线称为转轴.转轴固定于参考系(即转轴的位置和方向相对于参考系是固定的)的情况 称为定轴转动.例如门窗、钟表指针、砂轮、电机轴子等的转动都属于定轴转动.若转 轴上有一点静止于参考系,而转轴的方向在变化,这种转动称为定点转动.例如气象雷达 天线的转动,玩具陀螺的转动就属于定点转动. 刚体的定轴转动是转动中基本而普遍的情况,也是本章的重点内容,对于定点转动, 只简单介绍陀螺的运动. 二、刚体的定轴转动 描述刚体的运动,首先要确定刚体的位置.在定轴转动的情况下,转轴已固定,取垂 直于转轴的平面为转动平面,如图 3.2 所示,在此转动平面内取一坐标轴 ox,这样就可以 对刚体转动作定量描述. 1 刚体角坐标和角位移 在转动平面内任选一点 A,设 A 的位置矢量为 r , 因其大小不变,故其位置可用自 x 轴转至 OA 的角 表示，此 称为定轴转动刚体的角坐标.规定自 x 轴 逆时针转向 OA 时 为正,刚体定轴转动可用函数 = (t) (3.3) 描述,此即刚体绕定轴转动的运动学方程 . 绕定轴转动的刚体在 t 时间内角坐标的增量 称为该时间内的角位移.面对 z 轴 观察,若 >0,刚体逆时针转动;若 <0,刚体瞬时针转动.在国际单位制中,角坐标和角 位移单位为弧度（rad）. 2 角速度 设 t 时刻刚体的角坐标为 ,t+ t 时刻刚体的角坐标为 ',则定轴转动刚体在 t 时 间内的平均角速度和 t →0 的瞬时角速度 ⎯ ⎯→ = = + − = → 顺时针 逆时针 0 0 0 dt d t t t t t t ( ) ( ) (3.4) 上式说明定轴转动刚体的角速度等于其角坐标对时间 t 的一阶导数.而且刚体上各点的 角速度都相同.因此角速度是描述整个刚体转动快慢的物理量.为正,表示刚体沿逆时 针方向转动; 为负,表示刚体沿顺时针方向转动,角速度的单位为弧度／秒. 在工程中,把每分钟转动的圈数称为转速,用 n 表示,单位为转／分,则与 n 的关系
3角加速度 设t时刻刚体的角速度为o,t+Mt时刻刚体的角速度为o’,则定轴转动的刚体在△t 时间内的平均角加速度和△t→0的瞬时角加速度为 do与o同号刚体加速转动 B=0M-0→8=d与o异号刚体减速转动 (3.5) 上式说明定轴转动刚体的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数,亦等于角坐标对 时间的二阶导数当β与o同号时,刚体作加速转动β与异号时刚体作减速转动 角加速度的单位为弧度/秒(rad/s) 角速度和角加速度在描述刚体定轴转动中所起的作用与质点运动中速度和加速 度的作用相似因此常把它们对应起来看待速度与角速度相对应加速度与角加速度相 对应 与质点运动学相似对于定轴转动的刚体若已知运动方程θ=0(),容易求出角速 度和角加速度;若已知角加速度和初始条件亦很容易求出角速度和运动方程 对于匀速定轴转动有 O=常数,0=00+01 对于匀变速定轴转动,则有 O=00+βt,6=00+001+β 2P(0-60) (36) 式中θ。、为初始时刻的角坐标和角速度 4定轴转动的刚体上某点的速度和加速度 定轴转动刚体上的各点都在绕轴上的一点作圆周运动,具有相同的角速度o,设某 点M到转轴的距离为R,则由圆周运动的规律得该点的速率为 Ro 上式说明定轴转动的刚体上任意一点的速度大小等于转动半径R与刚体角速度o的乘 积速度的方向指向该点转动的方向 M点的加速度分别用切向加速度和法向加速度表示,由其定义得: du do R E R RB R
3 为 n n 0 1 60 2 . = 3 角加速度 设 t 时刻刚体的角速度为, t+ t 时刻刚体的角速度为 ',则定轴转动的刚体在 t 时间内的平均角加速度和 t →0 的瞬时角加速度为 ⎯ ⎯→ = = → 与 异号刚体减速转动 与 同号刚体加速转动 dt d t t 0 (3.5) 上式说明定轴转动刚体的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数,亦等于角坐标对 时间的二阶导数.当与同号时,刚体作加速转动,与异号时,刚体作减速转动. 角加速度的单位为弧度／秒（rad/s）. 角速度和角加速度在描述刚体定轴转动中所起的作用与质点运动中速度和加速 度的作用相似.因此常把它们对应起来看待,速度与角速度相对应,加速度与角加速度相 对应. 与质点运动学相似,对于定轴转动的刚体,若已知运动方程 = (t) ,容易求出角速 度和角加速度;若已知角加速度和初始条件,亦很容易求出角速度和运动方程. 对于匀速定轴转动有 = = +t 常数， 0 对于匀变速定轴转动,则有 , , ( ) 0 2 0 2 2 0 0 0 2 2 1 = + t = + t + t − = − (3.6) 式中 0、0 为初始时刻的角坐标和角速度. 4 定轴转动的刚体上某点的速度和加速度 定轴转动刚体上的各点都在绕轴上的一点作圆周运动,具有相同的角速度,设某 点 M 到转轴的距离为 R,则由圆周运动的规律得该点的速率为 = R (3.7) 上式说明定轴转动的刚体上任意一点的速度大小等于转动半径 R 与刚体角速度的乘 积,速度的方向指向该点转动的方向. M 点的加速度分别用切向加速度和法向加速度表示,由其定义得： 2 2 2 = = = = = = R R R R a dt d R dt d a n ( ) , (3.8)
由(3.7)、(38)式可知,若已知角量(、β),就可以求出刚体上任意一点作圆周运 动的线量(υ、a、an),可见角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态 例题3.1某发动机转子在启动过程中的转动方程为0=13,式中0以弧度计,t以秒 计转子的半径为R=0.5m.试求转子的外缘上M点在t=2s时的速度和切向、法向加速 解:根据角速度和角加速度定义得 22-1=25>brad/s, B do 3-1=256rad/s2 据线量与角量的关系得M点的速度和加速度在切向、法向的投影为 u=oR=6×0.5=3m/s an=RB=0.5×6=3m/s2,an=Ro2=0.5×62=18m/s2 U与a,同号,说明M点作加速运动 作业(P79):3.5
4 由(3.7)、(3.8)式可知,若已知角量（、）,就可以求出刚体上任意一点作圆周运 动的线量（ 、a、an ）,可见,角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态. 例题3.1某发动机转子在启动过程中的转动方程为 3 2 1 = t ,式中 以弧度计, t以秒 计,转子的半径为 R=0.5m. 试求转子的外缘上 M 点在 t=2s 时的速度和切向、法向加速 度. 解：根据角速度和角加速度定义得 2 2 2 2 6rad s 3 6rad s 2 3 / , = ⎯ ⎯→ / = ⎯ ⎯→ = = t= s t= s t dt d t dt d 据线量与角量的关系得 M 点的速度和加速度在切向、法向的投影为 = R = 60.5 = 3m/s 2 2 2 2 0 5 6 3m s 0 5 6 18m s − − a = R = . = / , a = R = . = / n 与 a 同号,说明 M 点作加速运动. 作业（P79）：3.5
§32刚体动力学 一、刚体的转动动能 刚体绕定轴转动时,构成刚体的所有质点的动能和称为刚体的转动动能设某时刻 刚体绕轴转动的角速度为,刚体中任一质元的质量为离轴的垂直距离为,则其线 速率为该质元的动能为 △E1=△mu2=△mr2o 将此式对所有质元求和即得整个刚体的动能 E=∑AE=C∑ (3.9a) 定义J=∑△mr2为刚体对z轴的转动惯量 则E4=J02 (39b) 二、刚体的转动惯量 转动惯量由前面讨论可知刚体的转动惯量 (3.10) 也就是说,转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方 的乘积的和而与质元的运动速度无关与平动动能比较可知转动惯量相当于平动时的 质量是物体在转动中惯性大小的量度 如果刚体的质量是连续分布的需将(310)式的求和变为积分 J=∫rm-“→ Lapd (3.11) 转动惯量的单位在国际单位中为千克米2(kgm2) 由转动惯量的定义式可知刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴的位置 有关因此在谈及转动惯量时,必须明确哪一刚体对哪一转轴的转动惯量. 平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量J等于它对通过刚体质心且与该轴平行的 轴的转动惯量J,加上刚体的质量与两轴距离d的平方的乘积即 J=J+ma (3.12) 这一关系称为平行轴定理 正交轴定理薄板状刚体的质量均匀分布时,它对于板面内的两条正交轴的转动 惯量之和等于过这两轴的交点且垂直于板面的轴的转动惯量
5 §3.2 刚体动力学 一、刚体的转动动能 刚体绕定轴转动时,构成刚体的所有质点的动能和,称为刚体的转动动能.设某时刻 刚体绕 轴转动的角速度为,刚体中任一质元的质量为,离 轴的垂直距离为 ,则其线 速率为 .该质元的动能为 2 2 2 2 1 2 1 Ei = mii = mi ri 将此式对所有质元求和即得整个刚体的动能 2 2 2 1 = = ( ) i k i i i E E m r (3.9a) 定义 J m r 为刚体对Z轴的转动惯量 i z = i i 2 2 2 1 则 Ek = Jz (3.9b) 二、刚体的转动惯量 转动惯量 由前面讨论可知,刚体的转动惯量 = i z i i J m r 2 (3.10) 也就是说,转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方 的乘积的和,而与质元的运动速度无关.与平动动能比较可知,转动惯量相当于平动时的 质量.是物体在转动中惯性大小的量度. 如果刚体的质量是连续分布的,需将(3.10)式的求和变为积分 = ⎯⎯⎯→ V J r dm r dV 2 体积分 2 (3.11) 转动惯量的单位在国际单位中为千克米 2（kgm2）. 由转动惯量的定义式可知,刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴的位置 有关.因此,在谈及转动惯量时,必须明确哪一刚体对哪一转轴的转动惯量. 平行轴定理 刚体对任意轴的转动惯量 J,等于它对通过刚体质心且与该轴平行的 轴的转动惯量 Jc,加上刚体的质量与两轴距离 d 的平方的乘积.即 2 J = Jc + md (3.12) 这一关系称为平行轴定理. 正交轴定理 薄板状刚体的质量均匀分布时,它对于板面内的两条正交轴的转动 惯量之和,等于过这两轴的交点且垂直于板面的轴的转动惯量
现对正交轴定理简单给出证明取板平面为 坐标面坐标轴即为三条正交轴如图33所示 J=∑m2=∑m(x2+y2) ∑mx2+∑my=J+J(313) 例3.2试求质量为m、长为l的匀质细棒对 通过中心且与棒垂直的轴的转动惯量 图3.3正交轴定理用图 解: rdr I 若将轴移到左端,利用平行轴定理则得 J=J+m(/2)121、1am2 例3.3试求质量为m、半径为R的匀质圆盘对过它边缘上一点且垂直于盘面的轴 的转动惯量. 解该圆盘对过中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为 Jo r2t raro= 20R2 根据平行轴定理有 mr-+mR=-mR 刚体的重力势能 构成刚体的所有质点与地球组成的物体组的重力势能之和,称为刚体的重力势能 设第i个质元的质量为Am,其z坐标为z,设XOY平面为参照水平面则z即该质元 的高度它和地球组成的物体组的重力势能为△m91刚体的重力势能为 E=∑Mm8=CMm=)g—2,mB(314) 上式表明:在计算刚体的重力势能时刚体的质量可看作集中于刚体的质心因此 只要确定了刚体的质心位置,其重力势能就确定了,而与刚体的方位无关. 四、力矩与转动定律 力矩与上章讨论质点角动量中力矩一样,刚体的力矩 M=F×F 前已介绍在外力矩的作用下,刚体获得加速度 转动定律讨论质点运动时,根据牛顿第二定律知,当质点所受的合外力大于零时 质点将获得加速运动;对于刚体,由前面讨论可知,在外力矩的作用下获得角加速度,那
6 现对正交轴定理简单给出证明.取板平面为 坐标面,坐标轴即为三条正交轴,如图 3.3 所示. = = ( + ) 2 2 2 z i i i i i J m r m x y i i i i y x =m x +m y = J + J 2 2 (3.13) 例 3.2 试求质量为 m、长为 l 的匀质细棒对 通过中心且与棒垂直的轴的转动惯量. 解： 2 2 2 2 2 12 1 J x dm x dx ml l l = = = − / / 若将轴移到左端,利用平行轴定理则得 2 2 2 2 3 1 4 1 12 1 J'= J + m(l / 2) = ml + ml = ml 例 3.3 试求质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘对过它边缘上一点且垂直于盘面的轴 的转动惯量. 解该圆盘对过中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为 2 0 2 4 0 2 0 2 1 2 2 mR R m J r rdr r R R = = = | 根据平行轴定理有 2 2 2 2 3 2 1 J = mR + mR = mR 三、刚体的重力势能 构成刚体的所有质点与地球组成的物体组的重力势能之和,称为刚体的重力势能. 设第 i 个质元的质量为 mi ，其 z 坐标为 zi,设 XOY 平面为参照水平面,则 zi 即该质元 的高度,它和地球组成的物体组的重力势能为 migzi ,刚体的重力势能为 E m gz m z g mZcg Z m z m P i i i i = = ( ) ⎯⎯c =⎯ ⎯i i⎯/ → (3.14) 上式表明:在计算刚体的重力势能时,刚体的质量可看作集中于刚体的质心.因此, 只要确定了刚体的质心位置,其重力势能就确定了,而与刚体的方位无关. 四、力矩与转动定律 力矩 与上章讨论质点角动量中力矩一样，刚体的力矩 M r F = (3.15) 前已介绍在外力矩的作用下，刚体获得加速度。 转动定律 讨论质点运动时,根据牛顿第二定律知,当质点所受的合外力大于零时, 质点将获得加速运动;对于刚体,由前面讨论可知,在外力矩的作用下获得角加速度,那
么外力矩与角加速度之间服从怎样的规律? 下面先以一质点为研究对象进行讨论设有质量 F 为m的质点与刚性轻杆相连杆与转轴相连且垂直, 现在对此质点作用一个大小为F的切向力如图36 所示,则质点在此力作用下作圆周运动根据牛顿第 二定律及力对o轴力矩的定义有 ,-: F=ma, =mrB M=Fr=mrb=JB 对于任意的刚体,可认为是由无穷个质点组成 设第i个质点的质量为△m,它到转轴的垂直距离为r,则第i个质点所受的合外力矩为 M1=(△mr2) 对于作定轴转动的刚体它的力矩只有两个方向所以可求代数和 M=∑M=∑(△Mm2)=邛 由于角加速度是矢量,转动惯量J是标量所以力矩的方向与角加速度方向相同,因 此其矢量式为 M=邛 (3.17b) 上式表明,作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与刚体在 此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积此即为刚体定轴转动的转动定律 刚体的转动定律在刚体转动中很重要把转动定律M=邛与牛顿第二定律F=ma 比较可知合外力矩M与合外力F对应刚体的转动惯量J与质点的质量m对应因此, 转动定律可以看成是刚体定轴转动时的牛顿定律它反映了力矩对定轴转动刚体的瞬 时作用规律,它是刚体动力学的基本规律 dsy 五、力矩的功与动能定理 力矩的功在质点运动中,当外力作用于一质点 上使它发生位移时外力在作功在刚体绕定轴转动的 情况下外力矩使刚体中的每一质元都作圆周运动转 过一定的角位移我们就说外力矩对刚体作了功 如图37所示,刚体绕oz轴转动设外力F作用于 A点处经时间后A沿半径为n的圆周移动了微小图3.7力矩的功 的圆弧ds,相应的角位移为d,则有外力F所作的元功为
7 么外力矩与角加速度之间服从怎样的规律？ 下面先以一质点为研究对象进行讨论.设有质量 为 m 的质点与刚性轻杆相连,杆与转轴相连且垂直, 现在对此质点作用一个大小为 F 的切向力,如图 3.6 所示,则质点在此力作用下作圆周运动.根据牛顿第 二定律及力对 o 轴力矩的定义有 = = = = = M F r mr J F ma mr 2 对于任意的刚体,可认为是由无穷个质点组成. 设第 i 个质点的质量为 mi ,它到转轴的垂直距离为 i r .则第 i 个质点所受的合外力矩为 = ( ) 2 i i i M m r 对于作定轴转动的刚体,它的力矩只有两个方向,所以可求代数和 M =Mi =(mi ri ) = J 2 (3.17a) 由于角加速度是矢量,转动惯量 J 是标量,所以力矩的方向与角加速度方向相同,因 此其矢量式为 = M J (3.17b) 上式表明,作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与刚体在 此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积.此即为刚体定轴转动的转动定律 . 刚体的转动定律在刚体转动中很重要.把转动定律 = M J 与牛顿第二定律 F=ma 比较可知,合外力矩 M 与合外力 F 对应;刚体的转动惯量 J 与质点的质量 m 对应.因此, 转动定律可以看成是刚体定轴转动时的牛顿定律,它反映了力矩对定轴转动刚体的瞬 时作用规律,它是刚体动力学的基本规律. 五、力矩的功与动能定理 力矩的功 在质点运动中,当外力作用于一质点 上使它发生位移时,外力在作功.在刚体绕定轴转动的 情况下,外力矩使刚体中的每一质元都作圆周运动,转 过一定的角位移,我们就说外力矩对刚体作了功. 如图 3.7 所示,刚体绕 oz 轴转动.设外力 Fi作用于 A 点处.经 dt 时间后,A 沿半径为 ri 的圆周移动了微小 的圆弧 dsi,相应的角位移为 d,则有外力 Fi 所作的元功为 r m o F
dA= F dr= fds, sin Frdesinoi =M, de 上式表明:外力的元功等于力矩与角位移的乘积因此对于定轴转动的刚体外力 的功与力矩有关 当刚体在外力矩作用下,从角位置θ转到角位置θ时,力矩对刚体所作的总功为 a=dA= Mde (3.18) 由此可见,当刚体转动时外力矩所作的总功等于外力对转轴的合力矩对角位移的 积分式(318)是力矩对刚体作功的一般表达式 说明:1)力矩所作的功并不是新的概念本质上仍然是力的功只是在刚体转动的 特殊情况下可表示为力矩对角位移的积分而已 2)当力矩为常量时,力矩的功为 A=M de=M(0-0o 3)对于内力矩的功也应有同样的形式但由于刚体对转轴的合内力矩为零,内力矩 的总功也为零因此只考虑刚体所受的合外力矩的功 力矩的功率与讨论质点作功类似力矩的功率为单位时间内力矩所作的功用P 表示设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动,在dt时间内转过角位移为de,则根据功率的 定义式有 d-20 (3.19) 即力矩的瞬时功率等于力矩与角速度的乘积当力矩与角速度同向时,力矩的功和功率 为正值;当力矩与角速度方向相反时,力矩的功和功率为负值称此力矩为阻力矩 动能定理对质点来说外力的功等于质点动能的增量这是质点的动能定理那么 外力矩的功与刚体的转动动能有什么关系?这就是绕定轴转动的刚体的动能定理所要 讨论的内容对于定轴转动的刚体在沿轴向的外力矩(对转轴的外力矩)作用下,就要产 生角加速度β,从而引起角速度o大小的变化使刚体的转动动能发生改变由转动定律 do de M=邛=J de di →M8=Jod=(2)→4=M0=22-(320) 上式前半部分为刚体动能定理的微分表达式此式表明合外力矩对定轴转动的刚体所 作的功等于刚体转动动能的增量此式称为刚体定轴转动的动能定理它是力矩对空间
8 dA i = Fi dri = Fidsi sini = Fi ridsini = Mid 上式表明:外力的元功等于力矩与角位移的乘积.因此,对于定轴转动的刚体,外力 的功与力矩有关. 当刚体在外力矩作用下,从角位置 0 转到角位置 时,力矩对刚体所作的总功为 = = 0 A dA Md (3.18) 由此可见,当刚体转动时,外力矩所作的总功等于外力对转轴的合力矩对角位移的 积分.式(3.18)是力矩对刚体作功的一般表达式. 说明：1）力矩所作的功并不是新的概念,本质上仍然是力的功,只是在刚体转动的 特殊情况下可表示为力矩对角位移的积分而已。 2）当力矩为常量时,力矩的功为 ( ) 0 0 = = − A M d M 3）对于内力矩的功也应有同样的形式,但由于刚体对转轴的合内力矩为零,内力矩 的总功也为零.因此只考虑刚体所受的合外力矩的功. 力矩的功率 与讨论质点作功类似,力矩的功率为:单位时间内力矩所作的功,用 P 表示.设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动,在 dt 时间内转过角位移为 d ,则根据功率的 定义式有 = = = M dt Md dt dA P (3.19) 即力矩的瞬时功率等于力矩与角速度的乘积.当力矩与角速度同向时,力矩的功和功率 为正值;当力矩与角速度方向相反时,力矩的功和功率为负值,称此力矩为阻力矩. 动能定理 对质点来说,外力的功等于质点动能的增量.这是质点的动能定理.那么 外力矩的功与刚体的转动动能有什么关系?这就是绕定轴转动的刚体的动能定理所要 讨论的内容.对于定轴转动的刚体,在沿轴向的外力矩(对转轴的外力矩)作用下,就要产 生角加速度,从而引起角速度大小的变化,使刚体的转动动能发生改变.由转动定律 = = = d d J dt d d d M J J 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 0 → = = → = = − Md J d d( J ) A Md J J (3.20) 上式前半部分为刚体动能定理的微分表达式.此式表明,合外力矩对定轴转动的刚体所 作的功等于刚体转动动能的增量.此式称为刚体定轴转动的动能定理.它是力矩对空间
的积累效应的结果,反映了外力矩对定轴转动刚体做功这一过程量与转动动能这一状 态量之间的关系,从而为某些问题的求解带来了方便但要注意,此式只对定轴转动的刚 体适用,非刚体不再适用因为非刚体内力矩的功不一定为零 例题34一根质量为m,长为l的匀质棒AB,如图38所示棒可绕一水平的光滑转 轴O在竖直平面内转动O轴离A端的距离为Ⅳ3,今使棒从静止开始由水平位置绕O 轴转动,求 (1)棒在水平位置(启动时)的角速度和角加速度 (2)棒转到竖直位置时的角速度和角加速度 2、OC (3)棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速 度 解先确定细棒AB对O轴的转动惯量J,由于O 轴与质心轴C的距离为d=l/2-l/3=1/6,由平行轴 i1 mg 定理得 图3.8例题34用图 +md-= +m( 再对细棒进行受力分析:重力,作用在棒中心(重心),方向竖直向下,重力的力矩是变力矩, 大小等于 mglcosθ/6;轴与棒之间没有摩擦力,轴对棒作用的支撑力垂直于棒与轴的接 触面而且通过O点在棒的转动过程中这力的方向和大小将是随时间改变的但对轴的 力矩等于零 (1)当棒在水平位置(刚启动时角速度oo=0.此时=0,由转动定律求得此时的 角加速度为 B0=M=mg/638 Jm2/92 (2)当棒从θ转到θ+dθ时,重力矩所作的元功为 dA= Mde=-mglcose de 棒从水平位置转到任意位置的过程中合外力矩所作总功为 A=Mde=[mgl 0 de=-mglsin 由定轴转动刚体的动能定理有 mglsin 0=-Jo2 由此可得 mglsin0 3gsin 0 3J
9 的积累效应的结果,反映了外力矩对定轴转动刚体做功这一过程量与转动动能这一状 态量之间的关系,从而为某些问题的求解带来了方便.但要注意,此式只对定轴转动的刚 体适用,非刚体不再适用,因为非刚体内力矩的功不一定为零. 例题 3.4 一根质量为 m,长为 l 的匀质棒 AB,如图 3.8 所示,棒可绕一水平的光滑转 轴 O 在竖直平面内转动,O 轴离 A 端的距离为 l/3,今使棒从静止开始由水平位置绕 O 轴转动,求: (1) 棒在水平位置(启动时)的角速度和角加速度. (2) 棒转到竖直位置时的角速度和角加速度. (3) 棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速 度. 解 先确定细棒 AB 对 O 轴的转动惯量 J0,由于 O 轴与质心轴 C 的距离为 d = l / 2 −l / 3 = l / 6 ,由平行轴 定理得 2 2 2 2 0 9 1 12 6 1 ml l J = Jc + md = ml + m( ) = 再对细棒进行受力分析:重力,作用在棒中心(重心),方向竖直向下,重力的力矩是变力矩, 大小等于 mglcosθ/6;轴与棒之间没有摩擦力,轴对棒作用的支撑力垂直于棒与轴的接 触面而且通过 O 点,在棒的转动过程中,这力的方向和大小将是随时间改变的,但对轴的 力矩等于零. (1) 当棒在水平位置(刚启动)时,角速度 0 = 0.此时 = 0 ,由转动定律求得此时的 角加速度为 l g ml mgl J M 2 3 9 6 2 0 0 = = = / / (2) 当棒从 转到 +d 时,重力矩所作的元功为 A = Md = mgl cos d 6 1 d 棒从水平位置转到任意位置的过程中,合外力矩所作总功为 = = = A Md mgl cos d mglsin 6 1 6 1 0 0 由定轴转动刚体的动能定理有 2 0 2 1 6 1 mglsin = J 由此可得 l g J mgl = = sin 3 sin 3 0
在竖直位置时0-2,B=0.0= (3)在竖直位置(0=π/2)下时棒的A、B点和中点C的速度加速度分别为 U=0r=0(12-1/3)=√3g/6(方向向左) U4=√3g/3(方向向右,U2=23g3(方向向左) a4=04=g,aB=2g,a2=g12
10 在竖直位置时 l 3g = / 2 , = 0, = (3) 在竖直位置（ = / 2 ）下时,棒的 A、B 点和中点 C 的速度,加速度分别为 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 6 2 , , / / ( ), / ( ) ( / / ) / ( ) a r g a g a g gl gl r l l gl A A B c A B c c = = = = = = = = − = 方向向右 方向向左 方向向左