第三章运动守恒定律 简介 关于物体运动规律的表述,除了牛顿运动定律之外,还有动量、能量和角动量三个定理和三个守恒定 律。也就是除了讨论质点运动状态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系外,还必须研究力的累积效应, 即要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行,因而力的积累效应分为力的空间积累和时间 积累两类。在这两类效应中,质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下,质点 系内的动量或能量将保持守恒。 (1)力的空间累计效应:功、能 (2)力的时间累计效应:冲量、动量; 3)相关规律:动能定理、功能原理、杋械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律 重点和难点 重点保守力、势能、功能原理、动量守恒定律、机械能守恒定律。 点势能概念及其数值计算。 基本要求 1.掌握保守力作功的特点和由之定义的势能的概念,会计算重力势能、弹性势能、万有引力势能 2.掌握质点系的动能定理和功能定理 3.掌握机械能守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律的物理意义及适用条件; 4.掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法,会计算简单系统在平面内运动的简单力学问题; 5.了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 6.了解质心的概念及质心运动定律 章节目录 §3-1功动能动能定理 §3-2保守力与非保守力势能 §3一3功能原理机械能守恒定律 §3-4质点和质点系的动量定理 §3-5动量守恒定律 §3-6完全弹性碰撞完全非弹性碰撞 §3-7能量守恒定律 §3-8系统内质量移动问题 §3-9质心质心运动定律
§3-1功动能动能定理 日常生活中常常遇到力对物体做功的问题。而力对物体做功可以用力的空间积累来表示。本节将介绍 功的概念及力对物体做功的效果,其表现为物体动能的增量。 力学( Mechanics)与机械学( mechanism)是同源词。在历史上,推动力学产生与发展的,除了天文 学外,主要是对机械装置原理的研究。人们制造机械,是为了让它们做功(Work)。一个物体具有做功的 本领,叫做具有一定的能量( Energy)。动能是运动的物体具有的能量,而势能是物体相对位置变化而具 有的能量,它是一种潜在的能量 、功(Work) 功是表示力的空间累积的物理量 关于功的定义,我们在中学就已经熟悉了。即 ′= F cose s= FS coSe 这个关系说明,功由三个因素所组成:(1)有力的作用;(2)力的作用点发生了位移;(3)力和位移 矢量之间的夹角的余弦不为零,这三条缺一都不能构成做功的过程。 恒力的功 物体在恒力F的作用下,沿直线运动,位移为AF,并且与力F成0角,则定义力F对物体所作的 功A为 A= Cost△r= ARcos 即力对物体所作的功等于该力沿运动方向的分量与物体位移的乘积(标积, Scalar product)。由数 学中的矢量关系又可得矢量式 A=F 说明: )功是标量,只有大小,没有方向,但有正、负。 0≤0丌/2,功W为负值,即力对物体作负功,或物体克服该力做功。 2)单位:焦耳(J)1J=1N.m 3)功的另一定义:力对物体所作的功等于质点的位移在力的方向上的分量与力的大小的乘积 W=( Cost)△r=F(△ rcos e),两种表示相同。 2.变力的功 上面讨论了恒力做功的问题。如果物体在发生某个位移的过 程中所受的力是变力,即力的大小、方向都可能是变化的,则还 能用前面的研究方法吗?虽不能直接应用,但经过数学处理后 在一个小位移元内前面的式子依然可用。我们把物体运动的轨迹 分成许多微小的位移元,在每一个位移元内,力可视为不变,则 在每一个位移元内,力所作的功为 dA= F. dr= Fcos 0 dr
总功为A=|dA dr=Fcos 0 dr 3.合力的功 A=F=ΣF)=∑(F)=∑A 例如:如图所示:F对物体做正功FS:N对物体不做功:∫对物体负功—S5:mg对物体不做 合力对物体做的总功A=(F)S 结论:合力的功等于各个分力所作的功的代数和 4.功的计算 )积分方法:从定义式出发 A=dA 在直角坐标系中,若F=F+F+F2k dr= dxi +dyi + dzk A=E,dx+ F, dy + F, da) 注意:在求解过程中需要弄清楚要求的是哪一个力做的功,并要能写b 出该力随位置变化的关系式,然后积分即可 在自然坐标系中 F= FT+Fn, ds=ds t 则 A=FdS=F,ds 即力对质点所做的功等于力的切线分量对路径的线积分。由于法向力与 路径垂直,因而它始终不做功。 计算功的方法 (1)分析质点受力情况,确定力随位置变化的关系 (2)写出元功的表达式,选定积分变量 (3)确定积分上、下限进行积分,求出总功。 2)功的图示法 纵坐标表示作用在物体上的力在位移方向上的分量,横坐标表 示质点沿曲线运动的路程。曲线下的总面积等于力所作的总功。由 下图可以看出该力为变力,而在在内,力F可近似看作是不变。 例1.设作用在质量为2kg的物体上的力为F=6r(N)。如果物体由静止出发沿直线运动,问在前2s时 间内,这个力对物体所作的功 解:由功的定义式和题所给的条件知,首先要求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律F=ma可 知物体的加速度为a=d/r=F/m=612=3t 所以 dv=tdi 积分得 dv=[tdt=1.5t (y=1.5t2
故位移与时间的关系为dt=1.57d 因而力所作的功为 A=Fbh=jo1mh=∫rh=36 功率( Power 1.定义:单位时间内完成的功,叫做功率。 平均功率:万△A 瞬时功率:P dt 2.物理意义:表示做功的快慢 3.功率的公式 44=F如=F 单位:瓦特(W)1W=1Js2,lkW=10W 即功率等于力与速度的点积。 4.应用: 1)发动机的功率一定,要加大牵引力,就要降低速度;要获得较大的速度,牵引力就得减小。 2)变速自行车的齿轮变速装置,改变额定功率 5.儿个功率的数量级 睡觉70-80w(基础代谢)闲谈70-80W 走路170-380W 听课70-140W 跑步700-1000W 足球630-840W 质点的动能定理( Theorem of Kinetic Energy) 为了进一步理解功的概念和功与其他物理量之间的关系,我们来讨论质点的动能定理。首先了解一下 什么是动能?动能的概念是人们在长期的生产实践和科学研究中总结出来的,发现运动的物体具有做功的 本领。例如:铁锤钉钉子;风力推动帆船;流水推动水轮机。把运动着的物体具有做功的本领叫动能。用 E=my2表示。动能的单位:焦耳 1.质点的动能定理 质量为m的物体在合外力F的作用下,由A点运动到B点,其速度的大小由v变成v2。求合外力对 物体所作的功与物体动能之间的关系。 把路径分成许多位移元,则合外力在位移元d内所作的元功为 d=F·t 由牛顿第二定律可知 F -a =n dt 所以F·c=mv·布 积分∫F=「m,d Vo 得A=my2-m2质点的动能定理
或W=Ek-E0 质点的动能定理 其中A=「F 为合外力所作的功 E0213,E=mv2分别为质点的初、末动能 质点的动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 2.说明: 1)A为合外力对质点所作的功 合外力作正功A>0,E2>E1,质点的动能增加; 合外力不做功A=0,Ek2=Ek1,质点的动能不变 合外力作负功A<0,Ek2<Ek1,质点的动能减小 2)只有合外力对质点做功,质点的动能才发生变化 功是能量变化的量度,是过程量,与过程有关,A=F·c 动能决定于状态,是状态量,与状态有关E 3)质点的动能定理只适用于惯性系(动能定理是从牛顿运动定律导出的)。 3.质点动能定理的应用 动能定理是在牛顿第二定律的基础上推导出来的。利用动能定理解题的方便之处在于不必注意质点在 运动过程中任一时刻状态变化的细节。在确定了研究对象之后,只要分析质点在过程始、末状态的动能变 化,就可以列出方程。这使力学问题中的变力做功问题的求解大大简化。 (1)动能Ek是标量,仅是状态量ν的单值函数,它是状态量 (2)功与动能的本质区别:它们的单位和量纲相同,但功是过程量,动能Ek是状态量:功是能量变 化的量度 (3)由质点的动能定理可知,当合外力做正功时,质点的动能增加;当合外力做负功时,质点的动 能减少。亦即质点反抗外力倣功是以自身动能的减少为代价,可见动能是质点因运动而具有的做功本领 (5)动能定理的表达式是一个标量方程,它只涉及质点运动的初态和终态,不问运动过程的细节 因此,在求解某些力学问题时比较方便 (6)功和能具有普遍意义 四、思考题 1、合外力对物体所作的功等于物体动能的增量,那么,其中某一个分力作的功,能否大于物体动能 的增量 2、质点动能是否与惯性系的选取有关?功是否与惯性系有关?质点动能定理是否与惯性系有关?请 举例说明。 例2:质量为m的小球系在长为l的细绳下端,绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线 成θ角处,然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成O角时,小球的速率 解:第一步:计算外力所做的功 小球受力如图。由分析可知为变力做功 A=[Fd=「7+P 因为 =0 P ∫Pb=Pb=了pmb 并且注意到d=-d6
因此A=mgma=- mg/sin AdB=mg(o-os) 第二步:用动能定理求小球的速度 由动能定理,得:A=mgl(co6-cos6)=m2、1 mVe=-mmv 故绳与铅直线成角时,小球的速率为:w=√2gl(cosb-cos6) 例3.质量为10g、速度为200m的子弹水平地射入铅直的墙壁内0.04m后而停止运动。若墙壁的 阻力是一恒量,求墙壁对子弹的作用力 解:可以用牛顿第二定律求解,但比较复杂。用动能定理比较简单。 初态动能 末态动能E 做功 由动能定理=E-E60=0-m2 得 J/smy20.01×200 =-5×103N 2×0.04 负号表示力的方向与运动的方向相反。 例4.力F作用在质量为1.0kg的质点上,已知在此力作用下质点的运动方程为x=314+(SI,求在 0到4S内,力F对质点所作的功。 解:1、用动能定理求解 由运动方程可得质点的速度为 dr d dt dt 0时,v=3-8×0+3×02=3(ms-) =s时,v=3-8×4+3×4=19(m·s-) 因而质点始末状态的动能分别为 EA0=mv2=x1×32=4.5(J E4=m2=×1×192=180.5(J/ 根据质点的动能定理,可知力对质点所作的功为 A=E-Eo=180.5-4.5=176() 2、用变力做功求解(同学白己做)
§3-2保守力与非保守力势能 在日常生活中大家都知道从高处落下的重物能够做功,如打桩、高山上的瀑布落下带动发电机发电 这都说明位于高处的重物位置变化亦具有做功本领,故它也具有能量,该能量称为势能 本节将从几种常见力的做功特点岀发,引岀保守力和非保守力概念,然后介绍各种势能。 万有引力、重力、弹性力做功的特点 引力做功 设两个质量为m和M的质点,其中质点M不动,m在引力的作用下,从点a沿ab路径运动到点b, 取M所在位置为坐标原点,点a和点b到坐标原点的距离分别为r和r,求引力所做的功 将质点的运动路径分成许多位移元dr,在该位移元中力可以近视看作常量,则引力所作的元功为 dA= F dr=-G 研=-my 从点a沿ab路径运动到点b,引力所作的总功为 G-dr= GMml A=GM,/1I 结论:引力做功只与质点的起始和终了位置有关,而与质点所经过的路径无关 2.重力做功 质量为m的质点,在重力的作用下,从点A沿ADB路径运动到点B,点A和点B到地面的高度分别 为y和y2,求重力所做的功。 将质点的运动路径分成许多位移元 y 则重力所做的元功为 ya C ngj(dxi+dyj) 从点A沿ADB路径运动到点B,重力所做的总功为 A Vb mg(y,-y1)=-(mg? -mgy) 结论:重力做功只与质点的始、末位置有关,而与质点所经过的路径无关。 3.弹性力做功 在光滑水平面上放置一个弹簧,弹簧一端固定,另一端与一个质量为m的质点相连。弹簧在水平 方向不受外力作用时,它将不发生形变,此时质点位于O点,这个位置称为平衡位置。若在外力的作用下 质点从点a被拉到点b,点a和点b到平衡位置的距离分别为x2和x,撤消外力后,质点在弹性力的作用
下运动,求弹性力所做的功。 将质点的运动路径分成许多位移元dx,在位移元dx内,弹性力可近似看成不变,由虎克定律得弹性 力为 F=-lxi 弹性力的元功为 d=F·t=-kxi·axi=-kxdx 质点从b点运动到a点,弹性力所作的功为 =-k=k:-k B 结论:弹性力做功只与质点的起始和终了位置有关,而与质点所经过的路径无关 4.摩擦力做功 设一个质点在粗糙的平面上运动(假设摩擦力为常量),则摩擦力做功为 A=7=」=S 摩擦力做功与质点运动的具体路径有关。 保守力与非保守力保守力做功的数学表达式 1.保守力( Conservation force) 1)定义:物理学上把具有做功只与始、末位置有关而与路径无关这一特点的力称为保守力。重力 万有引力和弹性力等都是保守力。 2)数学表达式 质点在保守力的作用下,从a点沿路径acb运动到b点,再沿路径bd运动到a,则保守力在这一过 程中所做的功为 A=Fd=「Fd+∫F 由于[F·d= 且 所以质点沿任意闭合路径运行一周时,保守力做功为零 A=dF·d=0 (3)说明:保守力做功与路径无关和保守力沿任意路径一周所的功为零是等价的,都可以作为一种 力是否保守力的判据 2.非保守力 1)定义:物理学上把具有做功与路径有关的力称为非保守力。摩擦力等就是非保守力。 2)数学表达式: 质点沿任意闭合路径运行一周时,非保守力做功不为0 A=4F·d≠0 当系统中存在摩擦力时,系统的总的机械能减少,并转变为热能,通常人们把这个过程称为耗散过程 而把导致耗散的力称为耗散力。 、势能 1.势能的概念
物体具有能量的标志是它具有做功的本领,这一结论对质点系也是适用的。若质点系能对其他物体做 功或对质点系内的质点做功,就表明质点系具有能量 由保守力做功的特点得知,保守力做功只与质点的始、末位置有关,而与所经过的路径无关,因此对 任一保守力都可以找到一个只与位置有关的函数,而保守力做的功可以用这个函数在受力质点始、末位置 的变化来表示。势能不同与动能,是一种潜在的能量。且势能可以储存好长时间。如:修建大雁塔时工人 师傅把砖搬上去。若干年后,它掉下来重力势能才释放岀来 2.常见保守力的势能 由前面的讨论可知,当质点从P(仅表示某位置)点移到Q点时,保守力所的功等于势能的减小, A=mgy, -,=-(mgy2-mgy,) A=GMn 保守力做功只给出了势能之差。要确定势能还必须选择一个参考位置,规定质点在该位置的势能为零, 通常称这一位置为势能零点 即质点在某一位置所具有的势能等于把质点从该位置沿任意路径移到势能为零的点时保守力所做的 重力势能En=mgy Mm 引力势能En=-G 弹性势能E 引入势能以后,保守力做功可用一个统一的式子表示: A E △E 即保守力做功等于势能增量的负值。保守力作正功时势能减小,与日常生活中利用势能减小来做功是 相符的 3.讨论 (1)势能是状态的函数。 因为在保守力作用下,只要物体的始、终位置确定了,保守力所做的功也就确定了,而与所经过的路 径无关,所以说,势能是坐标的函数,亦即是状态的函数。 (2)势能只有相对意义,势能的值与势能零点的选取有关。 势能零点可以任意选取,但以简便为原则,选取不同的势能零点,物体的势能就将具有不同的值。但 两点间的势能差则是绝对的,与势能零点的选取无关。如:重力势能:零点可以任意选择,一般选地面的 重力势能为零;引力势能:零点选在无穷远点;弹性势能:零点选在弹簧的平衡位置 (3)势能是属于系统的。势能是由系统内各物体间相互作用的保守力和相对位置决定的能量,因而 它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的 同样,弹性势能是物体和弹簧组成的系统;引力势能是两个物体组成的系统。习惯上称某物体的势能,这 只是叙述上的简便而已
(4)只有保守力场才能引入势能的概念。 四、势能曲线 如果给定一个力,则可以直截了当地从势能的定义求出势能。然而在许多情况下,特别是在微观领域 中,用势能函数描述力的特性,要比用力的各个分量来描述更为简明。因而势能曲线的一个重要用途就是 能够把势能曲线的特定形式,同在自然界中观察到的特定的相互作用联系起来 当坐标系和势能零点确定后,质点的势能仅是坐标的函数,即Ep=Ep(x,y,z)。按此函数画出的势 能随坐标变化的曲线,称为势能曲线 E. Ep=mgy 重力势能 般选地面或某一水平面为重力势能的零点 E y—质点相对于势能零点的高度 E 势能零点以上,重力势能为正; 势能零点以下,重力势能为负。 2.引力势能 E 选无穷远处为引力势能零点 Mm E 引力势能为负值 .弹性势能 无形变(平衡位置)处的弹性势能为零 Ep 无论弹簧被压缩还是被拉伸,弹性势能总是正的。 势能曲线是势能随相对位置变化的曲线。它为研究势场中的物体的运动提供了一种形象化的手段
