第14章狭义相对论基础 自从十七世纪牛顿的经典理论形成以后直到二十世纪前,它在物理学界一直处于 统治地位历史步入二十世纪时,物理学开始深入扩展到微观高速领域这时发现牛顿力 学在这些领域不再适用物理学的发展要求对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明 的基本概念作出根本性的改革从而出现了相对论和量子理论本章介绍相对论的基本 知识在下章里将介绍量子理论的基本知识 s141狭义相对论产生的历史背景 、力学相对性原理和经典时空观 力学是研究物体运动的物体的运动就是它的位置随时间的变化为了定量研究这 种变化必须选择适当的参考系,而力学概念以及力学规律都是对一定的参考系才有意 义的在处理实际问题时,视问题的方便我们可以选择不同的参考系相对于任一参考 系分析研究物体的运动时都要应用基本的力学规律,这就要问对于不同的参考系,基本 力学定律的形式是完全一样的吗?同时运动既然是物体位置随时间的变化那么无论 是运动的描述或是运动定律的说明都离不开长度和时间的测量因此与上述问题紧密 联系而又更根本的问题是:相对于不同的参考系长度和时间的测量结果是一样的吗? 物理学对于这些根本性问题的解答,经历了从牛顿力学到相对论的发展 在牛顿的经典理论中,对第一个问题的回答早在1632年伽利略曾在封闭的船舱里 仔细的观察了力学现象发现在船舱中觉察不到物体的运动规律和地面上有任何不同 他写到:“在这里(只要船的运动是等速的),你在一切现象中观察不出丝毫的改变, 你也不能根据任何现象来判断船是在运动还是停止当你在地板上跳跃的时候你所通 过的距离和你在一条静止的船上跳跃时通过的距离完全相同,”据此现象伽利略得到 如下结论:在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中物体运动所遵循的力学规律是完全 相同的,应具有完全相同的数学表达式也就是说,对于描述力学现象的规律而言所有 惯性系都是等价的这称为力学相对性原理. 对第二个问题的回答,牛顿理论认为时间和空间都是绝对的可以脱离物质运动而 存在,并且时间和空间也没有任何联系这就是经典的时空观也称为绝对时空观这种 观点表现在对时间间隔和空间间隔的测量上,则认为对所有的参考系中的观察者对于 任意两个事件的时间间隔和空间距离的测量结果都应该相同.显然这种观点符合人们 日常经验 依据绝对时空观伽利略得到反映经典力学规律的伽利略变换.并在此基础上得出 不同惯性参考系中物体的加速度是相同的在经典力学中物体的质量m又被认为是不 变的,据此牛顿运动定律在这两个惯性系中的形式也就成为相同的了,这表明牛顿第 定律具有伽利略变换下的不变性可以证明,经典力学的其他规律在伽利略变换下也是 不变的所以说伽利略变换是力学相对性原理的数学表述它是经典时空观念的集中体
1 第 14 章 狭义相对论基础 自从十七世纪,牛顿的经典理论形成以后,直到二十世纪前,它在物理学界一直处于 统治地位.历史步入二十世纪时,物理学开始深入扩展到微观高速领域,这时发现牛顿力 学在这些领域不再适用.物理学的发展要求对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明 的基本概念作出根本性的改革.从而出现了相对论和量子理论.本章介绍相对论的基本 知识,在下章里将介绍量子理论的基本知识. §14.1 狭义相对论产生的历史背景 一、力学相对性原理和经典时空观 力学是研究物体运动的.物体的运动就是它的位置随时间的变化.为了定量研究这 种变化,必须选择适当的参考系,而力学概念以及力学规律都是对一定的参考系才有意 义的.在处理实际问题时,视问题的方便,我们可以选择不同的参考系.相对于任一参考 系分析研究物体的运动时,都要应用基本的力学规律,这就要问对于不同的参考系,基本 力学定律的形式是完全一样的吗？同时运动既然是物体位置随时间的变化,那么无论 是运动的描述或是运动定律的说明,都离不开长度和时间的测量.因此与上述问题紧密 联系而又更根本的问题是：相对于不同的参考系,长度和时间的测量结果是一样的吗？ 物理学对于这些根本性问题的解答,经历了从牛顿力学到相对论的发展. 在牛顿的经典理论中,对第一个问题的回答,早在 1632 年伽利略曾在封闭的船舱里 仔细的观察了力学现象,发现在船舱中觉察不到物体的运动规律和地面上有任何不同. 他写到：“在这里（只要船的运动是等速的）,你在一切现象中观察不出丝毫的改变, 你也不能根据任何现象来判断船是在运动还是停止,当你在地板上跳跃的时候,你所通 过的距离和你在一条静止的船上跳跃时通过的距离完全相同,”.据此现象伽利略得到 如下结论：在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中,物体运动所遵循的力学规律是完全 相同的,应具有完全相同的数学表达式.也就是说,对于描述力学现象的规律而言,所有 惯性系都是等价的,这称为力学相对性原理. 对第二个问题的回答,牛顿理论认为,时间和空间都是绝对的,可以脱离物质运动而 存在,并且时间和空间也没有任何联系.这就是经典的时空观,也称为绝对时空观.这种 观点表现在对时间间隔和空间间隔的测量上,则认为对所有的参考系中的观察者,对于 任意两个事件的时间间隔和空间距离的测量结果都应该相同.显然这种观点符合人们 日常经验. 依据绝对时空观,伽利略得到反映经典力学规律的伽利略变换.并在此基础上,得出 不同惯性参考系中物体的加速度是相同的.在经典力学中,物体的质量 m 又被认为是不 变的,据此,牛顿运动定律在这两个惯性系中的形式也就成为相同的了,这表明牛顿第二 定律具有伽利略变换下的不变性.可以证明,经典力学的其他规律在伽利略变换下也是 不变的.所以说,伽利略变换是力学相对性原理的数学表述,它是经典时空观念的集中体
、狭义相对论产生的历史背景和条件 19世纪后期,随着电磁学的发展,电磁技术得到了越来越广泛的应用,同时对电磁 规律的更加深入的探索成了物理学研究的中心,终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立. 麦克斯韦方程组是这一理论的概括和总结它完整的反映了电磁运动的普遍规律,而且 预言了电磁波的存在揭示了光的电磁本质这是继牛顿之后经典理论的又一伟大成就 光是电磁波,由麦克斯韦方程组可知光在真空中传播的速率为 =2.988×10°m/s 它是一个恒量这说明光在真空中传播的速率与光传播的方向无关 按照伽利略变换关系不同惯性参考系中的观察者测定同一光束的传播速度时,所 得结果应各不相同由此必将得到一个结论:只有在一个特殊的惯性系中,麦克斯韦方 程组才严格成立,即在不同的惯性系中,宏观电磁现象所遵循的规律是不同的这样以来, 对于不可能通过力学实验找到的特殊参考系现在似乎可以通过电磁学、光学实验找到 例如若能测出地球上各方向光速的差异,就可以确定地球相对于上述特殊惯性系的运 为了说明不同惯性系中各方向上光速的差异,人们不仅重新研究了早期的一些实 验和天文观察还设计了许多新的实验迈克耳孙—一莫雷实验就是最早设计用来测量 地球上各方向光速差异的著名实验然而在各种不同条件下多次反复进行测量都表明 在所有惯性系中,真空中光沿各个方向上传播的速率都相同,即都等于c 这是个与伽利略变换乃至整个经典力学不相容的实验结果,它曾使当时的物理学 界大为震动为了在绝对时空观的基础上统一的说明这个实验和其他实验结果,一些物 理学家如洛伦兹等曾提出各种各样的假设,但都未能成功 1905年,26岁的爱因斯坦另辟蹊径他不固守绝对时空观和经典力学的观念,而是 在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上从全新的角度来考虑所有问题 首先他认为自然界是对称的包括电磁现象在内的一切物理现象和力学现象一样都应 满足相对性原理,即在所有的惯性系中物理定律及其数学表达式都是相同的,因而用任 何方法都不能确定特殊的参考系;此外,他还指出,许多实验都已表明,在所有的惯性系 中测量,真空中的光速都是相同的于是爱因斯坦提出了两个基本假设并在此基础上建 立了新的理论一一狭义相对论
2 现. 二、狭义相对论产生的历史背景和条件 19 世纪后期,随着电磁学的发展,电磁技术得到了越来越广泛的应用,同时对电磁 规律的更加深入的探索成了物理学研究的中心,终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立. 麦克斯韦方程组是这一理论的概括和总结,它完整的反映了电磁运动的普遍规律,而且 预言了电磁波的存在,揭示了光的电磁本质.这是继牛顿之后经典理论的又一伟大成就. 光是电磁波,由麦克斯韦方程组可知,光在真空中传播的速率为 2 988 10 m/s 1 8 0 0 = c = . 它是一个恒量,这说明光在真空中传播的速率与光传播的方向无关. 按照伽利略变换关系,不同惯性参考系中的观察者测定同一光束的传播速度时,所 得结果应各不相同.由此必将得到一个结论：只有在一个特殊的惯性系中,麦克斯韦方 程组才严格成立,即在不同的惯性系中,宏观电磁现象所遵循的规律是不同的.这样以来, 对于不可能通过力学实验找到的特殊参考系,现在似乎可以通过电磁学、光学实验找到, 例如若能测出地球上各方向光速的差异,就可以确定地球相对于上述特殊惯性系的运 动. 为了说明不同惯性系中各方向上光速的差异,人们不仅重新研究了早期的一些实 验和天文观察,还设计了许多新的实验.迈克耳孙——莫雷实验就是最早设计用来测量 地球上各方向光速差异的著名实验.然而在各种不同条件下多次反复进行测量都表明： 在所有惯性系中,真空中光沿各个方向上传播的速率都相同,即都等于 c. 这是个与伽利略变换乃至整个经典力学不相容的实验结果,它曾使当时的物理学 界大为震动.为了在绝对时空观的基础上统一的说明这个实验和其他实验结果,一些物 理学家,如洛伦兹等,曾提出各种各样的假设,但都未能成功. 1905 年,26 岁的爱因斯坦另辟蹊径.他不固守绝对时空观和经典力学的观念,而是 在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,从全新的角度来考虑所有问题. 首先,他认为自然界是对称的,包括电磁现象在内的一切物理现象和力学现象一样,都应 满足相对性原理,即在所有的惯性系中物理定律及其数学表达式都是相同的,因而用任 何方法都不能确定特殊的参考系；此外,他还指出,许多实验都已表明,在所有的惯性系 中测量,真空中的光速都是相同的.于是爱因斯坦提出了两个基本假设,并在此基础上建 立了新的理论——狭义相对论
§142狭义相对论的基本原理 狭义相对论的两个基本假设 爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,提出了狭义相对 论的如下两个基本假设 1)相对性原理:基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式即 切惯性系都是等价的它是力学相对性原理的推广和发展 2)光速不变原理:在一切惯性系中,光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同 一个恒量c,且与光源的运动状态无关 狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单但却与人们已经习以为常的经典时 空观及经典力学体系不相容确认两个基本假设就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽 利略坐标变换关系和牛顿力学定律等使之符合狭义相对论两个基本原理的要求另 方面应注意到伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的因此 它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似即狭义相对论应包 含牛顿力学理论在内牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件(低速运动情况) 下的近似 尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解,但是一百多年来大量 实验事实表明,依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论,确实比经典理论更真 实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性. 二、洛伦兹变换 为简单起见如图14所示,设惯性系S"(Oxyz)以速度υ相对于惯性系S(O xyz)沿x(x)轴正向作匀速直线运动x轴与x轴重合y和z轴分别与y和z轴 平行S系原点O与S'系原点O重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点设P 为观察的某一事件在S系 观察者看来它是在t时刻 P(x,y,=) 发生在(xy,z)处的而在 (x’,y,=) S系观察者看来它却在t 时刻发生在(x'y,z)处 下面我们就来推导这同一 事件在这两惯性系之间的 时空坐标变换关系 在y(y)方向和z(z)方 图141洛伦兹坐标变换 向上,S系和S‘系没有相对 运动则有:y=y,z=z下面仅考察(x、t)和(x、t)之间的变换由于时间和空间的均匀 性,变换应是线性的在考虑t=t=0时两个坐标系的原点重合,则x和(x+ut)只能相
3 §14.2 狭义相对论的基本原理 一、狭义相对论的两个基本假设 爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上,提出了狭义相对 论的如下两个基本假设 1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式,即 一切惯性系都是等价的.它是力学相对性原理的推广和发展. 2）光速不变原理：在一切惯性系中,光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同 一个恒量 c,且与光源的运动状态无关. 狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单,但却与人们已经习以为常的经典时 空观及经典力学体系不相容.确认两个基本假设,就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽 利略坐标变换关系和牛顿力学定律等,使之符合狭义相对论两个基本原理的要求.另一 方面应注意到,伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的,因此 它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似.即狭义相对论应包 含牛顿力学理论在内,牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件（低速运动情况） 下的近似. 尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解,但是一百多年来大量 实验事实表明,依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论,确实比经典理论更真 实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性. 二、洛伦兹变换 为简单起见,如图 14.1 所示,设惯性系 S'（O' x'y' z' ）以速度υ相对于惯性系 S（O xy z）沿 x（x'） 轴正向作匀速直线运动,x'轴与 x 轴重合,y' 和 z' 轴分别与 y 和 z 轴 平行,S 系原点 O 与 S '系原点 O '重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点.设 P 为观察的某一事件,在 S 系 观察者看来,它是在 t 时刻 发生在（x,y, z）处的,而在 S'系观察者看来,它却在 t ' 时刻发生在（x',y', z'）处. 下面我们就来推导这同一 事件在这两惯性系之间的 时空坐标变换关系. 在 y (y')方向和 z(z')方 向上,S 系和 S '系没有相对 运动,则有：y' =y，z'=z,下面仅考察(x、t)和(x'、t')之间的变换.由于时间和空间的均匀 性,变换应是线性的,在考虑 t=t'=0 时两个坐标系的原点重合,则 x 和(x' +υt' )只能相 x(x') ( ' , ' , ') ( , , ) x y z P x y z y y' z z' o o' 图14.1 洛伦兹坐标变换
差一个常数因子,即 x=y(x'+ur) (14.1) 由相对性原理知所有惯性系都是等价的,对S系来说,S系是以速度υ沿x的负方向运 动,因此x和(x-Ut)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数,即有 x=y(x-ut 为确定常数y,考虑在两惯性系原点重合时(t==0),在共同的原点处有一点光源发出一 光脉冲,在S系和S系都观察到光脉冲以速率c向各个方向传播所以有 x=ct. x=ct (14.3) 将式(143)代入式(141)和式(142)并消去t和t后得 1 将上式中的y代入式(142)得 x-U I (146) √1-υ2/c2 另由式(141)和(142)求出t并代入γ的值得 I-Ux/c r'=yt+() 于是得到如下的坐标变换关系 x-ut x+u 1-υ2/ 1-u2/c2 y=) (14.7) 逆变换 /=I-ux/c2 r+ux/c 这种新的坐标变换关系称为洛伦兹( H.A Lorentz,1853-1928)变换显然, 讨论:1)从洛伦兹变换中可以看出不仅x是x、t的函数而且t也是x、t的 函数并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关这样洛伦兹变换就集中的反映 了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念这是与牛顿理论的时间 空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的 2)在υ<<c的情况下洛伦兹变换就过渡到伽利略变换 3)洛伦兹变换中x和t都必须是实数所以速率U必须满足υ≤c.于是我们就得到 了一个十分重要的结论:一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c,或者说真空
4 差一个常数因子,即 x = (x'+ t') (14.1) 由相对性原理知,所有惯性系都是等价的,对 S'系来说,S 系是以速度υ沿 x' 的负方向运 动,因此,x' 和(x -υt)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数,即有 x'= (x − t) (14.2) 为确定常数,考虑在两惯性系原点重合时(t=t'=0),在共同的原点处有一点光源发出一 光脉冲,在 S 系和 S'系都观察到光脉冲以速率 c 向各个方向传播.所以有 x = ct, x'= ct' (14.3) 将式(14.3)代入式(14.1)和式(14.2)并消去 t 和 t' 后得 2 2 1 1 − / c = (14.5) 将上式中的代入式(14.2)得 2 2 1 c x t x / ' − − = (14.6) 另由式(14.1)和(14.2)求出 t' 并代入的值得 2 2 2 2 1 1 1 c x c t t / / ' ( ) − − = − = + 于是得到如下的坐标变换关系 − − = = = − − = 2 2 2 2 2 1 1 c t x c t z z y y c x t x / / ' ' ' / ' 逆变换 ⎯x⎯'⎯x,t'⎯t,⎯→⎯−→ − + = = = − + = 2 2 2 2 2 1 1 c t x c t z z y y c x t x / ' '/ ' ' / ' ' (14.7) 这种新的坐标变换关系称为洛伦兹(H.A.Lorentz,1853—1928)变换.显然, 讨论：1）从洛伦兹变换中可以看出,不仅 x' 是 x、t 的函数,而且 t' 也是 x、t 的 函数,并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关,这样洛伦兹变换就集中的反映 了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念.这是与牛顿理论的时间、 空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的. 2）在 c 的情况下,洛伦兹变换就过渡到伽利略变换. 3）洛伦兹变换中,x'和 t'都必须是实数,所以速率υ必须满足 c .于是我们就得到 了一个十分重要的结论：一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速 c ,或者说真空
中的光速c是物体运动的极限速度 4)时钟和尺子 例题141北京与上海直线相距1000km,在某一时刻从两地同时各开出一列火车 现有一艘飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过速率恒为υ=外km/s求宇航员测得 的两列火车开出时刻的间隔哪一列先开出? 解:取地面为S系坐标原点在北京,以北京到上海的方向为x轴正方向北京和上 海的位置坐标分别为x1和x2取飞船为S'系 现已知在S系,两地距离为 x 而两列火车开出时刻的间隔是 t2-1=0 由洛伦兹变换可得 9×103 (2-4)-=(3-x)-03×10y2×10 n2-II √1-υ2/e21-(9×10)23×103) 这一负的结果表示:宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早10-7s 三、洛伦兹速度变换关系 洛伦兹速度变换关系讨论的是同一运动质点在S系和S系中速度的变换关系在S 系的观察者测得该物体速度的三个分量为 dt dt dt 在S系的观察者测得该物体速度的三个分量为 dy dt' (14.10) dt 为了求得上列不同惯性系速度各分量之间的变化关系我们对洛伦兹变换式中各 式求微分得 1-U2/c2 dy’=d (14.11) d=d dt-udx/c
5 中的光速 c 是物体运动的极限速度. 4)时钟和尺子。 例题 14.1 北京与上海直线相距 1000km,在某一时刻从两地同时各开出一列火车. 现有一艘飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过,速率恒为 = 9km/s.求宇航员测得 的两列火车开出时刻的间隔,哪一列先开出？ 解：取地面为 S 系,坐标原点在北京,以北京到上海的方向为 x 轴正方向,北京和上 海的位置坐标分别为 x1 和 x2.取飞船为 S '系. 现已知在 S 系,两地距离为 10 m 6 x = x2 − x1 = 而两列火车开出时刻的间隔是 t = t 2 −t 1 = 0 由洛伦兹变换可得 10 s 1 9 10 3 10 10 3 10 9 10 1 7 3 2 8 2 6 8 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 1 − − − − = − − − − − = ( ) /( ) ( ) / ( ) ( ) ' ' c x x c t t t t 这一负的结果表示：宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早 10 s −7 . 三、洛伦兹速度变换关系 洛伦兹速度变换关系讨论的是同一运动质点在 S 系和 S'系中速度的变换关系.在 S 系的观察者测得该物体速度的三个分量为 dt dz u dt dy u dt dx ux = , y = , z = (14.9) 在 S'系的观察者测得该物体速度的三个分量为 ' ' , ' ' ' , ' ' ' ' dt dz u dt dy u dt dx u x = y = z = (14.10) 为了求得上列不同惯性系速度各分量之间的变化关系,我们对洛伦兹变换式中各 式求微分,得 − − = = = − − = 2 2 2 2 2 1 1 c dt dx c dt dz dz dy dy c dx dt dx / / ' ' ' / ' (14.11)
由上式中的第一、第二和第三各式分别除以第四式便可得到从S惯性系到S'惯性系的 速度变换公式为 l -ou /c 1-uu/c 这便是洛伦兹速度变换关系据相对性原理,在式(14.12)中将带撇的量与不带撇的量互 换并将υ换成-U,就得到速度变换的逆变换 u+U 带撇量与不带撤量对调 n'√1-u2/c2 (14.13) 1+uu/ 例题142π°介子在高速运动中衰变衰变时辐射出光子如果π°介子的运动速度 为099975c,求它向运动的正前方辐射的光子的速度 解:设实验室参考系为S系,随同π°介子一起运动的惯性系为S系,取π°介子和光 子运动的方向为ⅹ轴,由题意,υ=0.99975c,u'x=C.据相对论速度变换的逆变换公式得 1+Uu'/c21+u/e 可见光子的速度仍为c这已为实验所证实洛伦兹速度变换关系能够保证光速不变性 若按照伽利略变换光子相对于实验室参考系的速度是19975c,这显然是错误的 作业(P187:146,14.9
6 由上式中的第一、第二和第三各式分别除以第四式便可得到从 S 惯性系到 S'惯性系的 速度变换公式为 − − = − − = − − = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 u c u c u u c u c u u c u u x z x x y y x x x / / ' / / ' / ' (14.12) 这便是洛伦兹速度变换关系.据相对性原理,在式(14.12)中将带撇的量与不带撇的量互 换,并将υ换成-υ,就得到速度变换的逆变换 → − ⎯带撇量与不带撇量对调 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + − = + − = + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 u c u c u u c u c u u c u u x z x x y y x x x ' / ' / ' / ' / ' / ' (14.13) 例题 14.2 o 介子在高速运动中衰变,衰变时辐射出光子.如果 o 介子的运动速度 为 0.99975c,求它向运动的正前方辐射的光子的速度. 解：设实验室参考系为 S 系,随同 o 介子一起运动的惯性系为 S'系,取 o 介子和光 子运动的方向为 x 轴,由题意,υ=0.99975c, u 'x=c .据相对论速度变换的逆变换公式得 c c c u c u u x x x = + + = + + = ' / / ' 1 1 2 可见光子的速度仍为 c,这已为实验所证实,洛伦兹速度变换关系能够保证光速不变性. 若按照伽利略变换,光子相对于实验室参考系的速度是 1.99975c,这显然是错误的. 作业(P187)：14.6,14.9
§143狭义相对论的时空观 同时的相对性 按照洛伦兹变换,时间是与参考系有关的而不是绝对的下面就来讨论两个事件的 时间间隔在不同惯性系间的关系,假设这两个惯性系仍然是上节所取的S系和S'系、如 果在S系的两个不同地点同时分别发出一光脉冲信号A和B,它们的时空坐标为 A(x1,y,=1,1)和B(x2,y2,2,),因为是同时发生的所以1=12。为了确保这两个光脉 冲是同时发出的,可以在这两个地点连线的中点处安放一光脉冲接收装置若该接收装 置同时接收到两光脉冲信号,就表示这两个信号是同时发出的而在S"系观察,这两个光 脉冲信号发出的时间分别是 l's4-ux,/C2 和t t -ux √1-u2/c2 √1-υ27/c2×0 (14.14) 上式表明,在S系中两个不同地点同时发生的事件在S系看来不是同时发生的这就是 同时的相对性因为运动是相对的所以这种效应是互逆的即在S系中两个不同地点同 时发生的事件在S系看来也不是同时发生的当x1=x2时即两个事件发生在同一地点 则同时发生的事件在不同的惯性系看来才是同时的从这里也可以得到在狭义相对论 中,时间和空间是相互联系的 二、时间延缓效应 若在一惯性系中,某两个事件发生在同一地点,则在该惯性系中测得它们的时间间 隔称为固有时,用τ表示现在讨论在其他惯性系中所测得的这两个事件的时间间隔 M与固有时τ的关系 某两个事件在S系中的时空坐标分别为(x1,)和(x2,2)在S系中为,(x1,r'1)和 (x'2,t'2)假设在S系中观测这两个事件发生在同一地点, 即x’=x2,则τ=t2't'即为固有时,据洛伦兹变换得 M=s'-t+(x2-x)/c2 1-υ2/c21-u32 即△ (1415)
7 §14.3 狭义相对论的时空观 一、同时的相对性 按照洛伦兹变换,时间是与参考系有关的,而不是绝对的.下面就来讨论两个事件的 时间间隔在不同惯性系间的关系,假设这两个惯性系仍然是上节所取的 S 系和 S'系.如 果在 S 系的两个不同地点同时分别发出一光脉冲信号 A 和 B,它们的时空坐标为 ( , , , ) A 1 1 1 1 x y z t 和 ( , , , ) B 2 2 2 2 x y z t ,因为是同时发生的,所以 1 2 t = t 。为了确保这两个光脉 冲是同时发出的,可以在这两个地点连线的中点处安放一光脉冲接收装置,若该接收装 置同时接收到两光脉冲信号,就表示这两个信号是同时发出的.而在 S'系观察,这两个光 脉冲信号发出的时间分别是 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c t x c t c t x c t / / ' / / ' − − = − − = 和 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 − − ⎯ ⎯→ − = − = c x x c t t t t / ( )/ ' ' (14.14) 上式表明,在 S 系中两个不同地点同时发生的事件,在 S'系看来不是同时发生的,这就是 同时的相对性.因为运动是相对的,所以这种效应是互逆的,即在 S'系中两个不同地点同 时发生的事件,在S系看来也不是同时发生的.当 1 2 x = x 时,即两个事件发生在同一地点, 则同时发生的事件在不同的惯性系看来才是同时的.从这里也可以得到,在狭义相对论 中,时间和空间是相互联系的. 二、时间延缓效应 若在一惯性系中,某两个事件发生在同一地点,则在该惯性系中测得它们的时间间 隔称为固有时,用τ表示.现在讨论在其他惯性系中所测得的这两个事件的时间间隔 t 与固有时τ的关系. 某两个事件在 S 系中的时空坐标分别为 ( , ) 1 1 x t 和 ( , ) 2 2 x t ,在 S'系中为, ( ' , ' ) 1 1 x t 和 ( ' , ' ) 2 2 x t .假设在 S'系中观测,这两个事件发生在同一地点, 即x1 '= x2 ' ,则 = t 2 '−t 1 '即为固有时，据洛伦兹变换得 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 c 1 c t t x x c t t t / / ' ' ( )/ − = − − + − = − = 2 2 1 c t − / 即 = (14.15)
这结果表明如果在S"系中同一地点相继发生的两个事件的时间间隔是τ,那么在S系 中测得同样这两个事件的时间间隔M总是比τ长,或者说运动时钟变慢了,这就是狭义 相对论的时间延缓效应由于运动是相对的所以时间延缓效应是可逆的即如果在S系 中同一地点相继发生的两个事件的时间间隔为M,那么在S系中测得的M总比M长 三、长度收缩效应 在S系沿x轴放置一长杆,其两边的坐标分别为x’和x',它的静止长度为 △L0=△'=x2-x',静止长度也称为固有长度当在S系中测量这同一杆的长度时,则必 须同时测出杆两端的坐标x和x2,才能得到杆长的正确值△L=x2-x1根据洛伦兹变 换,应有 √1-22 ut. √1-u2/c2 ↓考虑到S系要同时测量,即t1=12 Al= (x2-x1)-U(t 2/ △L=ML√1-U2/c2 (14.16) 这结果表明,在S系观察到运动着的杆的长度比它的静止长度缩短了这就是狭义相对 论的长度收缩效应 讨论 1)基本属性; 2)相对性:由于运动的相对性长度收缩效应也是互逆的放置在S系的杆在S 系观测同样会得到收缩的结论 3)与时钟延缓效应是相关的。 例题14.3介子是不稳定的粒子,其固有寿命为2603×108s如果n2介子产生后 立即以0.9200c的速度作匀速直线运动问它能否在衰变前通过17m路程? 解:设实验室参考系为S系,随同介子一起运动的惯性系为S"系据题意有 U=0.9200c,τ=2.603×10-8s 解法一:利用时间延缓效应得从实验室坐标系观测π介子的寿命为 2.603×10-8 △t =6.642×10 -u2/c2-(0.9200
8 这结果表明,如果在 S'系中同一地点相继发生的两个事件的时间间隔是τ,那么在 S 系 中测得同样这两个事件的时间间隔 t 总是比τ长,或者说运动时钟变慢了,这就是狭义 相对论的时间延缓效应.由于运动是相对的,所以时间延缓效应是可逆的,即如果在 S 系 中同一地点相继发生的两个事件的时间间隔为 t ,那么在 S'系中测得的 t '总比 t 长. 三、长度收缩效应 在 S'系沿 x' 轴放置一长杆,其两边的坐标分别为 ' ' 1 2 x 和x ,它的静止长度为 ' ' ' 0 2 1 L = L = x −x ,静止长度也称为固有长度.当在 S 系中测量这同一杆的长度时,则必 须同时测出杆两端的坐标 1 2 x 和x ,才能得到杆长的正确值 2 1 L = x − x .根据洛伦兹变 换,应有 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c x t x c x t x / ' / ' − − = − − = 和 2 2 2 2 2 1 2 1 0 1 2 1 1 S c L c x x t t L t t / / ( ) ( ) − = − − − − = 考虑到 系要同时测量，即 = 即 2 2 L = L0 1− / c (14.16) 这结果表明,在 S 系观察到运动着的杆的长度比它的静止长度缩短了,这就是狭义相对 论的长度收缩效应. 讨论： 1）基本属性； 2）相对性：由于运动的相对性,长度收缩效应也是互逆的,放置在 S 系的杆,在 S' 系观测同样会得到收缩的结论. 3）与时钟延缓效应是相关的。 例题 14.3 介子是不稳定的粒子,其固有寿命为 2 603 10 s −8 . .如果 介子产生后 立即以 0.9200c 的速度作匀速直线运动,问它能否在衰变前通过 17m 路程？ 解：设实验室参考系为 S 系,随同 介子一起运动的惯性系为 S'系,据题意有 0 9200 2 603 10 s −8 = . c, = . 解法一：利用时间延缓效应得从实验室坐标系观测 介子的寿命为 6 642 10 s 1 0 9200 2 603 10 1 8 2 8 2 2 − − = − = − = . ( . ) . / c t
在衰变前可以通过的路程为 L=U△t=0.9200c×6.642×10-8=18.32m>17m 所以π介子在衰变前可以通过17m的路程 解法二:利用长度收缩效应在π介子参考系(S"系)观测介子在固有寿命期间 实验室运动的距离为 /"=Uτ=0.9200c×2.603×103=7.179 但由长度收缩效应得空间路程要收缩为 1=l1-u2/c2=6663m 实验室运动的距离1(=7.179m)大于6663m所以介子在衰变前可以通过17m的路程, 与解法一的结论一致 从上述讨论可见相对论时间延缓总是与长度收缩密切联系在一起的它们都是由 时空的基本属性所决定的相对论的时间和空间与物体的运动有关,这与牛顿的绝对时 空观是完全不相容的但在低速情况(υ<<c)下,相对论的时空转变为牛顿的绝对时空. 作业(P187)10.12
9 在衰变前可以通过的路程为 0 9200 6 642 10 18 32m 17m 8 = = = − L t . c . . 所以 介子在衰变前可以通过 17m 的路程. 解法二：利用长度收缩效应.在 介子参考系（S'系）观测,介子在固有寿命期间 实验室运动的距离为 0 9200 2 603 10 7 179m 8 '= = . . = . − l c 但由长度收缩效应得空间路程要收缩为 1 6 663 m 2 2 0 l = l − / c = . 实验室运动的距离 l '(=7.179m)大于 6.663m,所以介子在衰变前可以通过 17m 的路程, 与解法一的结论一致. 从上述讨论可见,相对论时间延缓总是与长度收缩密切联系在一起的.它们都是由 时空的基本属性所决定的,相对论的时间和空间与物体的运动有关,这与牛顿的绝对时 空观是完全不相容的.但在低速情况（υ<< c）下,相对论的时空转变为牛顿的绝对时空. 作业(P187)：10, 12
§144狭义相对论动力学基础 经典力学对伽利略变换来说是协变的,在旧时空概念下,牛顿定律对任意惯性系成 立由于时空观的发展洛伦兹变换代替了伽利略变换经典力学的原有形式不再满足相 对性原理爱因斯坦认为,应该对经典力学进行改造或修正,以使它满足洛伦兹变换和洛 伦兹变换下的相对性原理经这种改造的力学就是相对论力学当然,在低速(U<<c) 情况下相对论力学应该合理地过渡到经典力学 相对论质量和动量 在经典力学中,根据动能定理,作功会使质点的动能增加,质点的运动速率将增大, 速率增大到多大原则上没有上限而实验证明这是错误的例如在真空管的两个电极 之间施加电压,用以对其中的电子加速实验发现当电子速率越高时加速就越困难,并 且无论施加多大的电压电子的速度都不能达到光速这一事实意味着物体的质量不是 绝对不变量,可能是速率的函数随速率的增加而增大下面就让我们来探求质量与速率 的具体函数关系 如图142所示,S系相对于S系以速度 沿x轴正向运动在S系有一静止在ⅹ0 B质心 处的粒子,由于内力的作用而分裂为质量相 等的两部分(A和B),并且,分裂后MA以速 度υ沿ⅹ轴正向运动而MB以速度-U沿x 轴负向运动在S系看来,MA是静止不动的,z 图142质速关系用图 而MB相对于S'系的运动速度可由洛伦兹 速度变换公式求得 1-(-0)U/c21+u2/c2 (14.17) 从S系看,粒子分裂后其质心仍在x处不动,但从S"系看质心是以速率-b沿ⅹ轴负 向运动根据质心定义则有 MA’A+MBU (14.1 M+M M+M 由式(1417)解出U后代入(148)得 (14.19) 1-(U2l 由上式可以看到,在S系观测粒子分裂后的两部分以相同的速率运动质量相等,但从 S'系观测,由于它们运动速率不同质量也不相等.MA静止,可看作静质量用m表示 MB以速率UB运动可视为运动质量称为相对论性质量用m表示去掉U的上下标
10 §14.4 狭义相对论动力学基础 经典力学对伽利略变换来说是协变的,在旧时空概念下,牛顿定律对任意惯性系成 立.由于时空观的发展,洛伦兹变换代替了伽利略变换,经典力学的原有形式不再满足相 对性原理.爱因斯坦认为,应该对经典力学进行改造或修正,以使它满足洛伦兹变换和洛 伦兹变换下的相对性原理.经这种改造的力学就是相对论力学.当然,在低速（υ<< c） 情况下,相对论力学应该合理地过渡到经典力学. 一、相对论质量和动量 在经典力学中,根据动能定理,作功会使质点的动能增加,质点的运动速率将增大, 速率增大到多大,原则上没有上限.而实验证明这是错误的.例如,在真空管的两个电极 之间施加电压,用以对其中的电子加速.实验发现,当电子速率越高时加速就越困难,并 且无论施加多大的电压,电子的速度都不能达到光速.这一事实意味着物体的质量不是 绝对不变量,可能是速率的函数,随速率的增加而增大.下面就让我们来探求质量与速率 的具体函数关系. 如图 14.2 所示,S'系相对于 S 系以速度 υ沿 x 轴正向运动,在 S 系有一静止在 x0 处的粒子,由于内力的作用而分裂为质量相 等的两部分（A 和 B）,并且,分裂后 MA 以速 度υ沿 x 轴正向运动,而 MB以速度-υ沿 x 轴负向运动.在 S' 系看来, MA 是静止不动的, 而 MB 相对于 S' 系的运动速度可由洛伦兹 速度变换公式求得 2 2 2 1 2 1 c c B ( ) / / ' + − = − − − − = (14.17) 从 S 系看,粒子分裂后其质心仍在 x0 处不动,但从 S' 系看,质心是以速率-υ沿 x 轴负 向运动.根据质心定义则有 B A B B A B A A B B M M M M M M M A ' ' ' ' + ⎯⎯⎯→ + + − = =0 + − = A B B M M ' (14.18) 由式 (14.17)解出υ后代入(14.18)得 2 2 1 1 1 ( ' / ) ( ' / c) M M M c M B A B B A B − = − = (14.19) 由上式可以看到,在 S 系观测,粒子分裂后的两部分以相同的速率运动,质量相等,但从 S'系观测,由于它们运动速率不同,质量也不相等. MA 静止,可看作静质量,用 m0 表示； MB 以速率 B ' 运动,可视为运动质量,称为相对论性质量,用 m 表示.去掉 B ' 的上下标
