第8章电磁感应电磁场 电与磁之间有着密切的联系,上章所讨论的电流产生磁场以及磁场对电流的作用, 就是这种联系的一个方面这种联系的另一方面就是随时间变化的磁场可以产生电场 以及随时间变化的电场也可以产生磁场这些现象的发现,使人们有可能大规模地把其 它形式的能转化为电能为广泛使用电力创造了条件大大推动了生产力的发展本章在 介绍法拉第电磁感应定律的基础上研究随时间变化的磁场产生电场的规律:在麦克斯 韦位移电流假设的基础上研究随时间变化的电场产生磁场的规律,并简单介绍麦克斯 韦的电磁理论 §8.1电磁感应定律 电磁感应现象 1820年奥斯特关于电流的磁效应的发现引起了科学界的普遍关注,对其逆现象是 否能够发生进行了大量的研究英国物理学家法拉第( M. Faraday,1791-1867)经过十多 年的辛勤努力终于在1831年发现电磁感应现象其内容为:不论采用什么方法,只要使 通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化则回路中便会有电流产生这种现象称为 电磁感应这种现象所产生的电流称为感应电流 关于感应电流的方向楞次Lenz)于1833年从实验中总结出一条规律称为楞次定 律,其内容为:感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化 二、法拉第电磁感应定律 在闭合导体回路中出现了电流,一定是由于回路中出现了电动势当穿过导体回路 的磁通量发生变化时,回路中产生了感应电流就说明此时在回路中产生了电动势由这 原因产生的电动势叫感应电动势,其方向与感应电流的方向相同但应注意如果导体 回路不闭合,则回路中无感应电流,但仍有感应电动势.因此,从本质上说,电磁感应的直 接效果是在回路中产生感应电动势 关于感应电动势,法拉第通过对大量实验事实的分析,总结出如下结论:无论什么 原因,使通过回路的磁通量发生变化时,回路中均有感应电动势产生,其大小与通过该回 路的磁通量随时间的变化率成正比这一规律称为法拉第电磁感应定律.在SI单位制中, 其数学表达式为 (8.1) dt 式中Φ是通过导体回路的磁通量若回路由N匝线圈组成,且通过每匝线圈的磁通量均 相等则式中磁通量Φ要用磁通匝数(磁链)=N代替 式中负号是考虑E与Φ的标定正方向满足右手螺旋关系所引入的它是楞次定律
1 第 8 章 电磁感应 电磁场 电与磁之间有着密切的联系,上章所讨论的电流产生磁场以及磁场对电流的作用, 就是这种联系的一个方面.这种联系的另一方面就是随时间变化的磁场可以产生电场 以及随时间变化的电场也可以产生磁场.这些现象的发现,使人们有可能大规模地把其 它形式的能转化为电能,为广泛使用电力创造了条件,大大推动了生产力的发展.本章在 介绍法拉第电磁感应定律的基础上,研究随时间变化的磁场产生电场的规律；在麦克斯 韦位移电流假设的基础上研究随时间变化的电场产生磁场的规律,并简单介绍麦克斯 韦的电磁理论. §8.1 电磁感应定律 一、电磁感应现象 1820 年奥斯特关于电流的磁效应的发现,引起了科学界的普遍关注,对其逆现象是 否能够发生进行了大量的研究.英国物理学家法拉第(M.Faraday,1791—1867)经过十多 年的辛勤努力,终于在 1831 年发现电磁感应现象.其内容为：不论采用什么方法,只要使 通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化,则回路中便会有电流产生.这种现象称为 电磁感应,这种现象所产生的电流称为感应电流. 关于感应电流的方向,楞次(Lenz)于 1833 年从实验中总结出一条规律称为楞次定 律,其内容为：感应电流产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的变化. 二、法拉第电磁感应定律 在闭合导体回路中出现了电流,一定是由于回路中出现了电动势.当穿过导体回路 的磁通量发生变化时,回路中产生了感应电流,就说明此时在回路中产生了电动势.由这 一原因产生的电动势叫感应电动势,其方向与感应电流的方向相同.但应注意,如果导体 回路不闭合,则回路中无感应电流,但仍有感应电动势.因此,从本质上说,电磁感应的直 接效果是在回路中产生感应电动势. 关于感应电动势,法拉第通过对大量实验事实的分析,总结出如下结论：无论什么 原因,使通过回路的磁通量发生变化时,回路中均有感应电动势产生,其大小与通过该回 路的磁通量随时间的变化率成正比.这一规律称为法拉第电磁感应定律.在 SI 单位制中, 其数学表达式为 dt d i = − (8.1) 式中Φ是通过导体回路的磁通量,若回路由 N 匝线圈组成,且通过每匝线圈的磁通量均 相等,则式中磁通量Φ要用磁通匝数(磁链) = N 代替. 式中负号是考虑 i 与Φ的标定正方向满足右手螺旋关系所引入的,它是楞次定律
的反映E,与中在此都是代数量,其正负要由预先标定的正方向来决定与标定正方向相 同为正与标定正方向相反为负如图8.1所示任取绕行方 向作为导体回路中电动势的标定正方向(图中虚线箭头所 示方向,取以导体回路为边界的曲面的法向单位矢量n的 方向为磁通量的标定正方向,并且规定这两个标定正方向 满足右手螺旋关系在图8.1中如果磁场由下向上穿过回 路,Φ>0,同时磁场在增大(db/d>0),由式(8.1)就有 E1<0,此时感应电动势的方向与虚线箭头的方向相反其 他情形同学们可自行分析 作业(P198):8.8,8.10
2 的反映. i 与Φ在此都是代数量,其正负要由预先标定的正方向来决定,与标定正方向相 同为正,与标定正方向相反为负.如图 8.1 所示,任取绕行方 向作为导体回路中电动势的标定正方向(图中虚线箭头所 示方向),取以导体回路为边界的曲面的法向单位矢量 n 的 方向为磁通量的标定正方向,并且规定这两个标定正方向 满足右手螺旋关系.在图 8.1 中,如果磁场由下向上穿过回 路, 0 ,同时磁场在增大( d/ dt 0 ),由式(8.1)就有 i < 0,此时感应电动势的方向与虚线箭头的方向相反.其 他情形同学们可自行分析. 作业(P198)：8.8，8.10
§82动生电动势 动生电动势 电磁感应现象虽然种类繁多,但可以把它们分为两大类,一类是磁场相对于线圈或 导体回路改变其大小和方向而引起的电磁感应现象,另一类是线圈或导体回路相对于 磁场改变其面积和取向而引起的电磁感应现象我们将磁场不随时间变化仅由导体或 导体回路相对于磁场运动所产生的感应电动势称为动生电动势如图82所示在方向 垂直于纸面向里的匀强磁场B中放置一矩形导线框abcd,其平面与磁场垂直;导体ab 段长为1,可沿cb和如a滑动当wb以速度υ向右滑动时,线框回路中产生的感应电动势 即为动生电动势某时刻穿过回路所围面积的磁通量为 Φ=BS=Bx 随着ab的运动其磁通量在变化由式(81)可得动生 电动势为 B d小-B/a=-Bhb=-6 dt 图8.2 Blu (8.2) 负号表示动生电动势的方向与标定正方向相反,即从ab 二、动生电动势的电子论解释 我们知道电动势是非静电力作用的表现引起动生电动势的非静电力是洛仑磁力 当导体ab向右以速度υ运动时,其内的自由电子被带着以同一速度向右运动因而每个 电子都受到洛仑磁力作用 ∫=-CU×B 把这个作用力看成是一种等效的“非静电场”的作用,则这一非静电场的场强应为 Ek U×B (8.3) 根据电动势的定义有 ∫E·d=[(0×Bd=D 这一结果与直接用法拉第电磁感应定律所得结果相同 以上结论可推广到任意形状的导体或线圈在非均匀磁场中运动或发生形变的情 形这是因为任何形状的导体或线圈可以看成是由许多线段元组成而任一线段元d所 在区域的磁场可看成是匀强磁场每段d对应有一个速度,这时,任一线段元d上所产
3 §8.2 动生电动势 一、动生电动势 电磁感应现象虽然种类繁多,但可以把它们分为两大类,一类是磁场相对于线圈或 导体回路改变其大小和方向而引起的电磁感应现象,另一类是线圈或导体回路相对于 磁场改变其面积和取向而引起的电磁感应现象.我们将磁场不随时间变化,仅由导体或 导体回路相对于磁场运动所产生的感应电动势称为动生电动势.如图 8.2 所示,在方向 垂直于纸面向里的匀强磁场 B 中放置一矩形导线框 abcd,其平面与磁场垂直；导体 ab 段长为 l ,可沿 cb 和 da 滑动.当 ab 以速度υ向右滑动时,线框回路中产生的感应电动势 即为动生电动势.某时刻穿过回路所围面积的磁通量为 = BS = Blx 随着 ab 的运动,其磁通量在变化,由式(8.1)可得动生 电动势为 Bl ab dt dx Bl dt d = − = − = − = − 即 ab = Bl (8.2) 负号表示动生电动势的方向与标定正方向相反,即从 a→b . 二、动生电动势的电子论解释 我们知道,电动势是非静电力作用的表现.引起动生电动势的非静电力是洛仑磁力. 当导体 ab 向右以速度υ运动时,其内的自由电子被带着以同一速度向右运动,因而每个 电子都受到洛仑磁力作用 f e B = − 把这个作用力看成是一种等效的“非静电场”的作用,则这一非静电场的场强应为 B e f Ek = − = (8.3) 根据电动势的定义有 E dl B dl Bl b a ab = k = = + − ( ) (8.4) 这一结果与直接用法拉第电磁感应定律所得结果相同. 以上结论可推广到任意形状的导体或线圈在非均匀磁场中运动或发生形变的情 形.这是因为任何形状的导体或线圈可以看成是由许多线段元组成,而任一线段元 dl 所 在区域的磁场可看成是匀强磁场.每段 dl 对应有一个速度, 这时,任一线段元 dl 上所产
生的动生电动势为 整个导线或线圈中产生的动生电动势为 =(×B,d 这是计算动生电动势的一般公式,它与法拉第电磁感应定律完全等效.由于 (×B),d=(d×)·B而(d×可)·B是线元a在单位时间所切割磁感应线数目故式 (85)表示了在整个导线L中所产生的动生电动势等于整个导线在单位时间内所切割的 磁感应线数目对于闭合回路,也就等于单位时间内通过回路的磁感应通量的变化量可 见(8.5)与法拉第电磁感应定律式等效它提供了一种计算动生电动势的方法. 值得注意,导线在磁场中运动产生感应电动势是洛仑磁力作用的结果在闭合电路 中感应电动势是要做功的但前已说过洛仑磁力不做功对此作何解释呢?如图83所 示随同导线一起运动的自由电子受到洛仑磁力的作用,电子将以速度u沿导线运动而 速度υ的存在使电子还要受到一个垂直于导线的洛仑 磁力=-c0B的作用电子受洛仑磁力的合力为 B f+f,电子运动的合速度为=0+0,所以洛仑 磁力合力做功的功率为 F·V=(+f")(U+U’) =fD'fo=eu'Bu-eu Bu'=0 这一结果表示洛仑磁力的合力做功为零,这与洛仑磁力不做功是一致的从上述结果中 可以看到 ∫·'+∫'=0→∫·U'=-f'u 为了使自由电子以速度U匀速运动必须有外力f作用到电子上而且f=-f因此 f.5’=-fa 此等式左侧表示洛仑磁力的一个分力使电荷沿导线运动所做功的功率,宏观上就 是感应电动势驱动电流做功的功率等式右侧是同一时刻外力反抗洛仑磁力的另一个 分力做功的功率,宏观上就是外力拉动导线做功的功率洛仑磁力总体做功为零,它实际 上表示了能量的转换和守恒洛仑磁力在这里起了一个能量转化者的作用,一方面接受 外力的功同时驱动电荷运动做功
4 生的动生电动势为 d B dl = ( ) 整个导线或线圈中产生的动生电动势为 = L B dl ( ) (8.5) 这 是 计 算动 生 电动 势 的 一般 公 式, 它 与法 拉 第电 磁 感应 定 律完 全 等 效. 由 于 B dl dl B ( ) = ( ) 而 dl B ( ) 是线元 dl 在单位时间所切割磁感应线数目.故式 (8.5)表示了在整个导线 L 中所产生的动生电动势等于整个导线在单位时间内所切割的 磁感应线数目.对于闭合回路,也就等于单位时间内通过回路的磁感应通量的变化量.可 见(8.5)与法拉第电磁感应定律式等效.它提供了一种计算动生电动势的方法. 值得注意,导线在磁场中运动产生感应电动势是洛仑磁力作用的结果.在闭合电路 中,感应电动势是要做功的.但前已说过,洛仑磁力不做功,对此作何解释呢？如图 8.3 所 示,随同导线一起运动的自由电子受到洛仑磁力的作用,电子将以速度 ' 沿导线运动,而 速度 ' 的存在使电子还要受到一个垂直于导线的洛仑 磁力 f e B '= − ' 的作用.电子受洛仑磁力的合力为 F f f ' = + ,电子运动的合速度为 = + ' V ,所以洛仑 磁力合力做功的功率为 = ( + ')(+ ') F V f f = + f ' f ' = e 'B− e B '= 0 这一结果表示洛仑磁力的合力做功为零,这与洛仑磁力不做功是一致的.从上述结果中 可以看到 + = → = − f ' f ' 0 f ' f ' 为了使自由电子以速度 匀速运动,必须有外力 ext f 作用到电子上,而且 f f ' ext = − .因此 有 = − ext f ' f 此等式左侧表示洛仑磁力的一个分力使电荷沿导线运动所做功的功率,宏观上就 是感应电动势驱动电流做功的功率.等式右侧是同一时刻外力反抗洛仑磁力的另一个 分力做功的功率,宏观上就是外力拉动导线做功的功率,洛仑磁力总体做功为零,它实际 上表示了能量的转换和守恒.洛仑磁力在这里起了一个能量转化者的作用,一方面接受 外力的功,同时驱动电荷运动做功
例题8.1如图84所示是半径为R的导体圆盘刷子ad与盘的轴及边缘保持光 滑接触,导线通过刷子与盘构成闭合回路求当导体圆盘绕通过中心的轴在均匀磁场 B(B与盘面垂直)中以角速度o旋转时,盘心与盘边缘aa'的电动势 解:首先考虑圆盘任一半径上距轴心为r 处的一段微元以速度U垂直于磁场而运动,B∠ U=o;微元d上的动生电动势为 c=(×B)·d=UBb=0Bth 在整个半径上的电动势为 E=oB rdr=o BR 图84例题81示图 在盘上其它半径中也有同样大小的动生电动势这些半径都是并联着的,因此整个 盘可以当作一个电动势源轴是一个电极边缘是另一个电极这可看成是一个简易直流 发电机的模型 刚性N匝线圈在均匀磁场中绕垂直于磁场的轴以角速度ω转动时由法拉第电磁 感应定律式或式(8.5)可得在匀强磁场中转动的线圈产生的感应电动势为 8= NBSo sino=s sino t S是线圈所围面积所产生的电动势是交变电动势这是交流发电机的基本原理 作业(P198):811,8.13
5 例题 8.1 如图 8.4 所示是半径为 R 的导体圆盘.刷子 a-a' 与盘的轴及边缘保持光 滑接触,导线通过刷子与盘构成闭合回路.求当导体圆盘绕通过中心的轴在均匀磁场 B(B 与盘面垂直)中以角速度ω旋转时,盘心与盘边缘 a-a' 的电动势. 解：首先考虑圆盘任一半径上距轴心为 r 处的一段微元 dr 以速度υ垂直于磁场而运动, υ=ωr,微元 dr 上的动生电动势为 d = B dr = Bdr = Brdr ( ) 在整个半径上的电动势为 2 0 2 1 B rdr BR R = = 在盘上其它半径中,也有同样大小的动生电动势.这些半径都是并联着的,因此整个 盘可以当作一个电动势源.轴是一个电极,边缘是另一个电极.这可看成是一个简易直流 发电机的模型. 刚性 N 匝线圈在均匀磁场中,绕垂直于磁场的轴以角速度ω转动时.由法拉第电磁 感应定律式或式 (8.5)可得在匀强磁场中转动的线圈产生的感应电动势为 = NBSsint = sint 0 S 是线圈所围面积.所产生的电动势是交变电动势.这是交流发电机的基本原理. 作业(P198)：8.11，8.13
§8.3感生电动势和感生电场 感生电动势和感生电场 我们把处于静止状态的导体或导体回路,由于内部磁场变化而产生的感应电动势 称为感生电动势 由于产生感生电动势的导体或导体回路不运动,因此感生电动势的起因不能用洛 仑磁力来解释由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受非静电力作用形成的,而 静止电荷受到的力只能是电场力所以这时的非静电力也只能是一种电场力由于这种 电场是由变化的磁场引起的所以叫感生电场,即产生感生电动势的非静电场是感生电 场以E1表示感生电场则根据电动势的定义感生电动势可表为 E,=fE,d 根据法拉第电磁感应定律应该有 do d E,=Edl 5E,d=∫ (8.6) t 上式是感生电场与变化磁场的一般关系,同时它也提供了一种计算感生电动势的 方法感生电动势的计算可先计算出导体内感生电场然后通过对感生电场的积分来计 算感生电动势;也可直接利用法拉第电磁感应定律计算.利用后者计算一段非闭合导线 b的感生电动势时,要设想一条辅助曲线与ab组成闭合回路,但求得的感生电动势不 定等于导线ab上的感生电动势,因为辅助曲线上的感生电动势不一定为零因此所选 的辅助曲线应当满足:它上面的感生电动势或者为零,或者易于求出 值得指出,在磁场变化时不但在导体回路中,而且在空间任一地点都会产生感生电 场这与空间中有无导体或导体回路无关然而感生电动势虽不要求导体是闭合电路, 但却必须在导体中才能产生由于感生电场的环路积分一般不等于零,故它不是保守力 场,所以又叫它涡旋电场涡旋电场不同于静电场的重要方面就在于它不是保守力场 例题82匀强磁场局限在半径为R的柱形区域内,磁场方向如图85所示磁感应 强度B的大小正以速率dBdt在增加求空间涡旋电场的 分布 解:取绕行正方向为顺时针方向作为感生电动势和涡 旋电场的标定正方向磁通量的标定方向则垂直纸面向里 在r<R的区域作半径为r的圆形回路,由 B 图85例题82示图
6 §8.3 感生电动势和感生电场 一、感生电动势和感生电场 我们把处于静止状态的导体或导体回路,由于内部磁场变化而产生的感应电动势 称为感生电动势. 由于产生感生电动势的导体或导体回路不运动,因此感生电动势的起因不能用洛 仑磁力来解释.由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受非静电力作用形成的,而 静止电荷受到的力只能是电场力,所以这时的非静电力也只能是一种电场力.由于这种 电场是由变化的磁场引起的,所以叫感生电场,即产生感生电动势的非静电场是感生电 场.以 Ei 表示感生电场,则根据电动势的定义,感生电动势可表为 = L i i E dl 根据法拉第电磁感应定律应该有 = − = − = = − S S L i i dS t B B dS dt d dt d E dl 即 = = − S L i i dS t B E dl (8.6) 上式是感生电场与变化磁场的一般关系,同时它也提供了一种计算感生电动势的 方法.感生电动势的计算,可先计算出导体内感生电场,然后通过对感生电场的积分来计 算感生电动势；也可直接利用法拉第电磁感应定律计算.利用后者计算一段非闭合导线 ab 的感生电动势时,要设想一条辅助曲线与 ab 组成闭合回路,但求得的感生电动势不 一定等于导线 ab 上的感生电动势,因为辅助曲线上的感生电动势不一定为零.因此所选 的辅助曲线应当满足：它上面的感生电动势或者为零,或者易于求出. 值得指出,在磁场变化时,不但在导体回路中,而且在空间任一地点都会产生感生电 场,这与空间中有无导体或导体回路无关.然而,感生电动势虽不要求导体是闭合电路, 但却必须在导体中才能产生.由于感生电场的环路积分一般不等于零,故它不是保守力 场,所以又叫它涡旋电场.涡旋电场不同于静电场的重要方面就在于它不是保守力场. 例题 8.2 匀强磁场局限在半径为 R 的柱形区域内,磁场方向如图 8.5 所示.磁感应 强度 B 的大小正以速率 dB/dt 在增加,求空间涡旋电场的 分布. 解：取绕行正方向为顺时针方向,作为感生电动势和涡 旋电场的标定正方向,磁通量的标定方向则垂直纸面向里. 在 r <R 的区域,作半径为 r 的圆形回路,由
E,=5Ed=∫ 并考虑到在圆形回路的各点上,E,的大小相等方向沿圆周的切线而在圆形回路内是 匀强磁场,且B与dS同向,于是上式可化为 dB =一Tr dt 所以可解得 1 dB E (8.7) 式中负号表示涡旋电场的实际方向与标定方向相反,即逆时针方向 在r>R的区域作半径为r的圆形回路同上可得 1 dB r2 E1 (88) 2 dt 方向也沿逆时针方向 由此可见虽然磁场只局限于半径为R的柱形区域,但所激发的涡旋电场却存在于 整个空间 例题8.3如图86所示在半径为R的圆柱形空间存在有一均匀磁场,其磁感应强 度的方向与圆柱轴线平行今将一长为l的导体杆ab置于磁场中求当dBdt>0时杆中 的感生电动势 解法1:通过感生电场求感生电动势 取杆的中点为坐标原点建立X轴如图所示在杆上取一线元dx,由式(87)知该点 感生电场的大小为 E1 B 方向如图故ab杆上的感生电动势为 R E E dxi 1/22 dr cose dx 又07b db h dx 图86例题83示图 l√R2-(/2) E的方向由a→>b 解法2:利用法拉第电磁感应定律求感生电动势
7 = = − S L i i dS t B E dl 并考虑到在圆形回路的各点上, Ei 的大小相等,方向沿圆周的切线.而在圆形回路内是 匀强磁场,且 B 与 dS 同向,于是上式可化为 dt dB rE r i 2 2 = − 所以可解得 r dt dB Ei 2 1 = − (8.7) 式中负号表示涡旋电场的实际方向与标定方向相反,即逆时针方向. 在 r > R 的区域,作半径为 r 的圆形回路,同上可得 r R dt dB Ei 2 2 1 = − (8.8) 方向也沿逆时针方向. 由此可见,虽然磁场只局限于半径为 R 的柱形区域,但所激发的涡旋电场却存在于 整个空间. 例题 8.3 如图 8.6 所示,在半径为 R 的圆柱形空间存在有一均匀磁场,其磁感应强 度的方向与圆柱轴线平行.今将一长为 l的导体杆 ab 置于磁场中,求当dB/dt > 0 时杆中 的感生电动势. 解法 1：通过感生电场求感生电动势 取杆的中点为坐标原点建立 X 轴如图所示.在杆上取一线元 dx ,由式(8.7)知,该点 感生电场的大小为 r dt dB Ei 2 1 = 方向如图.故 ab 杆上的感生电动势为 − = = 2 2 2 / / cos l l b a i i dx dt r dB E dxi dt dB dx l R l r h dt l r dB l 2 2 2 2 2 2 1 2 ( / ) / / = = − − i 的方向由 a →b 解法 2：利用法拉第电磁感应定律求感生电动势
如图86所示作辅助线oa和ob因为E,沿切向则它沿着bo'及oa的线积分等于 零,所以闭合回路aboa上的感生电动势也就等于ab段上的感生电动势穿过该闭合回 路的磁通量为 Φ=BS=B-hl 于是所求的感生电动势为 d=VR2-/2)dB由楞此定律知方向a→b dt 二、电子感应加速器 电子感应加速器是利用在变化磁场中产生涡旋电场来加速电子的图87a)是这种 加速器的原理示意图在由电磁铁产生的非均匀磁场中安放着环状真空室当电磁铁用 低频的强大交变电流励磁时,真空室会产生很强的涡旋电场由电子枪发射的电子,一方 面在洛仑磁力的作用下作圆周运动,同时被涡旋电场所加速前面我们得到的带电粒子 在匀强磁场中作圆周运动的规律表明,粒子的运动轨道半径R与其速率υ成正比而在 电子感应加速器中,真空室的径向线度是极其有限的,必须将电子限制在一个固定的圆 形轨道上同时被加速那么这个要求是否能够实现呢? 引离 入射 B|增B|减lB|增B|减 E,I 1BL'B 靶 电子枪 (b) 图87 根据洛仑磁力为电子作圆周运动提供向心力可以得到 m=eRBE (8 式中B是电子运行轨道上的磁感应强度上式表明,只要轨道上磁感应强度随电子动量
8 如图 8.6 所示,作辅助线 o'a 和 o'b.因为 Ei 沿切向,则它沿着 bo'及 o'a 的线积分等于 零,所以闭合回路 aboa 上的感生电动势也就等于 ab 段上的感生电动势.穿过该闭合回 路的磁通量为 BS B hl 2 1 = = 于是所求的感生电动势为 a b dt dB l R l dt d i = − → = 2 2 2 由楞此定律知方向 2 1 ( / ) * 二、电子感应加速器 电子感应加速器是利用在变化磁场中产生涡旋电场来加速电子的,图 8.7(a)是这种 加速器的原理示意图,在由电磁铁产生的非均匀磁场中安放着环状真空室.当电磁铁用 低频的强大交变电流励磁时,真空室会产生很强的涡旋电场.由电子枪发射的电子,一方 面在洛仑磁力的作用下作圆周运动,同时被涡旋电场所加速.前面我们得到的带电粒子 在匀强磁场中作圆周运动的规律表明,粒子的运动轨道半径 R 与其速率υ成正比.而在 电子感应加速器中,真空室的径向线度是极其有限的,必须将电子限制在一个固定的圆 形轨道上,同时被加速.那么这个要求是否能够实现呢？ 根据洛仑磁力为电子作圆周运动提供向心力,可以得到 R m = eRB (8.9) 式中 BR 是电子运行轨道上的磁感应强度.上式表明,只要轨道上磁感应强度随电子动量
成正比例的增加电子就能够在一个固定的轨道上运行并被加速可以证明当Ba=B/2 (B是轨道所围面积内的平均磁感应强度)时,被加速的电子可稳定在半径为R的圆形 轨道上运行由此可见在磁场变化的一个周期内,只有其中四分之一周期才可以用于电 子的加速(如图87(b)若在第一个14周期开始时将电子引入轨道,1/4周期即将结束时 将电子引离轨道进入靶室,可使电子获得数百兆电子伏的能量这样的高能电子束可直 接用于核物理实验也可用于轰击靶以产生人工γ射线还可以用来产生硬Ⅹ射线作无 损探伤或癌症治疗之用 作业(P199):8.14
9 成正比例的增加,电子就能够在一个固定的轨道上运行并被加速.可以证明当 BR = B / 2 ( B 是轨道所围面积内的平均磁感应强度)时,被加速的电子可稳定在半径为 R 的圆形 轨道上运行.由此可见,在磁场变化的一个周期内,只有其中四分之一周期才可以用于电 子的加速(如图 8.7(b)).若在第一个 1/4 周期开始时将电子引入轨道,1/4 周期即将结束时 将电子引离轨道,进入靶室,可使电子获得数百兆电子伏的能量.这样的高能电子束可直 接用于核物理实验,也可用于轰击靶以产生人工γ射线,还可以用来产生硬 X 射线,作无 损探伤或癌症治疗之用. 作业(P199)：8.14
§84自感和互感 自感现象 当一线圈的电流发生变化时,通过线圈自身的磁通量也要发生变化进而在回路中 产生感应电动势这种现象称为自感现象,这种电动势称为自感电动势 设某线圈有N匝据毕奥-萨伐尔定律,此电流所产生的磁场在空间任一点的磁感 应强度与电流成正比因此通过此线圈的磁链也与电流成正比即 y=LI (8.10) 式中比例系数L称为自感系数简称自感其数值与线圈的大小、几何形状、匝数及磁 介质的性质有关在线圈大小和形状保持不变,并且附近不存在铁磁质的情况下,自感L 为常数利用法拉第电磁感应定律可得自感电动势为 8.11) 这表明,当L恒定时,自感电动势的大小与线圈中的电流变化率成正比当电流增加时, 自感电动势的方向与电流方向相反 在国际单位制中,自感的单位是亨利简称为亨(H) IH=lWbA-=lv.sA-I 亨利这个单位太大,平时多采用mH(毫亨)或μH(微亨) 自感现象在日常生活及工程技术中均有广泛的应用.日光灯上的镇流器,无线电技 术中的扼流圈,电子仪器中的滤波装置等都要应用自感现象 但自感现象有时也会带来危害例如在大自感和强电流的电路中接通或断开电路 时会产生很大的自感电动势,从而击穿空气形成电弧造成事故或烧坏设备,甚至危及 工作人员的生命安全为避免这类事故的发生,电业部门须在输电线路上加装一种特殊 的灭弧开关一一油开关或负荷开关以避免电弧的产生 、互感现象 根据法拉第电磁感应定律,当一个线圈的电流发生变化时,必定在邻近的另一个线 圈中产生感应电动势,反之亦然这种现象称为互感现象这种现象中产生的电动势称为 互感电动势 如图88所示设有两个相邻近的线圈1 和线圈2,分别通有电流l和2当线圈1中的 电流发生变化时就会在线圈2中产生互感电 动势;反之,当线圈2中的电流变化时,也会在 线圈1中产生互感电动势若两线圈的形状、 图8.8
10 §8.4 自感和互感 一、自感现象 当一线圈的电流发生变化时,通过线圈自身的磁通量也要发生变化,进而在回路中 产生感应电动势.这种现象称为自感现象,这种电动势称为自感电动势. 设某线圈有 N 匝,据毕奥-萨伐尔定律,此电流所产生的磁场在空间任一点的磁感 应强度与电流成正比.因此通过此线圈的磁链也与电流成正比,即 = LI (8.10) 式中比例系数 L 称为自感系数,简称自感.其数值与线圈的大小、几何形状、匝数及磁 介质的性质有关.在线圈大小和形状保持不变,并且附近不存在铁磁质的情况下,自感 L 为常数,利用法拉第电磁感应定律可得自感电动势为 dt dI L dt d L = − = − (8.11) 这表明,当 L 恒定时,自感电动势的大小与线圈中的电流变化率成正比.当电流增加时, 自感电动势的方向与电流方向相反. 在国际单位制中,自感的单位是亨利,简称为亨(H). 1 1 1H 1Wb A 1V s A − − = = 亨利这个单位太大,平时多采用 mH(毫亨)或H(微亨). 自感现象在日常生活及工程技术中均有广泛的应用.日光灯上的镇流器,无线电技 术中的扼流圈,电子仪器中的滤波装置等都要应用自感现象. 但自感现象有时也会带来危害.例如在大自感和强电流的电路中,接通或断开电路 时会产生很大的自感电动势,从而击穿空气,形成电弧,造成事故,或烧坏设备,甚至危及 工作人员的生命安全.为避免这类事故的发生,电业部门须在输电线路上加装一种特殊 的灭弧开关——油开关或负荷开关,以避免电弧的产生. 二、互感现象 根据法拉第电磁感应定律,当一个线圈的电流发生变化时,必定在邻近的另一个线 圈中产生感应电动势,反之亦然.这种现象称为互感现象,这种现象中产生的电动势称为 互感电动势. 如图 8.8 所示,设有两个相邻近的线圈 1 和线圈 2,分别通有电流 1 2 I 和I .当线圈 1 中的 电流发生变化时,就会在线圈 2 中产生互感电 动势；反之,当线圈 2 中的电流变化时,也会在 线圈 1 中产生互感电动势.若两线圈的形状