第2章力学中的守恒定律 关于物体运动规律的表述除了牛顿运动定律之外还有能量、动量和角动量三个 定理和三个守恒定律表面上看来这三个定理仅是牛顿运动方程的数学变形但物理学 的发展表明能量、动量和角动量是更为基本的物理量,它们的守恒定律具有更广泛 更深刻的意义能量、动量和角动量及其各自的守恒定律是既适用于宏观世界,又适用 于微观领域既适用于实物,又适用于场的物理量和运动规律 §2.1功和能机械能守恒定律 功及功率 1.功由前面的讨论可知,力可以使物体的运动状态发生变化那么力对空间的累积会 产生什么效应呢?在力学中,力对空间的积累效应表现为功受力情况不同功的表达方 式也就不同 恒力的功恒力即力的大小和方向在整个运动过程中均不变的力如图21所示 设物体在恒力F的作用下,由a沿直线运动到b,其位移为ΔF.由中学物理知道,力在位 移上的投影Fcos0与位移大小的乘积为力的功以A表示,即 A= Fcos 式中θ为F与位移△F的夹角由矢量代数知,两矢量的大小与它们之间夹角余弦的积为 一标量,称为标积因此功可用力与位移的标积表示,即 A=F·F (22) 功是标量其正负由和的夹角0决定由式(21)知,当00时,功为正 说明力对物体做正功(如物体下落时重力作的功);当0>π/2,即cos<0时,功为负说 明力对物体做负功(如物体上升时重力作的功);当θ=π/2,即cos=0时,功为零,说明 力与位移垂直时该力对物体不做功(如物体作曲线运动时的法向力作的功为零) 从功的定义可知功是一个标量若n个外力同时对某一物体作功时,则合外力所作 的功等于每个力对物体所作的功的代数和即 A 在国际单位制中,力的单位为牛顿位移的单位为米,则功的单位为焦耳(J,即功的 量纲为MLT 变力的功力的大小和方向在整个运动过程中是变化的称为变力物体在变力作 用下一般作曲线运动设物体在变力的作用下由a沿曲线运动到b在计算此变力的功时, 可以在物体运动的路径上任取一足够小的元弧As,它所对应的元位移为A而在元位
1 第 2 章力学中的守恒定律 关于物体运动规律的表述,除了牛顿运动定律之外,还有能量、动量和角动量三个 定理和三个守恒定律.表面上看来,这三个定理仅是牛顿运动方程的数学变形,但物理学 的发展表明,能量、动量和角动量是更为基本的物理量,它们的守恒定律具有更广泛、 更深刻的意义.能量、动量和角动量及其各自的守恒定律是既适用于宏观世界,又适用 于微观领域;既适用于实物,又适用于场的物理量和运动规律. §2.1 功和能 机械能守恒定律 一 、 功及功率 1. 功 由前面的讨论可知,力可以使物体的运动状态发生变化,那么力对空间的累积会 产生什么效应呢?在力学中,力对空间的积累效应表现为功,受力情况不同,功的表达方 式也就不同. 恒力的功 恒力即力的大小和方向在整个运动过程中均不变的力.如图 2.1 所示, 设物体在恒力 F 的作用下,由 a 沿直线运动到 b,其位移为 r . 由中学物理知道,力在位 移上的投影 F cos 与位移大小的乘积为力的功,以 A 表示，即 A F r = cos (2.1) 式中 为 F 与位移 r 的夹角.由矢量代数知,两矢量的大小与它们之间夹角余弦的积为 一标量, 称为标积.因此,功可用力与位移的标积表示,即 A F r = • (2.2) 功是标量,其正负由和的夹角 决定.由式(2.1)知,当 / 2,即 cos 0 时,功为正, 说明力对物体做正功(如物体下落时重力作的功);当 / 2,即 cos 0 时,功为负,说 明力对物体做负功(如物体上升时重力作的功);当 = / 2,即 cos = 0 时,功为零,说明 力与位移垂直时该力对物体不做功(如物体作曲线运动时的法向力作的功为零). 从功的定义可知,功是一个标量,若 n 个外力同时对某一物体作功时,则合外力所作 的功等于每个力对物体所作的功的代数和.即 = = n i A Ai 0 在国际单位制中,力的单位为牛顿,位移的单位为米,则功的单位为焦耳(J),即.功的 量纲为 MLT. 变力的功 力的大小和方向在整个运动过程中是变化的称为变力.物体在变力作 用下一般作曲线运动.设物体在变力的作用下由a沿曲线运动到b.在计算此变力的功时, 可以在物体运动的路径上任取一足够小的元弧 i s ,它所对应的元位移为 i r .而在元位
移A的范围内可认为力是恒力F力在元位移A中对物体所作的元功以△4表示由 式(22)知: △A=F·AF 把a到b的总路程分为N个位移元,并考虑N→∞,求和变为积分,则沿此曲线力所 作的总功为 A=F…AF一 0「dA=「F…d (24) 式中a、b表示曲线运动的起点和终点(24)式即为计算变力作功的一般公式在数学上 称为F的曲线积分其在直角坐标系中可表示为 A=d=F·d=(F2+F+Fd) (25) 例2.1如图23所示水平外力P把单摆从铅直位置(平衡位置)O点拉到与铅直 线成θ角的位置试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度l为已知且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态) T 解由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平 衡方程可表示为 水平方向P-Tsin0=0 竖直方向Tcos0-mg=0 可得P= mg tan0(变力) 当小球在θ位置处沿圆弧作微位移φ时,力P所作的元功为 dA= P.dr= Pdrcos 0= Pcos e lde= mgl sin e de 单摆在θ从0到00的过程中拉力P所作的功为 A=da= mglsin0 de=mgl(1-cos 0o) 同样可讨论重力对小球所作功。 例22一质量为2×103kg的卡车启动时在牵引力F=6×103N的作用下,自原点 处从静止开始沿ⅹ轴作直线运动求在前10s内牵引力所作的功 解已知力与时间的关系F=6×103N,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此 不能直接应用公式来计算功,应先求出x()的表达式才能计算力的功
2 移 i r 的范围内可认为力是恒力 Fi .力在元位移 i r 中对物体所作的元功以 Ai 表示.由 式(2.2)知: i i i A F r = (2.3) 把 a 到 b 的总路程分为 N 个位移元,并考虑 N→∞，求和变为积分，则沿此曲线力所 作的总功为 = • ⎯⎯⎯ ⎯→ = • → → = b a b a N r N i i i A F r dA F dr 0 1 , (2.4) 式中 a、b 表示曲线运动的起点和终点.(2.4)式即为计算变力作功的一般公式,在数学上 称为 F 的曲线积分.其在直角坐标系中可表示为 = = • = + + b a x y z b a b a A dA F dr (F dx F dy F dz) (2.5) 例 2.1 如图 2.3 所示,水平外力 P 把单摆从铅直位置(平衡位置)O 点拉到与铅直 线成 0 角的位置.试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度 l为已知,且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态). 解 由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平 衡方程可表示为 水平方向 P −T sin = 0 竖直方向 T cos − mg = 0 可得 P = mg tan（变力） 当小球在 位置处沿圆弧作微位移 dr 时,力 P 所作的元功为 dA = P• dr = Pdr cos = Pcos ld = mglsin d 单摆在 从 0 到 0 的过程中拉力 P 所作的功为 sin ( cos )0 0 1 0 = = = − A dA mgl d mgl 同样可讨论重力对小球所作功。 例 2.2 一质量为 2 10 kg 3 的卡车启动时在牵引力 6 10 N 3 F t x = 的作用下,自原点 处从静止开始沿 x 轴作直线运动.求在前 10s 内牵引力所作的功. 解 已知力与时间的关系 6 10 N 3 F t x = ,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此 不能直接应用公式来计算功,应先求出 x(t) 的表达式才能计算力的功. 0 l T mg m s P P
dhFx6×10°t 31→d=3tt 1.5t 2×10 →ax=ud=1.5t2at dt 故牵引力在前10s内作的功 F=9×10=2510( 2.功率在实际问题中不仅需要知道力所作的功,而且还需要知道作功的快慢力在单 位时间内所作的功称为功率用P表示设在时间M内所作的功为△A,则在这段时间内 的平均功率为 △4 △t→O de t dt (2.7) 可见瞬时功率等于力与速度的标积 在国际单位制中功率的单位是(J·s-1)称为瓦特(W)其量纲为 功率还常用千瓦(KW)、马力(HP)作单位其换算关系为 IHP=0.735KW 、动能和动能定理 大家知道,飞行的子弹能够穿透木板而作功;落下的铁锤能够把木桩打进泥土而作 功等等运动着的物体具有作功的本领叫动能当子弹穿过木板时,由于阻力对子弹作负 功使子弹的速度减小可见,力作功的结果将改变物体的运动状态以此为线索,建立力 的空间累积(功)与状态变化的关系 1.质点的动能定理 首先讨论物体在恒合外 F 力的作用下作匀加速直线运 动的情况如图所示,物体的质 量为m,初速度为U0,所受合外 S 力为F,加速度为a经过位移s后的速度为υ按直线运动的规律及牛顿第二定理有得合 外力对物体所作的功为 A=F·A=Fs=ma 2a
3 0 0 2 3 3 3 3 1 5 2 10 6 10 t d tdt t t m F dt d x t . , = → = ⎯⎯⎯→ = = = = = dx dt t dt dt dx 2 = → = =1.5 故牵引力在前 10s 内作的功 . (J) 7 10 0 3 3 = = 9 10 = 2 2510 A F dx t dt x 2. 功率 在实际问题中,不仅需要知道力所作的功,而且还需要知道作功的快慢.力在单 位时间内所作的功称为功率,用 P 表示.设在时间 t 内所作的功为 A ,则在这段时间内 的平均功率为 dt dA P t A P t ⎯ ⎯→ = = →0 (2.6) = = = F dt dr F dt dA P （2.7） 可见,瞬时功率等于力与速度的标积. 在国际单位制中,功率的单位是 (J·s-1)称为瓦特(W).其量纲为 . 功率还常用千瓦(KW)、马力(HP)作单位,其换算关系为 1HP = 0.735KW 二、动能和动能定理 大家知道,飞行的子弹能够穿透木板而作功;落下的铁锤能够把木桩打进泥土而作 功等等.运动着的物体具有作功的本领叫动能.当子弹穿过木板时,由于阻力对子弹作负 功,使子弹的速度减小.可见,力作功的结果将改变物体的运动状态.以此为线索,建立力 的空间累积 (功)与状态变化的关系. 1. 质点的动能定理 首先讨论物体在恒合外 力的作用下作匀加速直线运 动的情况.如图所示,物体的质 量为m,初速度为 0 ,所受合外 力为 F,加速度为 a,经过位移 s 后的速度为 ,按直线运动的规律及牛顿第二定理有得合 外力对物体所作的功为 a A F r Fs ma 2 2 0 2 − = = = 0 m F s
A (2.8) 上式中出现了一个其值取决于质点的质量和速率的物理量m2,它是质点运动状态 的函数我们将m2定义为质点的动能并用EA来表示 Ek (28)式亦可写成 A=Ek-EAo=△Ek 上式表明:恒合外力对物体所作的功等于物体动能的增量此即动能定理 因动能的变化用功来量度,故动能与功的单位相同在国际单位制中动能的单位也 为焦耳(J) 当合外力是变力,物体作曲线运动的情况下,仍可以得到(29)式的结果如图所示 根据牛顿第二定理在位移元内的元功可表示为 dA=Fdr=Fcos aldr=F.=m. ds=oc 式中d=为元弧长设物体在a点的速率为在b点的速率为则在ab路径上作 的功为 A=Fb= Cosma=d-m山 m△ A=E-E=△E=-m 可见物体无论是受恒力还是变力作用,沿直线还是曲线运动都满足(29)式,即合外力对
4 即： 2 0 2 2 1 2 1 A = m − m （2.8） 上式中出现了一个其值取决于质点的质量和速率的物理量 2 2 1 m ,它是质点运动状态 的函数,我们将 2 2 1 m 定义为质点的动能,并用 Ek 来表示: 2 2 1 Ek = m (2.8)式亦可写成 A = Ek − Ek0 = Ek (2.9) 上式表明:恒合外力对物体所作的功等于物体动能的增量,此即动能定理. 因动能的变化用功来量度,故动能与功的单位相同,在国际单位制中,动能的单位也 为焦耳(J)。 当合外力是变力,物体作曲线运动的情况下,仍可以得到(2.9)式的结果.如图所示, 根据牛顿第二定理,在位移元内的元功可表示为 = = = = = ds m d dt d dA F dr F dr Frds m cos 式中 ds dr = 为元弧长.设物体在 a 点的速率为 0 在 b 点的速率为 ,则在 ab 路径上作 的功为 = • = b a b a A F dr F dr cos = = b a b a r ds dt d F ds m 2 0 2 2 1 2 1 = = = − m d m m dt ds md b a b a 即： 2 0 2 0 2 1 2 1 A = Ek − Ek = Ek = m − m 可见,物体无论是受恒力还是变力作用,沿直线还是曲线运动都满足(2.9)式,即合外力对 dr F
物体所作的总功等于物体动能的增量所以(29)式是动能定理的普遍表达式 由式(29)可知,当外力对物体作正功时(A>0),物体的动能增加;当外力对物体作负功时 (A<0)物体的动能减少,亦即物体反抗外力作功,此时物体依靠动能的减少来作功;若 (A=0),则外力不作功物体的动能不变 例题2.3对例题2.1采用动能定理求解 解由于小球在任一时刻都处于平衡态其动能的增量△EA=0,由动能定理得 Ar+Ap+ Amg=0 又拉力T与d始终垂直而不做功,所以A=0 所以 Ap=-Amg=-J. mg cos(90+0)lde=mg/(1-cos 0o) 所得结果与例题2.1的结果相同,但用动能定理求解要简单的多 例题24一物体由斜面底部以初速度U=20ms向斜面上方冲去,又回到斜面 底部时的速度为υ=10mS-1,设物体与斜面间有滑动摩擦求物体上冲的最大高度 解本题可以用运动方程求解,也 可以用动能定理求解这里选用动能Uo=20ms 定理来求解设物体的质量为m斜面 10m·s-1 h 夹角为θ,物体与斜面间的摩擦系数 为μ,物体上冲的最大高度h。对于物 体的上冲过程,重力和摩擦力对物体作负功,使物体上冲到最高点时,U=0.在垂直于斜 面的方向上N- mgcosθ=0,则其滑动摩擦力f=μN= pmg cosθ 上冲过程中外力所作的总功为 A=(mg sin A-H g cos 0)=-n sin e 由动能定理有 white=0 (1) 同理,对于下滑过程外力所作的总功为 h 由动能定理得
5 物体所作的总功等于物体动能的增量.所以(2.9)式是动能定理的普遍表达式. 由式(2.9)可知,当外力对物体作正功时(A>0),物体的动能增加;当外力对物体作负功时 (A<0),物体的动能减少,亦即物体反抗外力作功,此时物体依靠动能的减少来作功;若 (A=0),则外力不作功,物体的动能不变. 例题 2.3 对例题 2.1 采用动能定理求解. 解 由于小球在任一时刻都处于平衡态,其动能的增量 Ek = 0,由动能定理得 AT + AP + Amg = 0 又拉力T与dr始终垂直而不做功，所以AT = 0 所以： = − = − 0 A A mg dr P mg cos( ) ( cos ) 0 0 90 1 0 = − + = − mg ld mgl 所得结果与例题 2.1 的结果相同,但用动能定理求解要简单的多. 例题 2.4 一物体由斜面底部以初速度 1 0 20m s − = 向斜面上方冲去,又回到斜面 底部时的速度为 1 f 10m s − = ,设物体与斜面间有滑动摩擦.求物体上冲的最大高度. 解 本题可以用运动方程求解,也 可以用动能定理求解.这里选用动能 定理来求解.设物体的质量为 m,斜面 夹角为 ,物体与斜面间的摩擦系数 为 ,物体上冲的最大高度 h。对于物 体的上冲过程,重力和摩擦力对物体作负功,使物体上冲到最高点时, = 0.在垂直于斜 面的方向上, N − mgcos = 0,则其滑动摩擦力 f r = N = mgcos. 上冲过程中,外力所作的总功为 = − − = − − mgh mghctg h A mg mg sin ( sin cos ) 由动能定理有 (1) 2 1 2 1 0 2 0 2 − mgh − mghctg = − m0 = − m 同理,对于下滑过程外力所作的总功为 = − = − mgh mghctg h A mg mg sin ( sin cos ) 由动能定理得 h = ? 1 1 0 10 20 − − = = m s m s f m
mgh-pumghctge= mu/(2) U+u (2)-(1)得:h =12.76 通过以上讨论应该注意两点 (1)功和能的概念不能混淆动能是物体运动状态的单值函数是反映质点运动状态 的物理量即是一个状态量而功是与质点受力并经历位移这个过程相联系的"过程"意 味着"状态的变化",所以功不是描述状态的物理量,而是过程的函数即为过程量我们可 以说处于一定运动状态的质点有多少动能,但说质点有多少功就毫无意义,这是功和能 的根本区别动能定理建立了功这个过程量与动能这个状态量之间的关系,说明了做功 是动能发生变化的手段而动能的改变又是对功的度量 (2)质点的动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的所以也只能适用于惯性系中 2.质点组的动能定理 下面我们把由若干质点组成的质点组作为研究对象讨论内、外力对质点组作功与 质点组动能变化之间的关系 设质点组由n个质量分别为m,m2,…,mn,的质点组成其中每个质点在内、外力 作用的过程中都满足动能定理对第i个质点应用动能定理有 mU)-m110=A=A内+A外 对质点组中的所有质点都写出类似的表达式求和得 ∑m A 2 Ek-Ek0=A内+A外 (2.10)式表明:质点组的动能的增量等于所有内力作功和所有外力作功的代数和这称 做质点组动能定理 值得注意的是,由于作用力和反作用力总是大小相 F2 等、方向相反故质点组内力的矢量和为零,但作用力 的功与反作用力的功却不一定等值反号所以对质点 组来说内力作功的代数和不一定为零如对两个质点 (如图2.6)而言内力的总元功为 图26两球内力 d42=12+f12C2=12(2-)=f2C21 其中f12是质点1对质点2的作用力,2是质点2对质点1的相对位移上式表明,对
6 (2) 2 1 2 mgh − mghctg = mf 12 76m 4 2 1 2 2 0 ( ) ( ) = . + − = g h 得： f 通过以上讨论,应该注意两点: (1)功和能的概念不能混淆,动能是物体运动状态的单值函数,是反映质点运动状态 的物理量,即是一个状态量.而功是与质点受力并经历位移这个过程相联系的."过程"意 味着"状态的变化",所以功不是描述状态的物理量,而是过程的函数,即为过程量.我们可 以说处于一定运动状态的质点有多少动能,但说质点有多少功就毫无意义,这是功和能 的根本区别.动能定理建立了功这个过程量与动能这个状态量之间的关系,说明了做功 是动能发生变化的手段,而动能的改变又是对功的度量. (2)质点的动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的,所以也只能适用于惯性系中. 2. 质点组的动能定理 下面我们把由若干质点组成的质点组作为研究对象,讨论内、外力对质点组作功与 质点组动能变化之间的关系. 设质点组由 n 个质量分别为 m m mn , , , 1 2 , 的质点组成.其中每个质点在内、外力 作用的过程中都满足动能定理.对第 i 个质点应用动能定理有 mii − mii = Ai = Ai内 + Ai外 2 0 2 2 1 2 1 对质点组中的所有质点都写出类似的表达式,求和得 = = = = − = + n i i n i i n i i i n i mi i m A A 1 1 1 2 0 1 2 2 1 2 1 内 外 即 Ek − Ek 0 = A内 + A外 (2.10) (2.10)式表明:质点组的动能的增量,等于所有内力作功和所有外力作功的代数和,这称 做质点组动能定理. 值得注意的是,由于作用力和反作用力总是大小相 等、方向相反,故质点组内力的矢量和为零,但作用力 的功与反作用力的功却不一定等值反号,所以对质点 组来说,内力作功的代数和不一定为零.如对两个质点 (如图 2.6)而言,内力的总元功为 21 1 12 2 dA f dr f dr 内 = + 12 2 1 12 21 f dr dr f dr = ( − ) = 其中 12 f 是质点 1 对质点 2 的作用力, 12 dr 是质点 2 对质点 1 的相对位移.上式表明,一对
内力的元功和等于一质点对另一质点作用力与另一质点对施力质点相对位移的点积 因此只要二质点相对位移不等于零,也不与相互作用力垂直内力功就不等于零;一对 内力的功与参考系的选取无关一质点组所有内力的总功也与参考系的选取无关,只取 决于内力和相对位移 三、保守力势能 保守力 重力的功质量为m的某质点在重力 作用下沿任意一条曲线自A点移动至B点 如图27所示为计算重力mg对质点所作的 功,建立平面直角坐标系,则AB两点的坐标 y+中 分别为y小y2,重力的表达式为 y B mg= 图27重力作功 而位移元的表达式为d=dxi+d+dk 根据功的定义式从A点到B点的过程中重力所的功为 A=「Fd=「-mgh=mg(y4-y2) (2.1) 如果质点不是沿ACB路径从A点到B点而是沿其它任意路径由A点到达B点,则可 以证明重力作功仍为(2.11)式由此可见,重力作功具有一个重要特点重力对质点所作 的功由质点相对于地面的始末位置决定,而与所通过的具体的路径无关 弹性力的功放在光滑水平面上的 弹簧一端固定另一端系一质量为m的 质点将弹簧拉长后释放使质点在弹性力 的作用下在平衡位置附近振动如图28 a 所示设弹簧的倔强系数为k取平衡位置 为坐标原点建立ox坐标系,当物体处于 位置D时即弹簧伸长(或压缩)了一断距 离x根据胡克定律可得弹性力为 图28弹性力作功 F=-kxi 物体在D点附近移动无限小位移dxi时,弹性力所作的元功d4=-kxdx,于是物体由A 点移动到B点的过程中弹性力所作的总功为
7 内力的元功和等于一质点对另一质点作用力与另一质点对施力质点相对位移的点积. 因此,只要二质点相对位移不等于零,也不与相互作用力垂直,内力功就不等于零;一对 内力的功与参考系的选取无关.一质点组所有内力的总功也与参考系的选取无关,只取 决于内力和相对位移. 三、保守力 势能 1. 保守力 重力的功 质量为 m 的某质点在重力 作用下沿任意一条曲线自 A 点移动至 B 点, 如图 2.7 所示.为计算重力 mg 对质点所作的 功,建立平面直角坐标系,则 AB 两点的坐标 分别为 A B y 、y ,重力的表达式为 mg mgj = − 而位移元的表达式为 dr dxi dyj dzk = + + 根据功的定义式,从 A 点到 B 点的过程中重力所的功为 ( ) A B y y A F dr mgdy mg y y B A = = − = − B A (2.11) 如果质点不是沿 ACB 路径从 A 点到 B 点,而是沿其它任意路径由 A 点到达 B 点,则可 以证明重力作功仍为(2.11)式.由此可见,重力作功具有一个重要特点:重力对质点所作 的功由质点相对于地面的始末位置决定,而与所通过的具体的路径无关. 弹性力的功 放在光滑水平面上的 弹簧一端固定,另一端系一质量为 m 的 质点,将弹簧拉长后释放使质点在弹性力 的作用下在平衡位置附近振动,如图 2.8 所示.设弹簧的倔强系数为 k,取平衡位置 为坐标原点,建立 ox 坐标系,当物体处于 位置 D 时,即弹簧伸长(或压缩)了一断距 离 x,根据胡克定律可得弹性力为 F kxi = − 物体在Ｄ点附近移动无限小位移 dxi 时,弹性力所作的元功 dA = −kxdx,于是物体由Ａ 点移动到Ｂ点的过程中,弹性力所作的总功为
A=|F·dF kxdr=-kx4--kxB (2.12) 如果质点先由A点到B点再由B点到C点最后由C点再返回到B点在整个过程 中弹性力的功由三部分组成即 A=A+42+4=(32)+(kx2-k)+Gkx2-kx)=kx2-kx 由以上计算可知质点经A、B、C点再回到B点后弹性力所作的功与质点直接由 A点到B点过程弹性力作的功完全相同由此可见弹性力做功也具有同样的特点只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关 万有引力的功设质量为m的质点处于质量为M的静止质点的引力场中,并从a 点沿任一曲线路径移至b点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点m 的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关 上述结果可归纳如下: 重力的功:A=mg(y4-yB) 弹簧的弹性力是功:A=kx2-kx2 万有引力的功:A=-GMm(、1 保守力与非保守力综合以上几种力的作功都有一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关把具有这种性质的力称 为保守力 若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动,所做的总功显然为 ∮Fd=0 上式即为保守力的判别条件与此相对应把作功不仅与始末位置有关而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力如摩擦力等 2.势能 势能由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数把这个函数定义为势能而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系,从而规定势能的增量等于保守力作功的负值,用E和 Ep分别表示质点在始、末位置的势能,用A表示保守力由初始位置到末位置作的功 则有
8 2 2 B A 2 1 2 1 A B x x A F dr kxdx k x k x B A = = − = − (2.12) 如果质点先由Ａ点到Ｂ点,再由Ｂ点到Ｃ点,最后由Ｃ点再返回到Ｂ点,在整个过程 中弹性力的功由三部分组成,即 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B B C C B A B A = A + A + A = ( k x − k x ) + ( k x − k x ) + ( k x − k x ) = k x − k x 由以上计算可知,质点经Ａ、Ｂ、Ｃ点再回到Ｂ点后弹性力所作的功与质点直接由 Ａ点到Ｂ点过程弹性力作的功完全相同.由此可见,弹性力做功也具有同样的特点:只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关. 万有引力的功 设质量为 m 的质点处于质量为 M 的静止质点的引力场中,并从 a 点沿任一曲线路径移至 b 点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点 m 的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关. 上述结果可归纳如下： = − − = − = − ( ) ( ) a b A B A B r r A GMm A k x k x A mg y y 1 1 2 1 2 1 2 2 万有引力的功： 弹簧的弹性力是功： 重力的功： (2.13) 保守力与非保守力 综合以上几种力的作功,都有一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关.把具有这种性质的力称 为保守力. 若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动, 所做的总功显然为 = 0 F dl 上式即为保守力的判别条件.与此相对应,把作功不仅与始末位置有关,而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力.如摩擦力等. 2. 势能 势能 由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数,把这个函数定义为势能,而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系,从而规定:势能的增量等于保守力作功的负值,用 EP0 和 EP 分别表示质点在始、末位置的势能,用 A保 表示保守力由初始位置到末位置作的功, 则有
E-E (2.14) 0保守力做正功,势能减少 由上式可见410保守力做负功,势能增加 将(2.13)代入(2.14)式得重力势能弹性势能,万有引力势能改变量的一般式分别为: Ep(A)-EP(B)=mgyA-mgvB Ep(x)-Ep(xB)=kx4--kxB (216) Mn Ep(x)-Ep(x6)=(-G—)-( 说明:由上述可知势能是与质点间相互作用的保守力相联系的,因此势能属于以 保守力相互作用的质点组成的质点系统(对于单个质点来说可以具有动能却不能具有 势能)例如重力势能属于以重力相互作用的地球以及质点m所组成的系统共有弹性 势能属于以弹性力相互作用的弹簧以及所连质点组成的系统共有;引力势能属于以万 有引力相互作用的质点系统共有也就是说用来决定势能大小的质点位置(xy,z),实际 上应是质点系统内质点间的相对位置即质点系的势能是质点相对位置的函数 四、功能原理机械能守恒定律 前面分别讨论了有关动能和势能的概念及其变化规律质点系的动能和势能之和 称为质点系的机械能显然机械能的变化规律应与外力和内力的功有关而体现这一规 律的是功能原理和机械能守恒定律 1系统的功能原理 设一质点系统其状态由组成它的各质点的速度和质点间的相对位置确定当系统 由一个状态过渡到另一状态时,作用于系统的力将要作功质点系动能定理可表示为 Ek-Ek0=A=A+A外=A外+A保内+A非保内 保守力的功等于势能增量的负值即 A保k=-(Ep-Ep0) 将此式代入前式移项后变为 A外+A非保内=E-E60+(EP-EP0) (Ek+ Ep)-(Eko+EPo)=E-Eo (2.18) 式中E、E0分别表示质点系在始、末位置的机械能 (218)式表明:外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量.这一结论称为 系统的功能原理它反映了力学系统在机械运动中的功能关系
9 EP − EP0 = −A保 (2.14) 由上式可见, 保守力做负功，势能增加 保守力做正功，势能减少 保 0 0 A 将 (2.13)代入(2.14)式得重力势能,弹性势能,万有引力势能改变量的一般式分别为: P A P B mgyA mgyB E (y ) − E (y ) = − (2.15) 2 2 2 1 2 1 P A P B A B E (x ) − E (x ) = k x − k x (2.16) ( ) ( ) ( ) ( ) a b P a P b r Mm G r Mm E x − E x = −G − − (2.17) 说明：由上述可知,势能是与质点间相互作用的保守力相联系的,因此势能属于以 保守力相互作用的质点组成的质点系统.(对于单个质点来说,可以具有动能却不能具有 势能).例如:重力势能属于以重力相互作用的地球以及质点 m 所组成的系统共有;弹性 势能属于以弹性力相互作用的弹簧以及所连质点组成的系统共有;引力势能属于以万 有引力相互作用的质点系统共有.也就是说,用来决定势能大小的质点位置(x,y,z),实际 上应是质点系统内质点间的相对位置,即质点系的势能是质点相对位置的函数. 四、功能原理 机械能守恒定律 前面分别讨论了有关动能和势能的概念及其变化规律.质点系的动能和势能之和 称为质点系的机械能.显然,机械能的变化规律应与外力和内力的功有关,而体现这一规 律的是功能原理和机械能守恒定律. 1 系统的功能原理 设一质点系统,其状态由组成它的各质点的速度和质点间的相对位置确定.当系统 由一个状态过渡到另一状态时,作用于系统的力将要作功.质点系动能定理可表示为: Ek − Ek 0 = A = A内 + A外 = A外 + A保内 + A非保内 保守力的功等于势能增量的负值,即 ( ) A保 = − EP − EP0 将此式代入前式移项后变为 ( ) A外 + A非保内 = Ek − Ek 0 + EP − EP0 = Ek + EP − Ek0 + EP0 = E − E0 ( ) ( ) (2.18) 式中 E、E0 分别表示质点系在始、末位置的机械能. (2.18)式表明:外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量.这一结论称为 系统的功能原理它反映了力学系统在机械运动中的功能关系
在质点系功能原理的理解上应指出以下几点 (1)只有外力作功、非保守内力作功才会引起质点机械能的改变,前者引起的是质 点系机械能能与外界的交换并以功值量度这种交换;后者引起的是系统内部机械能与 其它形式能量的转化也以功值量度这种转化 (2)注意功能原理与动能定理的对比,动能定理给出了质点系动能的改变与功的 关系,应把所有力的功计算在内;功能原理则给出了质点系机械能的改变与功的关系,由 于势能的改变已经反映了保守内力作功的效应,故不可再计入保守内力的功以免造成 重复计算; (3)从功能原理的推导可以看出,功能原理与动能定理并无本质区别其外在区别仅 仅在于功能原理中引入了势能概念而不需要计算保守内力的功.其实这正是功能原理 的优点因为计算质点系势能的增量往往比直接计算作功更为方便 2机械能守恒定律 如果外力和非保守内力不对系统作功由(218)式可得 (Ek+ Ep)-(Eko+Epo)=E-Eo=o 或E+Ep=E+Ep=恒量 (2.19) (2.19)式表明在系统外力、非保守内力不做功亦即只有系统保守内力做功的条件 下,质点系的机械能守恒这一结论叫机械能守恒定律. 例题2.5如图2.10所示,一质量 m=kg的木块开始位于倾角θ=30°的斜 面底端现用一平行斜面的合恒力拉它使 木块自静止开始沿斜面移动.如果 F=5.95N,木块与斜面间的摩擦系数 u=0.1,问当木块移动s=10m后,木块的 速度是多大? 图2.10例题2.5用图 解(解法一用动能定理求解) 木块沿斜面向上运动时,受到四个力的作用:拉力、重力、摩擦力和斜面对木块的正 压力,其中拉力作正功重力和摩擦力作负功而正压力不作功木块在移动s的过程中 合力对木块所作的功为 A=(F-f-mgsin 0)s=(F-Hmg cos 0-mgsin g) 根据动能定理有 (F-Hmg cos 0-mgsinO)s=mmu
10 在质点系功能原理的理解上应指出以下几点: (1)只有外力作功、非保守内力作功才会引起质点机械能的改变,前者引起的是质 点系机械能能与外界的交换,并以功值量度这种交换;后者引起的是系统内部机械能与 其它形式能量的转化,也以功值量度这种转化； (2) 注意功能原理与动能定理的对比,动能定理给出了质点系动能的改变与功的 关系,应把所有力的功计算在内;功能原理则给出了质点系机械能的改变与功的关系,由 于势能的改变已经反映了保守内力作功的效应,故不可再计入保守内力的功以免造成 重复计算； (3)从功能原理的推导可以看出,功能原理与动能定理并无本质区别,其外在区别仅 仅在于功能原理中引入了势能概念而不需要计算保守内力的功.其实这正是功能原理 的优点,因为计算质点系势能的增量往往比直接计算作功更为方便. 2 机械能守恒定律 如果外力和非保守内力不对系统作功,由(2.18)式可得 (Ek + EP )−(Ek0 + EP0 ) = E − E0 = 0 或 Ek + EP = Ek0 + EP0 = 恒量 (2.19) (2.19)式表明:在系统外力、非保守内力不做功,亦即只有系统保守内力做功的条件 下,质点系的机械能守恒.这一结论叫机械能守恒定律. 例 题 2.5 如 图 2.10 所示 , 一质 量 m = 1kg 的木块开始位于倾角 o = 30 的斜 面底端,现用一平行斜面的合恒力拉它,使 木 块 自 静 止 开 始 沿 斜 面 移 动 . 如 果 F = 5.95N , 木块与斜面间的摩擦系数 = 0.1 ,问当木块移动 s =10m 后,木块的 速度是多大? 解（解法一用动能定理求解）: 木块沿斜面向上运动时,受到四个力的作用:拉力 、重力 、摩擦力和斜面对木块的正 压力,其中拉力作正功,重力和摩擦力作负功,而正压力不作功.木块在移动 s 的过程中, 合力对木块所作的功为 A = (F − f − mg sin)s = (F −mg cos − mg sin)s 根据动能定理有 2 2 1 (F −mg cos − mg sin)s = m
