第12章波动学基础 振动的传播就是波机械振动在弹性介质中的传播形成机械波水波和声波都属于 机械波但是,并不是所有的波都依靠介质传播光波、无线电波可以在真空中传播,它们 属于另一类波,称为电磁波微观粒子也具有波动性这种波称为物质波或德布罗意波 各类波虽然其本源不同,但都具有波动的共同特性,并遵从相似的规律我们就从机械波 开始讨论 §121机械波的产生和传播 机械波产生的条件 当用手拿着绳子的一端并作上下振动时绳子将形成一个接着一个的凸起和凹陷, 并由近及远地沿着绳子传播开去,这一个接着一个的凸起和凹陷沿绳子的传播,就是 种波动显然绳子上的这种波动是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的对 于波动而言这一点就称为波源绳子就是传播这种振动的弹性介质 我们可以把绳子看作一维的弹性介质组成这种介质的各质点之间都以弹性力相 联系,一旦某质点离开其平衡位置,则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用, 此弹性力既迫使这个质点返回平衡位置,同时也迫使邻近质点偏离其平衡位置而参与 振动另外组成弹性介质的质点都具有一定的惯性当质点在弹性力的作用下返回平衡 位置时,质点不可能突然停止在平衡位置上而要越过平衡位置继续运动所以说,弹性 介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程 在波的传播过程中,虽然波形沿介质由近及远地传播着而参与波动的质点并没有 随之远离,只是在自己的平衡位置附近振动所以,波动是介质整体所表现的运动状态 对于介质的任何单个质点只有振动可言 应该特别指出的是,弹性介质是产生和传播机械波的必要条件而对于其他类型的 波并不一定需要这个条件光波和无线电波都属于电磁波是变化的电场和变化的磁场 互相激发而产生的波,可以在真空中产生和传播实物波或德布罗意波反映了微观粒子 的一种属性,即波动性代表了粒子在空间存在的概率分布并非某种振动的传播,更无 需弹性介质的存在 横波和纵波 在波动中如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直,这种波称为横 波:如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行这种波称为纵波 上面所说的凸起(称为波峰)和凹陷(称为波谷)沿绳子的传播,就是横波纵波 的产生和传播可以通过下面的实验来观察将一根长弹簧水平悬挂起来在其一端用手 压缩或拉伸一下,使其端部沿弹簧的长度方向振动由于弹簧各部分之间弹性力的作用 端部的振动带动了其相邻部分的振动而相邻部分又带动它附近部分的振动因而弹簧
1 第 12 章 波动学基础 振动的传播就是波.机械振动在弹性介质中的传播形成机械波,水波和声波都属于 机械波.但是,并不是所有的波都依靠介质传播,光波、无线电波可以在真空中传播,它们 属于另一类波,称为电磁波.微观粒子也具有波动性,这种波称为物质波或德布罗意波. 各类波虽然其本源不同,但都具有波动的共同特性,并遵从相似的规律.我们就从机械波 开始讨论. §12.1 机械波的产生和传播 一、 机械波产生的条件 当用手拿着绳子的一端并作上下振动时,绳子将形成一个接着一个的凸起和凹陷, 并由近及远地沿着绳子传播开去,这一个接着一个的凸起和凹陷沿绳子的传播,就是一 种波动.显然,绳子上的这种波动,是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的,对 于波动而言,这一点就称为波源.绳子就是传播这种振动的弹性介质. 我们可以把绳子看作一维的弹性介质,组成这种介质的各质点之间都以弹性力相 联系,一旦某质点离开其平衡位置,则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用, 此弹性力既迫使这个质点返回平衡位置,同时也迫使邻近质点偏离其平衡位置而参与 振动.另外,组成弹性介质的质点都具有一定的惯性,当质点在弹性力的作用下返回平衡 位置时,质点不可能突然停止在平衡位置上,而要越过平衡位置继续运动.所以说,弹性 介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程. 在波的传播过程中,虽然波形沿介质由近及远地传播着,而参与波动的质点并没有 随之远离,只是在自己的平衡位置附近振动.所以,波动是介质整体所表现的运动状态, 对于介质的任何单个质点,只有振动可言. 应该特别指出的是,弹性介质是产生和传播机械波的必要条件,而对于其他类型的 波并不一定需要这个条件.光波和无线电波都属于电磁波,是变化的电场和变化的磁场 互相激发而产生的波,可以在真空中产生和传播.实物波或德布罗意波反映了微观粒子 的一种属性,即波动性,代表了粒子在空间存在的概率分布,并非某种振动的传播,更无 需弹性介质的存在. 二、横波和纵波 在波动中,如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直,这种波称为横 波；如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行,这种波称为纵波. 上面所说的凸起（称为波峰）和凹陷（称为波谷）沿绳子的传播,就是横波.纵波 的产生和传播可以通过下面的实验来观察.将一根长弹簧水平悬挂起来,在其一端用手 压缩或拉伸一下,使其端部沿弹簧的长度方向振动.由于弹簧各部分之间弹性力的作用, 端部的振动带动了其相邻部分的振动,而相邻部分又带动它附近部分的振动,因而弹簧
各部分将相继振动起来弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子 的凸起和凹陷,而表现为弹簧圈的稠密和稀疏如图12.1所示图中弹簧圈的振动方向与 波的传播方向相平行对于纵波除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横 波不同外,其他性质与横波无根本性的差异所以对横波的讨论也适用于纵波对纵波的 讨论也适用于横波 QQ0900999 图121 说明:1)有的波既不是纯粹的纵波也不是纯粹的横波如液体的表面波.当波通过 液体表面时该处液体质点的运动是相当复杂的,既有与波的传播方向相垂直的方向上 的运动,也有与波的传播方向相平行的方向上的运动这种运动的复杂性,是由于液面上 液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果 2)介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程弹性介质无论是气体、液 体还是固体,其质点都具有惯性至于弹性对于流体和固体却有不同的情形.固体的弹 性,既表现在当固体发生长变(或体变)时能够产生相应的压应力和张应力,也表现在 当固体发生剪切时能够产生相应的剪应力所以在固体中,无论质点之间相对疏远或靠 近还是相邻两层介质之间发生相对错动,都能产生相应的弹性力使质点返回其平衡位 置这样固体既能够形成和传播纵波,也能够形成和传播横波.流体的弹性只表现在当 流体发生体变时能够产生相应的压应力和张应力,而当流体发生剪切时却不能产生相 应的剪应力这样,流体只能形成和传播纵波而不能形成和传播横波 波射线和波振面 波射线和波振面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念.从波源沿各 传播方向所画的带箭头的线称为波射线用以表示波的传播路径和传播方向波在传播 过程中所有振动相位相同的点连成的面称为波振面显然,波在传播过程中波振面有 无穷多个在各向同性的均匀介质中,波射线与波振面相垂直 图122 波振面有不同的形状.一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波其波振面是 系列同心球面波振面为球面的波称为球面波;波振面为平面的波称为平面波当球
2 各部分将相继振动起来.弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子 的凸起和凹陷,而表现为弹簧圈的稠密和稀疏,如图 12.1 所示.图中弹簧圈的振动方向与 波的传播方向相平行.对于纵波,除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横 波不同外,其他性质与横波无根本性的差异,所以对横波的讨论也适用于纵波,对纵波的 讨论也适用于横波. 说明：1）有的波既不是纯粹的纵波,也不是纯粹的横波,如液体的表面波.当波通过 液体表面时,该处液体质点的运动是相当复杂的,既有与波的传播方向相垂直的方向上 的运动,也有与波的传播方向相平行的方向上的运动.这种运动的复杂性,是由于液面上 液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果. 2）介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程.弹性介质,无论是气体、液 体还是固体,其质点都具有惯性.至于弹性,对于流体和固体却有不同的情形.固体的弹 性,既表现在当固体发生长变（或体变）时能够产生相应的压应力和张应力,也表现在 当固体发生剪切时能够产生相应的剪应力.所以,在固体中,无论质点之间相对疏远或靠 近,还是相邻两层介质之间发生相对错动,都能产生相应的弹性力使质点返回其平衡位 置.这样,固体既能够形成和传播纵波,也能够形成和传播横波.流体的弹性只表现在当 流体发生体变时能够产生相应的压应力和张应力,而当流体发生剪切时却不能产生相 应的剪应力.这样,流体只能形成和传播纵波,而不能形成和传播横波. 三、波射线和波振面 波射线和波振面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念.从波源沿各 传播方向所画的带箭头的线,称为波射线,用以表示波的传播路径和传播方向.波在传播 过程中,所有振动相位相同的点连成的面,称为波振面.显然,波在传播过程中波振面有 无穷多个.在各向同性的均匀介质中,波射线与波振面相垂直. 波振面有不同的形状.一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波,其波振面是 一系列同心球面.波振面为球面的波,称为球面波；波振面为平面的波,称为平面波.当球
面波传播到足够远处,若观察的范围不大,波振面近似为平面可以认为是平面波图 12.2a)和(b)分别表示了球面波的波振面和平面波的波振面图中带箭头的直线表示波 射线在二维空间波振面退化为线:球面波的波振面退化为一系列同心圆,平面波的波 振面退化为一系列直线 四、描述波动的几个物理量 波速u、波长λ、波的周期T和频率ν是描述波的四个重要物理量这四个物理 量之间存在一定的联系 波速u是单位时间内振动传播的距离波速也就是波面向前推进的速率 波长λ:波在传播过程中沿同一波射线上相位差为2的两个相邻质点的运动状 态必定相同,它们之间的距离为一个波长.(横波、纵波的情况下) 周期T:一个完整的波(即一个波长的波)通过波射线上某点所需要的时间 频率v:频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目 根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义我们不难想象每经过一个周期介 质质点完成一次全振动,同时振动状态沿波射线向前传播了一个波长的距离:在1s内 质点振动了v次振动状态沿波射线向前传播了v个波长的距离,即波速所以 =v入 (12.1) 在固体中横波的波速为 (12.2) 式中G是固体材料的剪切模量,ρ是固体材料的密度.纵波在固体中的传播速率为 (12.3) 式中Y是固体材料的杨氏模量在流体中只能形成和传播纵波,其传播速率可以表示为 l!= 式中B是流体的体变模量,定义为流体发生单位体变需要増加的压强,即 △P 式中负号是由于当压强增大时体积缩小,即△V为负值 式(12.2)、式(123)和式(124)表明,波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性 和惯性,弹性模量是介质弹性的反映密度则是介质质点惯性的反映 说明:因为在一定的介质中波速是恒定的所以波长完全由波源的频率决定:频率
3 面波传播到足够远处,若观察的范围不大,波振面近似为平面,可以认为是平面波.图 12.2(a)和(b)分别表示了球面波的波振面和平面波的波振面,图中带箭头的直线表示波 射线.在二维空间,波振面退化为线：球面波的波振面退化为一系列同心圆,平面波的波 振面退化为一系列直线. 四、描述波动的几个物理量 波速 u、波长λ、波的周期 T 和频率 v 是描述波的四个重要物理量.这四个物理 量之间存在一定的联系. 波速 u 是单位时间内振动传播的距离.波速也就是波面向前推进的速率. 波长λ：波在传播过程中,沿同一波射线上相位差为 2π的两个相邻质点的运动状 态必定相同,它们之间的距离为一个波长.（横波、纵波的情况下） 周期 T：一个完整的波（即一个波长的波）通过波射线上某点所需要的时间 频率 v：频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目. 根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义,我们不难想象,每经过一个周期,介 质质点完成一次全振动,同时振动状态沿波射线向前传播了一个波长的距离；在 1s 内, 质点振动了 v 次,振动状态沿波射线向前传播了 v 个波长的距离,即波速,所以 T u = = （12.1） 在固体中横波的波速为 = G u (12.2) 式中 G 是固体材料的剪切模量,ρ是固体材料的密度.纵波在固体中的传播速率为 = Y u (12.3) 式中 Y 是固体材料的杨氏模量.在流体中只能形成和传播纵波,其传播速率可以表示为 = B u (12.4) 式中 B 是流体的体变模量,定义为流体发生单位体变需要增加的压强,即 V V P B / = − 式中负号是由于当压强增大时体积缩小,即△V 为负值. 式(12.2)、式(12.3)和式(12.4)表明,波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性 和惯性,弹性模量是介质弹性的反映,密度则是介质质点惯性的反映. 说明：因为在一定的介质中波速是恒定的,所以波长完全由波源的频率决定：频率
越高波长越短:频率越低,波长越长而对于频率或周期恒定的波源因为波速与介质有 关,则此波源在不同介质中激发的波的波长又由介质的波速决定 作业(P127):12.10
4 越高,波长越短；频率越低,波长越长.而对于频率或周期恒定的波源,因为波速与介质有 关,则此波源在不同介质中激发的波的波长又由介质的波速决定. 作业(P127):12.10
§122平面简谐波 一般情况下的波是很复杂的但存在一种最简单也是最基本的波这就是当波源作 简谐振动时,所引起的介质各点也作简谐振动而形成的波这种波称为简谐波任何一种 复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成波振面为平面的简谐 波称为平面简谐波以下所讨论的就是这种波 平面简诸波的波函数 假设在各向同性的均匀介质中沿ⅹ轴方向无吸收地传播着一列平面简谐波,在波 射线上取一点O作为坐标原点该波射线就是x轴假设在t时刻处于原点O的质 点的位移可以表示为 yo=A cost 式中A为振幅,ω为角频率这样的振动沿着x轴方向传播,每传到一处,那里的质点将 以同样的振幅和频率重复着原点O的振动现在来考察ⅹ轴上任意一点P的振动情 况,这点位于ⅹ处振动从原点O传播到点P所需要的时间为x在这段时间内点O 振动了wx/次每振动一次相位改变2x,所以点O在这段时间内振动相位共改变了 2πwx/这就是说点P的振动比点O的振动落后了2xwl的相位于是点P的相位 应是ot-2rwh故点P的振动应写为 y=Acoso(t-)=Acos(o t-2TV (12.6) 上式就是沿x轴正方向传播的平面简谐波的表示式称为平面简谐波波函数由、、 T、λ和u诸量之间的关系,平面简谐波波函数还可以表示成另一些形式如 y=Acos o([--)=Acos(o t-2TV Acos2(-)=Acos2r(v-x A cos(o t-kx)=Acos(o t-2I) (127) 入 式中k=2称为波数表示在2m米内所包含的完整波的数 讨论:在简谐波波函数中包含了两个自变量,即x和t 1)当ⅹ一定时,就是对于波射线上一个确定点位移y是t的余弦函数,式(126) 表示了该确定点作简谐振动的情形 2)当t一定时即对于某一确定瞬间,位移y是x的余弦函数式(126)表示了在
5 §12.2 平面简谐波 一般情况下的波是很复杂的,但存在一种最简单也是最基本的波,这就是当波源作 简谐振动时,所引起的介质各点也作简谐振动而形成的波,这种波称为简谐波.任何一种 复杂的波都可以表示为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成.波振面为平面的简谐 波称为平面简谐波.以下所讨论的就是这种波. 一、平面简谐波的波函数 假设在各向同性的均匀介质中沿 x 轴方向无吸收地传播着一列平面简谐波,在波 射线上取一点 O 作为坐标原点,该波射线就是 x 轴.假设在 t 时刻处于原点 O 的质 点的位移可以表示为 y = Acost 0 式中 A 为振幅,ω为角频率.这样的振动沿着 x 轴方向传播,每传到一处,那里的质点将 以同样的振幅和频率重复着原点 O 的振动.现在来考察 x 轴上任意一点 P 的振动情 况,这点位于 x 处.振动从原点 O 传播到点 P 所需要的时间为 x/u,在这段时间内点 O 振动了 vx/u 次,每振动一次相位改变 2,所以点 O 在这段时间内振动相位共改变了 2 vx/u.这就是说,点 P 的振动比点 O 的振动落后了 2 vx/u 的相位,于是点 P 的相位 应是t - 2 vx/u.故点 P 的振动应写为 cos ( ) cos( ) u x A t u x y = A t − = − 2 (12.6) 上式就是沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的表示式,称为平面简谐波波函数.由ω、v、 T、λ和 u 诸量之间的关系,平面简谐波波函数还可以表示成另一些形式,如 cos ( ) cos( ) u x A t u x y = A t − = − 2 cos ( ) cos ( ) = − = − x A t x T t A 2 2 cos( ) cos( ) = − = − x A t k x A t 2 (12.7) 式中 k= 2 称为波数,表示在 2π米内所包含的完整波的数目. 讨论：在简谐波波函数中,包含了两个自变量,即 x 和 t . 1）当 x 一定时,就是对于波射线上一个确定点,位移 y 是 t 的余弦函数,式(12.6) 表示了该确定点作简谐振动的情形. 2）当 t 一定时,即对于某一确定瞬间,位移 y 是 x 的余弦函数,式(12.6)表示了在
该瞬间介质中各质点的位移分布 3)当选择一定的y值时式(126)表示了x与t的函数关系例如在t时刻,x 处质点的位移为y经过了Δt时间,位移y'出现在x+△x处由式(126)可得 AcoSo(I-x)= ACOSO((+4/-+Ax )→△x=△ 这表示,振动状态y"以波速u沿波的传播方向移动于是可以得出这样的结论:当x 和t都在变化时,式(126)表示整个波形以波速u沿波射线传播,这就是行波 4)式(12.6)中ⅹ前的负号表示距离坐标原点越远的地方质点振动的相位越落后, 因而表示波是沿ⅹ轴正方向传播的假如波是沿x轴负方向传播的考察点P的振 动相位比坐标原点的振动相位超前,式(127)中的负号应改为正号式(128)也是如此 5)上面在推导平面简谐波波函数时为简便起见假定坐标原点的初相位为零而在 般情况下坐标原点的振动应写为 yo=Acos(ot+o) 这时,平面简谐波波函数中也必须考虑初相位则平面简谐波波函数可写为 2πx y=Acos(ot+φ 6)与简谐振动可以用复数表示一样平面简谐波波函数也可用复数来表示 该复数的实部才是我们关心的平面简谐波波函数 例题12.1以y=004cos:2.5πtm的形式作简谐振动的波源,在某种介质中激发了平面 简谐波,并以100msl的速率传播.(1)写出此平面简谐波的波函数:(2)求在波源起 振后1.0s、距波源20m处质点的位移、速度和加速度 解:(1)取波的传播方向为ⅹ轴的正方向,波源所在处为坐标原点这样平面简谐 波波函数的一般形式可写为 y=c0so(-)代入数少y=0.04cos2.n("W0)m (2)在x=20m处质点的振动可表示为 y=0.04c0s2.5x(t-0.20)=0.04n2.5m 在波源起振后1.0s,该处质点的位移为 0.04sn2.5汇=0.04m d 该处质点的速度为U==2(004sin2.5m)=0.1rcos2.5m=0
6 该瞬间介质中各质点的位移分布. 3）当选择一定的 y 值时,式(12.6)表示了 x 与 t 的函数关系.例如,在 t 时刻,x 处质点的位移为 y ',经过了 t 时间,位移 y'出现在 x +△x 处,由式(12.6)可得 cos ( ) cos ( ) u x x A t t u x A t + − = + − x = ut 这表示,振动状态 y '以波速 u 沿波的传播方向移动.于是可以得出这样的结论：当 x 和 t 都在变化时,式(12.6)表示整个波形以波速 u 沿波射线传播,这就是行波. 4）式(12.6)中 x 前的负号表示距离坐标原点越远的地方,质点振动的相位越落后, 因而表示波是沿 x 轴正方向传播的.假如波是沿 x 轴负方向传播的,考察点 P 的振 动相位比坐标原点的振动相位超前,式(12.7)中的负号应改为正号.式(12.8)也是如此. 5）上面在推导平面简谐波波函数时,为简便起见,假定坐标原点的初相位为零,而在 一般情况下坐标原点的振动应写为 y = Acos(t + ) 0 这时,平面简谐波波函数中也必须考虑初相位,则平面简谐波波函数可写为 cos( ) = + − x y A t 2 (12.7) 6）与简谐振动可以用复数表示一样,平面简谐波波函数也可用复数来表示 ( ) [ ( )] ~ u i t kx x i t y Ae Ae − − = = 该复数的实部才是我们关心的平面简谐波波函数. 例题 12.1 以 y=0.04cos2.5πt m 的形式作简谐振动的波源,在某种介质中激发了平面 简谐波,并以 100ms-1 的速率传播.（1）写出此平面简谐波的波函数；（2）求在波源起 振后 1.0 s、距波源 20 m 处质点的位移、速度和加速度. 解：（1）取波的传播方向为 x 轴的正方向,波源所在处为坐标原点,这样平面简谐 波波函数的一般形式可写为 m 100 cos ( ) 0.04cos 2.5 ( ) x y t u x y = A t − ⎯⎯ ⎯→ = − 代入数据 （2）在 x=20m 处质点的振动可表示为 y = 0.04cos 2.5 (t − 0.20) = 0.04sin2.5 t 在波源起振后 1.0s,该处质点的位移为 y = 0.04sin2.5 = 0.04m 该处质点的速度为 = = (0.04sin 2.5 t) = 0.1 cos 2.5 t = 0 dt d dt dy
由此可见质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念不能将它们混淆 该处质点的加速度为 A(25)2sin2.5πt=-0.25sin2.5π=-0.25mS 式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反 例题122有一列平面简谐波坐标原点按照y=Acos(ot+φ)的规律振动已知 A=0.10m,T=0.50s,=10m,试求解以下问题 (1)写出此平面简谐波的波函数 (2)求波射线上相距25m的两点的相位差; (3)假如t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为yo=0.05m,且向平衡位置运动 求初相位并写出波函数 解:(1)要写波函数第一步是建立坐标系既然坐标原点已经给定,则可以取过坐 标原点的波射线为x轴,x轴的指向与波射线的方向一致对于这样的选择在波函数 中x前的符号必定是负号第二步就是求出坐标为x的质点在任意时刻的位移因为 处于ⅹ的质点在任意时刻的相位都比处于坐标原点的质点的相位落后2πx/λ,根据已 知条件,坐标原点在t时刻的相位为ot+φ,所以在同一瞬间x点的相位必定为 ot+φ-2x/λ.这样我们就得到下面的波函数通式 y=Acos(0t+中--) 其中A=0.10m,=10m,O=2/T=40nrad.s-,代入上式,得 y=0.lcos(4πt+φ--)m (2)因为波射线上x点在任意时刻的相位都比坐标原点的相位落后2x/λ,如 点的位置在x,另一点的位置在x+2.5m,它们分别比坐标原点的相位落后 △d=2π-和2π x+2.5 所以这两点的相位差为 △=2(x+2.5-5)=5m= (3)这一问的要求就是根据所给条件求出中。y=0.05m代入坐标原点的振动方程中, 可得
7 由此可见,质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念,不能将它们混淆. 该处质点的加速度为 2 5 2 5 0 25 2 5 0 25m/s 2 2 2 = = −A( . ) sin . t = − . sin . = − . dt d y a 式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反. 例题 12.2 有一列平面简谐波,坐标原点按照 y = Acos(t + ) 的规律振动.已知 A=0.10m,T=0.50 s,λ=10m,试求解以下问题： （1）写出此平面简谐波的波函数； （2）求波射线上相距 2.5 m 的两点的相位差； （3）假如 t=0 时处于坐标原点的质点的振动位移为 y0=0.05m,且向平衡位置运动, 求初相位并写出波函数. 解：（1）要写波函数,第一步是建立坐标系.既然坐标原点已经给定,则可以取过坐 标原点的波射线为 x 轴, x 轴的指向与波射线的方向一致.对于这样的选择,在波函数 中 x 前的符号必定是负号.第二步就是求出坐标为 x 的质点在任意时刻的位移.因为 处于 x 的质点在任意时刻的相位都比处于坐标原点的质点的相位落后 2x / ,根据已 知条件,坐标原点在 t 时刻的相位为 t + ,所以在同一瞬间 x 点的相位必定为 t + − 2x / . 这样,我们就得到下面的波函数通式 cos( ) = + − x y A t 2 其中 1 0 10m 10m 2 4 0 rad s − A = . , = ,= /T = . ，代入上式,得 m 5 0.1cos(4 ) x y t = + − （2）因为波射线上 x 点在任意时刻的相位都比坐标原点的相位落后 2x / ,如 一点的位置在 x ,另一点的位置在 x+2.5 m ,它们分别比坐标原点的相位落后 = x 2 和 + 2 5 2 x . .所以这两点的相位差为 2 2 5 5 2 = = − + = ) . ( x x （3）这一问的要求就是根据所给条件求出φ。y = 0.05m 代入坐标原点的振动方程中, 可得
0.05=0.10c0s→c0sφ=0.5→中=± φ取正值还是负值或者两解都取,这要根据t=0时刻处于坐标原点的质点的运 动趋势来决定已知条件告诉我们初始时刻该质点的位移为正值,并向平衡位置运动 所以与这个质点的运动相对应的旋转矢量在初始时刻处于第一象限,应取正于是波函 数应写为 y=0.lcos(4t+π/3-πx/5)m 波动方程及其推导 为了从动力学角度研究波的传播规律,这里假设一列平面纵波沿横截面为S、密度 为ρ的均匀直棒无吸收地传播,取棒沿ⅹ轴,并将此波的波函数一般地表示为 在棒上任取一棒元△x,如图123中AB所示当波0 B 尚未到时截面A和截面B分别处于ⅹ和x+△x的位 置当波到达时棒元所发生的形变是长变或被拉伸,8一 或被压缩,并且各处的长变不同,截面A处的位移为 y,截面B处的位移为y+△y,因而分别达到图中 图123 的A和B位置棒元若被拉伸,则两端面受到的弹性力分别为f和2,如图123所示于 是可以列出棒元的运动方程 f-f=P(SAx)o y (12.11) 棒元原长为△x,当波传到时棒元的长变为(y+△y)-y=△y,所以拉伸应变为△y△ x当所取棒元无限缩小时拉伸应变可写为ay/o∂x.正如前面所说,当波传到时各处的拉 伸应变是不同的我们把ⅹ处的拉伸应变记为(ay/axhx根据胡克定律作用于棒元 处的弹性力的大小可以表示为 f 式中Y是直棒材料的杨氏模量我们把ⅹ+△x处的拉伸应变记为(oy/ax)x+△x,该处弹 性力的大小则为 f2=ys()
8 3 0 05 0 10 0 5 . = . cos cos = . = φ取正值还是负值,或者两解都取,这要根据 t = 0 时刻处于坐标原点的质点的运 动趋势来决定.已知条件告诉我们,初始时刻该质点的位移为正值,并向平衡位置运动, 所以与这个质点的运动相对应的旋转矢量在初始时刻处于第一象限,应取正.于是波函 数应写为 y = 0.1cos(4 t + / 3− x / 5)m 二、波动方程及其推导 为了从动力学角度研究波的传播规律,这里假设一列平面纵波沿横截面为 S、密度 为ρ的均匀直棒无吸收地传播,取棒沿 x 轴,并将此波的波函数一般地表示为 y = y(x,t) 在棒上任取一棒元△x ,如图 12.3 中 AB 所示.当波 尚未到时,截面 A 和截面 B 分别处于 x 和 x +△x 的位 置.当波到达时,棒元所发生的形变是长变(或被拉伸, 或被压缩),并且各处的长变不同,截面 A 处的位移为 y ,截面 B 处的位移为 y + △y,因而分别达到图中 的 A'和B' 位置.棒元若被拉伸,则两端面受到的弹性力分别为 1 2 f 和f ,如图 12.3 所示.于 是可以列出棒元的运动方程 2 2 2 1 t y f f S x − = ( ) (12.11) 棒元原长为△x,当波传到时,棒元的长变为（y+△y）－y = △y,所以拉伸应变为△y/△ x,当所取棒元无限缩小时,拉伸应变可写为 y / x .正如前面所说,当波传到时,各处的拉 伸应变是不同的,我们把 x 处的拉伸应变记为( y / x )x .根据胡克定律,作用于棒元 x 处的弹性力的大小可以表示为 x x y f YS( ) 1 = 式中 Y 是直棒材料的杨氏模量.我们把 x +△x 处的拉伸应变记为( y / x )x+△x,该处弹 性力的大小则为 x x x y f YS + = ( ) 2
棒元所受合力为 f-=S()+x-(与≈ByAx=p(SA)y (12.12 因为棒元△x很小所以在上式中略去了△x的高次方项将式(12.12)代入式(12.11 得 Ya (12.13) 这就是纵波的波动方程这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的但适用于一般的固体 弹性介质 横波的情形能够产生和传播横波的弹性介质 必定是固体,因为只有固体在发生剪切时能够产生y+ 剪应力当横波沿横截面积为S、密度为ρ的均匀直 棒无吸收地传播时,直棒各处将发生剪切,并且不同 位置上剪应变的量也不同,因而产生或受到的剪应 力也不同图124画出了棒元△x发生剪切的示意 图,由图可见棒元的剪应变可表示为△y△x当所 图124 取棒元无限缩小时,剪应变可写为ay/axx处的剪应变为(oy/axk,该处所受弹性力的 大小应表示为 f=GS( 式中G是直棒材料的剪切模量,同样,ⅹ+△ⅹ处的剪应变为,该处所受弹性力的大小应 表示为 f =GS() 于是棒元所受合力为 f2-f=GSI()+Ar-()1*GS-2Ar 根据牛顿第二定律,列出该棒元的运动方程 fA2-f=p(SAr)oy (12.15) 由上两式整理后得 Ga (12.16) ot ax 上式就是横波的波动方程,它适用于能够传播横波的一切介质
9 棒元所受合力为 2 2 2 2 2 1 t y x S x x y YS x y x y f f YS x x x = − − = + [( ) ( ) ] ( ) (12.12) 因为棒元 △x 很小,所以在上式中略去了△x 的高次方项.将式(12.12)代入式(12.11), 得 2 2 2 2 x Y y t y = (12.13) 这就是纵波的波动方程.这个方程式虽然是从均匀直棒中推出的,但适用于一般的固体 弹性介质. 横波的情形.能够产生和传播横波的弹性介质 必定是固体,因为只有固体在发生剪切时能够产生 剪应力.当横波沿横截面积为 S、密度为ρ的均匀直 棒无吸收地传播时,直棒各处将发生剪切,并且不同 位置上剪应变的量也不同,因而产生或受到的剪应 力也不同.图 12.4 画出了棒元△x 发生剪切的示意 图,由图可见,棒元的剪应变可表示为△y/△x.当所 取棒元无限缩小时,剪应变可写为 y / x .x 处的剪应变为( y / x )x ,该处所受弹性力的 大小应表示为 x x y f GS( ) 1 = 式中 G 是直棒材料的剪切模量,同样,x +△x 处的剪应变为 ,该处所受弹性力的大小应 表示为 x x x y f GS + = ( ) 2 于是棒元所受合力为 x x y GS x y x y f f GS x x x − − = + 2 2 2 1 [( ) ( ) ] (12.14) 根据牛顿第二定律,列出该棒元的运动方程 2 2 2 1 t y f f S x − = ( ) (12.15) 由上两式整理后得 2 2 2 2 x G y t y = (12.16) 上式就是横波的波动方程,它适用于能够传播横波的一切介质
说明:在推导波动方程(12.13)和(12.16)时,只是区别了波速不同的纵波和横波至于 方程(1213)适用于何种纵波,方程(12.J16)适用于何种横波振幅多大、频率多高、波振面 形状如何均未涉及所以我们可以断定各种可能的纵波波函数都是波动方程(1213)的 解各种可能的横波波函数都是波动方程(12.16)的解 既然如此平面简谐波波函数y=Acos(ot-kx)必定是波动方程(1213)和(12.16)的解 由此得 纵波:=0→=y/p 横波:=0→n=G/ 这正是前面给出的纵波波速公式这里从波动方程中得到了证明 从上面的讨论中我们已经看到在波动方程(12.13)、(12.1)中 前的系数就是波 速的平方。 作业(P127):1212,12.15,12.18
10 说明：在推导波动方程(12.13)和(12.16)时,只是区别了波速不同的纵波和横波,至于 方程(12.13)适用于何种纵波,方程(12.16)适用于何种横波,振幅多大、频率多高、波振面 形状如何,均未涉及.所以我们可以断定,各种可能的纵波波函数都是波动方程(12.13)的 解,各种可能的横波波函数都是波动方程(12.16)的解. 既然如此,平面简谐波波函数 y = Acos(t − kx) 必定是波动方程(12.13)和(12.16)的解. 由此得： ⎯⎯ ⎯→ = = ⎯⎯ ⎯→ = = = = / / u G k G u Y k Y k u k u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 横波： 纵波： 2 2 2 2 2 x y u t y = 这正是前面给出的纵波波速公式,这里从波动方程中得到了证明. 从上面的讨论中我们已经看到,在波动方程(12.13)、(12.1)中, 2 2 x y 项前的系数就是波 速的平方。 作业(P127)：12.12，12.15，12.18