第十五章机械 第十五章机械波 Mechanical Wave 波动是自然界中常见的一种物质运动形式。在上一章机槭振动中,我们曾说过:振动是波动的根源 而波动是振动的传播过程。本章将通过机槭振动在空气中的传播形成机械波来具体看此过程。通常将波动 分为两大类:一类是杋械振动在弹性介质中的传播,称为机械波,如水面波、声波、地震波等。另一类是 变化的电磁场在空间的传播,称为电磁波,如无线电波、光波等等。虽然它们的本质不同,但它们都有以 下共同特性: (1)具有一定的传播速度 (2)伴随着能量的传播; (3)能产生反射、折射、干涉和衍射等现象 (4)有相似的波函数等。 这些性质被称为波动性( undulatory property)。由于机械波比较形象、直观,因此我们将通过对机械 波的研究来揭示各类波动的共同性质和规律 本章分10节: §15-1机械波的几个概念 §15-2平面简谐波的波函数 §15-3波的能量 §15-4惠更斯原理波的衍射、反射和折射 §15-5波的干涉 §15-6驻波 §157声波、超声波、次声波 §15-8多普勒效应 §15-1机械波的几个概念 Some Concepts of Mechanical Wave 机械波的形成 波动的产生 气体、液体和固体统称为弹性介质,组成弹性介质的质点(或质元)之间以弹性力相互联系着。当介 质中某一质点P偏离平衡位置时,由于形变,相邻质点就将对它施以弹性力的作用,使它回到平衡位置来 但是由于惯性的存在,P质点回到平衡位置后,又将向相反方向运动。于是质点P就在其平衡位置附近振 动起来。与此同时,由于各质点之间有弹性力作用,P质点将带动相邻质点,使之也在自己的平衡位置附 近振动起来。因此,介质中一个质点的振动会引起(带动)邻近质点的振动,而邻近质点的振动又会引起 较远质点的振动。这样,振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去,形成波动。这种机械振 动在弹性介质中的传播称为弹性波( elastic wave),即机械波
第十五章机械波 04812162024 t=0 2 37 t=T 2.产生机械波的条件: 1)波源:产生机械振动的振源。亦即第一个振动的质点 2)弹性介质:传播机械振动 例如:钟表的闹铃,在空气中可以看见其振动,也可以听见声音,放在真空中只能看见其振动,但听 不见声音。原因是真空中没有传播此振动的介质。 3.需要注意的问题: 1)波动是波源的振动状态(或波动能量)在介质中的传播。媒质中各质元都在重复着波源的运动 故在做受迫振动 2)媒质中各质元都在各自平衡位置附近作振动,并末“随波逐流”。因此波的传播不是媒质质元的传播。 3)波源的振动状态沿波射线的方向由近及远向外传播,因此沿波射线方向各质元的振动相位是逐 落后的 波的类型 按介质质点的运动方向与波动传播方向来分—横波和纵波 横波( transverse wave):质点的振动方向与波的传播方向垂直 波形凸起部分叫做波峰,凹下部分叫做波谷。 纵波( longitudinal wave):质点的振动方向与波的传播方向平行 说明 1)横波的传播表现为波峰、波谷沿传播方向移动。纵波的传播则表现为疏、密状态沿波的传播方向 移动。 2)产生横波需要介质内部有垂直于波的传播方向的切向弹性力,通常在气体和液体内部不能产生这 种切向弹性力,所以它们只能传播纵波。在固体内部冇此则切向弹性力,故它既能传播横波又能传播纵波 3)在一般情况下,一个波源在固态物质中可以产生横波和纵波,例如地震波。还有一些波既不是横
波又不是纵波,例如水面波,质元沿一椭圆轨道运动,因此水的质元既有平行于波传播方向的运动,又有 垂直于波传播方向的运动。 2.按波的波前来分——平面波、球面波、柱面波 为了形象地描述波在空间的传播情况,通常沿波的传播方向作一些带箭头的线,称为波线( wave ray), 波线的指向表示波的传播方向:在同一时刻,波动传播到的空间各点构成的曲面称为波振面(或波面)(wave surface),显然同一波面上各点的相位是相同的。最前面的波面称为波前( wave front)。因此,在任何时刻, 波前只有一个。在各向同性介质中,波线恒与波面垂直。 面球面波 平面波 波前 在各向同性的介质中,波线与波面垂直 平面波:波前为平面一 plane wave; 球面波:波前为球面,由点波源产生— spherical wave; 柱面波:波前为柱面,由形状波源产生 按波动的传播来分行波和驻波 行波( travelling wave):振动状态或振动能量由波源向外传播的波 驻波:由同一直线上沿相反方向传播的两列振动方向相同、振幅相同、频率相同、相位相同或相位差 恒定的波叠加而成。驻波没有振动状态和能量的传播 4.按波动的明显的物理性质来分—光波、声波、水波等 5.按传播波动的质点的行为来分—脉冲波、周期波等 三、描述波动的物理量—波长、周期与频率、波速 1.波长( wavelength)λ——反映波动的空间周期性 定义:同一波线上两个相邻的、相位差为2π的振动质点之间的距离 波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度。横波:相邻两个波峰或波谷之 间的距离;纵波:相邻两个密部或疏部之间的距离 2.周期( periodic)与频率( frequency)-反映波动的时间周期性 定义:波传播一个波长所需要的时间,叫周期,用T表示。单位:秒。 频率:周期的倒数叫做频率,用v表示。单位:赫兹 1/T 即波动在单位时间内前进的距离中所包含的完整的波的数目 由于波源作一次完全的振动,波就前进一个波长的距离,且后面质点的都是作受迫振动,即在第一个 质点(振源)的带动下振动。因而 1)波的周期等于波源振动的周期; 2)波的周期只与振源有关,而与传播介质无关 3.波速( wave velocity)u描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量 定义:在波动过程中,某一振动状态在单位时间内所传播的距离。由于振动状态的传播也就是相位的 传播,因而这里的波速也称为相速( phase velocity) 理论研究表明,波速取决于介质的弹性模量和介质的密度,而与振源无关;
第十五章机械 绳或弦上的横波速度=√T,T张力,一线密度; 固体中的波速=√G/p—横波,G切变模量 l=√Y/p—纵波,Y—杨氏模量,p—密度 液体或气体中的纵波波速v=√B/p,B介质的容变模量。 说明 )波速用u表示,是为了和V(质点的振动速度)区分 2)波速的大小与介质有关。在不同的介质中,波速是不一样的。例如声波:在空气中,波速为331ms 氢气中,波速为1263m/s 3)关于波速应注意以下几点: (1)波的传播速度是振动状态传播的速度,也是相位传播的速度。因此此处的波速为相速。 (2)要区分波的传播速度和媒质质点的振动速度。后者是质点的振动位移对时间的一阶导数,它反 映质点振动的快慢,它和波的传播快慢是完全不同的两个概念 4)三者的关系 在一个周期中,波前进一个波长,故l=A/T=Av 5)讨论 (1)上式是波速、波长和频率之间的基本关系式,对各种波都适用; (2)频率反映了振动在时间上的周期性,波长反映了振动在空间上的周期性,上式把两种周期性联 系起来; (3)由于波速与介质有关,而频率与介质无关,故当波在不同介质中传播时,其波长也因介质的不 同而不同 例1:在室温下,已知空气中的声速为u1=340ms,水中的声速为u2=1450ms,求频率为200Hz的声 波在空气和水中的波长。 解:由λ=一,得 空气中,=4=340 200 水中 =22=1450 =7.25m 结论:同一频率的声波,在水中的波长要比在空气中的波长要长。 原因:波速决定于介质,频率决定与振源,所以同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时, 频率不变,但波速不同,因而波长也不同。 四、思考题 机械波产生和传播的条件是什么? 2.波长、波速、频率和振幅这些物理量在波从一种介质透入另一种介质时,哪些会发生改变?
第十五章机械波 §15-2简谐波的波函数 Wave Function of Simple harmonic Wave 平面简谐波的波函数 由于一般的波动过程是比较复杂的。所以我们只讨论最简单的情况,即平面简谐波。平面简谐波就是 波源作简谐振动,因其他质点是作受迫振动,也在作简谐振动,且波振面是平面的波称为平面简谐波,或 称为简谐波,这是一种最简单、最基本的行波,严格的简谐波只是一种理想化的模型。而任何非简谐的复 杂的波,都可看成是由若干个频率不同的简谐波叠加而成的。(与简谐振动讨论方法相同) 如何定量描述一个波,即要找到一个函数,能够表示任一质点在任一时刻的运动规律。波动方程就是 用已知波源的振动规律,表达出弹性媒质中各点的振动的规律y(x.)的方程式。 1.平面简谐波的波函数 假定平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的均匀的、无限大介质中传播,则所有波线上波动的传播 情况都相同,因此在任一条波线上的波都能够代表整个介质中的波动。 设平面简谐波以波速u沿ⅹ轴正方向传播,X轴与平面简谐波的一条波线重合,各个质点的平衡位置 都在X轴上。设X轴原点O处的质点的振动方程为 Vo= Acos t (q=0) 对于X轴上任一点P(x,当振动从O点传播到P点时,P处质 点将重复O点的振动,但是在时间上要落后τ=x/,或者说P处振 动的相位要比O处的相位落后ωτ。因此在时刻t,P处质点的振动 方程为 yp=//-+ 该方程反映了质点P在任一时刻相对于自己平衡位置的位移。由于P点的任意性,即它的振动代表所 有质点的振动,可得平面简谐波的波函数为 y=Acos[- l 应用=2=Av和a=2xp 该方程又可以表示为以下形式 y=AcoS 2 y=Acos w 若O处质点的振动初相位为q,则相应的波函数为 A 可见波动中质点的位移y是位置x和时间t的二元函数。 2.各质点振动的速度和加速度 把波函数对时间求偏导,则可以得到x处质点振动的速度和加速度
ay Asin a t a'y=-Aa cos a/t 注意质点振动的速度和波动传播的速度的区别:v是质点振动的速度,它是时间的函数;u是波速, 相对于特定介质而言,它是一个与时间无关的常量 3.沿Ⅹ轴负方向传播的平面简谐波的表达式 P点的相位比O点的相位超前,因而波函数为 y=cosa//+= 2x/t_x=Acos 2rv+r 结论:写出平面简谐波的表达式的关键是写出波线上任一点的振动的相位比已知点的振动是超前还是 落后。这个结论对于横波和纵波都是成立的 二、波动表达式的物理意义 1.x一定,则位移仅是时间的函数,对于x=x1,则 y= Acos at 2a1 该方程表示的是x1处的质点的振动方程。即x1处的质 点的振动情况——该质点在平衡位置附近以ω作简谐振 它表达了距离坐标原点为x1处的质点的振动规律(独舞)。对于不同的x,相应的振动初相位不同。 2.t一定,则位移仅是坐标的函数,对于t=t,则 2 y=Acos at 该方程表示的是h时刻各质点相对于自己平衡位置的O 位移。即时刻波线上所有质点的振动情况—各个质点 相对于各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。 即在某一瞬时y仅为x的函数,它给出了该瞬时波射 线上各质元相对于平衡位置的位移分布情况,即表示某一瞬时的波形(集体定格) 由此还可以得到波程差与相位差的关系 △p=92-g1=-2zxx 3.x和t都变化 波动表达式表示波线上所有质点在不 同时刻的位移。如图所示,实线表示的是 y时刻的波形t+A时刻波形 t时刻的波形,虚线表示t+△t时刻的波形 从图中可以看出,振动状态(即相位)沿 波线传播的距离为Ax=1△t,整个波形也 传播了Δx的距离,因而波速就是波形向前 传播的速度。 Ax=uAt 总结:波动方程反映了波的时间和空
第十五章机械波 间双重周期性 时间周期性:周期T代表了波的时间周期性。从质点运动来看,反映在每个质点的振动周期均为T; 从整个波形看,反映在t时刻的波形曲线与t+T时刻的波形曲线完全重合 空间周期性:波长代表了波在空间的周期性。从质点运动来看,反映在相隔波长的两个质点其振动规 律完全相同(两质点为同相点,同起同落);:从波形来看,波形在空间以波长为“周期”分布着。所以波长也 叫做波的空间周期 *三、波动的微分方程 将沿X轴正方向传播的平面简谐波的表达式分别对x和t求导,有 ay Ao -sin af t asin ol t- 比较可得 但是沿ⅹ轴负方向传播的平面简谐波不满足此方程。将上式再分别对x和t求导,则有 Asin ou a'y== sina(- 比较可得 y 沿ⅹ轴负方向传播的平面简谐波也满足此方程。 说明: )任何物理量,不论是力学量、电学量或其它形式的量,只要它与时间和坐标的关系满足该方程 则此物理量就按波的形式传播 前系数的倒数的平方根就是这种波的传播速度 3)推广到三维空间,则 其中 例2.平面简谐波的传播速度为u,沿X轴正方向传播。已知距原点为x0的P0点处的质点的振动规律 为y。= Acos ot,求波动表达式。 解:在X轴上任取一点P,其坐标为x,振动由P点传到P点所需的时间为t=(xo)l,因而P处质
第十五章机 点振动的相位比P处质点振动的时间要落后τ,所以波动的表达式为 例3.一平面简谐波的波动表达式为 =0.0lcos10 ( SD 求:(1)该波的波速、波长、周期和振幅 (2)x=10m处质点的振动方程及该质点在t2s时的振动速度; (3)x=20m,60m两处质点振动的相位差。 解:(1)将波动表达式写成标准形式 y=0.01 cos 2r| 5t 与y=Acos2z 7(S比较 得振幅A=001m 波长A=20m 周期T=1/5=0.2s 波速u=X/=20/0.2=100m (2)将x=10m代入波动表示式,则有 y=001cs10m-r) (SD) 该式对时间求导,得 V=-0 1r sin (10n-T (SI 将=2s代入得振动速度v=0 (3)x=20m,60m两处质点振动的相位差为 2 9-291 即这两点的振动状态相同 例4.某平面简谐波在t0和t=1s时的波形如图所示,试求:(1)波的周期和角频率;(2)写出该平 面简谐波的表达式 解:(1)由图中可以看出振幅和波长分别为 A=0.1m,A=2m 在t=0到t=1s时间内,波形向X轴正方向移动了λ14,故波的周期和波速为 T=4 2 0.5 Y(m) 由此可得波的角频率为 0 rad. s T (2)设原点O处质点的振动方程为 Acos(at+o) 在t=0时,O处质点的位移和速度为 8
第十五章机械波 yo= Acos=0 A@sin<O 解得 z 所以平面简谐波的表达式为 y=Acos o(t-5)+=0.1coszt-rm+ (SD 四、思考题 1.由已知原点处的简谐振动求平面简谐波函数时,原点处必须是波源吗? 2.若波沿Ox轴的负方向传播,做简谐振动的波源位于x处,相应的波函数应写成什么形式?
第十五章机械波 §15-3波的能量( Wave Energy) 、波动的能量 机械波在介质中传播时,波动传播到的各质点都在各自的平衡位置附近振动。当机械波传播到介质中 的某处时,该处原来不动的质点开始振动,因而有动能;同时该处的介质也将发生形变,因而也具有势能, 波的传播过程也就是能量的传播过程。这是波动的重要特征。本节以棒中传播的纵波为例来讨论波的能量 波的能量 如图所示,一细棒沿Ⅹ轴放置,其质量密度为ρ 截面积为S,弹性模量为Y。当平面纵波以波速u沿X X 轴正方向传播时,棒上每一小段将不断受到压缩和拉 伸。设棒中波的表达式为 Acohol t 在棒中任取一个体积元ab,棒中无波动时两端面 a和b的坐标分别为x和x+dx,则体积元ab的自然长度为dx,质量为dm=pd=pSdx。当有波传到该体 积元时,其振动速度为 --Aosin al t 因而这段体积元的振动动能为 de,=i(dm)v2=l(edv )Ao sin t-x 设在时刻t,该体积元正在被拉伸,两端面a和b的坐标分别为y和y+dy,则体积元ab的实际伸长量 为dy。由于形变而产生的弹性回复力为 F=yS dy d x 和虎克定律比较可得 因而该体积元的弹性势能为 2=k(b)2= I YS du Y ay A@ sin a t 固体中的波速为 Vp 因而
