第15章量子力学基础 人们用经典物理解释黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律时,遇到了不可 克服的困难经过不断的探索和研究终于突破了经典物理的传统观念,建立起量子理论 量子理论和相对论是现代物理学的两大支柱. 量子理论的诞生对研究原子、电子、质子、光子等微观粒子的运动规律提供了正 确的导向从此使物理学发生了一次历史性的飞跃促进了原子能、激光、超导、半导 体等众多新技术的生产和发展本章前部分分别介绍黑体辐射、光电效应、氢原子光 谱等实验规律以及为解释这些实验规律而提出的量子假设即早期的量子论.本章的后 部分简要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论说明量子力学 处理问题的一般方法 §151黑体辐射与普朗克的量子假设 黑体辐射的基本规律 1热辐射 组成物体的分子中都包含着带电粒子,当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁 波,由于这种电磁波辐射与物体的温度有关故称其为热辐射实验表明,热辐射能谱是 连续谱,发射的能量及其按波长的分布是随物体的温度而变化的随着温度的升高不仅 辐射能在增大而且辐射能的波长范围向短波区移动. 物体在辐射电磁波的同时,也吸收投射到物体表面的电磁波理论和实验表明,物体 的辐射本领越大,其吸收本领也越大,反之亦然当辐射和吸收达到平衡时,物体的温度 不再变化而处于热平衡状态这时的热辐射称为平衡热辐射 为描述物体热辐射能按波长的分布规律,引入单色辐射出射度(简称单色辐出度) 这一物理量,其定义为:物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在λ→λ+dλ范围 内的辐射能dM与波长间隔dλ的比值,用M(T)表示,即 12()=M (15.1) 而辐出度定义为 M(T)=SM,(T)dn 2黑体辐射的基本规律 投射到物体表面的电磁波,可能被物体吸收,也可能被物体反射和透射能够全部吸 收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为绝对黑体简称黑体绝对黑 体是一种理想模型,实验室中用不透明材料制成带有小孔的空腔物体可近似看作黑体
1 第 15 章 量子力学基础 人们用经典物理解释黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律时,遇到了不可 克服的困难.经过不断的探索和研究,终于突破了经典物理的传统观念,建立起量子理论. 量子理论和相对论是现代物理学的两大支柱. 量子理论的诞生,对研究原子、电子、质子、光子等微观粒子的运动规律提供了正 确的导向.从此使物理学发生了一次历史性的飞跃,促进了原子能、激光、超导、半导 体等众多新技术的生产和发展.本章前部分,分别介绍黑体辐射、光电效应、氢原子光 谱等实验规律以及为解释这些实验规律而提出的量子假设,即早期的量子论.本章的后 部分简要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论说明量子力学 处理问题的一般方法. §15.1 黑体辐射与普朗克的量子假设 一、黑体辐射的基本规律 1 热辐射 组成物体的分子中都包含着带电粒子,当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁 波,由于这种电磁波辐射与物体的温度有关,故称其为热辐射.实验表明,热辐射能谱是 连续谱,发射的能量及其按波长的分布是随物体的温度而变化的.随着温度的升高,不仅 辐射能在增大,而且辐射能的波长范围向短波区移动. 物体在辐射电磁波的同时,也吸收投射到物体表面的电磁波.理论和实验表明,物体 的辐射本领越大,其吸收本领也越大,反之亦然.当辐射和吸收达到平衡时,物体的温度 不再变化而处于热平衡状态,这时的热辐射称为平衡热辐射. 为描述物体热辐射能按波长的分布规律,引入单色辐射出射度（简称单色辐出度） 这一物理量,其定义为：物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在 → + d 范围 内的辐射能 dM与波长间隔 d的比值,用 M(T)表示,即 = d dM M (T ) (15.1) 而辐出度定义为 = 0 M(T) M (T)d (15.2) 2 黑体辐射的基本规律 投射到物体表面的电磁波,可能被物体吸收,也可能被物体反射和透射.能够全部吸 收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为绝对黑体,简称黑体.绝对黑 体是一种理想模型,实验室中用不透明材料制成带有小孔的空腔物体可近似看作黑体
图151为用实验方法测得的黑体单色辐出Mn(7 度MB(I按波长和温度分布的曲线 2200K 关于黑体辐射有两个基本定律:一个 2000K 是斯特藩一玻耳兹曼定律(MB(T)=σ,即 1800K 黑体的辐出度与其热力学温度的四次方成 1600K 正比,其中0=56705×108Wm2·K+称 为斯特藩一玻耳兹曼常数另一个是维恩0210 04.05.0元/m 位移定律(λmT=b,即黑体单色辐出度的最 图151 大值对应的波长入m与其绝对温度T成反比,其中b=2.8978×103m“K为与温度无关的 常数)这两个定律在现代科学技术中有广泛的应用通常用于测量高温物体(如冶炼炉 钢水、太阳或其他发光体等)温度的光测高温法就是在这两个定律的基础上建立起来的 同时,这两个定律也是遥感技术和红外跟踪技术的理论依据 从理论上导出绝对黑体单色辐出度与波长和温度的函数关系即MBλ=f(,T),是 19世纪末期理论物理学面临的重大课题 维恩 W. Wien,1864-1928年)假定带电谐振子的能量按频率的分布类似于麦克斯 韦速率分布率然后用经典统计物理学方法导出了黑体辐射的下述公式 (15.3) 其中和是两个由实验 确定的参数.上式称为维 普朗克线 恩公式维恩公式只是在能 短波波段与实验曲线相 瑞利一金斯线 符而在长波波段明显偏度 离实验曲线如图152所 瑞利 J W.S. Rayleigh, 维恩线 1842-1919年)和金斯 678 ( LH Jeans,1877-1946年) 波长m 根据经典电动力学和经 图152 典统计物理学导出了另一个力图反映绝对黑体单色辐出度与波长和温度关系的函数 MgT (154) 式中c是真空中的光速k是玻耳兹曼常数上式称为瑞利一金斯公式该公式在长波波 段与实验相符,但在短波波段与实验曲线有明显差异,如图152所示这在物理学史上曾 称为“紫外灾难
2 图 15.1 为用实验方法测得的黑体单色辐出 度 M B (T)按波长和温度分布的曲线. 关于黑体辐射,有两个基本定律：一个 是斯特藩—玻耳兹曼定律(M B (T)=σT 4 ,即 黑体的辐出度与其热力学温度的四次方成 正比 ,其中σ=5.6705×10-8 W•m-2 • K-4 称 为斯特藩—玻耳兹曼常数);另一个是维恩 位移定律(λmT=b,即黑体单色辐出度的最 大值对应的波长λm 与其绝对温度 T 成反比,其中 b=2.8978×10-3m •K 为与温度无关的 常数).这两个定律在现代科学技术中有广泛的应用.通常用于测量高温物体(如冶炼炉、 钢水、太阳或其他发光体等)温度的光测高温法就是在这两个定律的基础上建立起来的, 同时,这两个定律也是遥感技术和红外跟踪技术的理论依据. 从理论上导出绝对黑体单色辐出度与波长和温度的函数关系,即 M Bλ=f(λ, T) ,是 19 世纪末期理论物理学面临的重大课题. 维恩(W.Wien,1864—1928 年)假定带电谐振子的能量按频率的分布类似于麦克斯 韦速率分布率,然后用经典统计物理学方法导出了黑体辐射的下述公式 c T B e c M T − = / ( ) 2 5 1 (15.3) 其中 和 是两个由实验 确定的参数.上式称为维 恩公式.维恩公式只是在 短波波段与实验曲线相 符,而在长波波段明显偏 离实验曲线,如图 15.2 所 示. 瑞利(J.W.S.Rayleigh, 1842—1919 年)和金斯 (J.H.Jeans,1877—1946年) 根据经典电动力学和经 典统计物理学导出了另一个力图反映绝对黑体单色辐出度与波长和温度关系的函数 4 2 = ckT MB (T ) (15.4) 式中 c 是真空中的光速,k 是玻耳兹曼常数.上式称为瑞利—金斯公式.该公式在长波波 段与实验相符,但在短波波段与实验曲线有明显差异,如图 15.2 所示.这在物理学史上曾 称为“紫外灾难”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 瑞利—金斯线 维恩线 普朗克线 能 量 密 度 波长/μ m 图15.2
、普朗克的量子假设 1900年普朗克( M. Planck,1858-1947年)在综合了维恩公式和瑞利一金斯公式各自的 成功之处以后得到黑体的单色辐出度为 a()=2mh2 (155) hc/)T 这就是普朗克公式式中h为普朗克常数,1986年的推荐值为h=66260755×10-34J·s 普朗克公式与实验结果的惊人符合预示了其中包含着深刻的物理思想普朗克指出,如 果作下述假定,就可以从理论上导出他的黑体辐射公式:物体若发射或吸收频率为v 的电磁辐射只能以ε=hv为单位进行这个最小能量单位就是能量子,物体所发射或吸 收的电磁辐射能量总是这个能量子的整数倍,即 E=n=mhv(n=1,2,3,…) (15.6) 普朗克的能量子思想是与经典物理学理论不相容的,也正是这一新思想,使物理学 发生了划时代的变化宣告了量子物理的诞生普朗克也因此荣获1918年的诺贝尔物理 学奖 作业(P224):23
3 二、普朗克的量子假设 1900 年普朗克(M.Planck,1858—1947 年)在综合了维恩公式和瑞利—金斯公式各自的 成功之处以后,得到黑体的单色辐出度为 ( ) ( ) / 1 2 1 5 2 − = B hc kT e hc M T (15.5) 这就是普朗克公式,式中 h 为普朗克常数,1986 年的推荐值为 h=6.6260755×10-34 J·s. 普朗克公式与实验结果的惊人符合预示了其中包含着深刻的物理思想.普朗克指出,如 果作下述假定,就可以从理论上导出他的黑体辐射公式：物体若发射或吸收频率为 ν 的电磁辐射,只能以ε=hν 为单位进行,这个最小能量单位就是能量子,物体所发射或吸 收的电磁辐射能量总是这个能量子的整数倍,即 E = n = nh (n =1,2,3, ) (15.6) 普朗克的能量子思想是与经典物理学理论不相容的,也正是这一新思想,使物理学 发生了划时代的变化,宣告了量子物理的诞生.普朗克也因此荣获 1918 年的诺贝尔物理 学奖. 作业(P224)：23
§152光电效应与爱因斯坦的光量子假设 普朗克的量子假设提出后的最初几年中,并未受到人们的重视甚至普朗克本人也 总是试图回到经典物理的轨道上去最早认识普朗克假设重要意义的是爱因斯坦他在 1905年发展了普朗克的思想提出了光子假设成功的解释了光电效应的实验规律 、光电效应的实验规律 光束 窗口 金属在光的照射下,有电子从表面逸出,这 种现象称为光电效应光电效应中逸出金属表面 的电子称为光电子光电子在电场的作用下所形 成的电流叫光电流研究光电效应的实验装置如 图153所示在一个抽空的玻璃泡内装有金属电 极K(阴极)和A(阳极)当用适当频率的光从石 英窗口射入照在阴极K上时便有光电子自其表 面逸出经电场加速后为阳极A所吸收,形成光 电流改变电位差UA,测得光电流i,可得光电 效应的伏安特性曲线如图154所示 实验研究表明光电效应有如下规律: 1)阴极K在单位时间内所发射的光电子数 与照射光的强度成正比 从图154可以看出光电流i开始时随增 大而增大,而后就趋于一个饱和值 图153光电效应的实验装 它与单位时间内从阴极K发射的光 V定,l1>l2>l3 子数成正比所以单位时间内从阴极 K发射的光电子数与照射光强成正 2)存在截止频率. 实验表明,对一定的金属阴极,当 照射光频率小于某个最小值i时不 管光强多大都没有光电子逸出这个。图154光电效应的U曲线 最小频率w称为该种金属的光电效 应截止频率,也叫红限对应的波长λ称为截止波长每一种金属都有自己的红限 3)光电子的初动能与照射光的强度无关而与其频率成线性关系 在保持光照射不变的情况下,改变电位差UAK,发现当UA=0时,仍有光电流这显然 是因为光电子逸出时就具有一定的初动能改变电位差极性使UA<0,当反向电位差 增大到一定值时光电流才降为零,如图154所示此时反向电位差的绝对值称为遏止电
4 §15.2 光电效应与爱因斯坦的光量子假设 普朗克的量子假设提出后的最初几年中,并未受到人们的重视,甚至普朗克本人也 总是试图回到经典物理的轨道上去.最早认识普朗克假设重要意义的是爱因斯坦,他在 1905 年发展了普朗克的思想,提出了光子假设,成功的解释了光电效应的实验规律. 一、光电效应的实验规律 金属在光的照射下,有电子从表面逸出,这 种现象称为光电效应.光电效应中逸出金属表面 的电子称为光电子.光电子在电场的作用下所形 成的电流叫光电流.研究光电效应的实验装置如 图15.3所示.在一个抽空的玻璃泡内装有金属电 极 K(阴极)和 A(阳极),当用适当频率的光从石 英窗口射入照在阴极K上时,便有光电子自其表 面逸出,经电场加速后为阳极 A 所吸收,形成光 电流.改变电位差 UAK,测得光电流 i ,可得光电 效应的伏安特性曲线,如图 15.4 所示. 实验研究表明,光电效应有如下规律： 1）阴极 K 在单位时间内所发射的光电子数 与照射光的强度成正比. 从图 15.4 可以看出,光电流 i 开始时随 增 大而增大,而后就趋于一个饱和值 , 它与单位时间内从阴极 K 发射的光 子数成正比.所以单位时间内从阴极 K 发射的光电子数与照射光强成正 比. 2）存在截止频率. 实验表明,对一定的金属阴极,当 照射光频率小于某个最小值 is 时,不 管光强多大,都没有光电子逸出,这个 最小频率 v0 称为该种金属的光电效 应截止频率,也叫红限,对应的波长 0 称为截止波长.每一种金属都有自己的红限. 3）光电子的初动能与照射光的强度无关,而与其频率成线性关系. 在保持光照射不变的情况下,改变电位差UAK,发现当UAK=0时,仍有光电流.这显然 是因为光电子逸出时就具有一定的初动能.改变电位差极性,使 UAK<0 ,当反向电位差 增大到一定值时,光电流才降为零,如图 15.4 所示.此时反向电位差的绝对值称为遏止电 A V + _ K K A 光束 窗口 图15.3 光电效应的实验装 置 1 2 3 一定，I I I 3 I 1 I 2 I UAK i o Ua 图15.4 光电效应的U-I曲线
压,用Ua表示不难看出遏止电压与光电子的初动能间有如下关系 mo=eu (157) 式中m和e分别是电子的静质量和电量,υ是光电子逸出金属表面的最大速率 实验还表明,遏止电压Ua与光强I无关而与照射光的频率v成线性关系,即 Ja=kv-vo (158) 式中K和vo都是正值,其中K为普适恒量,对一切金属材料都是相同的,而V-K1对同 种金属为一恒量,但对于不同的金属具有不同的数值将式(158代入式(157)得 mo=ekv-elo=ek(v-vo) (159) 上式表明光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与入射光强无关 4)光电子是即时发射的滞后时间不超过10s 实验表明,只要入射光的频率大于该金属的红限,当光照射这种金属表面时,几乎立 即产生光电子,而无论光强多大 二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程 对于上述实验事实经典物理学理论无法解释 按照光的波动理论光波的能量由光强决定,在光照射下束缚在金属内的“自由电 子”将从入射光波中吸收能量而逸出表面因而逸出光电子的初动能应由光强决定,但 光电效应中光电子的初动能与光强无关;另外如果光波供给金属中“自由电子”逸出 表面所需的足够能量,光电效应对各种频率的光都能发生,不应该存在红限,而且,光电 子从光波中吸收能量应有一个积累过程,光强越弱,发射光子所需要的时间就越长,这都 与光电效应的实验事实相矛盾由此可见光的波动理论无法解释光电效应的实验规律 为了克服光的波动理论所遇到的困难,从理论上解释光电效应,爱因斯坦发展了普 朗克能量子的假设于1905年提出了如下的光子假设:一束光就是一束以光速运动的 粒子流,这些粒子称为光量子(简称光子);频率为v的光子所具有的能量为h,它不能 再分割而只能整个的被吸收或产生出来 按照光子理论,当频率为ν的光照射金属表面时,金属中的电子将吸收光子获得 的能量,此能量的一部分用于电子逸出金属表面所需要的功(此功称为逸出功A)另一 部分则转变为逸出电子的初动能据能量守恒定律有 hv=-mu+A (15.10) 这就是爱因斯坦的光电效应方程
5 压,用 Ua 表示.不难看出,遏止电压与光电子的初动能间有如下关系 a m = eU 2 0 2 1 (15.7) 式中 m 和 e 分别是电子的静质量和电量, 0 是光电子逸出金属表面的最大速率. 实验还表明,遏止电压 Ua 与光强 I 无关,而与照射光的频率 v 成线性关系,即 Ua = K −V0 (15.8) 式中 K 和 V0 都是正值,其中 K 为普适恒量,对一切金属材料都是相同的,而 V0=Kv0 对同 一种金属为一恒量,但对于不同的金属具有不同的数值.将式(15.8)代入式(15.7)得 ( ) 0 0 2 0 2 1 m = eK − eV = eK − (15.9) 上式表明,光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与入射光强无关. 4）光电子是即时发射的,滞后时间不超过 10-9 s. 实验表明,只要入射光的频率大于该金属的红限,当光照射这种金属表面时,几乎立 即产生光电子,而无论光强多大. 二、爱因斯坦光子假设和光电效应方程 对于上述实验事实,经典物理学理论无法解释. 按照光的波动理论,光波的能量由光强决定,在光照射下,束缚在金属内的“自由电 子”将从入射光波中吸收能量而逸出表面,因而逸出光电子的初动能应由光强决定,但 光电效应中光电子的初动能与光强无关；另外,如果光波供给金属中“自由电子”逸出 表面所需的足够能量,光电效应对各种频率的光都能发生,不应该存在红限,而且,光电 子从光波中吸收能量应有一个积累过程,光强越弱,发射光子所需要的时间就越长,这都 与光电效应的实验事实相矛盾.由此可见,光的波动理论无法解释光电效应的实验规律. 为了克服光的波动理论所遇到的困难,从理论上解释光电效应,爱因斯坦发展了普 朗克能量子的假设,于 1905 年提出了如下的光子假设：一束光就是一束以光速运动的 粒子流,这些粒子称为光量子（简称光子）；频率为 v 的光子所具有的能量为 hv,它不能 再分割,而只能整个的被吸收或产生出来. 按照光子理论,当频率为 v 的光照射金属表面时,金属中的电子将吸收光子,获得 的能量,此能量的一部分用于电子逸出金属表面所需要的功(此功称为逸出功 A)；另一 部分则转变为逸出电子的初动能.据能量守恒定律有 m A 2 1 h 2 = 0 + (15.10) 这就是爱因斯坦的光电效应方程
比较↓m=eKv-e。=eK(y-v) h=ek, A=elo=ekv (15.11) 由实验可测量K和Vo,算出普朗克常数h和逸出功A,进而还可求出金属的红限w 按照光子理论,照射光的光强就是单位时间到达被照物单位垂直表面积的能量,它 是由单位时间到达单位垂直面积的光子数N决定的因此光强越大光子数越多逸出的 光电子数就越多所以饱和光电流与光强成正比;由于每一个电子从光波中得到的能量 只与单个光子的能量h有关所以光电子的初动能与入射光的频率成线性关系与光强 无关当光子的能量h小于逸出功A,即入射光的频率v小于红限v时,电子就不能从金 属表面逸出;另外,光子与电子作用时光子一次性将能量全部传给电子,因而不需要时 间积累即光电效应是瞬时的这样光子理论便成功地解释了光电效应的实验规律爱因 斯坦也因此获得1921年的诺贝尔物理学奖 例题151用波长为400nm的紫光去照射某种金属观察到光电效应同时测得遏 止电压为1.24V,试求该金属的红限和逸出功 解:由光电效应方程得逸出功为 h-2mb2=h--eU0=2.99×10J=1.87eV 根据红限与逸出功的关系,得红限为 1n=4=29×10=451×10"Hz h6.626×10 三、光(电磁波)的波粒二象性 一个理论若被实验证实,它必定具有一定的正确性光子论被黑体辐射、光电效应 以及其他实验所证实,说明它具有一定的正确性而早已被大量实验证实了的光的波动 论以及其他经典物理理论的正确性,也是无可非议的因此,在对光的本性的解释上不 应该在光子论和波动论之间进行取舍而应该把它们同样地看作是光的本性的不同侧 面的描述这就是说光具有波和粒子这两方面的特性,这称为光的波粒二象性 既是粒子,也是波,这在人们的经典观念中是很难接受的实际上光已不是经典意 义下的波,也不是经典意义下的粒子,而是波和粒子的统一光是由具有一定能量、动量 和质量的粒子组成的,在它们运动的过程中在空间某处发现它们的几率却遵从波动的 规律描述光的粒子特征的能量与描述其波动特征的频率之间的关系为 E 由狭义相对论能量一动量关系并考虑光子的静质量为零得光子动量与波长的关系为
6 ( ) 0 0 2 0 2 1 比较 m = eK − eV = eK − 0 0 h = eK, A = eV = eKν (15.11) 由实验可测量 K 和 V0,算出普朗克常数 h 和逸出功 A,进而还可求出金属的红限 v0. 按照光子理论,照射光的光强就是单位时间到达被照物单位垂直表面积的能量,它 是由单位时间到达单位垂直面积的光子数 N 决定的.因此光强越大,光子数越多,逸出的 光电子数就越多.所以饱和光电流与光强成正比；由于每一个电子从光波中得到的能量 只与单个光子的能量 hv 有关,所以光电子的初动能与入射光的频率成线性关系,与光强 无关.当光子的能量 hv 小于逸出功 A,即入射光的频率 v 小于红限 v0时,电子就不能从金 属表面逸出；另外,光子与电子作用时,光子一次性将能量 全部传给电子,因而不需要时 间积累,即光电效应是瞬时的.这样光子理论便成功地解释了光电效应的实验规律,爱因 斯坦也因此获得 1921 年的诺贝尔物理学奖. 例题 15.1 用波长为 400nm 的紫光去照射某种金属,观察到光电效应,同时测得遏 止电压为 1.24V,试求该金属的红限和逸出功. 解：由光电效应方程得逸出功为 2.99 10 J 1.87eV 19 = − = − = = − 0 2 0 eU λ c mυ h 2 1 A hν 根据红限与逸出功的关系,得红限为 4 51 10 Hz 6 626 10 2 99 10 14 34 19 = = = − − . . . h A ν0 三、光（电磁波）的波粒二象性 一个理论若被实验证实,它必定具有一定的正确性.光子论被黑体辐射、光电效应 以及其他实验所证实,说明它具有一定的正确性.而早已被大量实验证实了的光的波动 论以及其他经典物理理论的正确性,也是无可非议的.因此,在对光的本性的解释上,不 应该在光子论和波动论之间进行取舍,而应该把它们同样地看作是光的本性的不同侧 面的描述.这就是说,光具有波和粒子这两方面的特性,这称为光的波粒二象性. 既是粒子,也是波,这在人们的经典观念中是很难接受的.实际上,光已不是经典意 义下的波,也不是经典意义下的粒子,而是波和粒子的统一.光是由具有一定能量、动量 和质量的粒子组成的,在它们运动的过程中,在空间某处发现它们的几率却遵从波动的 规律.描述光的粒子特征的能量与描述其波动特征的频率之间的关系为 E = hν (15.12) 由狭义相对论能量—动量关系并考虑光子的静质量为零得光子动量与波长的关系为
C (15.13) v E/h Pch P 它们通过普朗克常数紧密联系起来通过质能关系还可得光子的质量为 作业(P224):26
7 = = = = P h Pc/h c E/h c ν c λ λ h P = (15.13) 它们通过普朗克常数紧密联系起来.通过质能关系还可得光子的质量为 c P c h c E m 2 2 = = = 作业(P224)：26
§153氢原子光谱与玻尔的量子论 经典物理学不仅在说明电磁辐射与物质相互作用方面遇到了如前所述的困难而 且在说明原子光谱的线状结构及原子本身的稳定性方面也遇到了不可克服的困难丹 麦物理学家玻尔发展了普朗克的量子假设和爱因斯坦的光子假设等,创立了关于氢原 子结构的半经典量子理论相当成功的说明了氢原子光谱的实验规律 氢原子光谱的实验规律 实验发现各种元素的原子光谱都由分立的谱线所组成并且谱线的分布具有确定 的规律氢原子是最简单的原子其光谱也是最简单的对氢原子光谱的研究是进一步学 习原子、分子光谱的基础而后者在研究原子、分子 结构及物质分析等方面有重要的意义 在可见光范围内容易观察到氢原子光谱的四条8 谱线这四条谱线分别用H、HB、H2和H表示如图 15.5所示1885年巴耳末( JBAlmer1825-1898)发现 H即H 可以用简单的整数关系表示这四条谱线的波长 图155 1=B n=3,4,5,6 (1514) 式中B是常数其值等于36457nm后来实验上还观察到相当于n为其他正整数的谱线, 这些谱线连同上面的四条谱线统称为氢原子的巴耳末系 光谱学上经常用波数表示光谱线它被定义为波长的倒数,即 入 (15.15) 引入波数后式(1514)可改写为 =R(2-2)n=3,4 (15.16) 式中R=22/B=1.096776×107m-1,称为里德伯( J. R Rydberg,1854-1919)常数 在氢原子光谱中,除了可见光范围的巴耳末线系以外在紫外区、红外区和远红外 区分别有赖曼( T.Lyman)系、帕邢( F Pasc-hen)系、布拉开( F.S. Brackett)系和普丰德 ( AH Pfund)系这些线系中谱线的波数也都可以用与式(1516)相似的形式表示将其综 合起来可表为 =7(-7m)=RF(2- (1517 式中k和n取一系列有顺序的正整数k取1、2、3、4、5分别对应于赖曼线系、巴耳
8 §15.3 氢原子光谱与玻尔的量子论 经典物理学不仅在说明电磁辐射与物质相互作用方面遇到了如前所述的困难,而 且在说明原子光谱的线状结构及原子本身的稳定性方面也遇到了不可克服的困难.丹 麦物理学家玻尔发展了普朗克的量子假设和爱因斯坦的光子假设等,创立了关于氢原 子结构的半经典量子理论,相当成功的说明了氢原子光谱的实验规律. 一、氢原子光谱的实验规律 实验发现,各种元素的原子光谱都由分立的谱线所组成,并且谱线的分布具有确定 的规律.氢原子是最简单的原子,其光谱也是最简单的.对氢原子光谱的研究是进一步学 习原子、分子光谱的基础,而后者在研究原子、分子 结构及物质分析等方面有重要的意义. 在可见光范围内容易观察到氢原子光谱的四条 谱线,这四条谱线分别用 Hα、Hβ、Hγ和 Hδ表示,如图 15.5 所示.1885 年巴耳末(J.JBalmer,1825—1898)发现 可以用简单的整数关系表示这四条谱线的波长 = 3,4,5,6 − = , n n 2 n λ B 2 2 2 (15.14) 式中 B 是常数,其值等于 364.57nm.后来实验上还观察到相当于 n 为其他正整数的谱线, 这些谱线连同上面的四条谱线,统称为氢原子的巴耳末系. 光谱学上经常用波数 表示光谱线,它被定义为波长的倒数,即 = ~ 1 (15.15) 引入波数后,式(15.14)可改写为 ~ ( ), 3,4,5, 1 2 1 2 2 = − n = n ν R (15.16) 式中 2 7 1 R 2 B 1 096776 10 m − = / = . ,称为里德伯(J.R.Rydberg,1854—1919)常数. 在氢原子光谱中,除了可见光范围的巴耳末线系以外,在紫外区、红外区和远红外 区分别有赖曼(T.Lyman)系、帕邢(F.Paschen)系、布拉开(F.S.Brackett)系和普丰德 (A.H.Pfund)系.这些线系中谱线的波数也都可以用与式(15.16)相似的形式表示.将其综 合起来可表为 ( ) ~ 2 2 1 1 k n νkn = T(k)−T(n) = R − (15.17) 式中 k 和 n 取一系列有顺序的正整数,k 取 1、2、3、4、5 分别对应于赖曼线系、巴耳
末线系、帕邢线系、布拉开线系和普丰德线系:;一旦k值取定后n将从k+1开始取 k+1,k+2,k+3等分别代表同一线系中的不同谱线.T(n)=R/n2称为氢的光谱项式(15.17 称为里德伯一里兹并合原理实验表明,并合原理不仅适用于氢原子光谱,也适用于其他 元素的原子光谱,只是光谱项的表示式要复杂 并合原理所表示的原子光谱的规律性是原子结构性质的反映,但经典物理学理论 无法予以解释 按照原子的有核模型,根据经典电磁理论绕核运动的电子将辐射与其运动频率相 同的电磁波因而原子系统的能量将逐渐减少随着能量的减少,电子运动轨道半径将不 断减小:与此同时,电子运动的频率(因而辐射频率)将连续增大因此原子光谱应是 连续的带状光谱,并且最终电子将落到原子核上,因此不可能存在稳定的原子这些结论 显然与实验事实相矛盾,从而表明依据经典理论无法说明原子光谱规律等. 二、玻尔的量子论 玻尔 N.H. D. Bohr,1885-1962)把卢瑟福关于原子的有核模型、普朗克量子假设 里德伯一里兹并合原理等结合起来于1913年创立了氢原子结构的半经典量子理论, 使人们对于原子结构的认识向前推进了一大步玻尔理论的基本假设是 1)原子只能处在一系列具有不连续能量的稳定状态,简称定态,相应于定态,核外电 子在一系列不连续的稳定圆轨道上运动但并不辐射电磁波; 2)作定态轨道运动的电子的角动量L的数值只能是h(h/2x)的整数倍,即 L=rmD=nh(n=1, 2, 3 (15.18) 这称为角动量量子化条件n称为主量子数,m是电子的质量 3)当原子从一个能量为Ek的定态跃迁到另一个能量为En的定态时会发射或吸 收一个频率为wn的光子 Ek-e (15.19) 上式称为辐射频率公式,Wkn>0表示向外辐射光子,w<0表示吸收光子 玻尔还认为电子在半径为r的定态圆轨道上以速率υ绕核作圆周运动时,向心力 就是库仑力,因而有 由式(15.18)和式(1520)消去υ,即可得原子处于第n个定态时电子轨道半径为 =n2()=n2h1(m=1,2,…) (1521) ame
9 末线系、帕邢线系、布拉开线系和普丰德线系；一旦 k 值取定后,n 将从 k+1 开始取 k+1, k+2, k+3 等分别代表同一线系中的不同谱线. T(n)=R/n2 称为氢的光谱项.式(15.17) 称为里德伯—里兹并合原理.实验表明,并合原理不仅适用于氢原子光谱,也适用于其他 元素的原子光谱,只是光谱项的表示式要复杂一些. 并合原理所表示的原子光谱的规律性,是原子结构性质的反映,但经典物理学理论 无法予以解释. 按照原子的有核模型,根据经典电磁理论,绕核运动的电子将辐射与其运动频率相 同的电磁波,因而原子系统的能量将逐渐减少.随着能量的减少,电子运动轨道半径将不 断减小；与此同时,电子运动的频率（因而辐射频率）将连续增大.因此原子光谱应是 连续的带状光谱,并且最终电子将落到原子核上,因此不可能存在稳定的原子.这些结论 显然与实验事实相矛盾,从而表明依据经典理论无法说明原子光谱规律等. 二、玻尔的量子论 玻尔(N.H.D.Bohr,1885—1962)把卢瑟福关于原子的有核模型、普朗克量子假设、 里德伯—里兹并合原理等结合起来,于 1913 年创立了氢原子结构的半经典量子理论, 使人们对于原子结构的认识向前推进了一大步.玻尔理论的基本假设是 1）原子只能处在一系列具有不连续能量的稳定状态,简称定态,相应于定态,核外电 子在一系列不连续的稳定圆轨道上运动,但并不辐射电磁波； 2）作定态轨道运动的电子的角动量 L 的数值只能是 (h / 2) 的整数倍,即 L = rmυ = n (n =1,2,3, ) (15.18) 这称为角动量量子化条件,n 称为主量子数,m 是电子的质量； 3）当原子从一个能量为 Ek 的定态跃迁到另一个能量为 En 的定态时,会发射或吸 收一个频率为 vkn 的光子 h E E ν k n kn − = (15.19) 上式称为辐射频率公式, vkn>0 表示向外辐射光子, vkn <0 表示吸收光子. 玻尔还认为,电子在半径为 r 的定态圆轨道上以速率υ绕核作圆周运动时,向心力 就是库仑力,因而有 2 2 0 2 r e r πε υ m = 4 1 (15.20) 由式(15.18)和式(15.20)消去υ,即可得原子处于第 n 个定态时电子轨道半径为 ( ) ( 1,2,3,) = = n r1 n = πme ε h r n 2 2 2 2 0 n (15.21)
对应于n=1的轨道半径η是氢原子的最小轨道半径称为玻尔半径常用ao表示,其值为 529177249×10-1m (1522) 这个数值与用其他方法得到的数值相符合氢原子的能量应等于电子的动能与势能之 和,即 E=-my2- 4 处在量子数为n的定态时,能量为 h (n=1,2,3,…) (1523) &Ieo r 由此可见由于电子轨道角动量不能连续变化氢原子的能量也只能取一系列不连续的 值,这称为能量量子化这种量子化的能量值称为原子的能级式(1523)是氢原子能级公 式通常氢原子处于能量最低的状态这个状态称为基态对应于主量子数n=1,E eV.n>l的各个稳定状态的能量均大于基态的能量,称为激发态,或受激态处于激发态 的原子会自动地跃迁到能量较低的激发态或基态同时释放出一个能量等于两个状态 能量差的光子这就是原子发光的原理随着量子数n的增大能量En也增大,能量间隔 减小.当n→∞时,m→∞,En→0,能级趋于连续,原子趋于电离E>0时原子处于电离 状态,能量可连续变化图156和图157分别是氢原子处于各定态的电子轨道图和氢原 子的能级图 n=3 赖曼系 连线能态 0 08s 发态 巴耳末系 -1.51 3.3 巴耳末 人帕邢系 r=9 136 图15 基态 图156氢原子定态的轨道图 使原子或分子电离所需要的能量称为电离能根据玻尔理论算出的氢原子基态能 量值与实验测得的氢原子基态电离能值136eV相符 下面用玻尔理论来研究氢原子光谱的规律按照玻尔假设当原子从较高能态En向 较低能态Ek(n>k)跃迁时,发射一个光子,其频率和波数为
10 对应于 n=1 的轨道半径 r1是氢原子的最小轨道半径,称为玻尔半径,常用 a0表示,其值为 5 29177249 10 m 11 1 − = = = . 2 2 0 0 πme ε h a r (15.22) 这个数值与用其他方法得到的数值相符合.氢原子的能量应等于电子的动能与势能之 和,即 r e r πε e πε E mυ 2 0 2 0 2 = − = − 8 1 4 1 2 1 处在量子数为 n 的定态时,能量为 ( ) (n 1,2,3,) 8 1 8 1 2 n n = − = − = 2 2 0 2 4 0 ε h me r n e πε E (15.23) 由此可见,由于电子轨道角动量不能连续变化,氢原子的能量也只能取一系列不连续的 值,这称为能量量子化,这种量子化的能量值称为原子的能级.式(15.23)是氢原子能级公 式.通常氢原子处于能量最低的状态,这个状态称为基态,对应于主量子数 n=1, E1=-13.6 eV. n>1 的各个稳定状态的能量均大于基态的能量,称为激发态,或受激态.处于激发态 的原子会自动地跃迁到能量较低的激发态或基态,同时释放出一个能量等于两个状态 能量差的光子,这就是原子发光的原理.随着量子数 n 的增大,能量 En 也增大,能量间隔 减小. 当 n→∞时,rn →∞, En→0 ,能级趋于连续,原子趋于电离. E > 0 时,原子处于电离 状态,能量可连续变化.图 15.6 和图 15.7 分别是氢原子处于各定态的电子轨道图和氢原 子的能级图. 使原子或分子电离所需要的能量称为电离能.根据玻尔理论算出的氢原子基态能 量值与实验测得的氢原子基态电离能值 13.6eV 相符. 下面用玻尔理论来研究氢原子光谱的规律.按照玻尔假设,当原子从较高能态 En 向 较低能态 Ek (n>k)跃迁时,发射一个光子,其频率和波数为 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 1 r = r 4 1 r = r 9 1 r = r 16 1 r = r 赖曼系 巴耳末系 帕邢系 图15.6 氢原子定态的轨道图