第7章稳恒磁场 我们已经知道在静止电荷的周围存在着电场当电荷运动时在其周围不仅有电场, 而且还存在磁场本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电 荷(电流)的作用 §71磁场磁感应强度 、磁场 人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前6世纪)我们 的祖先就已有“磁石召铁”的记载:宋朝发明了指南针,且将其用于航海我国古代对 磁学的建立和发展作出了很大的贡献 早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两 类截然分开的现象直到1819-1820年奥斯特( H C Oersted,1777-1851)发现电流的磁 效应后,人们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的.1820年安培 ( A M. Ampere,1775-1836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进 步提出了分子电流假设,即:一切磁现象都起源于电流(运动电荷),切物质的磁性都 起源于构成物质的分子中存在的环形电流这种环形电流称为分子电流安培的分子电 流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合关于物质磁性的量子理论表明,核外 电子的运动对物质磁性有一定的贡献但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩 与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似磁相互作用力是通过磁场来进行 的—一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电 荷(电流)产生磁力作用,其关系可表示为 运动电荷(电流)◇磁场运动电荷(电流) 磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在:进 入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用;载流导线在磁场中运动时,磁场对载 流导线要作功即磁场具有能量 二、磁感应强度 l磁感应强度 为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度它可根据进入磁场中的运动电 荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论 实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律 (1)磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时N极的指 向一致我们将这一方向规定为磁感应强度的方向 (2)运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点的磁场与速度方向所
1 第 7 章 稳恒磁场 我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场, 而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电 荷(电流)的作用. §7.1 磁场 磁感应强度 一、磁场 人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前 6 世纪),我们 的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对 磁学的建立和发展作出了很大的贡献. 早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两 类截然分开的现象,直到 1819—1820 年奥斯特(H.C.Oersted,1777—1851)发现电流的磁 效应后 , 人们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的 .1820 年安培 (A.M.Ampere,1775—1836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进 一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都 起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电 流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外 电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩. 与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行 的.一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电 荷(电流)产生磁力作用,其关系可表示为 运动电荷(电流) 磁场运动电荷(电流) 磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进 入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载 流导线要作功,即磁场具有能量. 二、磁感应强度 1 磁感应强度 为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电 荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论. 实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律： (1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时 N 极的指 向一致.我们将这一方向规定为 磁感应强度的方向. (2) 运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点的磁场与速度方向所
确定的平面如图71所示受力的大小,不仅与试探 电荷的电量qo经该点时的速率U以及该点磁场的 F 强弱有关还与电荷运动的速度相对于磁场的取向 有关当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为 零;当沿与磁感应强度垂直的方向运动时其受力最 大,用F表示 图71运动电荷在磁场中的受力 (3)不管q0、D和电荷运动方向与磁场方向的 夹角θ如何不同对于给定的点,比值_m不变其值仅由磁场的性质决定我们将这 比值定义为该点的磁感应强度,以B表示,即 B 在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉(T)有时也采用高斯单位制的单位 一一高斯(G) lG=10×10-4T 2磁感应线 为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电场线的方法引入磁 感应线(或叫B线)磁感应线的画法规定与电场线画法一样为能用磁感应线描述磁场 的强弱分布规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该 点B的大小实验上可用铁粉来显示磁感应线图形 磁感应线具有如下性质 (1)磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线 (2)闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合 右手螺旋法则
2 确定的平面,如图 7.1 所示.受力的大小,不仅与试探 电荷的电量 0 q 、经该点时的速率υ以及该点磁场的 强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向 有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为 零；当沿与磁感应强度垂直的方向运动时,其受力最 大,用 Fmax 表示. (3) 不管 0 q 、υ 和电荷运动方向与磁场方向的 夹角θ如何不同,对于给定的点,比值 q Fmax 不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一 比值定义为该点的磁感应强度,以 B 表示,即 = q F B max (7.1) 在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T）.有时也采用高斯单位制的单位 ——高斯（G） 1G =1.0×10 -4 T 2 磁感应线 为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电场线的方法引入磁 感应线(或叫 B 线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场 的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该 点 B 的大小.实验上可用铁粉来显示磁感应线图形. 磁感应线具有如下性质： (1) 磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线； (2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合 右手螺旋法则
§72毕奥一萨伐尔定律及其应用 毕奥一萨伐尔定律 在静电学部分大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是 由许多电荷元组成写出电荷元的场强表达式然后利用叠加原理求整个带电体的场强 与此类似载流导线可以看成是由许多电流元组成如果已知电流元产生的磁感应强度, 利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度电流元的磁感应强度由毕奥一萨伐尔 定律给出这条定律是拉普拉斯( Laplace把毕奥(Biot)、萨伐尔( Savart)等人在19世纪 20年代的实验资料加以分析和总结后得出的故称为毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律简 称毕奥一萨伐尔定律,其内容如下: 电流元d在真空中某一点P处产生 的磁感应强度dB的大小与电流元的大 小及电流元与它到P点的位矢r之间的 夹角0的正弦乘积成正比,与位矢大小的 平方成反比;方向与M×r的方向相同 (这里用到矢量Ml与矢量r的叉乘叉 图72 乘Mdr的大小为 lairs in;其方向满足 右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从M转向r的方向,那么拇指所指的方向即为l×r 的方向,如图72所示)其数学表达式为 ldl sin e (7.2) 式中k为比例系数,在国际单位制中取为 k=20=10-7N.A2(在真空中)(73) 4π u为真空的磁导率其值为H=4兀×10N.A2,所以毕奥一萨伐尔定律在真空中可表 示为 ldl sin e 其矢量形式为 dB= Ho ldl×F 利用叠加原理,则整个载流导线在P点产生的磁感应强度B是(7.5)式沿载流导线 的积分,即
3 §7.2 毕奥—萨伐尔定律及其应用 一、 毕奥—萨伐尔定律 在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是 由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强. 与此类似,载流导线可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度, 利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥—萨伐尔 定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在 19 世纪 20 年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律,简 称毕奥—萨伐尔定律,其内容如下： 电流元Idl在真空中某一点P处产生 的磁感应强度 dB 的大小与电流元的大 小及电流元与它到P点的位矢 r 之间的 夹角θ的正弦乘积成正比,与位矢大小的 平方成反比；方向与 Idl×r 的方向相同. （这里用到矢量 Idl 与矢量 r 的叉乘.叉 乘 Idl×r 的大小为 Idlrsin；其方向满足 右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从 Idl 转向 r 的方向,那么拇指所指的方向即为 Idl×r 的方向,如图 7.2 所示）其数学表达式为 2 r Idl dB k = sin (7.2) 式中 k 为比例系数,在国际单位制中取为 (在真空中) 0 7 2 10 4 − − = k = N A (7.3) 0 为真空的磁导率,其值为 7 2 0 4 10− − = N A ,所以毕奥—萨伐尔定律在真空中可表 示为 2 0 4 r Idl dB = sin (7.4) 其矢量形式为 3 0 4 r Idl r dB = (7.5) 利用叠加原理,则整个载流导线在 P 点产生的磁感应强度 B 是(7.5)式沿载流导线 的积分,即
b=dB (76) 毕奥一萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6式 是这二者的具体结合但该式是一个矢量积分公式在具体计算时,一般用它的分量式 二、毕奧一萨伐尔定律应用举例 1直线电流的磁场 设在真空中有一长为L的载流导线MN,导线中的电流强度为Ⅰ现计算该直电流附近 点P处的磁感应强度B如图73所示设a 为场点P到导线的距离,为电流元M与其到 场点P的矢径的夹角,O12分别为M,N处xe 的电流元与M、N到场点P的矢径的夹角按毕 奥—萨伐尔定律电流元M在场点P产生的磁 感应强度dB的大小为 dB=Ho ldlsin0 这→又 4 dB的方向垂直纸面向里(即Z轴负向)导线M MN上的所有电流元在点P所产生的磁感应强 度都具有相同的方向所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代 数和,即 b=dI olc sine dl 由图可知,l=a(gB=-aclg0,d=a)/sin2),r=a/cosB=a/sine 则上积分为 B= =Ho(cos 0, -cos 0, (7.7) B的方向垂直于纸面向里 对于无限长载流直导线(01=0,02=兀)距离导线为a处的磁感应强度大小为 B (78) ot a 2圆电流轴线上的磁场 在半径为R的圆形载流线圈中通过的电流为Ⅰ现确定其轴线上任一点P的磁场
4 = = L L r Idl r B dB 3 0 4 (7.6) 毕奥—萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式 是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式. 二、 毕奥—萨伐尔定律应用举例 1 直线电流的磁场 设在真空中有一长为 L 的载流导线 MN ,导线中的电流强度为 I ,现计算该直电流附近 一点 P 处的磁感应强度 B .如图 7.3 所示,设 a 为场点 P 到导线的距离,θ为电流元 Idl 与其到 场点 P 的矢径的夹角,θ1、θ2 分别为 M、N 处 的电流元与 M、N 到场点 P 的矢径的夹角.按毕 奥—萨伐尔定律,电流元 Idl 在场点 P 产生的磁 感应强度 dB 的大小为 2 0 4 r Idl dB = sin dB 的方向垂直纸面向里（即 Z 轴负向）.导线 MN 上的所有电流元在点 P 所产生的磁感应强 度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代 数和,即 dl r I B dB L L = = 2 0 4 sin 由图可知，l = atg = −actg , dl = ad /(sin ) , r = a / cos = a /sin 2 则上积分为 sin (cos cos ) 1 2 0 0 4 4 2 1 − = = a I d a I B (7.7) B 的方向垂直于纸面向里. 对于无限长载流直导线( 1 = 0,2 = ),距离导线为 a 处的磁感应强度大小为 a I B = 2 0 (7.8) 2 圆电流轴线上的磁场 在半径为 R 的圆形载流线圈中通过的电流为 I ,现确定其轴线上任一点 P 的磁场
在圆形载流导线上任取一电流元M点P相 对于电流元M的位置矢量为r,点P到圆心 dBl dB O的距离OP=x,如图74所示由此可见对 于圆形导线上任一电流元总有M⊥r,所以 R M在点P产生的磁感应强度的大小为 dBu dB=μh 图 dB的方向垂直于M和r所决定的平面显然圆形载流导线上的各电流元在点P产生的 磁感应强度的方向是不同的它们分布在以点P为顶点、以OP的延长线为轴的圆锥面 上将dB分解为平行于轴线的分量dB/和垂直于轴线的分量dB1由轴对称性可知,磁 感应强dB的垂直分量相互抵消所以磁感应强度B的大小就等于各电流元在点P所产 的磁感应强度的轴向分量dB的代数和由图74可知 dB=dOsing HoldI R 4兀r2r 所以总磁感应强度的大小为 b=l dB T 2(R2+x2) B的方向沿着轴线,与分量dB的方向一致 在圆形电流中心即x=0)处,其磁感应强度为 B≈ B的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁 感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则所以圆形电流在其中心的磁感应强度是由 组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和对圆心角为0的一段 圆弧电流在其圆心的磁感应强度为 B (711) 2R3 可以看出,一个圆形电流产生的磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的这与 条形磁铁或磁针的情形颇相似并且其行为也与条形磁铁或磁针相似于是我们引入磁 矩这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩m定义为 m=/Sn (712) 式中S是圆形电流所包围的平面面积n是该平面的法向单位矢,其指向与电流的方向
5 在圆形载流导线上任取一电流元 Idl,点 P 相 对于电流元 Idl 的位置矢量为 r,点 P 到圆心 O 的距离 OP =x ,如图 7.4 所示.由此可见,对 于圆形导线上任一电流元,总有 Idl⊥r ,所以 Idl 在点 P 产生的磁感应强度的大小为 2 0 4 r Idl dB = dB 的方向垂直于 Idl和 r 所决定的平面.显然圆形载流导线上的各电流元在点 P 产生的 磁感应强度的方向是不同的,它们分布在以点 P 为顶点、以 OP 的延长线为轴的圆锥面 上.将 dB 分解为平行于轴线的分量 || dB 和垂直于轴线的分量 ⊥ dB .由轴对称性可知,磁 感应强 dB 的垂直分量相互抵消.所以磁感应强度 B 的大小就等于各电流元在点 P 所产 生的磁感应强度的轴向分量 || dB 的代数和.由图 7.4 可知 r R r Idl dB dB 2 0 4 | | = sin = 所以总磁感应强度的大小为 2 2 3 2 2 0 2 0 3 0 4 2 / | | (R x ) IR dl r IR B dB R + = = = (7.9) B 的方向沿着轴线,与分量 || dB 的方向一致. 在圆形电流中心(即 x = 0)处,其磁感应强度为 R I B 2 0 = (7.10) B 的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁 感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则.所以,圆形电流在其中心的磁感应强度是由 组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和,对圆心角为θ的一段 圆弧电流,在其圆心的磁感应强度为 2 360 0 = R I B (7.11) 可以看出,一个圆形电流产生的磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的,这与 条形磁铁或磁针的情形颇相似,并且其行为也与条形磁铁或磁针相似.于是我们引入磁 矩这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩 m 定义为 m = ISn ˆ (7.12) 式中 S 是圆形电流所包围的平面面积,n 是该平面的法向单位矢,其指向与电流的方向
满足右手螺旋关系对于多匝平面线圈式中的电流I应以线圈的总匝数与每匝线圈的 电流的乘积代替 利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的 磁感应强度对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为B=μ。nn是单位长 度的匝数,I是每匝导线的电流强度 例71电流为Ⅰ的无限长载流导线 abcde被弯曲成如图75所示的形状圆弧半径为R, 1450,02139求该电流在O 点处产生的磁感应强度 解:将载流导线分为ab,bc,cd 6 及d四段它们在O点产生的磁感 b 应强度的矢量和即为整个导线在O 图75例题71示图 点产生的磁感应强度由于O在ab 及d的延长线及反向延长线上,由(77)式知 B=B=0 由图75知,bc弧段对O的张角为900,由(711)式得 190 B 2R3608R 其方向垂直纸面向里由(77)式得电流cd段所产生的磁感应强度为 BddTa(cos e, -cos 82) u 4πRsin45° (c0s45-cos13)=2 R 其方向亦垂直纸面向里故O点处的磁感应强度的大小为 方向垂直纸面向里 作业(P172):7.14,7.18
6 满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I 应以线圈的总匝数与每匝线圈的 电流的乘积代替. 利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的 磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为 B nI = 0 ,n 是单位长 度的匝数,I 是每匝导线的电流强度. 例 7.1 电流为 I 的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图 7.5 所示的形状.圆弧半径为 R, θ1 =450 ,θ2 = 135o .求该电流在 O 点处产生的磁感应强度. 解：将载流导线分为 ab,bc,cd 及 de 四段,它们在 O 点产生的磁感 应强度的矢量和即为整个导线在 O 点产生的磁感应强度.由于 O 在 ab 及 de 的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知 Bab = Bde = 0 由图 7.5 知, bc 弧段对 O 的张角为 90 o ,由（7.11）式得 R I R I Bbc 360 8 90 2 0 0 = = 其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流 cd 段所产生的磁感应强度为 (cos cos ) 1 2 0 4 − = a I Bcd R I R I o o o − = = 2 45 135 4 45 0 0 (cos cos ) sin 其方向亦垂直纸面向里.故 O 点处的磁感应强度的大小为 ( ) + = 4 1 8 0 R I B 方向垂直纸面向里. 作业(P172)：7.14，7.18
§73运动电荷的磁场 由于电流是运动电荷形成的所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的 磁场公式根据毕奥一萨伐尔定律,电流元M在空间的一点P产生的磁感应强度为 如图76所示设S是电流元M 的横截面的面积,并设在导体单位 图76 体积内有n个载流子,每个载流子带 电量为q,以速度沿的方向匀速运动形成导体中的电流那么单位时间内通过横截 面S的电量为qmUS,亦即电流强度为=qmS,则ldl= rusal,如果将q视为代数量l 的方向就是q的方向因此可以把a中的矢量符号加在速度上,即= gusau将ldl 这一表达式代入毕奧一一萨伐尔定律中就可得 币=以ShX=上sX 4 4πr3 其中dN=nSd代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN=nSdl个载 流子产生的那么每一个电量为q,以速度为运动的点电荷所产生的磁感应强度B为 B (713) B的方向垂直于υ和r所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则 值得注意对于高速运动电荷,上结果不再适用需要考虑相对论效应,其结果见§ 14.5节
7 §7.3 运动电荷的磁场 由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的 磁场公式.根据毕奥—萨伐尔定律,电流元 Idl 在空间的一点 P 产生的磁感应强度为 3 0 4 r Idl r dB = 如图 7.6 所示,设 S 是电流元 Idl 的横截面的面积,并设在导体单位 体积内有n个载流子,每个载流子带 电量为 q,以速度 沿 Idl 的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截 面 S 的电量为 qnS ,亦即电流强度为 I = qnS ,则 Idl = qnSdl ,如果将 q 视为代数量,Idl 的方向就是 q 的方向,因此可以把dl中的矢量符号加在速度 上,即 = Idl qnSdl .将Idl 这一表达式代入毕奥——萨伐尔定律中就可得 dN r q r r qnSdl r dB 3 0 3 0 4 4 = = 其中 dN = nSdl 代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由 dN = nSdl 个载 流子产生的,那么每一个电量为 q ,以速度为 运动的点电荷所产生的磁感应强度 B 为 3 0 4 r q r B = (7.13) B 的方向垂直于 和 r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则. 值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要考虑相对论效应,其结果见§ 14.5 节
§74磁场的高斯定理和安培环路定理 稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场 的高斯定理和环路定理来描述;稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理 来描述本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 、磁场的高斯定理 1磁通量 在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念通过某一面积S的磁通 量的定义是 (7.14) 即等于通过该面积的磁感应线的总条数 在国际单位制中磁通量的单位为韦伯(Wb)Wb=1Tm2据此磁感应强度的单位 T也常写作Wb/n 2磁场的高斯定理 对于闭合曲面若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向则对闭面上 面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面对任 一闭合曲面S由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线不难想象,凡是从S某处穿入的磁 感应线必定从S的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面S的净条数必定等于零所以通 过任意闭合曲面S的磁通量为零,即 B·dS=0 这是恒定磁场的一个普遍性质称为磁场的高斯定理 、安培环路定理 由毕奥一一萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系可以导出稳恒磁场的一条 基本规律——安培环路定理其内容为:在稳恒电流的磁场中,磁感应强度B沿任何闭 合路径L的线积分(即B对闭合路径L的环量)斧等于路径L所包围的电流强度的代数 和的μ0倍,它的数学表达式为 B.d=u∑lm=H 下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理根据(7.8)式知,距电流强 度为I的无限长电流的距离为r处的磁感应强度为
8 §7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理 稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场 的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理 来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理 1 磁通量 在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积 S 的磁通 量的定义是 = S e B dS (7.14) 即等于通过该面积的磁感应线的总条数. 在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1T·m2 .据此,磁感应强度的单位 T 也常写作 Wb/m2 . 2 磁场的高斯定理 对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一 面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任 一闭合曲面 S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从 S 某处穿入的磁 感应线,必定从 S 的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面 S 的净条数必定等于零.所以通 过任意闭合曲面 S 的磁通量为零,即 = 0 S B dS (7.15) 这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理. 二、安培环路定理 由毕奥——萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条 基本规律——安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度 B 沿任何闭 合路径 L 的线积分(即 B 对闭合路径 L 的环量)等于路径 L 所包围的电流强度的代数 和的 0 倍,它的数学表达式为 B dl I I L = 0 = 0 int (7.16) 下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强 度为 I 的无限长电流的距离为 r 处的磁感应强度为 r I B = 2 0
B线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆, 其绕向与电流方向成右手螺旋关系 1)在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路 径L(如图77所示沿L计算B的环量在路径L上任 点P处l与B的夹角为0,它对电流通过点所张之 角为d.由于B垂直于矢径r,因而dos0就是a在垂 图77 直于r方向上的投影它就等于d所对的以r为半径 的圆弧长由于此弧长等于rdx,所以 ED=BoBd=手Bhk-手出mh+1(77 此式说明,当闭合路径L包围电流Ⅰ时这个电流对该环路上B的环路积分为u 2)如果电流的方向相反仍按图77所示的路径L的方向进行积分时,由于B的方 向与图示方向相反所以应该得 B·dl=-H0 可见积分的结果与电流的方向有关如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则B的环路积分的值可以统一 用式(717)表示 3)如果闭合路径不包围电流如图78所示L为在垂直于载流导线平面内的任 不围绕电流的闭合路径过电流通过点作L的两条切线将L分为L和L2两部分沿图示 方向计算B的环量为 fed = B d + B d a+∫d) 图78 2xa+(-a)=0 可见闭合路径L不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的B的环路积分无贡献 上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径易证在长直电流的情 况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用还可进一步证明对于任意的闭合稳恒电流, 上述B的环路积分和电流的关系仍然成立这样再根据磁场的叠加原理可得到,当有若 干个闭合稳恒电流存在时沿任一闭合路径L,合磁场的环路积分为
9 B 线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆, 其绕向与电流方向成右手螺旋关系. 1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路 径 L(如图 7.7 所示),沿 L 计算 B 的环量.在路径 L 上任 一点 P 处,dl 与 B 的夹角为θ,它对电流通过点所张之 角为 d .由于 B 垂直于矢径 r ,因而 dlcosθ就是 dl在垂 直于 r 方向上的投影,它就等于 d 所对的以 r 为半径 的圆弧长,由于此弧长等于 r d ,所以 rd I r I B dl Brd B dl Brd L L L L 0 0 2 = = ⎯⎯⎯⎯→ = = 上的环量 (7.17) 此式说明,当闭合路径 L 包围电流 I 时,这个电流对该环路上 B 的环路积分为 I 0 . 2）如果电流的方向相反,仍按图 7.7 所示的路径 L 的方向进行积分时,由于 B 的方 向与图示方向相反,所以应该得 B dl I L = −0 可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与 L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则 B 的环路积分的值可以统一 用式(7.17)表示. 3）如果闭合路径不包围电流,如图 7.8 所示,L 为在垂直于载流导线平面内的任一 不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作 L 的两条切线,将 L 分为 L1和L2 两部分,沿图示 方向计算 B 的环量为 = + L L1 L2 B dl B dl B dl ( ) + = 1 2 2 0 L L d d I 0 2 0 + − = = [ ( )] I 可见,闭合路径 L 不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的 B 的环路积分无贡献. 上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情 况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流, 上述 B 的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若 干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径 L,合磁场的环路积分为
Bd=∑{m 式中∑lm是环路L所包围的电流的代数和上式就是我们要证明的安培环路定理式 值得指出,闭合路径L包围的电流的含义是指与L所链环的电流对闭合稳恒电流 的一部分(即一段稳恒电流)安培环路定理不成立:另外,在安培环路定理表达式中的 电流∑/m是闭合路径L所包围的电流的代数和但定理式左边的磁感应强度B,却代 表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和 、安培环路定理的应用 1载流长直螺线管内的磁场 设有一长直螺线管长为L,共有N匝线圈通有电流I,由于螺线管很长,则管内中 央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行管的外侧磁场很弱可以 忽略不计 轴线 图79 为了计算螺线管中央部分某点P的磁感应强度.可通过P点作一矩形闭合线 abcd如图79所示在如图的绕行方向下B矢量的线积分为 由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故bc,da段上B与dl处处垂直,所以 B.d=「B=0,又cd在螺线管外侧附近,其上磁感应强度为零,所以 Bab,于是有 Bd=Bab一→Bab=unb→B=Hbn 由于P点是长直螺线管内的中央部分任一点所以上式就是螺线管中央部分的磁 场分布它是一匀强磁场
10 = int B dl I L 0 式中 int I 是环路 L 所包围的电流的代数和.上式就是我们要证明的安培环路定理式. 值得指出,闭合路径 L 包围的电流的含义是指与 L 所链环的电流,对闭合稳恒电流 的一部分（即一段稳恒电流）安培环路定理不成立；另外,在安培环路定理表达式中的 电流 int I 是闭合路径 L 所包围的电流的代数和,但定理式左边的磁感应强度 B ,却代 表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和. 三、安培环路定理的应用 1 载流长直螺线管内的磁场 设有一长直螺线管,长为 L ,共有 N 匝线圈,通有电流 I ,由于螺线管很长,则管内中 央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行.管的外侧,磁场很弱,可以 忽略不计. 为了计算螺线管中央部分某点 P 的磁感应强度.可通过 P 点作一矩形闭合线 abcda 如图 7.9 所示.在如图的绕行方向下,B 矢量的线积分为 = + + + a d d c c b b L a B dl B dl B dl B dl B dl 由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故 bc ,da 段上 B 与 dl 处处垂直,所以 = = 0 a d c b B dl B dl , 又 cd 在 螺 线 管 外 侧 附 近 , 其 上 磁 感 应 强 度 为 零 , 所 以 B dl B dl Bab b a d c = = 0 而 ,于是有 B dl Bab Bab nabI B nI L = ⎯⎯ ⎯→ = 0 → = 0 环路定理 (7.18) 由于 P 点是长直螺线管内的中央部分任一点,所以上式就是螺线管中央部分的磁 场分布,它是一匀强磁场