预备知识 第一节矢量 矢量的引入 物理学是研究物质运动的基本规律的学科。此“物质运动”不仅指物体的空间位置随时间的变化 机械运动。还包括电磁感应、发热、发光、原子内部等形形色色的运动形式。要确切描述物质运 动的规律,必须建立许多物理概念,如:速度、密度、电流、磁感应强度等。与一般概念不同,物理概 念是建筑在量度的基础上的,就是说“每个物理概念都要以某种量度方法对它做严格的规定”。例如: 规定速度为单位时间内的位移;密度为单位体积内的质量等。这种用量度方法严格规定的量叫物理量 般物理量包含着数字和单位两部分。如只说“某物体长3.5,质量为7.6”是毫无意义的,必须 说出单位才有意义。只有少数量是无单位的纯数。 有些物理量不仅具有数值大小(包括数值和单位),还具有方向性。如:甲车以10米/秒的速度运 行,乙车以15米秒的速度运行,问20秒后两车相距多远?这是无法回答的。因为两车的运动方向即 速度的方向未给出。两车同向运行、反向运行或两车运行方向成某一夹角,将会得出不同的答案。这表 明,速度这个物理量是具有方向性的,在给出数值的同时还必须标明其方向。又如:有大小各为250 牛顿的两个力同时竖直作用于一物体时恰能将此物提起。现在仍用大小不变的原力作用在同一物体上 只是两力之间有一夹角,试想它还能提起此物吗?由实验得知,显然不能。所以我们说,一个物理量不 仅有大小,而且有方向,相加时还必须符合一定的运算法则(平行四边形法则),此量叫矢量。如:位 移、速度、加速度等。而只有大小,没有方向,相加时符合代数运算法则的物理量叫标量。如:质量 时间、密度等 二、矢量的图示 矢量可以用带箭头的线段表示。线段的长短按一定比例表示矢量的大小,指向即矢量的方向。矢 量在书写时用字母的黑体如A或A示之。矢量的大小叫矢量的模,用A或A示之 三、数与矢量的乘法 用一个标量k乘以矢量得一新矢量kA。当k>0时,矢量kA的模为k团,方向与A相同:当 k0时,矢量k准的模为,方向与相反;当k=0时,则k=0,称为零矢量 若一个矢量用一个标量m相除,相当于该矢量乘以1m(即k=1)表示模为1团-14 方向与A相反的矢量。通常称-A为A的负矢量 若一个矢量的模等于1,则称该矢量为单位矢量。单位矢量常用字母上方加“0”来表示。如:平 行于A的单位矢量写作eA。单位矢量仅仅起到表示该矢量方向的作用,这种表示实际上是把矢量的大 小和方向分离地表示出来。在直角坐标系Oxyz中,沿坐标轴Ox、O、Oz方向的单位矢量分别为 、j、k 第二节矢量的运算 、矢量的加、减运算 1、矢量的加法 (1)平行四边形法则:由高中知识知道,矢量的加法符合平行四边形法则即:矢量A与B相加的
合矢量是以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线矢量。A+B=C。这里的“+”不同于普通代数 中的含义,是要求用平行四边形 B B (2)两矢量合成的三角形法则 求合矢量的平行四边形可以简化为三角形法则。如图所示,为求对角线oc,只需画出平行四边形 的一半(ΔOAC)即可。方法是:在矢量OA的末端接画矢量AC,首尾相连(相当于将OB矢量平移 到A点)。则从OA的始端引向AC的末端的矢量即为和矢量OC。此即为三角形法则。发展三角形法 则可得多边形法则。 (3)多矢量合成的多边形法则 如有四个矢量作用丁O点,求合矢量。根据三角形法则可把各个矢量分别平移到首尾相接的位置,然后 从第一个矢量的始端起到最后的矢量的末端画一个矢量即为四个矢量的合矢量。 多边行法则 R=A+B+C+D注意:合矢量R的箭头是和最后那个矢量的箭头对顶着,其他矢量均首 尾相接。 (4)两矢量合成的解析法 采用多边形法进行多个矢量的合成,其合矢量的大小和方向可以用米尺直接量出。但这要求图形必 须画得很准确。在要求更髙时几何法难以满足要求,为此我们介绍另一种合矢量的计算方法——解析法。 此方法是“先分后合 1)矢量的分量表示法 设矢量A、B、C在平面直角坐标系中,如图所示夹。求这三个矢量的合矢量。先把这三个矢量 分解到x和y坐标轴上,则D=A1+B-C(标量和)D,=A,-B,+C,这样我们就把 矢量计算变换成了标量计算。这种方法对多个矢量的合成尤其重要。合矢量的大小和方向为
y X B 大小:D=√D2+D2,方向:9=或:D=Di+D,j 矢量的减法 因为A-B=A+(-B),所以矢量A与B之差可以看成是矢量A与-B 之和。用求和的法则即可求出两矢量之差。且各种方法都可以用 三、矢量的乘积 矢量具有大小和方向。因此,两个矢量相乘也不再象标量那样简单。下面我们介绍两个矢量之间的 两种相乘方法。 两个矢量的标积:(点乘)—两个矢量的标积是一个标 (1)标积的定义: 设矢量A和矢量B为任意两个矢量,它们的夹角为O,则它们的标积通常用A.B表示,定义 标积的正、负 天1二49时,06>0,B为正 当6>时,cos<0,A·B为负 另外:AB=c()=A(BCos)=(4cos)B (2)标积的性质 1)、两相互平行矢量的标积等于它们的模的乘积。A·B=±AB正、负号取决于它们的指向相同 还是相反。当O=0,cos=1A.B=AB;当O=x,cos=-1A.B=-AB;若两个矢 量相等A=B,则A·B=AA=BB=A2=B2。 2)、两相互垂直矢量的标积等于零。O cos=0。 3)、两矢量标积符合交换律 两矢量标积的值不因A·B在式中位置的交换而改变。A·B=B 4)、两矢量标积符合分配律
两矢量标积的值不因另一矢量的分配而改变。A·(B+C)=A·B+A 5)、将上面所讲的性质应用到直角坐标轴的单位矢量,可以其标积为 j·k=k·j= i=j·j=k·k=1 2、两个矢量的矢积:(叉乘)—两个矢量的矢积还是一个矢量 (1)矢积的定义 设矢量A和矢量B为任意两个矢量,它们的夹角为O,则它们的矢积通常用A×B=C表示 矢量C的模为(=4×=4园m(x,B量C的方向:符合右手螺旋法则,即四指由方向经 小于180度的角转向B的方向,伸直大拇指的指向就是C的方向 (2)标积的性质 1)、两相互平行矢量的矢积等于零。AxB=0 2)、两相互垂直矢量的矢积等于它们的模的乘积。A×B=AB 3)、两矢量矢积不符合交换律 两矢量矢积的方向会因A,B在式中位置的交换而改变。AxB=-(BxA) 两矢量矢积符合分配律 两矢量矢积的值不因另一矢量的分配而改变。Ax(B+C)=A×B+A×C 5)、将上面所讲的性质应用到直角坐标轴的单位矢量,可以其标积为 j=kj×k=kx7=j1×=j×j=k×k=0 四、矢量的导数 、矢量函数 对于一个标量,如果它不发生变化,我们称它为常数,或常量。如果这个标量x随变元t的变化而 变化,而且t的每一个数值对应ⅹ的某一确定的数值,那么ⅹ就称为t的单值标量函数。 对于矢量,它要比标量复杂得多。若一个矢量的大小和方向都不发生变化,称此矢量为常矢量。若 一个矢量的大小不变,但方向发生变化;或矢量的大小变化,而方向不变,则称这样的矢量为变矢量 如果矢量A随变元t(标量)的变化而变化,而且t的每一个数值对应着一个完全确定的矢量A(大小 和方向),那么就称矢量A为t的单值矢量函数。写作A=A(1) 如果用投影式表示:A()=A1(1)+A,(1)+A2()k 式中A1(1),A,(1),A2(m)是t变元的标量函数 2、矢量导数 设有一个矢量函数A=A(),当自变量从t变到t+M时,矢量函数变为A=A(t+△),矢量函数
在Δ时间内的增量为△4=A(t+△t)-A(t) 仿照标量函数导数的定义,可以引入矢量导数的概念,即 a4Q2=lin△4(O)=im4(+△)-4 dt 如用投影式A()=A()1+A,()+A1()表示时, da da, (i]. d4, (07]. d4, ok] dh dt dt 在选定的坐标系中,i,j,k都是常矢量。所以 d()d4(),dA(t),d4:(t) dt d()、dA.() dA(、d4() d.() 因此有dt 即某矢量A的导数(也是矢量)沿某坐标轴的投影,等于A沿对应坐标轴投影的导数 d2A()d2A(t)-.d24,()-d2A() 3、矢量的积分 矢量的积分是矢量导数的逆运算。当某矢量函数A()的导数一,已知时,如何求得这个原函数A(t)。 我们把4记作O),即已知4Q=B(0)=B1(07+B,()万+B.0)这里三个标量函数 dh B.0).BO,B.()分别代表边,边’立,所以将BO)对时间t求积分,可改变为 B2(D),B1(),B2(1)分别对时间t求积分,即 A=M=A17+4,7+Ak=叮JB0)+!B,)m17+!B)h 关于矢量函数的积分,尤其是当这个函数是空间坐标x,y,z的多元函数时,还有如线积分、面 积分、体积分等其他复杂的积分计算(要按不同的定义式进行)。例如:功的计算就是一个矢量函数求 积分的一个例子。设当力F作用在一个物体上,力的作用点移动一个微小位移d,该力所做的微功为 A= Fcos eds=F·ds 而F=F+Fj+Fk=++dk则
1= an= F ds=Fi+F,j+F, k).(+ dj+dck)=E dx+fE, dy+.dz k=k·i=0 i=j·j=k·k 即把矢量积分化为三个标量函数的积分的总和。对于力F所做的功来说,后面三项分别为三个分力所 做的功。 附录 *常用的初等函数导数公式 (ro)=nrl cOS (Inx) arcsin x)=1/l-x2 (arctgx)=1/1+x2 常用的运算法则 (hr)=k( dt d(A±B)dA⊥dB d (aB) Bb、分≈
