第11章振动学基础 在自然界中,几乎到处都可以看到物体的一种特殊的运动形式即物体在某一位置 附近作往复运动这种运动称为机械振动钟摆的运动、琴弦的运动和气缸活塞的运动 都是机械振动 振动现象并不限于力学中在物理学其它领域中也存在与机械振动相类似的振动 现象.一般地说仼任何一个物理量在某一定值附近作反复变化,都可以称为振动如交流 电中电流和电压的反复变化,电磁波中电场和磁场的反复变化等都属于振动的范畴 由于一切振动现象都具有相似的规律所以我们可以从机械振动的分析中,了解振 动现象的一般规律而简谐振动是最简单、最基本的振动,任何复杂的振动都可由两个 或多个简谐振动合成而得到我们就从简谐振动开始讨论 §111简谐振动 简谐振动的基本特征及其表示 在一个光滑的水平面上,有一个一端被固定的轻弹簧,弹簧的另一端系一小球,如图 1l1所示当弹簧呈自由状态时,小球在水 平方向不受力的作用,此时小球处于点O 叫√Q. 该点称为平衡位置若将小球向右移至点 M弹簧被拉长这时小球受到弹簧所施加④6 的、方向指向点O的弹性力F的作用将 小球释放后小球就在弹性力F的作用下( 左右往复振动起来,并一直振动下去 为了描述小球的这种运动我们取小a aWW○ 球的平衡位置O为坐标原点取通过点O 的水平线为x轴如果小球的位移为x,它(e 所受弹力F可以表示为 图11.1 F 11) 式中k为所取轻弹簧的劲度系数负号表示弹性力F与位移x的方向相反如果小球的 质量为m,根据牛顿第二定律,小球的运动方程可以表示为 d-x na= m (11.2) 将式(111)代入式(112)得
1 第 11 章 振动学基础 在自然界中,几乎到处都可以看到物体的一种特殊的运动形式,即物体在某一位置 附近作往复运动,这种运动称为机械振动.钟摆的运动、琴弦的运动和气缸活塞的运动 都是机械振动. 振动现象并不限于力学中,在物理学其它领域中也存在与机械振动相类似的振动 现象.一般地说,任何一个物理量在某一定值附近作反复变化,都可以称为振动.如交流 电中电流和电压的反复变化 ,电磁波中电场和磁场的反复变化等,都属于振动的范畴. 由于一切振动现象都具有相似的规律,所以我们可以从机械振动的分析中,了解振 动现象的一般规律.而简谐振动是最简单、最基本的振动,任何复杂的振动都可由两个 或多个简谐振动合成而得到,我们就从简谐振动开始讨论. §11.1 简谐振动 一、简谐振动的基本特征及其表示 在一个光滑的水平面上,有一个一端被固定的轻弹簧,弹簧的另一端系一小球,如图 11.1 所示.当弹簧呈自由状态时,小球在水 平方向不受力的作用,此时小球处于点 O, 该点称为平衡位置.若将小球向右移至点 M,弹簧被拉长,这时小球受到弹簧所施加 的、方向指向点 O 的弹性力 F 的作用.将 小球释放后,小球就在弹性力 F 的作用下 左右往复振动起来,并一直振动下去. 为了描述小球的这种运动,我们取小 球的平衡位置 O 为坐标原点,取通过点 O 的水平线为χ轴.如果小球的位移为 x ,它 所受弹力 F 可以表示为 F kx = − (11.1) 式中 k 为所取轻弹簧的劲度系数,负号表示弹性力 F 与位移 x 的方向相反.如果小球的 质量为 m,根据牛顿第二定律,小球的运动方程可以表示为 2 2 dt d x F ma m = = (11.2) 将式(11.1)代入式(11.2)得 kx dt d x m = − 2 2
或者改写为 +02x=0(o2= (11.3) 式(11.3)是小球的运动方程这个方程显示了小球受力的基本特征,即在运动过 程中小球所受力的大小与它的位移的大小成正比而力的方向与位移的方向相反具有 这种性质的力称为线性回复力 由运动方程可以解得小球在振动过程中的位移x与时间t的关系式(13)的解 可以写为以下两种形式 x=Acos(ot+o)(e x=Asin(ot+d) (11.5) 式中A和φ都是积分常量,在振动中它们都具有明确的物理意义,对此我们以后再做 讨论式(1.5)的两式在物理上具有同样的意义,以后我们只取前一形式 上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩檫振动的例子,这样的 振动系统称为弹簧振子弹簧振子的振动是典型的简谐振动它表明了简谐振动的基本 特征从分析中可以看出物体只要在形如F=-kx的线性回复力的作用下运动,其位移 必定满足微分方程式(113.而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数简谐 振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的,其中的任何一项都可以作为判断物 体是否是作简谐振动的依据但是,由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域任 何一个物理量在某定值附近作往复变化的过程都属于振动,于是我们可对简谐振动作 如下的普遍定义任何物理量x的变化规律若满足方程m2+02x=0,并且o是决 定于系统自身的常量则该物理量的变化过程就是简谐振动 二、描述简谐振动的特征量 振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量,若知道了某简谐振 动的这三个量,该简谐振动就完全被确定了所以这三个量称为描述简谐振动的特征量. 1振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅在简谐振动 x=Acos(ot+φ) 中A就是振幅在国际单位制中,振幅的单位是米(m) 2周期 振动物体完成一次全振动所用的时间称为周期,常用T表示;在1秒时间内完成 全振动的次数称为频率,常用v表示;振动物体在2秒内完成全振动的次数称为角 频率,就是式(1.5)中的ω显然角频率ω、频率v和周期T三者的关系为
2 或者改写为 ( ) m k x dt d x + = = 2 2 2 2 0 (11.3) 式 (11.3) 是小球的运动方程.这个方程显示了小球受力的基本特征,即在运动过 程中,小球所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反.具有 这种性质的力称为线性回复力. 由运动方程可以解得小球在振动过程中的位移 x 与时间 t 的关系.式(11.3)的解 可以写为以下两种形式 x = Acos(t + ) 或 x = Asin(t + ) ) (11.5) 式中 A 和φ都是积分常量,在振动中它们都具有明确的物理意义,对此我们以后再做 讨论.式(11.5)的两式在物理上具有同样的意义,以后我们只取前一形式. 上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩檫振动的例子,这样的 振动系统称为弹簧振子.弹簧振子的振动是典型的简谐振动,它表明了简谐振动的基本 特征.从分析中可以看出,物体只要在形如 F=－kx 的线性回复力的作用下运动,其位移 必定满足微分方程式 (11.3),而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数.简谐 振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的,其中的任何一项都可以作为判断物 体是否是作简谐振动的依据.但是,由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域,任 何一个物理量在某定值附近作往复变化的过程,都属于振动,于是我们可对简谐振动作 如下的普遍定义:任何物理量 x 的变化规律若满足方程 0 2 2 2 + x = dt d x m , 并且ω是决 定于系统自身的常量,则该物理量的变化过程就是简谐振动. 二、描述简谐振动的特征量 振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量,若知道了某简谐振 动的这三个量,该简谐振动就完全被确定了,所以这三个量称为描述简谐振动的特征量. 1.振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅.在简谐振动 x = Acos(t + ) 中,A 就是振幅.在国际单位制中,振幅的单位是米(m). 2.周期 振动物体完成一次全振动所用的时间,称为周期 ,常用 T 表示；在 1 秒时间内完成 全振动的次数,称为频率 ,常用ν表示；振动物体在 2π秒内完成全振动的次数,称为角 频率 ,就是式(11.5)中的ω.显然角频率ω、频率ν和周期 T 三者的关系为
0=2 在国际单位制中周期T频率v和角频率ω的单位分别是秒(s)、赫兹(Hz)和弧 度/秒(rad/) 3相位和初相位 式(15)中ω1+φ的称为简谐振动的相位,单位是弧度(rad)在振幅一定、角频率 已知的情况下振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位ot+φ 这从下面的分析中会看得更清楚将式(1.5)两边对时间求一阶导数可以得到物体振 动的速度 dx =- Ao sin(ot+φ)(11.8) 由式(115)和式(118)两式可以看出,在振幅A和角频率ω已知的情况下 振动物体的位置和速度完全由相位所决定我们已经知道位置和速度是表示一个质点 在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量相位中的中称为初相位在振幅A和 角频率ω已知的情况下,振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位中.在式 (115和式(118)中令,则分别成为下面的形式 x。=Acosφ (11.9) Do=-Aosin p 分别是振动物体在初始时刻的位移和速度,这两个量表示了振动物体在初始时刻的运 动状态,也就是振动物体的初始条件 振幅A和初相位φ,在数学上它们是在求解微分方程(113)时引入的两个积分常 量而在物理上,它们是由振动系统的初时状态所决定的两个描述简谐振动的特征量,这 是因为由初始条件(11-9)可以求得 A=xa+ (11.10) 中= arctan( 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法 简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘在坐标系O-xy中,以O为始端画一矢量 A,末端为M点,如图11.2所示若矢量A以匀角速度ω绕坐标原点O作逆时针方向 转动时,则矢量末端M在ⅹ轴上的投影点P就在x轴上于点O两侧往复运动如 果在t=0时刻矢量A与x轴的夹角为中,那么这时投影点P相对于坐标原点O的
3 T T = = = 2 2 1 , (11.7) 在国际单位制中,周期 T、频率ν和角频率ω的单位分别是秒 (s)、赫兹 (Hz)和弧 度/ 秒 (rad /s). 3.相位和初相位 式(11.5)中 t + 的称为简谐振动的相位 ,单位是弧度 (rad) .在振幅一定、角频率 已知的情况下,振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位 t + . 这从下面的分析中会看得更清楚.将式(11.5)两边对时间求一阶导数,可以得到物体振 动的速度 = = −Asin(t + ) (11.8) dt dx (11.8) 由式（11.5）和式（11.8） 两式可以看出,在振幅 A 和角频率ω已知的情况下, 振动物体的位置和速度完全由相位所决定.我们已经知道,位置和速度是表示一个质点 在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量.相位中的φ称为初相位,在振幅 A 和 角频率ω已知的情况下,振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位φ.在式 (11.5)和式(11.8)中令 ,则分别成为下面的形式 = − = sin cos A x A 0 0 (11.9) 分别是振动物体在初始时刻的位移和速度,这两个量表示了振动物体在初始时刻的运 动状态,也就是振动物体的初始条件. 振幅 A 和初相位φ,在数学上它们是在求解微分方程(11.3)时引入的两个积分常 量,而在物理上,它们是由振动系统的初时状态所决定的两个描述简谐振动的特征量,这 是因为由初始条件(11-9)可以求得 = − = + arctan( ) 0 0 2 2 2 0 0 x A x (11.10) 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法 简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘.在坐标系 O—xy 中,以 O 为始端画一矢量 A,末端为 M 点,如图 11.2 所示.若矢量 A 以匀角速度ω绕坐标原点 O 作逆时针方向 转动时,则矢量末端 M 在 x 轴上的投影点 P 就在 x 轴上于点 O 两侧往复运动.如 果在 t = 0 时刻,矢量 A 与 x 轴的夹角为φ,那么这时投影点 P 相对于坐标原点 O 的
位移可以表示为 Acosφ 式中A为矢量A的长度在任意时刻t矢量A与x轴的a 夹角变为ot+φ,则投影点P相对于坐标原点O的位移 Acos(ot+φ) 所以,当矢量A绕其始点(即坐标原点)以匀角速度ω旋转 时,其末端在ⅹ轴上的投影点的运动必定是简谐振动图 112(b)所描绘的曲线是点P的位移与时间的关系曲线 称为简谐振动曲线 以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点 图112 的运动来表示简谐振动这种方法称为简谐振动的矢量 图解法这种方法以后在电学和光学中都要用到 简谐量x还可以用复数来代表若把一个复数表示为 x=Ae φ)+isin(ot+φ) (11.11) 显然简谐量κ就是这个复数x的实部,并且简谐量的振幅与复数的模相对应,简谐 量的相位与复数的幅角相对应若要对多个简谐量进行某种运算,可以对代表这些简谐 量的复数进行相同的运算在运算过程中实部和虚部、模和幅角总是分别运算而不会 相混所得的复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果因此简谐量的复数表 示法也是常用的方法 例如,求振动速度和加速度可以用复数进行运算取位移的复数形式为 x=de 振动速度的复数则为 ioNe dt 取速度复数的实部,就是振动速度的真正表示式 U=Reloa cos(o t+o)+ioAsin(o [+o=-oAsin(o t +o) 用同样的方法可以计算振动加速度 加速度的真正表示式为 a=Rel(io)Ae(oI+) 02Acos(ot+φ)
4 位移可以表示为 x = Acos 式中A为矢量 A 的长度.在任意时刻t,矢量 A与 x轴的 夹角变为 t + ,则投影点 P 相对于坐标原点 O 的位移 为 x = Acos(t + ) 所以,当矢量 A 绕其始点(即坐标原点)以匀角速度ω旋转 时,其末端在 x 轴上的投影点的运动,必定是简谐振动.图 11.2(b)所描绘的曲线,是点 P 的位移与时间的关系曲线, 称为简谐振动曲线. 以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点 的运动来表示简谐振动,这种方法称为简谐振动的矢量 图解法.这种方法以后在电学和光学中都要用到. 简谐量 x 还可以用复数来代表.若把一个复数表示为 cos( ) sin( ) ~ ( ) = = + + + + x Ae A t iA t i t (11.11) 显然,简谐量 x 就是这个复数 x ~ 的实部,并且简谐量的振幅与复数的模相对应,简谐 量的相位与复数的幅角相对应.若要对多个简谐量进行某种运算,可以对代表这些简谐 量的复数进行相同的运算,在运算过程中,实部和虚部、模和幅角总是分别运算而不会 相混,所得的复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果.因此,简谐量的复数表 示法也是常用的方法. 例如,求振动速度和加速度,可以用复数进行运算.取位移的复数形式为 ~ ( +) = i t x Ae 振动速度的复数则为 ( ) ~ ~ + = = i t i Ae dt dx 取速度复数的实部,就是振动速度的真正表示式 = Re[iAcos(t + )+i Asin(t + )] = −Asin(t + ) 2 用同样的方法可以计算振动加速度 ( ) ( ) ~ ~ + = = i t i Ae dt d x a 2 2 2 加速度的真正表示式为 Re[( ) ] cos( ) ( ) = = − + + a i Ae A t 2 i t 2
由上面的计算可见用复数来代表简谐量运算过程也是十分简便的 例题11.1有一劲度系数为320Nm-的轻弹簧,放置在光滑的水平面上,其一端被 固定,另一端系一质量为500g的物体将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置 10.0cm处,然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动分别写 出振动的位移、速度和加速度与时间的关系 解:设物体沿ⅹ轴作简谐振动,并取平衡位置为坐标原点在初始时刻t=0,物体所 在的位置在最大位移处所以振幅为 A=100cm=0.100m 振动角频率为 =8.00rad·s Vm vo.5 如果把振动写为一般形式即ⅹ=Acos(ωt+φ),当t=0时物体处于最大位移处, A,那么必定有cos中=1所以初相位中=0这样我们就可以写出位移与时间的关系为 X=0.100cos(800t)m 速度和加速度的最大值分别为 u=0A=0.8m a=o A=6.4ms 速度和加速度与时间的关系分别为 U=-0.800sin8001m.sa=-6.40c0s8.00m·s2 例题11,2已知某简谐振动的振动曲线如图113所示试写出该振动的位移与时间 的关系 xem 解:任何简谐振动都可以表示为 X=Acos(ot+(p 关键是要从振动曲线求得振幅A、角频率ω 20 和初相位φ 振幅A可以从振动曲线上得到最大位移的点 图113例题112示图 P所对应的位移的大小就是振幅 A=40×10-2m 我们已经分析过振动的初相位是由初始条件决定的所以应该根据初始时刻的位 移和速度来确定φt=0时的位移和速度分别由以下两式表示 x。=Acos,bo=- Eosinφ 从振动曲线上可以得到x0=1/2→cosp=1/2,再由振动曲线在t=0附近的状况可 知,U0>0,同时因为A和ω都大于零,必定有sin中<0,这样我们就可以确定,在t=0
5 由上面的计算可见,用复数来代表简谐量,运算过程也是十分简便的. 例题 11.1 有一劲度系数为 32.0Nm-1 的轻弹簧,放置在光滑的水平面上,其一端被 固定,另一端系一质量为 500g 的物体.将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置 10.0cm 处,然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动.分别写 出振动的位移、速度和加速度与时间的关系. 解：设物体沿 x 轴作简谐振动,并取平衡位置为坐标原点.在初始时刻 t =0,物体所 在的位置在最大位移处,所以振幅为 A = 10.0cm = 0.100 m 振动角频率为 1 8 00rad s 0 5 32 − = = = . m . k 如果把振动写为一般形式,即 x =Acos(ωt +φ),当 t=0 时,物体处于最大位移处,x =A,那么必定有 cosφ=1.所以初相位φ=0.这样我们就可以写出位移与时间的关系为 x = 0.100cos(8.00 t) m . 速度和加速度的最大值分别为 1 0 8m s − = A = . m 2 1 6 4m s − a = A = . m 速度和加速度与时间的关系分别为 1 0 800 8 00 m s − = − . sin . t 2 6 40 8 00 m s − a = − . cos . t 例题 11.2 已知某简谐振动的振动曲线如图 11.3 所示,试写出该振动的位移与时间 的关系. 解：任何简谐振动都可以表示为 x =Acos(ωt +φ) 关键是要从振动曲线求得振幅 A、角频率ω、 和初相位φ. 振幅 A 可以从振动曲线上得到.最大位移的点 P 所对应的位移的大小就是振幅 A = 4.0×10-2m . 我们已经分析过,振动的初相位是由初始条件决定的,所以应该根据初始时刻的位 移和速度来确定φ .t = 0 时的位移和速度分别由以下两式表示 x0 = Acos, 0 = −Asin 从振动曲线上可以得到 x0 =1/ 2 →cos =1/ 2 ,再由振动曲线在 t = 0 附近的状况可 知, 0 0 ,同时因为 A 和ω都大于零,必定有 sinφ＜0 ,这样我们就可以确定,在 t=0
时旋转矢量是处于第四象限内故取初相位为 φ=-π/3 最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在t=ls时,位移x=0,代入下式 x=4.0×102cos(ot-π/3) 可得:0=40×102cos(0-π/3)→0-π/3=±/2 因为o>0,所以上式只能取正所以 这样我们可以将该简谐振动具体地写为 x=4.0×10-2cos(t--)m 四、简谐振动的能量 从机械运动的观点看,在振动过程中若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则 其动能和势能的总和是恒定的现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化 和守恒问题 弹簧振子的位移和速度分别由下式给出 x=Acos(ot+中),u=- Eosin(ot+φ) 在任意时刻系统的动能为 Ek o2Asin(ot+中) (11.12) 除了动能以外振动系统还具有势能对于弹簧振子来说系统的势能就是弹力势能, 并可表示为 Ep =kx2= kA- cos(ot+φ) 2 由式(1l12)和式(113)可见弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化 当位移最大时速度为零动能也为零而势能达到最大值k42;当在平衡位置时,势能 为零,而速度为最大值所以动能达到最大值mo2A2 弹簧振子的总能量为动能和势能之和即 6
6 时旋转矢量是处于第四象限内,故取初相位为 = − / 3 最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在 t =1s 时,位移 x =0,代入下式 4.0 10 cos( / 3) 2 = − − x t 0 4 0 10 3 3 2 2 = . cos(− / ) →− / = / 可得： − 因为ω＞0,所以上式只能取正.所以 1 rad s 6 5 3 2 − = + = 这样,我们可以将该简谐振动具体地写为 m 6 3 5 4 0 10 2 . cos( ) − = − x t 四、简谐振动的能量 从机械运动的观点看,在振动过程中,若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则 其动能和势能的总和是恒定的.现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化 和守恒问题. 弹簧振子的位移和速度分别由下式给出 x = Acos(t + ), = −Asin(t + ) 在任意时刻,系统的动能为 E = m = m A sin (t + ) k 2 2 2 2 2 1 2 1 (11.12) 除了动能以外,振动系统还具有势能.对于弹簧振子来说,系统的势能就是弹力势能, 并可表示为 E = k x = kA cos (t + ) p 2 2 2 2 1 2 1 (11.13) 由式（11.12）和式（11.13）可见,弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化. 当位移最大时,速度为零,动能也为零,而势能达到最大值 2 2 1 kA ；当在平衡位置时,势能 为零,而速度为最大值,所以动能达到最大值 2 2 2 1 m A . 弹簧振子的总能量为动能和势能之和,即
E=E+En=m02A2sim(01+ψ)+kcos(o1+ψ) 因为o2=k/m,所以上式可化为 E=-mo-A=-kA (11.14) 由上式可见尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量 是恒定不变的,并与振幅的平方成正比 由E=my2+kx2=kf2→U=±0√A42 (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系在平衡位置处x=0,速度为最 大:在最大位移处x=±A,速度为零 例题113一长度为l的无弹性细线,一端被固定在A点,另一端悬挂一质量为m、 体积很小的物体静止时细线沿竖直方向物体处于点O,这 是振动系统的平衡位置如图114所示若将物体移离平衡位小 置使细线与竖直方向夹一小角度0,然后将物体由静止释放, 物体就在平衡位置附近往复摆动起来这种装置称为单摆.证 明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量 解:我们选择小物体相对平衡位置O的角位移θ为描 述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正, 处于平衡位置左方,0为负 小物体受到两个力的作用,一个是重力mg,另一个是细 cosH 线的张力f沿着物体运动的弧形路径将重力mg分解成大1432113示图 小为 mgcos的径向分量和大小为 mosin0的切向分量其中径向分量 mgcos b与细线 的张力f一起为物体的运动提供向心力而切向分量是作用于物体的回复力使物体返 回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样因此单摆的振动方程为 sin e >-mg0 a+a2=0(2=昱 (2) 显然,单摆的振动方程(2)与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量 x所以单摆的角位移θ与时间t的关系必定可以写成余弦函数的形式 6=cos(t+φ)
7 E = E + E = m A sin (t + ) + k A cos (t + ) k p 2 2 2 2 2 2 1 2 1 因为ω2=k/m,所以上式可化为 2 2 2 2 1 2 1 E = m A = kA (11.14) 由上式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量 是恒定不变的,并与振幅的平方成正比. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 由 E = m + k x = k A → = A − x (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系.在平衡位置处,x=0,速度为最 大；在最大位移处,x=±A,速度为零. 例题 11.3 一长度为 l 的无弹性细线,一端被固定在 A 点,另一端悬挂一质量为 m、 体积很小的物体.静止时,细线沿竖直方向,物体处于点 O,这 是振动系统的平衡位置,如图11.4所示.若将物体移离平衡位 置,使细线与竖直方向夹一小角度θ,然后将物体由静止释放, 物体就在平衡位置附近往复摆动起来.这种装置称为单摆.证 明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量. 解：我们选择小物体相对平衡位置 O 的角位移θ为描 述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正, 处于平衡位置左方,θ为负. 小物体受到两个力的作用,一个是重力 mg,另一个是细 线的张力 f .沿着物体运动的弧形路径,将重力 mg 分解成大 小为 mgcosθ的径向分量和大小为 mgsinθ的切向分量.其中径向分量 mgcosθ与细线 的张力 f 一起为物体的运动提供向心力,而切向分量是作用于物体的回复力,使物体返 回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样.因此,单摆的振动方程为 = − ⎯ ⎯→− mg mg dt d ml 很小 sin 2 2 (1) ( ) l g dt d + = = 2 2 2 2 即 0 (2) 显然,单摆的振动方程（2）与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量 x.所以单摆的角位移θ与时间 t 的关系必定可以写成余弦函数的形式 = cos(t + ) 0
式中积分常量θ。为单摆的振幅,中为初相位这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是 简谐振动 单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能 Ek 2m(e)=2m/e o' sin(o(+o) 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能 E=mgh=mg/(1-cos 0) 式中h是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度可将cosθ展开为 2040° c0s=1-y+46! 因为0很小我们可以只取上式的前两项所以可以化为 E=mg/0=-mg0 cos(ot+o) 可见单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即 E=Ek+E== sin(o(+)+=mg10 cos(o(+o) 因为2=g/所以上式可以化为 E=-ml0202 上式表示尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比 作业(P97):4、7、9、11、14
8 式中积分常量 0 为单摆的振幅,φ为初相位.这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是 简谐振动. 单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能 E = m = m(l) = ml sin (t + ) k 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能 E = mgh = mgl(1−cos) p 式中 h 是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度.可将 cosθ展开为 + − + = − ! ! ! cos 2 4 6 1 2 4 6 因为θ很小,我们可以只取上式的前两项.所以可以化为 E = mgl = mgl cos (t + ) p 2 2 0 2 2 1 2 1 可见,单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数. 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即 E = E + E = ml sin (t + ) + mgl cos (t + ) k p 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 2 1 因为ω2=g/l,所以上式可以化为 2 0 2 0 2 2 2 1 2 1 E = ml = mgl 上式表示,尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比. 作业(P97)：4、7、9、11、14
§11.2阻尼振动 以上我们所讨论的简谐振动是严格的周期性振动,即振动的位移、速度和加速度等 每经过一个周期就完全恢复原值,但这毕竟只是一种理想情况任何实际的振动都必然 要受到摩擦和阻力的影响振动系统必须克服摩擦和阻力而作功,外界若不持续地提供 能量,振动系统自身的能量将不断地减少振动系统能量减少的另一个原因是由于振动 物体引起邻近介质质点的振动并不断向外传播振动系统的能量逐渐向四周辐射出去 由于振动能量正比于振幅的平方所以随着能量的减少振幅也逐渐减少 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动在以下的讨论中,我们只考虑摩擦和阻力引 起的阻尼振动 当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时物体所受流体的阻力主要是黏性 阻力黏性阻力的大小与物体运动的速率成正比,方向与运动方向相反可以表示为 (1116 dt 式中称为阻力系数负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反 考虑了黏性阻力物体的振动方程可以写为 dtdu (11.17) 令02=k/m,2B=y/m式(1.17)可以改写为 2B+o2x=0 式中o称为振动系统的固有角频率,β称为阻尼常量,它取决于阻力系数在阻尼较小 的情况下,B2<o20,式(.18)的解可以表示为 x=Ae-p'cos(ot+)(o=vo2-B2) (11.19) Ao和φ为积分常量,可由初始条件决定式(1l19)所表示的位移与时间的关系,可描绘成 图115中曲线a所示的情形由图可以看出, 阻尼振动不是严格的周期运动,因为位移 不能在每一个周期后恢复原值,也是一种 b 准周期性运动若与无阻尼的情况相比较 阻尼振动的周期可表示为 2π 2π 图115
9 §11.2 阻尼振动 以上我们所讨论的简谐振动是严格的周期性振动,即振动的位移、速度和加速度等 每经过一个周期就完全恢复原值,但这毕竟只是一种理想情况.任何实际的振动都必然 要受到摩擦和阻力的影响,振动系统必须克服摩擦和阻力而作功,外界若不持续地提供 能量,振动系统自身的能量将不断地减少.振动系统能量减少的另一个原因是由于振动 物体引起邻近介质质点的振动,并不断向外传播,振动系统的能量逐渐向四周辐射出去. 由于振动能量正比于振幅的平方,所以随着能量的减少,振幅也逐渐减少. 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动.在以下的讨论中,我们只考虑摩擦和阻力引 起的阻尼振动. 当物体在流体中以不太大的速率作相对运动时,物体所受流体的阻力主要是黏性 阻力.黏性阻力的大小与物体运动的速率成正比,方向与运动方向相反,可以表示为 dt dx f = − = − （11.16) 式中称为阻力系数,负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反. 考虑了黏性阻力,物体的振动方程可以写为 0 2 2 + + kx = dt dx dt d x m (11.17) 令 k m 2 m 2 0 = / , = / 式(11.17)可以改写为 2 0 2 2 0 2 + + x = dt dx dt d x (11.18) 式中 0 称为振动系统的固有角频率,β称为阻尼常量,它取决于阻力系数.在阻尼较小 的情况下,β2＜ω2 0 ,式(11.18)的解可以表示为 cos( ) ( ) 2 2 = 0 + = 0 − − x A e t t (11.19) A0 和φ为积分常量,可由初始条件决定.式(11.19)所表示的位移与时间的关系,可描绘成 图11.5中曲线a所示的情形.由图可以看出, 阻尼振动不是严格的周期运动,因为位移 不能在每一个周期后恢复原值,也是一种 准周期性运动.若与无阻尼的情况相比较, 阻尼振动的周期可表示为 2 2 0 2 2 − = T = (11.21)
可见,由于阻尼的存在周期变长了,频率变小了,即振动变慢了 在阻尼过大,即过阻尼的情况下,B2>20式(1.19)不再是方程(1118)的解了这 时运动已完全不是周期性的了由于阻尼足够大,运动进行得太慢偏离平衡位置的距离 随时间按指数规律衰减以致需要相当长的时间系统才能到达平衡位置如图11.5中曲 线b所示 在工程技术上常根据需要控制阻尼的大小以实现控制系统运动状态的目的.例如, 天平和高灵敏电流计,要求指针(或光标)迅速地、无振荡地达到平衡位置,以便尽快地读 数需把系统控制在临界阻尼状态,就是图11.5中曲线c的情形,这时β2=ω2 作业(P98):1.19
10 可见,由于阻尼的存在,周期变长了,频率变小了,即振动变慢了. 在阻尼过大,即过阻尼的情况下, β2>ω2 0 式(11.19)不再是方程(11.18)的解了.这 时运动已完全不是周期性的了.由于阻尼足够大,运动进行得太慢,偏离平衡位置的距离 随时间按指数规律衰减,以致需要相当长的时间系统才能到达平衡位置,如图 11.5 中曲 线 b 所示. 在工程技术上,常根据需要控制阻尼的大小,以实现控制系统运动状态的目的.例如, 天平和高灵敏电流计,要求指针(或光标)迅速地、无振荡地达到平衡位置,以便尽快地读 数,需把系统控制在临界阻尼状态,就是图 11.5 中曲线 c 的情形,这时β2=ω2 0 . 作业(P98)：11.19