第9章导体和电介质中的静电场 上一章,我们讨论了真空中的静电场。实际上,在静电场中总是有导体或电介质存在的,而 且静电场的一些应用都要涉及静电场中导体和电介质的行为,以及它们对静电场的影响 本章简介: 我们讨论静电场中的导体和电介质。主要内容有:静电场中导体的电学性质,电介质的极化 和相对电容率的物理意义,有介质时的高斯定理,电容器及其联接,电场的能量等。 相互作用 静电场导体、电介质 相互影响 仅于各向同「性的均匀金感应电荷极化电荷 属导体和电介质 基本定理的特殊应用 电荷重新分布 影响原有电场 静电平衡状态 电场重新分布 本章所讨论的问题,不仅在理论上有重大的意义,可以加深对静电场的认识,而且在应用上 也有重大作用。 内容与时间分布: 1.静电感应和静电平衡条件:静电平衡条件下导体上电荷的分布;静电屏蔽及其应用(50 分钟) 2.电容器:电容器的联接 (50分钟) 3.电介质的极化;电介质的静电场 (50分钟) 4.有电介质时的高斯定理;静电场的能量能量密度(50分钟) 重点与难点 1.静电平衡:静电平衡时导体上电荷的分布 2.电容器的概念;电容器的并联和串联 3.电介质极化机理;电极化强度以及极化电荷和自由电荷的关系 4.有电介质时的高斯定理;静电场能量;能量密度 基本要求; 1.理解静电感应和静电平衡条件;掌握静电平衡条件下导体上电荷的分布的特点;了解静电 屏蔽及其应用 2.掌握电容器的概念和特殊情况下电容器的计算:掌握电容器的串联和并联的特点;了解电
介质对电容的影响和相对电容率的概念 3.理解电介质的极化的机理;掌握电极化强度的物理意义;掌握电介质中的极化电荷和自由 电荷的关系 4.掌握有电介质时的高斯定理;掌握静电场的能量的计算方法;掌握能量密度的概念 章节目录: §9-1静电场中的导体 §9-2电容器的电容 §9—3电介质及其极化 §9-4电介质中的静电场 §9-5有介质时的高斯定理电位移 §9-6静电场的能量
§9—1静电场中的导体 1.导体的静电平衡条件( Electrostatic Equilibrium Condition) 1)静电感应 从微观角度来看,金属导体是由大量带正电的晶格 点阵和带负电自由电子构成,晶格不动,相当于骨架, 而自由电子可以自由运动,充满整个导体,是公有化的 。。E 金属导体在电结构上的重要特点是有自由电子,当导体 不带电或不受外电场作用时,导体中的自由电子作无规 则的热运动,无论对整个导体或对导体中某一个小部分 来说,自由电子的负电荷和晶体点阵的正电荷的总量是 民°°° 相等的,宏观上导体呈现电中性。 当导体处于外电场E中时,导体中的自由电子作无 规则的热运动的同时,还将在电场力的作用下作定向运 动,引起导体中电荷的重新分布。结果在导体一侧因电子的堆积而出现负电荷,在另一侧因相对 缺少负电荷而出现正电荷。这就是静电感应现象,出现的电荷叫感应电荷。 我们把导体放在静电场中,导体中的自由电子将在电场力的作用下作宏观定向运动,使导体 中电荷重新分布而呈现出带电的现象,叫作静电感应现象。 静电感应是非平衡态问题,在静电学中,我们只讨论静电场与导体之间通过相互作用达到静 电平衡状态以后,电荷与电荷的分布问题。 2)静电平衡状态 ⊙ 在匀强电场中放入一块金属导体板,在电场力的作用下,金属板内部的自由电子将逆着电场 的方向运动,使得金属板的两个侧面出现了等量异号的电荷。这些电荷将在金属板的内部建立 个附加电场,其场强E"与原来的场强E0的方向相反。金属板内部的场强为:E=E+E′。开始 时,E'<E,金属板内部的场强不为零,自由电子继续运动,使得E′增大。这个过程一直延续 到导体内部的场强为零时为止,即E=0(E′=E0)。此时导体内没有电荷作定向运动,导体处于 静电平衡状态,电场的分布也不随时间变化。 不管导体原来是否带电和有无外电场的作用,导体内部和表面都没有电荷的宏观定向运动的 状态称为导体的静电平衡状态
E E 在达到静电平衡时,导体内部的场强都等于零,但这并不意味着外电场不进入内部,而是进 入导体内部的外电场被导体在静电感应时出现的感应电荷所激发的电场相抵消。一般的说,由于 导体上出现了感应电荷,它将影响和改变原来电场的分布,下图表明了外电场和感应电荷所激发 的电场叠加后的分布情况 3)静电平衡条件——导体达到静电平衡时必须满足的条件 (1)自由电子受力描述: 只有当导体中任意一个自由电子所受到的合力为零,表面自由电子所受的合力垂直导体表面 时,它们才不作宏观的定向运动,即内部:f=eE=0;表面:f=eE方向垂直导体表面向外 (2)电场描述 内部E=0,若不为零,则自由电子将作定向运动,即没有达到静电平衡状态。表面E垂直 导体表面。 证明:假设导体表面电场强度的方向与导体表面不垂直,即切向 分量E.≠0,自由电子受到该切向分量相应的电场力的作用,将沿导 体表面有宏观定向运动,导体未达到静电平衡状态,和命题条件矛盾, E 则导体表面的场强垂直于导体表面。 (3)电势描述: 导体是个等势体;导体表面是等势面。 导体的静电平衡条件,也可以用电势来描述。由于在静电平衡时, 导体内部的电场强度为零,因此,如在导体内取任意两点A和B,这两点间的电势差U,即电场 强度沿A和B两点间任意路径的线积分应为零,即 U=「E.a=0 这表明,在静电平衡时,导体内任意两点间的电势是相等的。至于导体的表面,由于在静电 平衡时,导体表面的电场强度与表面垂直,电场强度沿表面的分量,即E的切向分量E为零,因 此导体表面上任意两点的电势差亦应为零,即 E.·d=0
故在静电平衡时,导体表面为一等势面。不言而喻,导体内部与导体表面的电势是相等的, 否则就仍会发生电荷的定向运动。总之,当导体处于静电平衡时,导体上的电势处处相等,导体 为一等势体 导体的静电平衡状态是由导体的电结构特征和静电平衡的要求决定的,与导体的形状无关。 2、静电平衡条件下导体上的电荷分布 在静电平衡时,带电导体的电荷分布可运用高斯定理来讨论。如下图所示,有一带电导体处 于平衡状态,由于在静电平衡时,导体内的E为零,所以通过导体内任意高斯面的电场强度通量 亦必为零,即 ●P S+ 手E·=0 于是根据高斯定理,此高斯面内所包围的电荷的代数和必然为零。所以可得到如下结论:在 静电平衡时,导体内部处处没有净电荷,电荷只能分布在导体的表面上 如果带电导体内部有空腔存在,而且在空腔内没有其它带电体,可以利用高斯定理证明不仅 导体内部没有净电荷,而且在空腔的内表面上处处也不能有净电荷存在,电荷只能分布在导体的 外表面上 3、导体表面附近的电场 讨论导体表面的电荷面密度与其邻近处场强的关系。设在导体表面取面积元△S,当△S很小 时,其上的电荷可当作均匀分布的,设其电荷面密度为o,则面积元△S上的电量为△q=σ△S。围 绕面积元ΔS作如图所示的扁圆柱形高斯面,下底面处于导体内部,场强为零,通过下底面的电场 强度的通量为零:;在侧面,要么场强为零,要么场强与侧面 的法线垂直,所以通过侧面的电场强度的通量也为零;故通 过上底面的电场强度的通量就是通过高斯面的电场强度的通 量。由高斯定理得 E·dS=EAS△qa△S 有E 即:带电导体处于静电平衡时,导体表面之外邻近表面处的场强,其数值与该处电荷面密度 成正比,其方向与导体表面垂直。当导体带正电时,电场强度的方向垂直表面向外;当导体带负
电时,电场强度的方向垂直表面指向导体内。应该注意的是,导体表面紧邻处的场强是所有电荷 的贡献之和,而不是该处表面上电荷产生的。 至于带电导体达到静电平衡后导体表面的电荷是如何分布的,则是一个复杂问题,定量研究 是很困难的,因为导体表面的电荷分布不仅与导体本身的形状有关,而且还与导体周围的环境有 关。即使对于孤立导体,其表面电荷面密度σ与曲率半径p之间也不存在单一的函数关系。 般地说,导体的曲率半径越小的地方,电荷密度越大,其表面的电场强度越大。当电场强 度大到足以使导体表面的空气电离时,导体上的电荷就会通过这部分电离的空气释放而形成尖端 放电。 尖端放电会使电能白白损耗,还会干扰精密测量和通讯 然而尖端放电也有很广的用途 注意: (1)E∝σ; (2)E由导体上及导体外全部电荷所产生的合场强,而非仅由导体表 面该点处的电荷面密度所产生。 例如:孤立的半径为R的均匀带电球面,球面外邻近处P点的场强大+R O 小为Ep q 由整个球面上电荷共同产生 4TeR 带电球附近有点电荷q1时,同一P点处的场强由球面上原有电荷 和点电荷q,以及其在球面上的感应电荷所共同产生即 Ep=E+E+E感应电’仍然满足EP=。万 R 3)静电平衡下的孤立导体,其表面某处面电荷密度σ与该表面曲率有 关,曲率越小的地方,电荷密度σ越大,∝1/R。 (4)尖端放电 对于有尖端的带电导体,尖端处电荷面密度大,则导体表面邻 近处场强也特别大。当场强超过空气的击穿场强时,就会产生空气 被电离的放电现象,称为尖端放电。 应用: 火花放电设备的电极往往做成尖端形状 避雷针也是根据尖端放电的原理做成的,是防止雷击的重要设备。 不利的一面:浪费电能。 避免方法:金属元件尽量做成球形,并使导体表面尽可能的光滑。 4、空腔导体 如果有一空腔的导体带有电荷+q[图(a)],这些电荷在空腔导体的内外表面上如何分布 呢?若在导体内取高斯面S,由于在静电平衡时,导体内的电场强度为零,所以有 fE. ds =29
这说明在空腔的内表面上没有净电荷。然而在空腔内表面的不同部位是否有可能出现符号相 反的正、负电荷,而使内表面上净电荷为零的情况呢[图(b)]? q 高斯面 A + + (a) 我们设想如果在空腔内表面点A附近出现+q’,而在空腔内表面点B附近出现-q′,则在空 腔内就要有始于正电荷而终于负电荷的电场线。也就是说,空腔内的电场强度就不等于零了。这 时,电场强度沿由A至B的线积分[E·也将不等于零。于是,在A,B两点之间就存在电势 差。显然,这与导体在静电平衡时为一等势体的条件相 违背的。因此,带电的空腔导体在静电平衡时,空腔内 表面不会以任何形式分布电荷,电荷只能全部分布在空 百(计+q2 腔导体的外表面上。 如果有一空腔的导体带有电荷+q2,在空腔内部有 电荷+q1,在导体内取一高斯面,则由静电平衡时,导 体内部的场强为零,可知通过此高斯面的电场强度通量 为零,因而高斯面所包围的电荷的代数和为零。故可得空腔的内表面有感生电荷-q,空腔的外表 面有感生电荷+q1。这时空腔的导体外表面带电为q1+q2 空腔内部有一电荷+q,这时腔内出现由电荷+q及腔内表面上的电荷分布所决定的电场,这个 电场与导体外其它带电体的分布无关。腔外的电场由空腔导体外表面的电荷分布决定与腔内情况 无关,腔内电荷在不同的位置只改变腔内表面电荷的分布,绝不会改变腔外电荷的分布,当把空 腔导体接地时,则导体表面的感应电荷因接地而被中和,腔外的电场随之消失。 对空腔导体总结如下: (1)空腔导体内部无带电体 无论空腔导体是否带电、是否处于外电场中,空腔导体都具有下列性质:
①空腔内部及导体内部电场强度处处为零,它们形成等电势区。 ②空腔内表面不带任何电荷。 (2)腔内有带电体 ①导体中场强处处为零 ②空腔内部的电场决定于腔内带电体,空腔外的电场决定于空腔外表面的电荷分布。 ③空腔的内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号 ④导体接地,则空腔内带电体的电荷变化将不再影响导体外的电场 5、静电屏蔽( Eletrostatic Shielding) 1)静电屏蔽现象 综合以上讨论,可归纳如下:在静电平衡状态下,空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部 的电场分布;一个接地的空腔导体,空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响。这种使导体空 腔内的电场不受外界的影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界的影响隔绝的现象,称为 静电屏蔽。 2)原理 (1)利用空腔导体来屏蔽外电场 个空腔的导体放在静电场中,导体内部的场强为零,这样就可以利用空腔导体来屏蔽外电 场,使空腔内的物体不受外电场的影响。 (2)利用空腔导体来屏蔽内电场 个空腔导体内部带有电荷,放在静电场中,导体内部的场强为零,则空腔导体内部表面上 将感应异号电荷,外表面将感应同号电荷。若把空腔外表面接地,则空腔外表面的电荷将和从地 面上来的电荷中和,空腔外面的电场也就消失了。这样空腔内的带电体对空腔外就不会产生任何 影响 因而,静电屏蔽的原理:一个接地的空腔导体可以隔离内、外电场的影响。 3)应用 在精密仪器外面加上金属网或金属外壳做成的外罩: 为使高压设备不影响其他仪器设备的正常工作,可以把它的金属外壳接地: 高压输电线路的维修和检测等工作中的自由带电作业新技术。 内屏蔽 外屏蔽 总之,空腔导体(无论接地与否)将使腔内空间不受外电场的影响,而接地空腔导体将使外 部空间不受空腔內的电场的影响,称之为静电屏蔽现象。例子:屏蔽服、屏蔽线、金属网。 例9-1外、内半径R1、R2的金属球壳中放一半径为r的金属球,球和球壳带电量分别 为q和Q。试求 (1)小球的电势,球壳内外表面的电势; (2)小球与球壳的电势差 (3)若球壳接地,再求小球与球壳的电势差
解:(1)由对称性,小球与球壳内外表面的电荷分布是均匀的。球壳内外表面感应的电荷为-q 和+q,而Q只能分布在球壳的外表面上,则球壳的外表面上的总电荷为q+Q。 小球与球壳内外表面的电势分别为: q-9+9+ R, R 1=1(9-9+9+g9+Q 4EoR R eoR 1(qq⊥q+9)q+Q G0(R2R2R2丿4z0R2 球壳内外表面的电势相等。 (2)两球的电势差为 R (3)若外球壳接地,则球壳外表面的电荷消失,两球的电势分别为 4TEr R 两球的电势差仍为-=q(1 R1 例9-2两块大导体平板,面积为S,分别带电q1和q2,两板间距远小于板的线度。求 平板各表面的电荷密度。 解:电荷守恒G1S+a2S=q1,σ3S+04S=q2 导体板内E=0 E 2E。2E。2c2 B q-q q1+q2 2S
§92电容器的电容 电容器是储存电荷和电能的元件,在电工和电气设备中得到广泛的应用;电容是电学中的 个重要的物理量,本节讨论电容、电容器以及电容器的联接。 1、孤立导体的电容( Capacitance) 在真空中,一个孤立导体的电势与其所带的电量和形状有关(所谓孤立导体是指其他导体或 带电体都离它足够远,以至于其他导体或带电体对它的影响可以忽略不计)。例如,真空中的一个 半径为R、带电量为Q的孤立球形导体的电势为 4丌E0R 从上式可以看出,当电势一定时,球的半径越大,则它所带的电量也越多,但其电量与 电势的比值却是一个常量,只与导体的形状有关,由此我们可以引入电容的概念。 2.电容的定义( Capacity) 孤立导体所带的电量与其电势的比值叫做孤立导体的电容,用C表示,即 O 对于孤立的球形导体,电容为 ,Q 4丌EnR 只与导体的形状和尺寸有关。 3.电容的单位:法拉( Farad) F=IC V 微法1uF=10°F 皮法1pF=1012F 4.关于电容的说明: 导体的电容是导体的一种性质,与导体是否带电无关 导体的电容是反映导体储存电荷或电能的能力的物理量 导体的电容只与导体本身的性质和尺寸有关 2、电容器的电容 1)电容器的定义 实际上,孤立导体是不存在的,导体的 周围总是存在其它导体,这样会改变原来的 B A 电场,当然也要影响导体的电容。现在我们 来讨论导体系统的电容。 q 两个带有等值而异号电荷的导体所组 成的系统,叫做电容器( Capacitor)。电容 器可以用来储存电荷和能量。 (1)电容器电容的大小取决于极板的形 状、大小、相对位置以及电介质的电容率