第四章刚体的转动 简介 本章从质点运动的知识出发,重点介绍刚体定轴转动的规律,主要内容有:角速度和角加速度、转动 惯量、力矩、转动动能、角动量等物理量,转动定律和角动量守恒定律。 内容与时间分布 1.刚体的平动与转动,刚体的定轴转动;力矩(50分钟 2.刚体定轴转动定律、转动惯量 (50分钟 3.力矩作功、刚体转动的动能定理 (50分钟 4.刚体的角动量、角动量守恒定律 (50分钟 5.*刚体的平面平行运动;本章小结 (50分钟) 重点与难点: 重点力矩M、转动惯量J和转动定律;定轴转动的动能和动能定理;刚体对于转轴的角动量、角动 量定理和角动量守恒定律及其适用条件。 难点转动惯量以及与其有关的转动动能、角动量 基本要求 1.理解刚体的模型,刚体的平动和转动;掌握定轴转动的物理意义及其特点,并掌握角量与线量的 关系 2.掌握力矩的概念,会计算力矩,掌握刚体定轴转动定律;能求解定轴转动刚体和质点联动问题 掌握刚体转动惯量的概念及其计算方法 3.掌握力矩的功,刚体的转动动能、刚体定轴转动的动能定理;能对含有定轴刚体在内的系统正确 应用机械能守恒定律; 4.掌握质点、刚体定轴转动的角动量的意义和角动量定理、角动量守恒定律的条件,并能联系机械 能守恒定律及动量守恒定律解决简单的力学问题: 5.了解刚体的平面运动 章节目录 §4-1刚体的平动、转动和定轴转动 §4-2力矩转动定律转动惯量 §4一3力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 §4-4角动量角动量守恒定律 §4-5刚体的平面平行运动 前面几章,我们研究了质点的运动规律。对机械运动的讨论,仅限于对质点运动的研究是远远不够的。 这章来讨论机械运动的另一个领域—刚体( Rigid Body)的运动 所谓刚体是指在外力的作用下,不改变形状和大小的物体,或者说刚体上任何两点之间都不发生相对 运动。刚体和质点一样,都是客观物体有条件的、科学的抽象,是理想化的模型 刚体的运动一般是比较复杂的,但不论多么复杂的运动都可以看成是平动和转动的合成或迭加。本章 主要讨论刚体的定轴转动及其所遵循的规律。内容包括刚体运动学和刚体动力学。 本章的每一个概念和定理、定律,都和质点力学的内容是相对应的,在学习时,应该注意使用类比的 方法,联想记忆
§4-1刚体的平动、转动和定轴转动 、刚体( Rigid body)的概念 般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动。在质点力学的讨 论中,只研究了物体运动中最常见的一种——平动,其他的运动被作为次要的东西暂时忽略了,结果物体 被简化为质点。在质点的平动问题解决以后,平动退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有 形状大小的物体。在实践中我们都知道,物体在力的作用下形状大小都要变化。例如,一块棉花,原来的 形状设为正方形,现在用手可以把它捏成圆形、长方形或其他形状:也可以把他压得很小,放开后它的体 积又可变得较大,总之在力的作用下,它的形状大小都发生了变化。但是在有些问题中,这种变化很不明 显,例如,人们经常爬在桌子上写字,但在短时间内,并没有发现桌子的形状大小有明显的变化。这时就 可以将它的微小变化忽略掉。我们把这样的物体叫刚体。所谓刚体,是指在外力的作用下,形状和大小不 改变的物体。也就是说,物体内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体 刚体是实际物体的一个理想化的物理模型,它是指各部分的相对位置在运动中(无论有无外力作用) 均保持不变的物体。即运动过程中没有形变的物体。(如下图是刚体的实例) 说明 I)刚体和质点一样是一个理想化的物理模型 2)刚体可以看成是由无数质点组成的质点系,在这个质点系中,质点之间的相对位置保持不变。 3)研究方法:先讨论每个质点的运动规律,然后把构成刚体的全部质点的运动加以综合,就可以得 到整个刚体的运动规律。 刚体的运动 前面讨论刚体的一般运动都可以看成是平动和转动(转动又可分为定轴转动和非定轴转动)的叠加 或一种转动与另外一种转动的叠加。下面我们分别讨论 1.平动:刚体上任意两点的连成的直线在运动过程中,其指向或说方位在各个时刻始终保持不变的 运动叫做平动。 刚体平动的特点: 1)、刚体上各点的运动轨迹完全相同
2)、刚体上任意两点,在任意时刻它们具有完全相同的位移、速度和加速度 3)、刚体上任意一点的运动情况可以代表刚体上所有各点的运动情况,所以这种情况下,刚体可以视 为质点 2.转动和定轴转动: 1)转动:刚体运动时,刚体上各点都绕同一直线做圆周运动,这种运动称为转动。这条直线叫做转 般转动:转轴的位置或方向随时间变化—瞬时转动 定轴转动:若刚体转动时,在选定的参照系中其转轴是不动的,这种转动称为定轴转动。例如:门的 转动 定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动,转轴方向不 断变化。例如:陀螺的转动 陀螺 般运动:刚体不受任何限制的任意运动。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。它可分解 为以下两种刚体的基本运动: 1)随基点0(可任选)的平动; 2)绕通过基点O的瞬时轴的定点转动。 例如:车轮的运动。车轮(A点)绕中心(兰线地方)转动,中心的平动。 刚体的定轴转动( Fixed axis rotation)。 1、定轴转动的角量描述 刚体作定轴转动时,刚体上的各点都绕定轴作圆周运 动。虽然刚体上各点的速度和加速度都是不同的,但是由 于刚体上各个质点之间的相对位置不变,因而绕定轴转动 的刚体上所有点在同一时间内都具有相同的角位移、角速 度和角加速度,故采用角量描述比较方便。为此引入角量: 角位置、角位移、角速度、角加速度。 de O 在刚体内选取一个垂直于转轴的平面(上图x面)作 P() 为参考平面,在此平面内取一个坐标系,并把平面与转轴 的交点作为坐标系的原点。这样刚体中任一质点的位置就 可用坐标系中的一个位置矢量F来表示。 角位置:6(角坐标)
定义:位置矢量与坐标轴(ox轴)的夹角 t时刻:A点,角位置O 1+4t时刻:B点,角位置O+△θ。 单位:弧度,rad 2.角位移:△O— Angular Displacement 义:d时间内角位置的增量 规定:沿逆时针方向转向的角位移取正值;沿顺时针方向转向的角位移取负值 单位:rad 3.角速度o:— Angular Velocity B 平均角速度O= 瞬时角速度 △6 o=lim 角速度ω是矢量,它的方向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则确定,即右手的四指沿刚体的 转动方向弯曲,大拇指伸直所指的方向就是角速度O的方向。但在定轴转动的情况下,沿轴线方向只有 两个,可用正、负号表示它的方向。若取沿轴向上为正,向下必为负。(或“+”示逆时针转动;“-”示顺 时针转动) 常矢量 匀速转动 ≠常矢量 变速转动。 单位:rads 4.角加速度a: Angular acceleration 平均角加速度a= do d e 瞬时角加速度a=lim 匀加速转动;a≠ const变加速转动 a,ω同号:加速转动a,ω异号:减速转动 单位rad 2、转动公式 )匀速转动(t=0,0=00 角加速度a=0 角速度 (= const 角位移 △b=Ot 角位置 6=6+at t+△t 2)匀变速转动(t= 角加速度a= const 角速度 0=0+a t 角位移△ot+=at 角位置 0=6n+n、、r2
3、角量与线量的关系 设:半径R,角位移△O 弧长△s=R·△b 线速度 Ns=1imk△t Ro 法向加速度: V- (Ro R R 切向加速度 do dt dt 结论:刚体作定轴转动时,在某一时刻刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的;而 各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比 例1.一转动的轮子由于摩擦力矩的作用,在5s内角速度由15rads匀减速地降到10rads。求:(1) 角加速度;(2)在此5s内转过的圈数;(3)还需要多少时间轮子停止转动 解:根据题意,角加速度为恒量。(1)a=o、10-5≠-rads2 (2)6-60 2102-152 =62.5rad 2a 2×(-1) 0-b62.5 ≈10(圈) 2×3.14 (3)O=1Orad/s,a=0,t 00-10
§4-2力矩转动定律转动惯量 在上一节中,讨论了刚体定轴转动的运动学问题,本节我们讨论刚体定轴转动的动力学问题,即研究 刚体获得角加速度的原因和刚体定轴转动所遵循的规律。为此我们首先引入力矩概念。 力矩( Moment of Force) 外力对刚体的作用效果,不仅取决于力的大小、方向,而且还与力的作用点的位置有关。这也是大家 熟悉的力的三要素。力通过转轴时,转动状态不改变;力离转轴远时,转动状态容易改变;力离转轴近时, 转动状态不易改变。引入力矩这个物理量来描述力对刚体转动的 影响 F 1.力矩: 如图所示,在一个作定轴转动的刚体上,有一外力作用于P F, 点,力在垂直转轴的转动平面内分量为F,则外力对转轴的力矩 为 M=F2d= F2rsin o (d=rsin 其中φ是F2与F之间的夹角。 写成矢量式M=F×F单位:N·m 力矩是矢量。在定轴转动中,力矩的方向总是沿着转轴的。其指向仍是右手螺旋法则:把右手拇指伸 直,其余四指由矢径,经小于180°的角度弯向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向。 M F 2.内力矩 刚体内任意两点之间的相互作用力,大小相等,方向相反,在同一条直线上 两力的力臂相等,因而两力的力矩相等,方向相反。故两个内力的合力矩为零。 如右图中的f2、f21是一对作用与反作用力,对刚体米说是一对内力,它们对 转轴的力臂都是d,所以合力矩为零 3.讨论 1)力与转轴平行,则M=0 2)若外力F不在转动平面内,则可把该力分解为两个分力。一个与转轴平行的分力F1,一个在垂直 与转轴平面内的分力F2,只有分力F2才对刚体的转动状态有影响 3)力矩的单位和功的单位不是一回事,力矩的单位不能写成焦耳 对于定轴转动来说,力矩M的方向只有两个,沿转轴方向或沿转轴方向反方向,所以可以用正、负
号表示其方向。 O 二、转动定律 1.质点 我们先讨论质量为m的质点作半径为r圆周运动。设某时刻质点位于P点,所受的切向力 F 其对转轴的力矩为 M=Fr=mra 2.刚体 把刚体看成是由许多质点所组成的。设第i个质点的质量为△m,所受的外力为F,内力为f,则由 上面的讨论可知 M=△mr:a 其中M,为外力矩和内力矩之和。 对于作定轴转动的刚体,它的力矩只有两个方向,所以可求 代数和。即∑M=∑△mra 转动惯量 则得 M=Ja 写成矢量形式M=J 由前面的讨论可知,内力矩的和为零,故刚体的转动定律:刚体在合外力矩的作用下,所获得的角加 速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 3.说明: 1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的 2)在刚体力学中转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。 、转动惯量——描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 1.转动惯量 应用刚体的定轴转动定律时,我们需要先求出刚体对固定转轴的转动惯量。而转动惯量的定义式为 ∑△m2。也就是说,刚体的转动惯量等于刚体中各质元的质量与它们到该转轴的垂直距离平方之 积的和。 2.转动惯量的计算:点→线→面→体 对于离散型J=∑mn2m、r—第i个质点的质量和到转轴的垂直距离
对于连续型J=rdm 单位:kg:m 维 dm= ndl λ—线密度:单位长度的质量 维 dm= ads 面密度:单位面积的质量 维 体密度:单位体积的质量 3.说明 1)转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 2)对于儿何形状规则的刚体,则其转动惯量可以用积分进行计算,即J=r2cm 3)几何形状不规则刚体的J,由实验测定。 4)转动惯量有可加性,当一个刚体由几部分组成时,可以分别计算各个部分对同一转轴的转动惯量, 然后把结果相加就可以得到整个刚体的转动惯量: 例2.质量为m、长为l的均匀细棒。求通过棒中心、端点并与棒垂直的轴的转动惯量 解:设细棒的线密度为λ。如图所示,取距离转轴为r处的质量元dr,该质元的质量为 dm=A dr 则此质元的转动惯量为 d=r2dm=2 r2dr 付于OO轴,积分上式得 元2b=-x13 对于AN轴,积分得=(x2b=12xp=1mP2 两者之差为 4.平行轴定理( Parallel Axis Theoren) 刚体对任意轴的转动惯量J,等于它对通过刚体质心且与该轴线 平行的轴的转动惯量为J,加上刚体的质量与两轴距离d的平方的 乘积。即 式中m为刚体的质量,d为两平行轴之间的距离 这一关系称为平行轴定理。 平行 证明:在x平面内,有一个质量为m的刚体,通过刚 体质心的轴为Z,它与x平面垂直;另一轴线Z与通过质心的轴线Z相平行,它们之间的距 离为d。在刚体上的任一点P有一个质量元Δm,以质心为坐标原点0,P点到质心的距离为 OP-=x+y P点到0’点的距离为 OP2=x+y+d P对Z轴的转动惯量为 △mOP2=Mm(2+(y+)=△m(x2+y2+42+2yl) △m(OP2+d2+2yd)
对刚体上所有的质点求和得 J=∑△mOP2=∑△m(Op2+d2+2yl) ∑△mOP2+∑Mm:d2+∑△m:2yl 即J=J+mdl2+2d∑△m:y 根据质心的定义式 y 所以 因而 J=.+md 5.垂直轴定理( Perpendicular Axis Theorem) 对于薄板刚体,若建立坐标系Oz,(可参上图)其中z轴与薄板垂直,Oy平面在薄板内,则薄板 刚体对z轴(质心)的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和,即 J =J+J 证明:根据刚体转动惯量的定义有: J=∑n△m=∑(x2+y2)m=∑xMm+∑y2△m1=J+J 6.刚体的重力势能 在重力场中,刚体也具有一定的重力势能,它等于刚体上各个质点的重力势能之和。可以证明,刚体 的重力势能为 E,=mg 其中m为刚体的质量,h为刚体重心距势能零点的高度 例3.质量为m、半径为R的均匀圆盘。求通过圆盘中心并与圆盘垂直的轴的转动惯量 解:设圆盘的面密度为σ。如图所示,在圆盘上取半径为r宽为d的圆环,此圆环的质量为 dm=2丌tdr·a 此圆环的转动惯量为 J=rdm=r2 2r ro dr=2r rodr 积分得J=[2xr3abh=2zRa=mR2 例4.利用平行轴定理求通过园盘边沿轴的转动惯量 解:分析:上题是求通过质心的转动惯量,由平行轴定理得 =+md2=1mg2+mR2=3 例5.利用正交轴定理求通过园盘直径轴的转动惯量 解:分析:例2是求通过质心的转动惯量,由正交轴定理得 J=J+J
又因为J=J 所以J=J=-mR 总结:影响刚体转动惯量的因素 刚体的总质量:形状、大小和转轴都相同的匀质刚体,总质量越大,则转动惯量越大 2.刚体的质量分布:形状、大小和转轴位置都相同,园环的转动惯量大于圆盘 3.转轴位置:同一刚体,对不同位置的转轴,其转动惯量是不同的 四、转动定律的应用 题目类型: 已知转动惯量和力矩,求角加速度 2.已知转动惯量和角加速度,求力矩 3.已知力矩和角加速度,求转动惯量 应用转动定律解题时,应该注意以下几点: 力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的 2.系统中既有转动物体又有平动物体时,则对转动物体按转动定律建立方程,对于平动物体按牛顿 定律建立方程。 3.注意应用角量与线量的关系 例6.如图所示,一根轻绳跨过定滑轮,其两端分别悬挂着质量为m1和m的物体,且m2>m1。滑轮 半径为R,质量为m3(可视为匀质國盘),绳子不能伸长,绳与滑 轮间也无相对滑动。忽略轴处摩擦。试求物体的加速度和绳子的张 力 解:分析:由题意可知,m和m2作平动,m3作转动。将m、 m2和m3隔离,作受力分析如图所示。由于滑轮的质量不能忽略,R 所以绳子两边的张力不等,但是有 m3g T2=T) 因为绳子不能伸长,所以m1和m2的加速度大小相同。根据牛 顿第二定律,并以各自的正方向为正方向,有 2g m1g 71-m18=m2am2g-72=m2a 图4-4 对于m3来说,取逆时针为转动正方向。由于重力和轴承支持力 对轴无力矩作用,根据转动定律有 72R-71R=Ja 其中J 因为绳与滑轮之间无相对滑动,故有a=Ra 求解上述方程,可得 m|2m,+ m2|2m1 72=1 m1+m2+-m3 m1+m2+-m3 讨论:当m2=0时 2m, m,g 72 m1+m2 这类问题在高中就遇到过
