第十四章机械振动 第十四章机械振动 在日常生活中振动的现象是很多的。如小鸟落在细树枝上,树枝要振动;人说话时喉头声带要振动 人听话时耳朵鼓膜要振动等等。这些都是能看见的振动,那看不见的物质(微观)有无振动,从分子运动 论的讨论我们知道,组成物质的分子也要在其平衡位置附近振动,可见不论宏观的、微观的物质都有振动, 也就是说振动广泛存在于一切物质中。那么,什么是振动?从狭义上说,通常把具有时间周期性的运动称 为振动。如打击、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。广义地说,任何一个物理量在某一数值 附近作周期性的变化,都称为振动。变化的物理量称为振动量,它可以是力学量,电学量或其它物理量 例如:交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。振动中最简单、最直观的振动是机械振动, 所以我们先讨论机械振动 什么是机械振动( Mechanical Vibration) 机械振动是最直观的振动,它是物体在一定位置附近的来回往复的运动。如活塞的运动、钟摆的摆 等都是机械振动。 2.研究机械振动的意义 1)不同类型的振动虽然有本质的区别,但是仅就振动过程而言,振动量随时间的变化关系,往往遵 循相同的数学规律,从而使得不同本质的振动具有相同的描述方法。 2)振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式,研究机械振动的规律也是研究其 它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础,我们常说振动是波动的根源,而波动是振动 的传播过程。 3.机械振动的特点 1)有平衡点。 2)且具有周期性 4.机械振动的分类 1)按振动规律分:简谐振动、非简谐振动、随机振动 2)按产生振动原因分:自由、受迫、自激、参变振动 3)按自由度分:单自由度系统、多自由度系统振动 4)按振动位移分:角振动、线振动。 5)按系统参数特征分:线性、非线性振动 本章主要硏究简谐振动(是理想模型)的规律,也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等 本章内容有 §14-1简谐运动 §14-2简谐运动的振幅、周期(频率)与相位 §14-3旋转矢量 §14-4单摆与复摆 简谐运动的能量 §14-6简谐运动的合成 §14—7阻尼振动、受迫振动、共振
第十四章机械振动 §14-1简谐运动 Simple Harmonic vibration 般的振动都是很复杂的,即是小鸟落在细树枝上的振动也是如此。在一切振动中,最简单和最基本 的振动称为简谐运动,其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。本节以弹簧振子为例讨论简谐 振动的特征及其运动规律。那么,讨论简谐振动会不会脱离实际而成为空想,可以证明,任何复杂的运动 都可以看成是若干个简谐振动的合成,反过来,即一个复杂的运动都可以按傅里叶级数分解为若干个简谐 振动 简谐振动的基本概念 1.弹簧振子:( harmonic Oscillator), 弹簧振子:由无质量的弹簧和无形变的小球组成的系统叫 弹簧振子。它是一个理想化的模型 2.弹簧振子运动的定性分析 轻质弹簧一端固定,另一端系一质量为m的物体,置于光|(b 滑的水平面上。设在0点弹簧没有形变,此处物体所受的合力 为零,称0点为平衡位置。现在我们用手把物体拉离平衡位置|(c 到B点且瞬时静止,该物体在B点,水平方向受外力(手的拉 力)和弹簧的弹性力,在竖直方向受重力和平面的支持力,由(d 于物体静止故这两对力互相平衡。当撤消外力(即撒手后) 物体在(水平方向)弹性力的作用下,沿平面运动,由胡克定(e) 律知道,随着位移变小,弹性力也变小,到达平衡位置时由于 惯性物体并不停止,而是继续压缩弹簧直到C点。在C点物体 压缩弹簧达到最大,瞬时静止后在弹性力的作用下小球继续运动〔其他的运动分析同此)等。如果该系统 在运动过程中没有耗散力的作用,则一经触发,就会沿平衡位置作周而复始的周期性运动。这样只在弹性 力的作用下周而复始的周期性运动叫简谐振动。根据做一次完全振动中力、加速度、速度关系我们整理得: B→0:弹性力向左,加速度向左,加速,O点,加速度为零,速度最大 0→C:弹性力向右,加速度向右,减速,C点,加速度最大,速度为零; C→0:弹性力向右,加速度向右,加速,0点,加速度为零,速度最大 0→B:弹性力向左,加速度向左,减速,B点,加速度最大,速度为零。 结论:物体作简谐振动的条件 1)物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置 2)作用在物体上的弹性力—驱使系统回复到平衡位置 、简谐振动的定量描述 线性回复力 取平衡位置O点为坐标原点,水平向右为Ⅹ轴的正方向。由胡克定律可知,物体m(可视为质点)在坐 标为x(即相对于O点的位移)的位置时,所受弹簧的作用力为
第十四章机械振动 MYY 与物精寿平衡位时概楼线,方周要指 f-o 式中的比例系数k为弹簧的劲度系数( Stiffness),它反映弹簧的固有性质,负号表示力的方向与位移 的方向相反,它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远,x越大,力就越大;在平衡位置,力为零,物 体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。 2.动力学方程及其解 根据牛顿第二定律(一维用代数量), 笥谐运动图解(=0) 可得物体的加速度为 3t2 f 对于给定的弹簧振子,m和k均为正值、常量,令 k 则上式可以改写为a=-02x 这就是简谐运动的微分方程(也叫常系数二阶齐次线性方程)。 简谐运动的微分方程的解,具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式,即 x=Acos(@t+o 这就是简谐运动的运动学方程,式中A和φ是积分常数。 3.简谐振动的速度和加速度 将简谐振动的运动学方程分别对时间求 阶导数,可得简谐振动的速度和加速度为 Asin(o t+) dt 00 0 成速加速减速加速 4.说明:
第十四章机械振动 1)物体在做简谐振动时,其位移、速度、加速度都是周期性变化的。 2)简谐振动不仅是周期性的,而且是有界的——只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种 性质——采用余弦函数。 、简谐运动的特点: 1.从受力角度来看—动力学特征 合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比,方向与位移的方向相反,并且总是指向平衡位置 的。此合外力又称为线形回复力 2.从加速度角度来看——运动学特征 加速度a=-2x与物体相对于平衡位置的位移成正比,方向与位移的方向相反,并且总是指向平衡 位置的。 3.从位移角度来看 位移x=Acos(at+q)是时间的周期性函数。 4.说明: 1)要证明一个物体是否作简谐运动,只要证明上面三个式子中的一个即可,且由其中的一个可以推 出另外两个 2)要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析,得到物体所受的合外力满足回复力 的关系 四、思考题 1.符合什么规律的运动是简谐运动?说明下列运动是不是简谐运动? 2.完全弹性球在便地面上的跳动; 3.活塞的往复运动 4.小球沿半径很大的光滑凹球面滚动(设小球经过的弧线很短);竖直悬挂的弹簧上挂一重物,把重 物从静止位置拉下一段距离(在弹性限度内),然后放手任其运动。 例1:一个轻质弹簧竖直悬挂,下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开,证明 物体将作简谐运动 证明:取物体平衡位置为坐标原点,竖直向下为x轴的正方向,如图所示。物体在平衡位置时所受的 合力为零,即 mg-kI=0 其中mg为物体的重力,l为物体平衡时弹簧的伸长量 在任一位置x处,物体所受的合力为 F=mg-k(x+/ (2) 比较(1)、(2)可得 可见物体所受的合外力与位移成正比,而方向相反,所以该物体将作简谐运动
第十四章机械振动 §14-2简谐运动的振幅、周期和相位 Amplitude, Period and Frequency, Phase of Simple harmonic Vibration 现在我们讨论简谐振动运动学方程x= Acos(ot+中的A、o、ot+、g的物理意义。它们分别是描述 谐振动的特征量:振幅、频率和周期、相位和初相 振幅A( Amplitude)反映振动幅度的大小 定义:作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 说明:1)A恒为正值,单位为米(m 2)振幅的大小由系统的初始条件确定 在简谐振动的表达式中,因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1,所以物体的振动范围为+A与-A 之间。 周期T( Period)与频率( Frequency)反映振动的快慢 周其 期( Period) 定义:物体作一次完全振动所需的时间,用T表示,单位为秒(s)。 x=Acos(ot+)=Acos[o(t+T)+o] 考虑到余弦函数的周期性,有aT=2 因而有 2.频率( Frequency) 定义:单位时间内物体所作的完全振动的次数,用v表示,单位为赫兹(Hz) 3.國频率( Angular Frequency 定义:物体在2m秒时间内所作的完全振动的次数,用表示,单位为弧度秒ad.s或s-) 2丌 o=2TV 4.说明: )简谐振动的基本特性是它的周期性 2)周期、频率或圆频率均由振动系统本身的性质所决定,故称之为固有周期、固有频率或固有圆频 k 3)对于弹簧振子,= 2r Vm,T=2r, /m 4)简谐运动的表达式可以表示为 x= Acos(@t+)=Acos(-1+o)=A cos(2Ivt+o) 相位( Phase)反映振动的状态 1.相位 质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体来说,位置和 速度分别为x=Acos(oq)和=Asin(ot),当振幅A和园频率ω给定时,物体在t时刻的位置和速度完 全由ωφ来确定。即ωφ是确定简谐振动状态的物理量,称之为相位。 相位(ot+φ)是决定谐振子振动状态的重要物理量。o+q和A 起决定t时刻物体运动状态,即 位移x、速度v。 在一次全振动中,谐振子有不同的运动状态,分别与0~2π内的一个相位值对应。例如:
第十四章机械振动 y0 0 T 0 2丌 2.初相位 在0时,相位为φ,称为初相位,简称初相,它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。对于一个 简谐运动来说,开始计时的时刻不同,初始状态就不同,与之对应的初相位就不同,即初相位与时间零点 的选择有关 结论:对于一个简谐振动,若A、ω、φ已知,就可以写出完整的运动方程,即掌握了该运动的全部 信息。因此,我们把A、ω、φ叫做描述简谐振动的三个特征量 3.相位差: 定义:两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差 对于同频率简谐运动、同时刻的相位差 x =A, coS(@t+p) x,=A,cos(ot+2) 相位差△=(ot+q2)-(ot+q1)=2 即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。 讨论 )△q>0质点2的振动超前质点1的振动 △q<0质点2的振动落后质点1的振动 2)△q=±2kx,k=0,1,2 同相(步调相同) △q=±(2k+1),k=0,1,2,…,反相(步调相反) 四、积分常数A和φ的确定 简谐振动运动学方程为x=Acos(o+q) 其中圆频率是由系统本身的性质确定的,积分常数A和φ是求解简谐振动的微分方程时引入的,其值 由初始条件(即在τ=0时物体的位移与速度)来确定。将r0代入位移和速度的公式,即得物体在初始时 刻的位移xo和初速度v xo=Acos op =Asin 由此可解得 讨论: )一般来说φ的取值在一π和π(或0和2n)之间 2)在应用上面的式子求q时,一般来说有两个值,还要由初始条件来判断应该取哪个值 6
第十四章机械振动 3)常用方法:由A=1x2+ 求A,然后由=Acos 两者的共同部分求φ。 Vo =-Aosin p 例2:一弹簧振子系统,弹簧的劲度系数为k=0.72Nm,物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置 沿桌面向右拉长到004m处释放。求振动方程 解:要确定弹簧振子系统的振动方程,只要确定A、ω和φ即可 由题可知,k=0.72N/m,m=20g=002kg,x=0.04m,v=0, 代入公式可得 brad Vm Vo.02 =0.04m 又因为x0为正,初速度v=0,可得q=0 因而简谐运动的方程为:x=0.04cos(61)(m) 例3.已知某质点作简谐运动,振动曲线如图所示,试根据图中数据写出振动表达式 解:设振动表达式为 x= A cos(@t+o) 由图可见:A=2m,当t0时,有 =2 cOS (1) v=-2 psin gp>0(向上)(2) 图13-2 由(1)可得0=4,由(2)可知$ip0,取m-x=n,因而可得 所以振动方程为 x=2cOs(丌12
第十四章机械振动 s14-3旋转矢量( Rotary Vector) 前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系。本节将介绍用旋转矢量表示位移 和时间的关系。 引入旋转矢量的优点 1)直观地、形象地了解简谐运动的各个物理量; 2)为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。 、旋转矢量图示法 长度为A的矢量A,在xOy平面内绕O点沿逆时针方向旋转,其角速度为ω,在t=0时,矢量与X 轴的夹角为q,这样的矢量称为旋转矢量。在任意时刻,矢量A与x轴的夹角为ot+,A的矢端M 在x轴上的投影为x=Acos(t+q) r/cm Acosn 1/ 即:旋转矢量本身并不作简谐运动,而是旋转矢量的矢端,在x轴上的投影点亦在o点附近作周而复 始的周期性运动,相当于简谐运动 设:质点以沿逆时针方向作半径为A的匀速圆周运动,它在在Ⅹ轴上的投影点相当于质点的简谐 振动,此圆叫参考圆。在没有高等数学知识时,可以用它得出简谐振动的表示式。如某时刻质点在M位置, 它与X轴的夹角为ot+q。在x轴的投影x=Acos(Ot+q) 、旋转矢量与简谐运动的关系 简谐振动的方程x=Acos(t+q),根据儿何学原理可以把它看作一旋转着的矢量A在x轴上的投 影。当一矢量A绕其一端点o以角速度ω旋转时,另一端点在x轴或y轴上的投影点相当于作简谐振动。 振幅矢量转动一周,相当于振动一个周期 显然,投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A矢量大小、旋转角速度、初始A与x轴夹角 对应。当然,投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应 振幅 圆频率 初相位 相位 旋转矢量的应用: 1.作振动图: 用旋转矢量A来表示简谐振动,形象、直观,一日了然,在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用 8
第十四章机械振动 AsT3T7T 旋转矢量图及简谐运动的x-t图 2.求初相位: 如图,质点在x=A2处向右运动,q=-/3 质点在x=A2处向左运动,q=n/3 质点在x=处向右运动,=-2/3 质点在x= 处向左运动,q=2x/3 3.可以用来求速度和加速度 矢端M的速度与加速度大小为v=l4、an=2A,在x轴上的投影为 M sin(@ t+o)=-@Asin(@t+p) a=-ay coS(o t+o)=-@Acos(ot+o) 4.振动的合成(第6节内容 例4:一个质点沿x轴作简谐振动,振幅A=0.06m,周期T=2s,初始时刻质点位于x=003m处且向x 轴正方向运动。求:(1)初相位;(2)在x=0.03m处,且向x轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质 点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间。 解:(1)取平衡位置为坐标原点,质点的运动方程可写为 Acos(at+) 依题意,有A=0.06m,T=2s,则O T2 =mad·s 在=0时,x0= A cos=0.06c0s=003m Vo=-Acsin >0 丌 因而解得= 故振动方程为
第十四章机械振动 x=0.06c0sm (SD 用旋转矢量法,则初相位在第四象限,故=x (2)t=t1时,x1=006c0m、2 0.03 且m1-第二象限角,故m1-x2z 得t1=1s,因而速度和加速度为 0.06r sin nt =-0.16m·s- 0.06rcosl dt 3/-0.30ms-2 从x=-0.03m处回到平衡位置,意味着旋转矢量从M1点转到M2点,即回到周相一x处,设相应的时 间为t,则a-x=3解得t26 因而所需要的最短时间满足 1=-s≈0.83s 可见用旋转矢量方法求解是比较简单的 四、思考题 旋转矢量本身是不是作简谐运动?旋转矢量的矢端在Ox轴上的投影点是不是简谐运动?旋转矢量的 矢端在Oy轴上的投影点是不是简谐运动?
