第二部分热学( Thermal Physics) 物质的运动形式是多种多样的,表现现象是错综复杂的。力学只研究了物体的机械运动,而本章学习 的热学则是研究物质的热现象的学科。那么,什么是热现象呢?我们知道在冬天,天气冷的原因是由于温 度低;而夏天天气温度高就热,即人们习惯用温度的高低来描述物体的冷热程度。另外,水在摄氏0度以 下会变成冰;而在摄氏100度以上会变成水蒸气;还有软钢材,要提高其硬度需要淬火,硬钢材要降低其 便度需要退火。由这些讨论可知,随着温度的变化,物质的物理性质也发生了变化,我们就把这种现象叫 热现象 研究热现象的理论有两方面:微观—统计物理学( Statistical Physics)(分子物理) 宏观—热力学( Thermodynamics) 统计物理学是研究物质热运动的微观理论,它从“宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本 事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现,认为宏观量是相应的微观量的统计平均 值。统计物理学研究问题的出发点:从物质的微观结构出发研究热现象的规律。它采用的方法是:个别分 子的运动遵守力学规律,大量分子运动遵守统计规律。 缺点:由于对物质的微观结构作了简化的模型假设,因而所得到的理论结果往往只是近似的 热力学是研究物质热运动的宏观规律,它以热力学实验定律为基础,应用数学方法,通过逻辑推理和 演绎,得出有关物质各种宏观性质之间的关系,以及宏观物理过程进行的方向和限度等方面的结论。热力 学研究问题的出发点:从物质的宏观理论出发研究热现象规律,不涉及物质的微观本质。它采用的方法是 以实验事实为基础,以能量转换与守恒为依据 缺点:由于热力学理论不涉及物质的微观结构和粒子的运动,把物质看成是连续的,因此不能解释宏 观性质的涨落 者虽然硏究问题的出发点和方法均不同,但都是研究热现象的规律的。所以它们是相辅相成缺一不 可。我们常说:宏观量是相应的微观量的统计平均值就是这个道理。 本部分内容: 第六章气体动理论 第七章热力学基础
第六章气体动理论( Kinetics of Gas molecules) 气体分子运动论—是以构成气体的大量分子或原子为研究对象,并揭示其运动规律的学科 每个分子或原子都有一定的体积、质量、速度、动量、能量等。这些表示个别分子的性质和运动状态 的量(不能由实验直接测量的物理量)统称为微观量:大量分子构成的气体,也具有一定的体积、质量、 压强、温度及热容量等。这些表示大量分子集体特征——亦即表示气体宏观性质和状态的量(能由实验直 接测量的物理量)称为宏观量。 微观量和宏观量是描述气体性质和运动特征的两个侧面,两者之间必有内在的联系。气体分子运动论 就是运用统计的方法,求出大量分子一些微观量的统计平均值,以此来解释在实验中直接可测的气体宏观 性质,以此来揭示宏观量的微观本质,进而建立微观量和宏观量的定量关系。 本章从物质的微观结构出发,以气体为研究对象,运用统计的方法,研究大量气体分子热运动的规律, 并对气体的某些性质给予微观本质的说明 本章的主要内容有:气体动理论的基本概念,气体的状态参量,理想气体的压强和温度等宏观量的物 理本质,能量均分定理,理想气体的内能,麦克斯韦气体速率分布律,玻尔斯曼能量分布律,气体平均自 由程,平均碰撞次数等概念,最后介绍在非平衡状态下气体内的迁移现象。 本章的重点内容在于介绍统计物理学中处理问题的统计方法,同时揭示气体的一些宏观性质的微观实 质 基本要求 1.了解物质的微观结构,掌握理想气体的微观模型; 2.了解气体的物态参量和理想气体的物态方程,了解平衡态和平衡过程的基本概念,会用物态方程 求解理想气体的物态参量 3.掌握理想气体的压强公式,了解理想气体压强公式的物理意义;通过推导气体压强公式,了解从 提岀模型、进行统计平均、建立宏观量与微观量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法;了解系统 的宏观性质是微观运动的统计表现 3.掌握理想气体的平均平动动能与温度的关系,了解理想气体温度的物理意义: 4.掌握能量按自由度均分定理的意义及其物理基础,并能用它导出理想气体内能公式,了解内能的 概念; 5.了解麦克斯韦气体分子速率分布律和分子速率分布函数的物理意义;掌握气体分子热运动的最概 然速率、平均速率和方均根速率的意义及其计算方法 6.了解玻尔斯曼能量分布律及在重力场中的粒子数密度公式 7.了解分子平均碰撞频率及平均自由程的概念 8.了解气体的迁移现象 9.了解实际气体的范得瓦尔斯方程 重点和难点 重点理想气体的状态方程,压强公式,温度公式,麦克斯韦速率分布律、能量按自由度均分定理、 分子碰撞的统计规律。 难点麦克斯韦速率分布律、玻尔斯曼能量分布律。 本章分10节 §6-1气体状态参量平衡态理想气体状态方程 §6-2物质的微观模型统计规律性 §6-3理想气体的压强公式 §6-4理想气体的温度公式 §6-5能量均分定理理想气体内能 §6-6麦克斯韦气体速率分布律
§6-7玻尔斯曼能量分布律气压公式 §6-8分子平均碰撞次数和平均自由程 §6-9气体的迁移现象 §6-10实际气体的范德瓦尔斯方程
§6-1气体状态参量平衡态 理想气体状态方程 气体的状态参量( State Parameter) 1.气体的状态参量 在力学中硏究质点的机械运动时,我们用位置或坐标、速度或动量等物理量来描述质点的运动状态 在研究大量气体分子的热运动时,上述物理量只能用来描述分子的微观状态,而不能用来描述气体的整个 状态。但是总是存在一些物理量可以用来对气体的状态进行描述。我们把用来描述系统宏观状态的物理量 称为状态参量。对于由大量分子组成的一定量的气体,其宏观状态可以用体积V、压强P和温度T来描述, 即V、P、T就是气体的状态参量。下面分别进行讨论 )气体的体积( Volumn)V—几何参量:即从几何学角度来描述状态。 气体的体积Ⅴ是指气体分子无规则热运动所能到达的空间。对于密闭容器中的气体,容器的体积就是 气体的体积。 单位:m3 注意:气体的体积和气体分子本身的体积的总和是不同的概念 2)压强( Pressure)P力学参量:即从力学角度来描述状态。 压强P是大量分子与容器内壁相碰撞而产生的,它等于容器壁上单位面积所受到的正压力。定义式为 F S 单位:(1)SI制帕斯卡Pa1Pa=N·m (2)cm·Hg表示高度为1cm的水银柱在单位底面上的正压力 (3)标准大气压1atm=76cm·Hg=1.013×10Pa 工程大气压9.80665×10Pa 帕斯卡(B. Pascal,1623—-1662),法国数学家、物理学家。物理学方面的成就主要在流体静力学。他提出大气压强随 高度的增加而减小的思想,不久得到证实。为了纪念他,国际单位制中的压强的单位用“帕斯卡”命名 3)温度( Temperature)T热力学参量:即从热学角度来描述状态 温度的概念是比较复杂的,它的本质与物质分子的热运动有密切的关系。温度的高低反映分子热运动 剧烈程度。在宏观上,我们可以用温度来表示物体的冷热程度,并规定较热的物体有较高的温度 温度的数值表示方法叫温标( Thermometer Scale),常用的有 (1)热力学温标( Absolute scale)T;SI制单位:K( Kelvin (2)摄氏温标( Celsius scale)t 单位:°C 水的三相点温度( the Triple point) 100C 水的沸腾点温度 (3)华氏温标( Fahrenheit scale)F 单位 C—水的三相点温度 212C水的沸腾点温度 关系:T=273.15tC(K) 9 F=-t+32(F) 温度是热学中特有的物理量,它决定一系统是否与其他系统处于热平衡。处于热平衡的各系统温度相同 开尔文,原名汤姆孙( W. Thomson,1824-1907),英国物理学家,热力学的奠基人之一。1851年表述了热力学第二定律 他在热力学、电磁学、波动和涡流等方面卓有贡献,1892年被授予开尔文爵士称号。他在1848年引入并在1854年修改的 温标称为开尔文温标。为了纪念他,国际单位制中的温度的单位用“开尔文”命名
摄修斯(A. celsius,1η01-174),瑞典天文学家和物理学家。1742年提出百度温标,将正常大气压下水的沸点和冰的 熔点之间分为100度 、平衡态与平衡过程 平衡态( Equilibrium State) 把一定质量的气体装在给定体积的容器中,开始它们各处的压强、温度、密度可能不等,但经过一段 时间以后,容器中各部分气体的压强P相等、温度T相同,单位体积中的分子数也相同。此时气体的三个 状态参量都具有确定的值。如果容器中的气体与外界之间没有能量和物质的传递,气体分子的能量也没有 转化为其它形式的能量,气体的组成及其质量均不随时间变化,则气体的状态参量将不随时间而变化。即 个系统在不受外界影响的条件下,如果它的宏观性质不再随时间变化,我们就说这个系统处于热力学平 衡态 说明: )平衡态是一个理想状态 2)系统处于平衡态时,系统的宏观性质不变,但分子无规则运动并没有停止。所以平衡态是一种 态平衡,亦叫热动平衡。 3)对于平衡态,可以用PV图上的一个点来表示,如图所示 2.热力学第零定律( Zeroth Law of Thermodynamics)或热平衡定律 r(p:F2l 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热 衡,则它们也处于热平衡 热力学第零定律表明,处在同一平衡态的所有热力学系统都有 . (p, vn 共同的宏观性质,我们定义决定系统热平衡的宏观性质的物理量为温度 热力学第零定律这一名称多少有点儿古怪。叫法是由于当时(19090 年)热力学第一、第二定律都已经建立。但从性质上说它更为基本而得名。 理想气体的状态方程 1.物态方程 对于处于平衡状态下的一定量的气体,其状态可用P、V、T状态参量来描述。一般情况下,当其中一 个状态参量发生变化时,其它两个状态参量也一定发生变化。这三个状态参量之间一定存在某种关系,即 其中一个状态参量是其它两个状态参量的函数,如T=T(P,V)。这就是一定量气体处于平衡态时的物态 方程。 物态方程在热力学中是通过大量实践总结出来的。然而应用统计物理学,原则上可根据物质的微观结 构推导出来 2.理想气体的状态方程——描述理想气体物态参量之间的关系 1)理想气体的定义:在任何情况下都严格遵守三条实验定律的气体称为理想气体。一般气体在在温 度不太低(与室温相比)和压强不太大(与大气压相比)时,都可近似看成理想气体。 2)理想气体的状态方程 当理想气体处于平衡态时,状态参量之间的关系 RT 此方程表示:一定量的理想气体在平衡状态下,各状态参量之间的关系。适宜条件:理想气体、平衡状态 其中:R=1.013×103×224×10-/273=8.31J·mol·K-称为普适气体常量,m为理想气体的质量, M为理想气体的摩尔质量 简单推导:由三条实验定律,可得一=C
根据 Avogadro定律,在标准状态P=1.013×103Pa,T0=273K时,mM理想气体的体积为 224×10-m3,代入上式 将C代入PF C 得P RT T 3)对于一定质量的气体,若其处于两个不同的平衡态,其物态参量之间的关系是 PV-PV2 若在气体状态变化过程中,其质量发生变化,上式就不成立 阿伏伽德罗(A. Avogadro,1771856) 意大利物理学家。他在181l年提出,在同样的温度和压强下,相同体积的气体含有相同数量的分子,这就是阿伏伽德 罗定律。 §6-2物质的微观模型统计规律性 、物质的微观结构 在长期观察和大量实验的基础上,人们总结出物质结构的微观模型有如下特点 1.一切宏观物体都是由大量微观粒子—分子(或原子)组成的,分子之间有空隙。 实验表明,任何1摩尔物质所含有的微观粒子—分子数目均相等,为 Avogadro常数,用NA表 示N4=6022136736)×1023mol-1。计算中,一般取M=6022×1023mo1例如,我们日常喝一杯 水,其质量按180g计,而水的摩尔质量为18g,所以喝一杯水就喝进去602×1024个分子。因而组成宏 观物质的分子数是巨大的。 分子之间有空隙可从:气体容易压缩;液体:50升水+50升酒精=97升溶液;固体:2万大气压, 液体从钢管中滲出等实验中不难理解 2.所有分子都在不停地作无规则的热运动—分子热运动具有混乱性和无序性。 所有分子都在不停地作无规则的运动,由于温度越髙,无规则运动越剧烈故叫热运动。例如:酒精的 扩散;烟雾的扩散。布朗运动—颗粒的无规则运动。 布朗(R. Brown)在1927年,用显微镜观察悬浮在水中的植物花粉,发现花 粉作纷乱的无定向运动,这就是布朗运动,布朗运动是由杂乱的流体分子碰撞植 物颗粒引起的,它虽不是流体分子本身的热运动,却反映了流体分子热运动的情 况。颗粒越小,运动越剧烈;温度越高,运动越剧烈 布朗( R. Brown,17731858) 英国植物学家。他在1827年发现,悬浮在液体中的花粉粒子要不停地作无规则运动:后 来发现,不单是悬浮在液体中的颗粒,就连静止气体中的尘粒也不停地作无规则运动。人们把 这种悬浮在流体中的颗粒所作的不停的无规则运动,统称为布朗运动。它是由大量分子不对称 碰撞悬浮在流体中的颗粒而引起的。所以,布朗运动是分子无规则热运动的一种间接表现形式。 3.分子力 既然分子都在不停地作无规则的热运动,那为什么液体有一定的自由表面,固体有一定的体积,而且 固体和液体又很难压缩。这些都表明分子除了不停地作无规则的热运动外,分子之间还存在引力或斥力。 6
我们把分子之间存在的吸引力和排斥力统称为分子力。 实验证明:当分子间距较大时,存在微弱的引力;随着间距的减小,引力逐渐加强,但当两分子靠近 到r=r0(称为平衡距离)以内时,相互间产生强烈的斥力作用而离开 吸引力—固体、液体聚集在一起 排斥力—固体、液体较难压缩 分子力f与分子之间的距离r有关 r=r0(平衡位置)时,分子力为零 斥力 Fro时,分子力表现在吸引力 引力 F>1010时,分子力可以忽略不计,故分子力是短程力。 分子间彼此趋近到分子的直径d时,分子将在强大的斥力作用下被排斥开,类似小球间“弹性碰撞”过 程。d的平均值称为分子有效直径,数量级约为1010m 、统计规律( Statistical Regularity) 1.偶然事件和必然事件 偶然事件:在一定的条件下,发生与否不能预测。 例如:物体在力的作用下,是否产生加速度不能预测。因为合外力大于零,必然产生;合外力等于零, 必然不产生。 必然事件:在一定的条件下,必然发生或必然不发生。 例如:物体所受合外力大于零,它必然产生加速度;而合外力等于零 必然不产生加速度。 2.统计规律 为了便于理解统计规律,先看伽尔顿板实验,它是说明统计规律的演 实验装置:在一块竖直木板的上部规则地钉上铁钉,木板的下部用竖 直隔板隔成等宽的狭槽,从顶部中央的入口处可以投入小球,板前覆盖玻 璃使小球不致落到槽外。 在该实验中,我们观察某(红色)小球的运动情况。该小球每次落入 哪个槽(是中间还是边上)都是不能确定的,完全是偶然的。但在该演示程序中,可以一次投入大量小球, 或多次投入单个小球。观察落入某个槽中的小球数的分布却有一定的规律,即中间小球数多而两边少。所 以,我们说,某(红色)小球每次到底落入哪个槽,不能预知,但小球按中间小球数多两边少的规律分布 却是一定的。 实验表明:单个小球落入某个槽内是偶然事件,大量小球落入槽内的分布遵循确定的规律 又如:容器中有一定量的气体且处在平衡态。在容器中作一截面,由于是平衡态,分子的密度应该是 均匀的,分子又在不停地做无规则热运动,在某时刻,虽然我们不知道哪个分子穿过该截面,但可以肯定 有多少个分子由左向右穿过该截面,必然有等量的分子由右向左穿过该截面,因为同一时刻穿过(向两边) 该截面的分子数必须相等。即某时刻到底是那些分子通过此截面完全是偶然的,但同一时刻穿过该截面的 分子数相等又是必然的。 所谓统计规律,是指大量偶然事件整体所遵循的规 律。人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规 律性称为统计规律性, 般来说,对一定的统计范围,统计平均值与实际 数值是有偏差的,参与统计的事件越多,其偏差就越小 因此统计平均值也越接近于实际值。所以统计规律仅对 大量事件才有意义
3.统计涨落现象( Fluctuation) 大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。但每次的分布曲线都略有不同,所以统计规律永远 伴随涨落现象。为了得到一个具有稳定的确定值,我们对每次的曲线取平均值,而每次实验结果与平均值 的差异就叫涨落。所以在一定的宏观条件下,大量小球落入槽的各种分布在一定的平均值上、下起伏变化 的现象称为涨落现象 切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围 内,观测值都与统计平均值有偏差 4.统计平均值 例如我们要测量物体系统中的某一个物理量M的量值,那么由于物体系统内微观状态的变化或其他因 素的影响,M的测量值可以每次不同。如总共测量了N次,其中M次测得是M1,N2次测得是M2…以 此类推。M统计平均值的定义为DM1N1+M2M2+M3N3+ 理论和实际上都希望N越大越好 所以一般希望N→∞。因此从上面的例子也可以看出统计规律是对大量偶然事件整体所遵循的规律 §6-3理想气体的压强公式 在前面我们曾说,分子物理讨论问题的方法是:个别分子的运动遵守力学规律,大量分子运动遵守 统计规律。压强公式的推导就可以清楚的看到这一点,所以压强公式的推导有代表性地说明了气体动理论 的任务和研究方法,我们不仅需要记住它的结论,而且需要知道它的推导步骤 理想气体的微观模型 1.同类分子质量相同 2.分子间的平均距离很大,除碰撞瞬间有作用力外,分子之间的相互作用力可忽略不计。因此,在两 次碰撞之间,分子的运动可当作匀速直线运动 3.分子之间的碰撞、以及分子与容器壁之间的碰撞可看作完全弹性碰撞 4.在平衡状态下,分子沿各个方向运动的儿率是相同的。不计分子所受的重力。 1871年, boltzmann提出等概率假设( Postulate of Equal Probabilities):对于处于平衡态的孤立系,其 各个可能的微观状态出现的概率是相等的 理想气体的压强公式 最早利用气体分子运动论的概念导出气体压强公式的方法是由18世纪伯努利提出的,后来经过克劳 修斯、麦克斯韦等人的发展导出的方法越来越科学、合理 伯努利(D. Bernoulli,1700-1782) 瑞士数学家和物理学家。1738年,他首先从物质分子结构观点以及分子无规则运动的假设出发,对气体压强予以微观 解释,建立了气体动理论和热学的基本概念 单个分子 多个分子 平均效果 压强的产生 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的,即在什么时间碰撞器壁是偶然的。而且是不均匀的,即在何 处碰撞器壁也是偶然的。但是由于器壁某一面积上有大量的分子对它不断地进行碰撞,从总的效果上来看, 就有一个持续的平均作用力作用在器壁之上 8
气体作用于器壁的压力是气体中大量分子对器壁不断碰撞的综合效果。由于是大量分子对器壁的碰 撞,就使得器壁受到一个持续的、均匀的压力的作用。 2.气体压强公式的简单推导 假设有一个边长为x,y,z的长方形容器,其中含有N个同类理想气体分子,每个分子质量均为m。 在平衡状态下,长方形容器各个面的压强应当是相等的。现在我们来推导作用在与x轴垂直的面A1的压强 以第i个分子为研究对象。设在某一时刻其速度为v=vn+vn+vk,它与 器壁碰撞必受到器壁的作用力。在此力的作用下,i分子在x轴上(以x轴为研究对象, 取标量式)的动量由mv变为—mv。根据动量定理,i分子在x轴上所受的冲量等于 该分子在该坐标轴上的动量的增量,即 f i分子对器壁的碰撞是间歇的,它从A1面弹回,飞向A2面与A2面碰撞,又回到 A1面再作碰撞。分子与A1面碰撞两次,在x轴上运动的距离为2x,所需的时间为2xhx, 于是在单位时间内,i分子作用在A1面的冲力为 nν nv 这也就z 是容器壁对i分子的作用力,由牛顿第三定律知道,i分子施于器壁的冲力为 f1 N个气体分子施于器壁的总冲力为上述单个分子给予器壁的冲力的总和(同类气体分子的质量相等),即 F1=∑f1=∑m( v2+y2+…+y2 给上式边上下同乘以N得F=∑,=∑M+y)= 根据压强的定义,(A1面的面积S=yZ),则 p=Fr v4=nmax 其中n=MP为单位体积内的分子数,称为分子数密度。单位:个 同理可得:P=mv2 P 由于是平衡态,故有P=P=P 由分子沿各个方向运动的机会均相等的假设,可得
因而v2 最后得P=1m2 引入分子的平均平动动能822,则 该式就是理想气体的压强公式。公式给出了宏观量P与微观量E之间的定量关系。它是气体动理论的 一个基本公式 3.讨论 1)气体在宏观上施于器壁的压强,从微观上看就是所有分子单位时间内施于器壁单位面积上的冲力 这就是压强的微观本质 2)当n大时,即单位体积内的分子数多,因而与容器壁碰撞的次数多,压强大;当分子的平均平动能 EA大,分子运动剧烈,分子对容器壁碰撞时的冲量大,次数也增多,压强大。 3)压强公式的推导,不但使用了力学规律,而且使用了统计的方法。所以它反映的既是一个力学规律, 也是一个统计规律 4)压强公式把宏观量压强和微观量的统计平均值n和分子的平均动能联系起来,从而显示了宏观量与 微观量之间的关系。它说明压强这一宏观量是大量分子对容器壁碰撞的统计平均效果。因此离开“大量分 子”与“统计平均”,压强的概念就失去意义,说某个分子产生多大压强是没有意义的 §6-4理想气体分子平均平动动能与温度的关系 、理想气体的温度 设一个分子的质量为m,质量为m的理想气体的分子数为N,1摩尔气体的质量为M,则m=n M=Nm。理想气体的状态方程 PV=-RT myT=N 代入可得PsnN 所以 N n=NV为单位体积内的分子数,即分子数密度 定义,R:1.38×1023J.K—称为玻尔斯曼常量
