第10章气体动理论 在本章中我们将从物质的微观结构出发运用统计的方法研究物质最简单的聚集 态——气体的热学性质通过阐述气体的压强、温度、内能等一些宏观量的微观本质, 使我们对于用微观观点研究宏观现象的基本方法有个概略的了解 本章主要内容有:分子动理论的基本观点麦克斯韦速率分布律,玻尔兹曼能量分 布律,理想气体的压强,温度的宏观解释能量均分定理,理想气体的内能,分子的平均自 由程和平均碰撞次数等,并简单介绍气体内的迁移现象和热力学第二定律的统计意义 §101分子动理论的基本观点和统计方法的概念 分子动理论是从物质的微观结构出发来阐明热现象规律的一种理论,那么物质的 微观结构是一种什么样的模型呢?根据大量实验事实的观察可以概括出以下三个基本 观点 分子动理论的基本观点 1、宏观物体是由大量微观粒子一分子(原子)组成 化学性质相同的物质其分子完全一样人们已借助了近代实验仪器和实验方法观察到 某些晶体的原子结构图象,且认识到物质都是由彼此间有一定间隙的分子组成气体很 容易被压缩所以分子间距离比固体、液体分子间的间隙都大.不同物质的分子有大有 小整个看起来分子线度是很小的,宏观系统包括的分子数目是相当多的mo任何物 质包含有602×1023的分子这个常数叫做阿伏伽德罗常数 2、分子之间有相互作用力 固体和液体的分子之所以会聚集到一起而不散开是因为分子之间有相互吸引力 液体和固体很难被压缩,即使是气体当压缩到一定程度后也很难再继续压缩,这些现象 说明分子之间除吸引力外还存在排斥力图10.1 是分子力∫与分子间距离r的关系曲线从图上 可以看出,当分子之间的距离rr时,分子力主要表现为引力当r继续增大0 到大于10°m时,分子间的作用力就可以忽略不 图10.1 计了可见分子力的作用范围是极小的,分子力属短程力 3、分子都在作无规则运动运动的剧烈程度与物体的温度有关
1 第 10 章 气体动理论 在本章中,我们将从物质的微观结构出发,运用统计的方法研究物质最简单的聚集 态——气体的热学性质.通过阐述气体的压强、温度、内能等一些宏观量的微观本质, 使我们对于用微观观点研究宏观现象的基本方法有个概略的了解. 本章主要内容有：分子动理论的基本观点,麦克斯韦速率分布律,玻尔兹曼能量分 布律,理想气体的压强，温度的宏观解释,能量均分定理,理想气体的内能,分子的平均自 由程和平均碰撞次数等,并简单介绍气体内的迁移现象和热力学第二定律的统计意义. §10.1 分子动理论的基本观点和统计方法的概念 分子动理论是从物质的微观结构出发来阐明热现象规律的一种理论,那么物质的 微观结构是一种什么样的模型呢?根据大量实验事实的观察可以概括出以下三个基本 观点. 一、分子动理论的基本观点 1、宏观物体是由大量微观粒子─分子(原子)组成 化学性质相同的物质,其分子完全一样.人们已借助了近代实验仪器和实验方法,观察到 某些晶体的原子结构图象,且认识到物质都是由彼此间有一定间隙的分子组成,气体很 容易被压缩,所以分子间距离比固体、液体分子间的间隙都大.不同物质的分子有大有 小.整个看起来,分子线度是很小的,宏观系统包括的分子数目是相当多的.1mol 任何物 质包含有 6.02×1023 的分子.这个常数叫做阿伏伽德罗常数. 2、分子之间有相互作用力 固体和液体的分子之所以会聚集到一起而不散开,是因为分子之间有相互吸引力. 液体和固体很难被压缩,即使是气体当压缩到一定程度后也很难再继续压缩,这些现象 说明分子之间除吸引力外还存在排斥力.图 10.1 是分子力 f 与分子间距离 r 的关系曲线.从图上 可以看出,当分子之间的距离 0 r r ( 0 r 约为 10-10m左右)时,分子力主要表现为斥力,并且随 r 的减小, 急剧 增加 ,当 0 r = r 时 , 分子 力为 零. 0 r r 时,分子力主要表现为引力.当 r 继续增大 到大于 10-9m 时,分子间的作用力就可以忽略不 计了.可见分子力的作用范围是极小的,分子力属短程力. 3、分子都在作无规则运动,运动的剧烈程度与物体的温度有关 f 0 r 0 r 图10.1
在室内打开一瓶香水过一段时间就会在整个房间内闻到香味,这是由于分子无规 则运动而产生的扩散现象布朗运动是间接证明液体分子无规则运动的典型例子,且实 验证实液体的温度越高,布朗运动愈剧烈,从而间接说明了液体分子无规则运动愈剧烈 由上述讨论可以看出,物质内部包含的分子数目极多,分子又都时时刻刻地作无规 则运动而且实验还告诉我们,宏观物体的热现象是物质中大量分子无规则运动的集体 表现 由于分子数目巨大分子在运动过程中相互碰撞是极其频繁的,对气体来讲,在通常 温度和压强下,一个分子在1s的时间里大约要经历109次碰撞这样分子的速度在不断 变化要想跟踪每一个分子,对它们列出运动方程,是很困难的也即分子在某一时刻位 于容器中哪一个位置,具有多大速度都具有一定的偶然性这是不是说分子的运动状态 就无规律可寻了呢?我们仔细考察一下可以发现,气体处于平衡时,不管个别分子的运 动状态具有何种偶然性但大量分子的整体表现都是有规律的例如平衡态时容器中各 处的温度、密度、压强这些宏观量都是均匀的,一定的就单个分子的速率(微观量)来说, 有大有小,但速率的平均值是确定的这表明在大量的偶然、无序的分子运动中,包括着 种规律性这种规律性来自大量偶然事件的集合,故称为统计规律.本篇开始已经提到 统计规律在某种意义上就是将微观量和宏观量联系起来的规律.也就是要运用统计方 法求出大量分子的微观量的统计平均值用以解释宏观系统的热的性质.下面,我们就统 计方法的一般概念作以介绍 二、统计方法的一般概念 设想某一系统处在一定的宏观状态但它可以处于不同的微观状态我们要测定系 统的某一物理量M的数值由于系统的微观状态在改变所以M的测定值也是各不 样的把各次实验所测得的M的数值的总和除以实验总次数,就可求得M平均值,实验 次数越多,平均值就越精确所以M的平均值M被定义为 M lim M,M+mN+ N→∞ 式中N是M的值取M的次数即系统处于微观状态A的次数亦即发现系统处于微观状 态A的次数我们把状态A出现的次数NA,与测量的总次数N的比值,在测量次数无限 增加时的极限称为状态A的几率PA作为状态A发生的可能性的量度,即 lim N P 这样平均值就可写成 M=∑MP
2 在室内打开一瓶香水,过一段时间就会在整个房间内闻到香味,这是由于分子无规 则运动而产生的扩散现象.布朗运动是间接证明液体分子无规则运动的典型例子,且实 验证实液体的温度越高,布朗运动愈剧烈,从而间接说明了液体分子无规则运动愈剧烈. 由上述讨论可以看出,物质内部包含的分子数目极多,分子又都时时刻刻地作无规 则运动,而且实验还告诉我们,宏观物体的热现象是物质中大量分子无规则运动的集体 表现. 由于分子数目巨大,分子在运动过程中相互碰撞是极其频繁的,对气体来讲,在通常 温度和压强下,一个分子在 1s 的时间里大约要经历 109 次碰撞.这样分子的速度在不断 变化,要想跟踪每一个分子,对它们列出运动方程,是很困难的.也即分子在某一时刻位 于容器中哪一个位置,具有多大速度都具有一定的偶然性,这是不是说分子的运动状态 就无规律可寻了呢?我们仔细考察一下可以发现,气体处于平衡时,不管个别分子的运 动状态具有何种偶然性,但大量分子的整体表现都是有规律的.例如平衡态时,容器中各 处的温度、密度、压强这些宏观量都是均匀的,一定的,就单个分子的速率(微观量)来说, 有大有小,但速率的平均值是确定的.这表明在大量的偶然、无序的分子运动中,包括着 一种规律性.这种规律性来自大量偶然事件的集合,故称为统计规律.本篇开始已经提到, 统计规律在某种意义上就是将微观量和宏观量联系起来的规律.也就是要运用统计方 法求出大量分子的微观量的统计平均值,用以解释宏观系统的热的性质.下面,我们就统 计方法的一般概念作以介绍. 二、统计方法的一般概念 设想某一系统处在一定的宏观状态,但它可以处于不同的微观状态.我们要测定系 统的某一物理量 M 的数值.由于系统的微观状态在改变,所以 M 的测定值也是各不一 样的.把各次实验所测得的 M 的数值的总和,除以实验总次数,就可求得 M 平均值,实验 次数越多,平均值就越精确.所以 M 的平均值 M 被定义为 N M N M N M A A B B N + + = → lim 式中NA是M的值取MA的次数.即系统处于微观状态A的次数,亦即发现系统处于微观状 态 A 的次数.我们把状态 A 出现的次数 NA,与测量的总次数 N 的比值,在测量次数无限 增加时的极限,称为状态 A 的几率 PA,作为状态 A 发生的可能性的量度,即 N N p A A N → = lim 这样平均值就可写成 M =MiPi
如把系统所有可能状态的几率相加,显然有 ∑P ∑ 这关系称为归一化条件 由于系统的微观状态随时间而变化时这个系统在每一瞬时所取的M值不一定恰 好等于平均值,而是有偏差的这种相对平均值出现偏离的现象,称为涨落现象.这种现 象是统计规律所特有的,但只要个别偶然事件的数目愈多涨落现象就越不显著
3 如把系统所有可能状态的几率相加,显然有 1 1 2 = + + = = N N N N N N P i i i 这关系称为归一化条件. 由于系统的微观状态随时间而变化时,这个系统在每一瞬时所取的 M 值,不一定恰 好等于平均值,而是有偏差的,这种相对平均值出现偏离的现象,称为涨落现象.这种现 象是统计规律所特有的,但只要个别偶然事件的数目愈多,涨落现象就越不显著
§102理想气体的压强公式 理想气体的微观模型 前已谈到,与液体、固体结构比起来气体分子间的平均距离要大得多,如气体凝结 成液体时体积要缩小到大约千分之一,由此可知,分子间距离要缩小到大约十分之 但液体分子几乎是紧密排列的,因此气体分子间的平均距离约为分子本身线度的十倍 而且气体愈稀薄时愈接近理想气体可见理想气体分子之间平均距离要比分子本身线 度大得多此外气体分子无规则运动的另一特征是,分子之间频繁的碰撞,分子的速度 要不断改变大小和方向在此我们说的分子的碰撞实质上是与分子力有关的当两个分 子极为靠近时(约为1010m),表现为斥力,所以两分子在运动中相遇会由于彼此的斥力 而飞开这就是通常所说的分子间发生的“碰撞”当分子相互远离时,斥力迅速减小并 出现引力当两分子间距离进一步增大时(约10°m),引力随之减小直到消失 根据上述这些特点及气体处在平衡态下的压强和温度不随时间改变的事实我们 在物质分子结构的三个基本观点的基础上,进一步提出以下几个基本假设作为理想气 体的微观模型. 1)分子本身的线度与分子间平均距离相比可以忽略不计即将分子看作质点; 2)除碰撞一瞬间外,分子之间、分子与器壁之间无相互作用力; 3)分子间的碰撞以及分子与器壁间的碰撞都是完全弹性的即分子与器壁间的碰 撞只改变分子运动的方向不改变速度的大小,气体分子的动能不因与器壁碰撞而有任 何改变 按照以上三条假设建立起来的理想气体模型可以归结为:理想气体是不停地、无规 则地运动着的大量无引力(假定第二条)的弹性(第三条)质点(第一条)的集合 二、理想气体的压强公式 依据理想气体微观模型,应用牛顿运动定律,采取求统计平均的方法来推导 容器中气体对器壁压强的微观意义应是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果,就 象密集的雨点打在伞上产生的均匀、持续的压力 样具体地说可以将器壁看作一个连续的平面, 器壁所受的压强就等于大量分子在每单位时间内 施予器壁单位面积上的平均冲量 设立方容器边长为l体积为V。容器中贮有N -1 个同类理想气体分子,且处于平衡态分子数密度 为n=N每个分子质量为m,由于平衡态下作用 于器壁各处的压强都是相等的,所以我们可以选 取任何一部分器壁来计算气体的压强就可以了 图10.2
4 §10.2 理想气体的压强公式 一、理想气体的微观模型 前已谈到,与液体、固体结构比起来,气体分子间的平均距离要大得多,如气体凝结 成液体时,体积要缩小到大约千分之一,由此可知,分子间距离要缩小到大约十分之一. 但液体分子几乎是紧密排列的,因此,气体分子间的平均距离约为分子本身线度的十倍. 而且气体愈稀薄时愈接近理想气体.可见理想气体分子之间平均距离要比分子本身线 度大得多.此外,气体分子无规则运动的另一特征是,分子之间频繁的碰撞,分子的速度 要不断改变大小和方向,在此我们说的分子的碰撞,实质上是与分子力有关的.当两个分 子极为靠近时(约为 10-10m),表现为斥力,所以两分子在运动中相遇会由于彼此的斥力 而飞开.这就是通常所说的分子间发生的“碰撞”.当分子相互远离时,斥力迅速减小并 出现引力,当两分子间距离进一步增大时(约 10-9m),引力随之减小直到消失. 根据上述这些特点及气体处在平衡态下的压强和温度不随时间改变的事实,我们 在物质分子结构的三个基本观点的基础上,进一步提出以下几个基本假设作为理想气 体的微观模型. 1）分子本身的线度与分子间平均距离相比可以忽略不计,即将分子看作质点; 2）除碰撞一瞬间外 ,分子之间、分子与器壁之间无相互作用力; 3）分子间的碰撞以及分子与器壁间的碰撞都是完全弹性的,即分子与器壁间的碰 撞只改变分子运动的方向,不改变速度的大小,气体分子的动能不因与器壁碰撞而有任 何改变. 按照以上三条假设建立起来的理想气体模型可以归结为:理想气体是不停地、无规 则地运动着的,大量无引力(假定第二条)的弹性(第三条)质点(第一条)的集合. 二、理想气体的压强公式 依据理想气体微观模型,应用牛顿运动定律,采取求统计平均的方法来推导 容器中气体对器壁压强的微观意义应是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果,就 象密集的雨点打在伞上产生的均匀、持续的压力 一样.具体地说,可以将器壁看作一个连续的平面, 器壁所受的压强就等于大量分子在每单位时间内 施予器壁单位面积上的平均冲量. 设立方容器边长为 l,体积为 V。容器中贮有 N 个同类理想气体分子,且处于平衡态.分子数密度 为 n=N/V,每个分子质量为 m,由于平衡态下,作用 于器壁各处的压强都是相等的,所以我们可以选 取任何一部分器壁来计算气体的压强就可以了
现在来计算与ⅹ轴相垂直的器壁A1面所受的压强如图102所示 首先考虑速度为υ的a分子,在直角坐标系的投影为 U2UD2且u2+v2+2=2.当a分子和器壁A面碰撞时,它受到A面对它沿与x 轴方向相反的作用力在这个力作用下,a分子在ⅹ轴上的动量由mU变成-mU,它在 ⅹ方向的动量增量为(-mυ、)-m、=2mυ、,也就等于器壁施予a分子的冲量(动量定 理)根据牛顿第三定律,a分子同时也给予A1面一个大小相等方向相反的,数值为 2mυ的冲量.分力给予器壁的力其方向沿x轴正向.a分子对器壁的力是间歇的,是不 连续的就α分子沿轴的运动情况而论它被A1面以-弹回后飞向面A2,与A2碰撞后 又以u3回到A面再作碰撞,分子与A1面相继两次碰撞在x轴方向上移动的距离为 2/所需时间为2/,因此在单位时间内,a分子与面碰撞的次数为υ、21,作用于A1面 的总冲量为2mU.υ./2,这也就是a分子作用于A1面的冲力的平均值 以上讨论的是一个分子对A1面的碰撞,但实际上容器内有大量分子对壁A1面碰撞 使壁A1面受到一个几乎连续不断的力这个力的大小应等于每个分子作用在A1面上的 力的平均值之和即 F=21 2 υ1+2mn)2x2l 2 式中υυ2…,υx分别是第一、第二、…、第N个分子速度在ⅹ轴上的投影,则 A1面所受压强则为 F P=,=(2m +2m,D+…+2m)/P2=m(u2+ P=Mmin+0+…+ux1 (10.1) 式中括弧内的物理量表示容器内N个分子沿x轴的速度分量的平方平均值,即 >U 同理有:u2 及
5 现在来计算与 x 轴相垂直的器壁 A1 面所受的压强.如图 10.2 所示. 首 先 考 虑 速 度 为 的 α 分 子 , 在 直 角 坐 标 系 的 投 影 为 x、y、z 2 2 2 2 且 x +y +z = 。当α分子和器壁A1面碰撞时,它受到A1面对它沿与 x 轴方向相反的作用力.在这个力作用下,α分子在 x 轴上的动量由 mx 变成- mx , 它在 x 方向的动量增量为（- mx ）- mx =-2 mx ,也就等于器壁施予α分子的冲量(动量定 理).根据牛顿第三定律,α分子同时也给予 A1 面一个大小相等方向相反的,数值为 2 mx 的冲量. 分力给予器壁的力,其方向沿 x 轴正向.α分子对器壁的力是间歇的,是不 连续的.就α分子沿轴的运动情况而论,它被 A1 面以-x 弹回后飞向面 A2,与 A2 碰撞后, 又以 x 回到 A1 面再作碰撞,α分子与 A1 面相继两次碰撞在 x 轴方向上移动的距离为 2l,所需时间为 2l/ x ,因此,在单位时间内,α分子与面碰撞的次数为 x /2l,作用于 A1 面 的总冲量为 2 mx x /2l,这也就是α分子作用于 A1 面的冲力的平均值. 以上讨论的是一个分子对A1面的碰撞,但实际上容器内有大量分子对壁A1面碰撞, 使壁A1面受到一个几乎连续不断的力,这个力的大小应等于每个分子作用在A1面上的 力的平均值之和.即 l m l m l F m Nx Nx x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 + + + = 式中 1x，2x，，Nx 分别是第一、第二、…、第 N 个分子速度在 x 轴上的投影,则 A1 面所受压强则为 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 l l m l m l m l F P Nx Nx x x x x ( )/ + + + = = ( ) 2 2 2 2 1x x Nx V m = + ++ 或 [ ] V N Nm P x x Nx 2 2 2 2 1 + + + = (10.1) 式中括弧内的物理量表示容器内 N 个分子沿 x 轴的速度分量的平方平均值,即 N N N i ix x x Nx x = = + + + = 1 2 2 2 2 2 2 1 N N N i iz z N i iy y = = = = 1 2 1 2 2 同理有： 2 及
这样(01)式则为P=mn2 考虑到u2=U2+u2+2,所以有 u2=u2+2+2 由于气体处于平衡态可以认为分子沿各个方向运动的机会是相等的没有哪个方 向更占优势这也就是在平衡态下气体分子无规则运动的各向同性的表现因此对大量 分子来说它们在x、y、z三个轴上的速度分量的平均值应是相等的,即 把它代入(102)式中,可得 P=-mmu 或 P==n(mu) (10.3) 式中E平叫做气体分子的平均平动动能上式就是理想气体的压强公式由式(10.4)可以 看出气体作用于器壁的压强正比于分子数密度n和分子的平均平动动能E平根据分子 动理论的观点,E平一定时,n越大,单位时间撞击到单位器壁面积上的分子数愈多器 壁所受的压强愈大;当n一定时,ε平越大即分子速度平方的平均值愈大从而使器壁所 受的压强也愈大 注意:1)分子对器壁的压强是大量分子对器壁碰撞的平均效果,只有在气体的分 子数足够多时,器壁所获得的冲量才有确定的统计平均值,若说个别分子产生多大压强 是没有意义的 2)压强虽说是由大量分子对器壁碰撞而产生的但它是一个宏观量可以从实验直 接测量而(103)式的右方是不能直接测量的微观量也就是(10.3)式是根据许多假设推 导出来的不能直接用实验来验证但从此公式出发可以满意地解释或推证出已经验证 过的理想气体实验定律这就间接地证明了这个公式的正确性 作业(P64):10.12
6 这样(10.1)式则为 2 P = mnx 考虑到 2 2 2 2 = x + y + z ,所以有 2 2 2 2 = x + y + z 由于气体处于平衡态,可以认为分子沿各个方向运动的机会是相等的,没有哪个方 向更占优势,这也就是在平衡态下气体分子无规则运动的各向同性的表现.因此对大量 分子来说,它们在 x、y、z 三个轴上的速度分量的平均值应是相等的,即 2 2 2 2 3 1 x = y = z = (10.2) 把它代入(10.2)式中,可得 2 3 1 P = mn 或 P = n m = n平 3 2 2 1 3 2 2 ( ) (10.3) 式中 平 叫做气体分子的平均平动动能.上式就是理想气体的压强公式.由式(10.4)可以 看出,气体作用于器壁的压强正比于分子数密度 n 和分子的平均平动动能 平 .根据分子 动理论的观点, 平 一定时, n 越大,单位时间撞击到单位器壁面积上的分子数愈多,器 壁所受的压强愈大;当n一定时, 平 越大,即分子速度平方的平均值愈大,从而使器壁所 受的压强也愈大. 注意：1）分子对器壁的压强是大量分子对器壁碰撞的平均效果,只有在气体的分 子数足够多时,器壁所获得的冲量才有确定的统计平均值,若说个别分子产生多大压强, 是没有意义的. 2）压强虽说是由大量分子对器壁碰撞而产生的,但它是一个宏观量,可以从实验直 接测量,而(10.3)式的右方是不能直接测量的微观量,也就是(10.3)式是根据许多假设推 导出来的,不能直接用实验来验证.但从此公式出发,可以满意地解释或推证出已经验证 过的理想气体实验定律,这就间接地证明了这个公式的正确性. 作业(P64)：10.12
§10.3温度的微观解释 由理想气体状态方程和压强公式可以得到气体的温度和分子的平均平动动能之 间的关系从而说明温度这一宏观量的微观本质 设质量为M的气体的分子数为N分子的质量为m,设μ为一摩尔气体的质量 NA为阿伏伽德罗常数,则有M=mN,=Nm,把它们代入理想气体状态方程中可得 RT/V=NRT vN=nkT (10.4) 玻耳兹曼恒量-k==1.38×1023JK-,分子数密度一n=NA N 将上式与理想气体压强公式(10.4)比较可得 nkT→|平=m2=3kr (10.5) 这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系式,也是气体动理论的一个基本公 式此式说明气体分子的平均平动动能只与气体的温度有关气体温度越高,分子的平均 平动能越大,分子无规则运动就越剧烈,因此式(10.5)可看成温度这个宏观量的分子动 理论的定义式:即气体的温度是气体内作无规则运动的大量分子平均平动能的“量度” 注意:1)温度是大量分子无规则运动所表现的宏观性质,具有统计意义对于单个 分子来说说它有多高温度是没有意义的 2)气体分子的平均平动能由气体的温度唯一确定,不管分子的质量是否相同内部 结构如何,只要有相同的温度,就有相同的平均平动动能温度高些,平均平动能就大些, 当温度为零时,ε平=0,即理想气体分子的无规则运动停止然而实际上分子运动是永 不停息的绝对零度是不可能达到的只能无限的趋近绝对零度,目前人们应用激光已将 原子的温度冷却到101K的量级 3)平均平动能公式与压强公式一样是从理论上根据一系列假设运用统计方法导 出的无法由实验直接验证但可以间接地证明,如人们观察到悬浮在温度均匀的液体中 不同质量微粒的无规则运动(简称布朗运动)结果也证实这些不同质量微粒的平均平动 能是相等的这就是对式(10.5)的间接证明 例题101一容器内储有氧气其压强P=1.00atm,温度t=27C,求 (1)单位体积内的分子数;(2)氧气的密度;(3)氧分子的质量;(4)分子间的平 均距离;(5)分子的平均平动能 解:(1)根据P=mkT可得单位体积内的分子数 P1×1.013×105 245×1025(m2) kT1.38×10-23×300
7 §10.3 温度的微观解释 由理想气体状态方程和压强公式可以得到气体的温度和分子的平均平动动能之 间的关系,从而说明温度这一宏观量的微观本质. 设质量为 M 的气体的分子数为 N,分子的质量为 m,设μ为一摩尔气体的质量, NA 为阿伏伽德罗常数,则有 M = mN, = NAm,把它们代入理想气体状态方程中,可得 nkT N RT V N RT V M P A = = = / (10.4) 23 1 1 38 10 JK − − = = . NA R 玻耳兹曼恒量 — k ， V N n A 分子数密度 — = 将上式与理想气体压强公式(10.4)比较可得 P = n m = n平 = nkT → 3 2 2 1 3 2 2 ( ) m kT 2 3 2 1 2 平 = = (10.5) 这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系式,也是气体动理论的一个基本公 式.此式说明气体分子的平均平动动能只与气体的温度有关,气体温度越高,分子的平均 平动能越大,分子无规则运动就越剧烈,因此式(10.5)可看成温度这个宏观量的分子动 理论的定义式:即气体的温度是气体内作无规则运动的大量分子平均平动能的“量度”. 注意：1）温度是大量分子无规则运动所表现的宏观性质,具有统计意义,对于单个 分子来说,说它有多高温度是没有意义的. 2）气体分子的平均平动能由气体的温度唯一确定,不管分子的质量是否相同,内部 结构如何,只要有相同的温度,就有相同的平均平动动能,温度高些,平均平动能就大些, 当温度为零时, 平 =0 ,即理想气体分子的无规则运动停止.然而实际上分子运动是永 不停息的,绝对零度是不可能达到的,只能无限的趋近绝对零度,目前人们应用激光已将 原子的温度冷却到 10-12K 的量级. 3）平均平动能公式与压强公式一样,是从理论上根据一系列假设运用统计方法导 出的,无法由实验直接验证.但可以间接地证明,如人们观察到悬浮在温度均匀的液体中 不同质量微粒的无规则运动(简称布朗运动)结果也证实这些不同质量微粒的平均平动 能是相等的,这就是对式(10.5)的间接证明. 例题 10.1 一容器内储有氧气,其压强 P=1.00atm,温度 t=27oC,求 (1) 单位体积内的分子数; (2) 氧气的密度; (3) 氧分子的质量; (4) 分子间的平 均距离; (5) 分子的平均平动能. 解：(1) 根据 P = nkT 可得单位体积内的分子数 . ( ) . . 25 3 23 5 2 45 10 1 38 10 300 1 1 013 10 − − = = = m k T P n
(2)由理想气体状态方程可得氧气的密度 MPμ1.013×103 1.300kg 8.31×300 (3)每个氧分子的质量为 1.30 =5.31×10-(kg) n245×10 (4)分子间的平均距离为 (5)分子的平均平动能 T=2×1.38×10232×300=6.21×102(J) 作业(P64):10
8 (2) 由理想气体状态方程可得氧气的密度 . ( ) . . 3 5 3 1 30 kgm 8 31 300 1 013 10 32 10 − − = = = = RT P V M (3) 每个氧分子的质量为 . ( ) . . k g n m 26 25 5 31 10 2 45 10 1 30 − = = = (4) 分子间的平均距离为 . (m) n l 9 3 3 44 10 1 − = = (5) 分子的平均平动能 k T . . (J ) 23 21 1 38 10 300 6 21 10 2 3 2 3 = = = − 平 作业(P64)：10.13
§104麦克斯韦气体分子速率分布律 kT→方均根速率 3kT n 它是分子速度的一种统计平均值当气体的温度一定时,方均根速率也是一定的但气体 处于平衡态时,并非所有分子都以方均根速率运动而是以各种大小的速度沿着各个方 向运动着,而且又由于非常频繁的碰撞,每一个分子的速度都在不断地改变,因此若在 某一特定时刻去观察某一特定分子它的速度具有怎样的量值和方向完全是偶然的然 而就大量分子的整体来看在平衡态下分布在各种不同速率范围内的分子数在总分子 数中所占的比率各是多少,则是确定的这一必然规律即速率分布规律 关于速率分布律,1859年麦克斯韦( J C Maxwel首先从理论上导出了气体分子速 率分布规律,直到1920年斯特恩才第一次用实验进行了初步验证后来许多人对此实验 作了改进我国物理学家葛正权也在这方面有过贡献,但是直到1955年才由密勒与库士 对麦克斯韦气体分子速率分布定律作出了高度精确的实验验证.为了便于理解,先介绍 气体分子速率分布的实验测定 测定气体分子速率分布的实验 图10.3是一种用来产生分子射线并观测射线中分子速率分布的实验装置示意图 图中A是一个恒温箱箱内为待测的水银蒸气,即分子源水银分子从A上的小孔射出通 过狭缝S后形成一束定向的分子射线D和D是两个相距为l的共轴圆盘盘上各开 个很窄的狭缝两狭缝成一个很小的夹角0,约2°左右P是接收分子的屏 中接真空 图10.3 当D、D以ω的角速度转动时,圆盘每转一周分子射线通过D圆盘一次,但由于分 子速率的大小不同自D到D所需时间也不同所以并非所有通过D的分子都能通过
9 §10.4 麦克斯韦气体分子速率分布律 m kT m kT 3 2 3 2 1 2 2 = 方均根速率 = 它是分子速度的一种统计平均值.当气体的温度一定时,方均根速率也是一定的,但气体 处于平衡态时,并非所有分子都以方均根速率运动,而是以各种大小的速度沿着各个方 向运动着,而且又由于非常频繁的碰撞,每一个分子的速度都在不断地改变,因此,若在 某一特定时刻去观察某一特定分子,它的速度具有怎样的量值和方向,完全是偶然的.然 而就大量分子的整体来看,在平衡态下,分布在各种不同速率范围内的分子数在总分子 数中所占的比率各是多少,则是确定的,这一必然规律即速率分布规律. 关于速率分布律,1859 年麦克斯韦(J.C.Maxwell)首先从理论上导出了气体分子速 率分布规律,直到 1920 年斯特恩才第一次用实验进行了初步验证,后来许多人对此实验 作了改进.我国物理学家葛正权也在这方面有过贡献,但是直到 1955 年才由密勒与库士 对麦克斯韦气体分子速率分布定律作出了高度精确的实验验证.为了便于理解,先介绍 气体分子速率分布的实验测定. 一、测定气体分子速率分布的实验 图 10.3 是一种用来产生分子射线并观测射线中分子速率分布的实验装置示意图. 图中 A 是一个恒温箱,箱内为待测的水银蒸气,即分子源.水银分子从A 上的小孔射出通 过狭缝 S 后形成一束定向的分子射线.D 和 D'是两个相距为 l 的共轴圆盘,盘上各开一 个很窄的狭缝,两狭缝成一个很小的夹角θ,约 2°左右.P 是接收分子的屏. 当 D、D'以ω的角速度转动时,圆盘每转一周,分子射线通过 D 圆盘一次,但由于分 子速率的大小不同,自 D 到 D'所需时间也不同.所以并非所有通过 D 的分子都能通过
D而到达P只有分子速率满足下列关系式的那些分子才能通过D而射到P上,即 0 这种装置也叫做速率选择器由于两个狭缝都有一定的宽度,到达P上的分子实际 上分布在一定的速率区间υ-U+dυ内,实验时如果保持0和l不变而让圆盘先后以 各种不同的角速度o1、O2、…转动,就有处在不同速率区间内的分子到达屏上用光 学方法测量屏上所堆积的水银层厚度,就可以确定相应的速率区间内的分子数与总分 子数之比也叫做分子数比率 图104是直接从实验结果作出的分子速率分布图线,其中一块块矩形面积表示分 布在各速率区间内的分子数比率 实验结果表明分布在不同速率区P;f(-M △N 间内的分子数比率是不相同的但在实 验条件不变的情况下分布在给定速率 区间内的分子数比率则是完全确定的, 尽管个别分子速率大小是偶然的,但就 大量分子整体来说,其速率的分布却遵 守着一定规律这个规律叫做分子速率07 图10.4 分布律 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律 早在气体分子速率实验测定获得成功之前麦克斯韦和玻尔兹曼等人在1859年就 已经从概率论导出了气体分子的数目按速率分布的规律限于数学上的原因和本课程 的要求我们只介绍一些基本的内容 设在平衡态下,一定量的气体分子总数为N,其中速率在U-U+△U区间内的分子 数为△N,从上面的实验已知,△NN与速率及所取的速率区间有关在不同的速率附 近它的数值不同,在同一速率附近,如取的速率区间△U越大,则△N/N就越大,当△U 趋于0时,则△N(N△U)的极限值就变成U的一个连续函数了,并用f(U)表示, 我们把这一函数叫做速率分布函数。即 lim AN 1 lim an dN f(u) A→0 NAU NA→0△UNd f∫(U)dh 0.7) 上式中的△NN为N个气体分子中在速率U附近处于速率区间△u的分子数比率 速度分布函数表示在速率U附近单位速率间隔内的分子数在总分子数中所占比率,也 是气体分子的速率处于υ附近单位速率区间的概率也叫概率密度.f(υ)与的关系
10 D'而到达 P,只有分子速率 满足下列关系式的那些分子才能通过 D'而射到 P 上,即 l l = = 或 这种装置也叫做速率选择器.由于两个狭缝都有一定的宽度,到达 P 上的分子实际 上分布在一定的速率区间υ-υ+d υ 内,实验时,如果保持θ和 l不变,而让圆盘先后以 各种不同的角速度ω1、ω2、…转动,就有处在不同速率区间内的分子到达屏上.用光 学方法测量屏上所堆积的水银层厚度,就可以确定相应的速率区间内的分子数与总分 子数之比,也叫做分子数比率. 图 10.4 是直接从实验结果作出的分子速率分布图线,其中一块块矩形面积表示分 布在各速率区间内的分子数比率. 实验结果表明,分布在不同速率区 间内的分子数比率是不相同的,但在实 验条件不变的情况下,分布在给定速率 区间内的分子数比率则是完全确定的, 尽管个别分子速率大小是偶然的,但就 大量分子整体来说,其速率的分布却遵 守着一定规律,这个规律叫做分子速率 分布律. 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律 早在气体分子速率实验测定获得成功之前,麦克斯韦和玻尔兹曼等人在 1859 年就 已经从概率论导出了气体分子的数目按速率分布的规律.限于数学上的原因和本课程 的要求,我们只介绍一些基本的内容. 设在平衡态下,一定量的气体分子总数为 N,其中速率在υ-υ+Δυ区间内的分子 数为ΔN ,从上面的实验已知, ΔN/N 与速率及所取的速率区间有关,在不同的速率附 近,它的数值不同,在同一速率附近,如取的速率区间Δυ越大,则ΔN/N 就越大,当Δυ 趋于 0 时,则ΔN/（NΔυ）的极限值就变成υ的一个连续函数了,并用 f（υ） 表示, 我们把这一函数叫做速率分布函数。即 = = = → → Nd N dN N N N f 0 0 lim 1 lim ( ) 或 = f d N dN ( ) (10.7) 上式中的ΔN/N 为 N 个气体分子中,在速率υ附近处于速率区间Δ υ的分子数比率. 速度分布函数表示在速率υ附近单位速率间隔内的分子数在总分子数中所占比率,也 是气体分子的速率处于υ附近单位速率区间的概率,也叫概率密度. f (υ)与υ的关系