导论 物理学的发展简介 物理学是研究物质结构和相互作用以及物质运动规律的学科。早在19世纪末就 已形成了三种较为成熟的理论一—①经典力学②热力学和统计物理学③电磁学。紧接 着在20世纪初与上述理论不相容的实验事实相继出现,在爱因斯坦(1879-1955)和玻 恩(1882-1970)等人的共同努力下又逐步形成了两种比较成熟的理论一①狭义相对 论,②量子力学,二者奠定了近代物理学的理论基础。20世纪内,随着物理学的发展, 又形成了原子核物理、粒子物理、天体物理及一些交叉学科.如物理化学、生物物 理 粒子物理(髙能物理)和天体物理是当前物理学硏究领域里两个活跃的前沿。粒 子物理在最小尺度上探索物质更深层次的结构;天体物理在最大尺度上寻求天体演化 的规律 二、物质世界及其相互作用简述 物质是物理学的研究对象。物质包括场与实物,其中实物所涉及的范围十分广阔 大到日地距离(10lm之上),小到基本粒子(1014m之下),目前认为存在三类“基 本”粒子:①夸克②轻子(电子、中微子等)③规范玻色子(光子等)现在人们还未 观测到它们的内部结构。 物理理论中离不开物质间的相互作用力(简称相互作用)。由于物质的结构与形 态(形状或表现)各异,所以相互作用千差万别。物质的基本形态只有粒子和场,而 相互作用有四种:引力、电磁力、强力、弱力。 相互作用的强度和力程(范围)如下表 强力 电磁力 弱力 相对强度 力程m) 10 长 <10-18 长 1引力相互作用 引力非常弱但它的力程很长,在长程范围内只有电磁力与引力两种。引力是唯 控制着天体(电中性)运行的力。 2电磁相互作用 运动带电粒子间除了电力外还有磁力相互作用,二者统称为电磁相互作用,也属 长程力。在有电磁力的情况下,引力可略。 因强和弱作用只在原子核的尺度下显示,所以在(宏观上)经典物理中相互作用
1 导 论 一. 物理学的发展简介 物理学是研究物质结构和相互作用以及物质运动规律的学科。早在 19 世纪末就 已形成了三种较为成熟的理论——①经典力学②热力学和统计物理学③电磁学。紧接 着在 20 世纪初与上述理论不相容的实验事实相继出现，在爱因斯坦(1879—1955)和玻 恩（1882—1970）等人的共同努力下又逐步形成了两种比较成熟的理论—①狭义相对 论，②量子力学，二者奠定了近代物理学的理论基础。20 世纪内，随着物理学的发展， 又形成了原子核物理、粒子物理、天体物理及一些交叉学科.如物理化学、生物物 理……。 粒子物理（高能物理）和天体物理是当前物理学研究领域里两个活跃的前沿。粒 子物理在最小尺度上探索物质更深层次的结构；天体物理在最大尺度上寻求天体演化 的规律。 二、物质世界及其相互作用简述 物质是物理学的研究对象。物质包括场与实物，其中实物所涉及的范围十分广阔。 大到日地距离（1011m 之上），小到基本粒子（10-14m 之下），目前认为存在三类“基 本”粒子：①夸克②轻子（电子、中微子等）③规范玻色子（光子等）现在人们还未 观测到它们的内部结构。 物理理论中离不开物质间的相互作用力（简称相互作用）。由于物质的结构与形 态（形状或表现）各异，所以相互作用千差万别。物质的基本形态只有粒子和场，而 相互作用有四种：引力、电磁力、强力、弱力。 相互作用的强度和力程（范围）如下表： 1.引力相互作用 引力非常弱但它的力程很长，在长程范围内只有电磁力与引力两种。引力是唯一 控制着天体（电中性）运行的力。 2.电磁相互作用 运动带电粒子间除了电力外还有磁力相互作用，二者统称为电磁相互作用，也属 长程力。在有电磁力的情况下，引力可略。 因强和弱作用只在原子核的尺度下显示，所以在（宏观上）经典物理中相互作用 强力 电磁力 弱力 相对强度 引力 力程(m) 1 2 10− 5 10− 39 10− 15 10− 18 10− 长 长
只有引力和电磁力两种 3.强相互作用 这种相互作用最强,但力程很短,仅10-45m。存在于原子核内质子之间、中子之 间及质子和中子之间的力就属此。强相互作用可表现为引力也可表现为斥力,其作用 是保持原子核的稳定。 4.弱相互作用 作用强度很弱,力程更小。 以上四种相互作用都不是物体间直接接触的机械力,都通过场来传递,而且不同 的相互作用以不同的场作为媒介 近代物理学家一直追求把这四种相互作用统一起来。上世纪60年代建立了弱 电统一的理论。眼下,弱、电、强的所谓大统一理论也取得一些进展,相对而言,现 在人们对发现最早的引力反而了解得最少。 物理学的特点 物理学以它的普通性,基础性和与其它学科的相关性(提供理论基础、研究方法 和实验手段)在自然科学中占有独特的地位。物理学是定量的科学,它以数学为语言 崇尚严谨的逻辑推理,追求精确的有效结论。物理学又是实验科学,它对自然界的了 解必须依靠观察和实验(在受控制的情况下仔细观测某一现象,并作定量的分析研 究)。然而仅仅做实验是远远不够的,人们还须对所研究的对象提出一种模型(理想 模型,如质子、刚体、点电荷、理想气体),然后根据物理现象及现象之间的关系建 立概念、定律、定理,从而建立理论体系。根据已建立的理论体系,用数学方法进行 推理,得出可由实验检验的结果,再把它与实验比较检验这个理论是否正确。如有误 差,理论上要进行修正和改进,如理论结果与实验相悖,则理论就应放弃或重建。理 论与实验之间的这种交织的关系,使物理学在坚实的基础上稳步前进。 四.学习要点: 1须重视物理概念。因为它是构成物理学大厦的骨架,应该说,概念、物理量与 基本规律是不可分的,或说借助概念、物理量才能描述物质的运动规律,反之,通过 运动规律也才能对相关的物理量有更深刻的理解 2.须重视数学手段的运用。物理学的规律,无论简繁,最终是用数学形式给出相 关物理量间的关系。有些定律只有通过数学的分析才能认识其本质。 3.须把物理概念、物理定律和数学手段三位一体地结合起来进行学习
2 只有引力和电磁力两种。 3. 强相互作用 这种相互作用最强，但力程很短，仅 15 10− m。存在于原子核内质子之间、中子之 间及质子和中子之间的力就属此。强相互作用可表现为引力也可表现为斥力，其作用 是保持原子核的稳定。 4. 弱相互作用 作用强度很弱，力程更小。 以上四种相互作用都不是物体间直接接触的机械力，都通过场来传递，而且不同 的相互作用以不同的场作为媒介。 近代物理学家一直追求把这四种相互作用统一起来。上世纪 60 年代建立了弱— 电统一的理论。眼下，弱、电、强的所谓大统一理论也取得一些进展，相对而言，现 在人们对发现最早的引力反而了解得最少。 三. 物理学的特点 物理学以它的普通性，基础性和与其它学科的相关性（提供理论基础、研究方法 和实验手段）在自然科学中占有独特的地位。物理学是定量的科学,它以数学为语言， 崇尚严谨的逻辑推理，追求精确的有效结论。物理学又是实验科学，它对自然界的了 解必须依靠观察和实验 （在受控制的情况下仔细观测某一现象，并作定量的分析研 究）。然而仅仅做实验是远远不够的，人们还须对所研究的对象提出一种模型（理想 模型，如质子、刚体、点电荷、理想气体），然后根据物理现象及现象之间的关系建 立概念、定律、定理，从而建立理论体系。根据已建立的理论体系，用数学方法进行 推理，得出可由实验检验的结果，再把它与实验比较检验这个理论是否正确。如有误 差，理论上要进行修正和改进，如理论结果与实验相悖，则理论就应放弃或重建。理 论与实验之间的这种交织的关系，使物理学在坚实的基础上稳步前进。 四. 学习要点： 1.须重视物理概念。因为它是构成物理学大厦的骨架，应该说，概念、物理量与 基本规律是不可分的，或说借助概念、物理量才能描述物质的运动规律，反之，通过 运动规律也才能对相关的物理量有更深刻的理解。 2.须重视数学手段的运用。物理学的规律，无论简繁，最终是用数学形式给出相 关物理量间的关系。有些定律只有通过数学的分析才能认识其本质。 3.须把物理概念、物理定律和数学手段三位一体地结合起来进行学习
第1章质点力学 一个有形状和大小的物体的运动是复杂的一般可分为平动、转动和振动本章只 研究质点的平动问题对于质点的平动问题的讨论又分为两个方面单纯描述质点在空 间的运动情况称为质点运动学而讨论运动产生的原因如控制运动的方法即说明运动 的因果关系称为质点动力学 数学是物理的语言,引入 ①微积分→可对物理规律的理解达一新境界。 ②矢量→可对一些物理量作简单而充分的描述,可不借助坐标系而对物理规律进 行描述和推演 两者可是物理学研究的范围扩展。 §11描述质点运动的物理量 质点参照系 质点:任何物体都是具有大小和形状的但是在某些情况下,物体的形状大小对讨 论它的运动无关紧要例如地球当研究地球绕太阳转动时,由于地球直径(约为128× 107m)比地球与太阳的距离(约为1.50×101lm)小得多地球上各点的运动相对于太阳 来讲可视为相同,此时可以忽略地球的形状和大小;但当研究地球绕自身轴转动时则不 能忽略所以说,只要物体运动的路径比物体本身尺寸大得多的时候,就可以近似地把此 物体看成只有质量而没有大小和形状的几何点此抽象化的点就叫质点由地球的例子 可以看出:把物体当作质点是有条件的即地球与太阳的平均距离比地球直径大得多) 相对的(地球自转不能当作质点) 参考系:宇宙万物大至日、月、星、辰小至原子内部的粒子都在不停的运动着 自然界一切物质没有绝对静止的这就是运动的绝对性但是对运动的描述却是相对的 例如:坐在运动着的火车上的乘客看同车厢的乘客是"静止"的,看车外地面上的人却向 后运动;反过来在车外路面上的人看见车内乘客随车前进而路边一同站着的人静止不 动这是因为车内乘客是以"车厢"为标准进行观察的而路面上的人是以地球为标准观 察的即当选取不同的标准物对同一运动进行描述所得结论不同因此我们就把相对 于不同的标准物所描述物体运动情况不同的现象叫运动的相对性而被选为描述物体 运动的标准物(或物体组川叫参考系参考系的选取以分析问题的方便为前提如描述星 际火箭的运动,开始发射时,可选地球为参考系当它进入绕太阳运行的轨道时则应以 太阳为参考系才便于描述在地球上运动的物体常以地球或地面上静止的物体为参考 系 在参考系选定后,为了定量的描述物体的位置随时间的变化还必须在参考系上选 择一个坐标系坐标系的选取有多种多样如直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球 坐标系、柱坐标系.在大学物理学中常用前三种坐标系
3 第 1 章 质点力学 一个有形状和大小的物体的运动是复杂的.一般可分为平动、转动和振动.本章只 研究质点的平动问题.对于质点的平动问题的讨论又分为两个方面:单纯描述质点在空 间的运动情况称为质点运动学;而讨论运动产生的原因:如控制运动的方法,即说明运动 的因果关系称为质点动力学. 数学是物理的语言，引入： ①微积分→可对物理规律的理解达一新境界。 ②矢量→可对一些物理量作简单而充分的描述，可不借助坐标系而对物理规律进 行描述和推演. 两者可是物理学研究的范围扩展。 §1.1 描述质点运动的物理量 一、 质点 参照系 质点：任何物体都是具有大小和形状的.但是在某些情况下,物体的形状大小对讨 论它的运动无关紧要,例如,地球:当研究地球绕太阳转动时,由于地球直径(约为 1.28× 107m)比地球与太阳的距离(约为 1.50×1011m)小得多,地球上各点的运动相对于太阳 来讲可视为相同,此时可以忽略地球的形状和大小;但当研究地球绕自身轴转动时则不 能忽略.所以说,只要物体运动的路径比物体本身尺寸大得多的时候,就可以近似地把此 物体看成只有质量而没有大小和形状的几何点,此抽象化的点就叫质点.由地球的例子 可以看出：把物体当作质点是有条件的(即地球与太阳的平均距离比地球直径大得多); 相对的(地球自转不能当作质点). 参考系：宇宙万物,大至日、月、星、辰,小至原子内部的粒子都在不停的运动着. 自然界一切物质没有绝对静止的.这就是运动的绝对性.但是对运动的描述却是相对的. 例如：坐在运动着的火车上的乘客看同车厢的乘客是"静止"的,看车外地面上的人却向 后运动;反过来,在车外路面上的人看见车内乘客随车前进,而路边一同站着的人静止不 动;这是因为车内乘客是以"车厢"为标准进行观察的,而路面上的人是以地球为标准观 察的.即当选取不同的标准物对同一运动进行描述,所得结论不同.因此,我们就把相对 于不同的标准物所描述物体运动情况不同的现象叫运动的相对性.而被选为描述物体 运动的标准物(或物体组)叫参考系.参考系的选取以分析问题的方便为前提.如描述星 际火箭的运动,开始发射时,可选地球为参考系.当它进入绕太阳运行的轨道时,则应以 太阳为参考系才便于描述.在地球上运动的物体,常以地球或地面上静止的物体为参考 系. 在参考系选定后,为了定量的描述物体的位置随时间的变化,还必须在参考系上选 择一个坐标系.坐标系的选取有多种多样,如直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球 坐标系、柱坐标系.在大学物理学中常用前三种坐标系
二、位置矢量和位移 位置矢量:位置矢量是定量描述质点某一时刻所在空间位置的物理量如图1.1所 示,设质点在某一时刻位于P点从坐标系的原点O引向P点的有向线段OP称为该时 刻质点的位置矢量简称位矢,以r表示它在X,Y,Z轴上的投影(或位置坐标)分别 为xy,z于是,位矢r的表达式为 +y+二k 式中,i,j,k分别为Ⅹ,Y,Z轴上的单位矢量(大小为1,方向沿各轴正向的矢量)显 然,位置矢量的大小 +y+2 其方向由它的三个方向余弦来确定位矢的单位为米(m) F(+△) 运动学方程:质点在运动过程中每一时刻均有一对应的位置矢量(或一组对应的 位置坐标ⅹy,z)换言之,质点的位矢是时间的函数,即 F=F() (12) 其投影式为 x=x() 二() 这样F=r(t)=x(t)+(t)j+z(1)k(.2c) 按机械运动的定义,函数式(12a描述了这个运动的过程故称为质点的运动方程知道 了运动方程,就能确定任一时刻质点的位置进而确定质点的运动运动学的主要任务在 于,根据问题的具体条件,建立并求解质点的运动方程 如果由(1.2b)中消去参变量t,则得质点运动的轨迹方程如果质点限制在平面 内则可在此平面上建立xoy坐标系,于是(1.2b)式中的z(t)=0,从中消去时间t,得
4 二、 位置矢量和位移 位置矢量：位置矢量是定量描述质点某一时刻所在空间位置的物理量.如图 1.1 所 示,设质点在某一时刻位于 P 点,从坐标系的原点 O 引向 P 点的有向线段 OP 称为该时 刻质点的位置矢量,简称位矢 ,以 r 表示.它在 X ,Y ,Z 轴上的投影(或位置坐标)分别 为 x ,y ,z .于是,位矢 r 的表达式为 r xi yj zk = + + (1.1) 式中, i , j , k 分别为 X ,Y ,Z 轴上的单位矢量(大小为 1,方向沿各轴正向的矢量).显 然,位置矢量的大小 2 2 2 r = x + y + z 其方向由它的三个方向余弦来确定.位矢的单位为米(m). 运动学方程：质点在运动过程中,每一时刻均有一对应的位置矢量(或一组对应的 位置坐标 x ,y ,z).换言之,质点的位矢是时间的函数,即 r r(t) = (1.2) 其投影式为 = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t (1.2b) 这样 r r t x t i y t j z t k ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ = ( ) = ( ) + + (1.2c) 按机械运动的定义,函数式(1.2a)描述了这个运动的过程,故称为质点的运动方程.知道 了运动方程,就能确定任一时刻质点的位置,进而确定质点的运动.运动学的主要任务在 于,根据问题的具体条件,建立并求解质点的运动方程. 如果由 (1.2b) 中消去参变量 t ,则得质点运动的轨迹方程.如果质点限制在平面 内,则可在此平面上建立 xoy 坐标系,于是 (1.2b) 式中的 z(t) = 0 ,从中消去时间 t ,得 z x y 0 P s r r(t) r(t + t)
(1.3) 此即质点在xy平面内运动的轨迹方程 位移:位移是表示质点位置变化的物理量如图11所示设时刻t质点经过P处, 位矢为r时刻t+△t,质点经过P处,位矢为F(+△1)在时间t内,质点位置的变化可用 它的位移表示由图12知 AF=F(t+△)-F() (1.4) 位移是矢量,其大小为有向线段AF的长度,其方向由始点指向末点 必须指出,位移和路程不同位移是矢量,是质点在一段时间内的位置变化而不是 质点所经历的实际路径路程为标量,是指该段时间内质点所经历的实际路径的长度,以 △s表示(如图中的弧长)位移和路程除了矢量、标量不同外而且总有A≥只有质 点在作单向直线运动时才有A=M但是在△t→0的极限情况下,d=其次还要 注意Mr与AF的区别,一般以A代表同-因此总有A≥N,只有在与方向相同 的情况下A与M才相等 三、速度 速度是表示质点位置变化快慢和变化方向的物理量将质点的位移与完成位移所 需的时间的比值称为质点在该段时间内的平均速度用3表示即 AF_F(t+△t)-F(t) 平均速度是矢量,其方向与△F的方向相同,如图1.3所 质点所经历的路程与完成这段路程所需时间之比称为质点在该段时间内的平均 速率,以可表示 平均速率为标量在一般的情况下,平均速度的大小并不等于平均速率 平均速度只能反映一段时间内质点位置的平均变化情况,而不能反映质点在某 时刻(或某一位置)的瞬时变化情况当时,平均速度的极限值才能精确地反映质点在某 时刻或某一位置)的运动快慢及方向这一极限值称为质点在该时刻的瞬时速度,或 简称速度,以U表示,即 lim ar dr (1.7) t→0△tdt
5 y = y(x) (1.3) 此即质点在 x y 平面内运动的轨迹方程. 位移：位移是表示质点位置变化的物理量.如图 1.1 所示,设时刻 t 质点经过 P 处, 位矢为 r;时刻 t+∆t，质点经过 P'处,位矢为 r(t + t) .在时间∆t 内,质点位置的变化可用 它的位移表示.由图 1.2 知 r r(t t) r(t) = + − (1.4) 位移是矢量,其大小为有向线段 r 的长度,其方向由始点指向末点. 必须指出,位移和路程不同.位移是矢量,是质点在一段时间内的位置变化,而不是 质点所经历的实际路径;路程为标量,是指该段时间内质点所经历的实际路径的长度,以 Δs 表示(如图中的弧长).位移和路程除了矢量、标量不同外,而且总有 s r .只有质 点在作单向直线运动时才有 s r = .但是在∆t→0 的极限情况下, ds dr = .其次,还要 注意 r 与 r 的区别,一般以 r 代表 2 1 r r − ,因此总有 r r ,只有在 2 r 与 1 r 方向相同 的情况下 r 与 r 才相等. 三、速度 速度是表示质点位置变化快慢和变化方向的物理量.将质点的位移与完成位移 所 需的时间的比值称为质点在该段时间内的平均速度,用 表示,即 t r t t r t t r + − = = ( ) ( ) (1.5) 平均速度是矢量,其方向与 r 的方向相同,如图 1.3 所示. 质点所经历的路程与完成这段路程所需时间之比 称为质点在该段时间内的平均 速率 ,以 表示 t s = (1.6) 平均速率为标量.在一般的情况下,平均速度的大小并不等于平均速率. 平均速度只能反映一段时间内质点位置的平均变化情况,而不能反映质点在某一 时刻(或某一位置)的瞬时变化情况.当 时,平均速度的极限值才能精确地反映质点在某 一时刻(或某一位置)的运动快慢及方向.这一极限值称为质点在该时刻的瞬时速度 ,或 简称速度 ,以 表示,即 d t dr t r t = → = 0 lim (1.7)
速度是矢量其方向与AF的极限方向一致,即为运动轨迹上该点的切线方向从式(17) 可以看出,速度是位置矢量对时间的一阶导数速度的单位是米·秒(ms 反映质点运动瞬时快慢的物理量称为瞬时速率(简称速率)它是Δt→0时平均速率 的极限值,即 ds △t dt 由于At→0时=d,故质点在某一时刻的速度大小与该时刻的瞬时速率相等 四、加速度 加速度是描述质点速度随时间变化快慢的物理量 AUD(+△t)-U(1) (1 △t 轨道 D(0) U(t+△) △U t+△t 由式(19)可以看出,质点的加速度等于速度对时间的一阶导数,或等于位置矢量对 时间的二阶导数换句话说我们可以通过对速度或位矢求导来计算加速度加速度的 单位是米·秒(m·s) 五、圆周运动的角量描述 轨迹为圆周的运动称为圆周运动由于作圆周运动的质点必在圆周上,因而其运 动可用一组角量来描述 角坐标角坐标是描述质点在圆周上位置的物理量如图1.5所示,设时刻质点位 于处,则半径与参考轴的夹角即为该时刻质点的角坐标,它随时间而变化,即 运动方程:0=0() 此即质点作圆周运动时的运动方程角坐标的单位为弧度(rad)
6 速度是矢量,其方向与 r 的极限方向一致,即为运动轨迹上该点的切线方向.从式(1.7) 可以看出,速度是位置矢量对时间的一阶导数.速度的单位是米·秒(ms) 反映质点运动瞬时快慢的物理量称为瞬时速率(简称速率),它是∆t→0 时平均速率 的极限值,即 dt ds t s t = ⎯ ⎯→ = = →0 (1.8) 由于∆t→0 时 dr = ds ,故质点在某一时刻的速度大小与该时刻的瞬时速率相等. 四、加速度 加速度是描述质点速度随时间变化快慢的物理量. 2 2 0 dt d r dt d a t t t t t a t = ⎯ ⎯→ = + − = = ( ) ( ) → (1.9) 由式(1.9)可以看出,质点的加速度等于速度对时间的一阶导数,或等于位置矢量对 时间的二阶导数 .换句话说,我们可以通过对速度或位矢求导来计算加速度.加速度的 单位是米·秒(m·s). 五、圆周运动的角量描述 轨迹为圆周的运动称为圆周运动 .由于作圆周运动的质点必在圆周上,因而其运 动可用一组角量来描述. 角坐标 角坐标是描述质点在圆周上位置的物理量.如图 1.5 所示,设时刻质点位 于处,则半径与参考轴 的夹角 即为该时刻质点的角坐标 ,它随时间而变化,即 运动方程: = (t) (1.10) 此即质点作圆周运动时的运动方程 .角坐标的单位为弧度(rad). 轨道 (t) (t + t) (t + t)
角位移:△θ M→0>cO 角速度:o △0 t→>0 40具有矢量性 角加速度:阝 O 0>β 角位移、角速度与角加速度(统称为角量)的单位分别为弧度(rad)、弧度/秒 rad·s)、及弧度/秒(rad·s) 例1.1(P6) 作业(P28):1.5,1.7 思考题自己练习
7 具有矢量性 角加速度： 角速度： 角位移： ⎯ ⎯→ = = ⎯ ⎯→ = = ⎯ ⎯→ → → → dt d t dt d t d t t t 0 0 0 角位移、角速度与角加速度(统称为角量)的单位分别为弧度(rad)、弧度／秒 (rad·s)、及弧度／秒(rad·s). 例 1.1 （P6） 作业（P28）：1.5，1.7 思考题自己练习
§12描述质点运动的坐标系 前面讲过为了定量的描述物体的位置和位置随时间的变化在参考系上还需要选 择一个坐标系下面介绍三种常用坐标系中的各物理量及其变化的表达式 、直角坐标系 位移在直角坐标系中,位移可表示为 A=(x2-x)+(y2-y1)j+(=2-=1)k=△xi+△y+△k(1.13) 位移的大小|A=√△x2+△y2+△ 其方向由三个方向余弦确定分别为 cosa=n-, cosB 速度由速度定义知速度是位置矢量对时间的一阶导数。即 (1.14) dt dtdt dt 加速度由加速度定义有 c d-r du a j+==k d27+2 k=a i +a,j+ak 二、平面极坐标系 位矢:对于位置矢量限制在一平 上的情形除了用平面直角坐标系外, 可用平面极坐标系来描述此时质点 面也的和 坐标为r和0设e和分别代表径向 横向(同径向垂直指向θ角增加的方极点 x极轴 向) 的单位矢量(如图所示)这里的 E和数量不变等于1,但它们的方向均随质点所在位置而异即与坐标有关)。 则质点的位置矢量可表示为 F=F()=r()e,(D) 因为当质点在平面上运动时随着坐标的变化,也随之改变方向所以也成为时间t的 函数,位矢的极坐标分量成为
8 §1.2 描述质点运动的坐标系 前面讲过,为了定量的描述物体的位置和位置随时间的变化,在参考系上还需要选 择一个坐标系.下面介绍三种常用坐标系中的各物理量及其变化的表达式。 一、直角坐标系 位移 在直角坐标系中,位移可表示为 r x x i y y j z z k xi yj zk ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ = ( 2 − 1 ) + 2 − 1 + 2 − 1 = + + (1.13) 位移的大小 2 2 2 r = x + y + z 其方向由三个方向余弦确定.分别为： r z r y r x = = cos = , cos , cos 速度 由速度定义知,速度是位置矢量对时间的一阶导数。即 k dt dz j dt dy i dt dx dt dr = = + + (1.14) 加速度 由加速度定义有 k dt d j dt d i dt d dt d r dt d a x y z + + = = = 2 2 k a i a j a k dt d z j dt d y i dt d x x y z = + + = + + 2 2 2 2 2 2 (1.15) 二、平面极坐标系 位矢：对于位置矢量限制在一平 面 上的情形,除了用平面直角坐标系外, 也 可用平面极坐标系来描述.此时质点 的 坐标为 r 和 .设 e e r 和 分别代表径向 和 横向(同径向垂直指向 角增加的方 向 ) 的 单 位 矢 量 ( 如 图 所 示 )( 这里的 e e r 和 数量不变,等于 1,但它们的方向均随质点所在位置而异,即与坐标有关)。 则质点的位置矢量可表示为 r r(t) r(t)e ˆ [ (t)] = = r (1.16) 因为当质点在平面上运动时,随着坐标 的变化, 也随之改变方向,所以也成为时间 t 的 函数,位矢的极坐标分量成为 极点 极轴
r=r() 6=6(t) 速度:根据速度定义有 (e)= de dt e.+ r0(横)( 式中f是质点径向坐标对时间的变化率,即质点与原点距离的时间变化率为横向速度 推导从略 加速度:平面极坐标系中质点的加速度已超出普通物理的范畴将在理论力学中学 到所以本书不予推导,只给出结论平面极坐标系中的加速度也分为径向加速度和横向 加速度,其分别为 径向加速度 F-10 横向加速度 i d 由上可以看出在平面极坐标系中,加速度分量的表达式比较繁杂不象直角坐标系 中那么简单,但这并不等于解算力学中所有问题都要用直角坐标系才显得方便在理论 力学中关于有心力的讨论,平面极坐标系就比直角坐标系方便 三、自然坐标系 在有些情况下,质点相对参考系的运 轨迹是已知的例如,以地面为参考系火车 s() 为质点)的运动轨迹(铁路轨道)是已知的 时可以轨迹上任一点M的切线和法线构 动(这成称 坐标系来研究平面曲线运动这种坐标系 为自然坐标系,如图所示图中r,n分别代表切线和法线方向的单位矢量显然,随着质 点位置的改变,τ及n的方向亦随之而变因此,r,n与i,j,k不同,前者的方向在运 动中是可变的而后者则是固定的 运动方程如图在轨道上任选定一点O作为原点(或称为弧长起算点,原点不 定是p的初始位置),沿轨道规定一个弧长正方向(轨道上箭头示,不一定是p运动 的方向)。则可用O至P的轨道弧长s来描述p的位置。当p随t变位置时,s是t的 标量函数
9 = = ( ) ( ) t r r t 速度：根据速度定义有 dt d d de re re r dt d r r r r = = = + ˆ ( ˆ ) ˆ = = = + ( ) ( ) ˆ ˆ 横 径 r r re r e r r (1.17) 式中 r 是质点径向坐标对时间的变化率,即质点与原点距离的时间变化率.为横向速度, 推导从略. 加速度：平面极坐标系中质点的加速度已超出普通物理的范畴,将在理论力学中学 到.所以本书不予推导,只给出结论.平面极坐标系中的加速度也分为径向加速度和横向 加速度,其分别为 径向加速度 2 r = − a r r 横向加速度 = + = ( ) 1 2 2 r dt d r a r r (1.18) 由上可以看出,在平面极坐标系中,加速度分量的表达式比较繁杂,不象直角坐标系 中那么简单,但这并不等于解算力学中所有问题都要用直角坐标系才显得方便.在理论 力学中关于有心力的讨论,平面极坐标系就比直角坐标系方便. 三、自然坐标系 在有些情况下,质点相对参考系的运 动 轨迹是已知的,例如,以地面为参考系,火车 ( 视 为质点)的运动轨迹(铁路轨道)是已知的. 这 时可以轨迹上任一点 M 的切线和法线构 成 坐标系来研究平面曲线运动.这种坐标系 称 为自然坐标系 ,如图所示.图中τ，n 分别代表切线和法线方向的单位矢量.显然,随着质 点位置的改变,τ及 n 的方向亦随之而变.因此,τ，n 与 i，j，k 不同，前者的方向在运 动中是可变的,而后者则是固定的. 运动方程 如图在轨道上任选定一点 O 作为原点（或称为弧长起算点，原点不一 定是 p 的初始位置），沿轨道规定一个弧长正方向（轨道上箭头示，不一定是 p 运动 的方向）。则可用 O 至 P 的轨道弧长 s 来描述 p 的位置。当 p 随 t 变位置时，s 是 t 的 标量函数。 • O P s(t) n •
s(t) 这就是以自然坐标表示的质点运动学方程 速度:在自然坐标系中质点的速率参见式(18)可以通过对式(119)求导得到于 是自然坐标系中的质点速度 U-n= ds (1.20) 加速度:对式(1.20)求导得质点在自然坐标系中的加速度 τ dt d-s τ (1.21) dt dt 这里用到(Gt=dOn=n) 式中右方第一项大小为质点在某一位置(某一时刻)速率的变化率,方向与切线方向平 行故称切向加速度以a表示,第二项与前项垂直即与n同向,即方向为法向故称法向 加速度,用an表示。所以,在自然坐标系中质点的加速度的表达式为 τ 加速度的大小及方向与切线方向的夹角为: 大小 方向α= arctan (1.23) 从以上讨论可以看出,切向加速度给出了速度大小随时间的变化率;而法向加速度 则反映了速度方向随时间的变化率 四、角量与线量的关系 从§1.1节五小节容易看出在dt时间内,质点发生dθ角位移时,它所通过的路程 ds=rde (1.24a) 由质点的速度、切向及法向加速度(统称为线量)的定义得其大小分别为
10 s = s(t) (1.19) 这就是以自然坐标表示的质点运动学方程. 速度：在自然坐标系中,质点的速率[参见式(1.8)]可以通过对式(1.19)求导得到.于 是,自然坐标系中的质点速度 = = dt ds (1.20) 加速度：对式(1.20)求导,得质点在自然坐标系中的加速度 n dt d s dt d dt d dt d a = + + = = 2 2 2 (1.21) 这里用到 ( ˆ n ˆ) ds d d n = = 式中右方第一项大小为质点在某一位置(某一时刻)速率的变化率,方向与切线方向平 行,故称切向加速度,以 a 表示,第二项与前项垂直,即与 n 同向,即方向为法向,故称法向 加速度，用 n a 表示。 所以，在自然坐标系中,质点的加速度的表达式为 n a a n dt d s a n = + = + 2 2 2 （1.22） 加速度的大小及方向与切线方向的夹角为： = = + a a a a a n n 方向 arctan 大小 2 2 （1.23） 从以上讨论可以看出,切向加速度给出了速度大小随时间的变化率;而法向加速度 则反映了速度方向随时间的变化率. 四、角量与线量的关系 从§1.1 节五小节容易看出,在 dt 时间内,质点发生 d 角位移时,它所通过的路程 ds=r d (1.24a) 由质点的速度、切向及法向加速度(统称为线量)的定义得其大小分别为