奥题剖彻 第十二章机械振动与电磁振荡 1.基本思路 本章重点是对简谐振动的理解,掌握3个“ 简谐振动的三个基本特征,描述 简谐振动的三个特征物理量和描述简谐振动的三种方法,掌握简谐振动的合成规律。本章 习题可分为四类: (1)判断某种运动是否为简谐振动 (2)根据运动的初始条件(或振动曲线)写出简谐振动的运动方程; 3)由运动方程求解简谐振动的各特征量 (4)简谐振动的合成。 解题前应分清习题属于哪一类,只要理解简谐振动各特征量的意义并掌握一些基本的 公式,计算过程一般来说并不复杂。 2.例题剖析 例1一质点按如下规律沿x轴作简谐振动:x=0.lcos(8m+2x/3)m,求此振动的 周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。 分析本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题,可采用比较法求解。即将 已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Aco(o+q)作比较,即可求得各 特征量;而速度和加速度值的计算与质点运动学中由位移方程求解速度和加速度的计算方 法相同。 解将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式x=Acos(o+)作比较后 可得,O=8mad/s,振幅A=0.lm,初相位q=2x/3,于是周期T=2x/=0.25s 速度最大值vma=OA4=0.8m(=2.5m 加速度最大值anm=024=64x2m2(=63m/2) 例2已知某物体作简谐振动的振动曲线如图13-2 所示,求其振动方程 分析本题属于根据运动的初始条件(或振动曲线) 写出简谐振动的运动方程的问题。在振动曲线已知的条件0205 下,确定初相φ是求解简谐运动方程的关键,初相的确定 通常有两种方法:①旋转矢量法,如下图所示将物体在x 图13-2 轴上振动的初始位置x和速度w的方向与旋转矢量图相对应来确定φo。这种方法较为直
典型例题剖析 第十二章 机械振动与电磁振荡 1．基本思路 本章重点是对简谐振动的理解，掌握 3 个“三”：即简谐振动的三个基本特征，描述 简谐振动的三个特征物理量和描述简谐振动的三种方法，掌握简谐振动的合成规律。本章 习题可分为四类： (1)判断某种运动是否为简谐振动 (2)根据运动的初始条件（或振动曲线）写出简谐振动的运动方程； (3)由运动方程求解简谐振动的各特征量 (4)简谐振动的合成。 解题前应分清习题属于哪一类，只要理解简谐振动各特征量的意义并掌握一些基本的 公式，计算过程一般来说并不复杂。 2．例题剖析 例 1 一质点按如下规律沿 x 轴作简谐振动： x 0.1cos(8t 2 3)m ，求此振动的 周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。 分析 本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题，可采用比较法求解。即将 已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式 cos( ) 0 x A t 作比较，即可求得各 特征量；而速度和加速度值的计算与质点运动学中由位移方程求解速度和加速度的计算方 法相同。 解 将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式 cos( ) 0 x A t 作比较后 可得， 8rad /s ，振幅 A=0.1m，初相位 0 2 /3 ，于是周期 T 2 / 0.25s 速度最大值 0.8 ( 2.5 ) max s m s v A m 加速度最大值 6.4 ( 63 ) 2 2 2 2 max s m s a A m . 例 2 已知某物体作简谐振动的振动曲线如图 13－2 所示，求其振动方程。 分析 本题属于根据运动的初始条件（或振动曲线） 写出简谐振动的运动方程的问题。在振动曲线已知的条件 下，确定初相 0 是求解简谐运动方程的关键，初相的确定 通常有两种方法：①旋转矢量法，如下图所示将物体在 x 轴上振动的初始位置 x0 和速度 v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定 0 。这种方法较为直 x / cm P O 4 图 13- 2 t /s 2 4 0.5
观、方便,在分析中常被采用。②解析法,由振动方程出发,根据初始条件,即t=0时, x=x和四=w联立确定q值。 从图12-2中可以看出A=4cm,设其振动方程为x=Acos(o+),下面用两种方 法来求初相位。和圆频率O 解法I旋转矢量法 1=0时,物体的初位移x=-2√2 A,且v0>0,所对 应的旋转矢量A如图12-3所示,由图显见,在t=0时的相位(初 图13-3 相位)为 9=丌或q=-7丌,通常取0即sin0<0
观、方便，在分析中常被采用。②解析法，由振动方程出发，根据初始条件，即 t=0 时， x= x0 和 v= v0 联立确定 0 值。 从图 12－2 中可以看出 A=4cm，设其振动方程为 cos( ) 0 x A t ，下面用两种方 法来求初相位 0 和圆频率 。 解法Ⅰ 旋转矢量法 t=0 时，物体的初位移 x A 2 2 0 2 2 ，且 v0>0，所对 应的旋转矢量 A 如图 12－3 所示，由图显见，在 t=0 时的相位（初 相位）为 0 = 4 5 或 0 = 4 3 － ，通常取 0 < ，由图还可以看出，矢量 A 由 M 点到 P 点 历时 0.5s，转过的角度为 4 ，所以 4 t 从而解得 rad /s 2 . 于是得到物体的振动方程为 ). 4 3 2 4 10 cos( 2 x t (SI 制) 解法Ⅱ 解析法 将 t=0 时 x A 2 2 0 2 2 代入设定的振动方程，有 0 cos 2 2 A＝A , 解得 0 = 4 3 由于 t＝0 时刻，物体位于 A 2 2 － 处，下一时刻它将向平衡位置运动，即向正方向运 动，因此， t＝0 时物体的速度大于零，即 v0 Asin0 0 即 sin0 0, x 图 13- 3 O P A 0 2 2 M A
所以,取0=-丌 将1=05,x=0代入振动方程,有0=4×10-2cos(0.50-2x), 3 3 co50-丌)=0,于是0.50-丌=± 即t=0.5s时>0,则sn(0.50-丌)<0,于是 0.50--丌= a=(rad/s) 所以物体的振动方程为 x=4×102co(2t-)。(SI制) 例3如图13-4,有一水平弹簧振子,弹簧的劲度系数k=24Nm,重物的质量m=6kg, 重物静止在平衡位置上,设以一水平恒力F=10N向左作用于物体(不计摩擦),使之由平 衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F,当重物运动到左方最远位置时开始计时,求物 体的运动方程 分析该题是与上题类似的题目,只是某些特征量未直接给出,需要运用以前所学知 识(质点运动学和动力学知识)结合简谐运动的特征(本例可用能量特征)去求解 解设物体的运动方程为 x=Acos(at+Po) 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量 F×0.05=10×005J 图13-4 当物体运动到左方最远位置时,弹簧的最大弹性势能为0.5J,即 k42=0.5J 故A=0.204m A就是振幅。 @-=k/m=4(rad/s) 按题目所述时刻计时,初相为q=丌。 所以物体的运动方程为 x=0.204cos(2+丌).(S) 例4如图13-5所示,一质量为m,直径为D的塑料圆柱体上 放入密度为的液体中,圆柱体有一部分浸入水中,另一部分浮国E 在水面上.如果用向下按动圆柱体,放手后圆柱体将上下上 图13-5
所以，取 4 3 0 将 t=0.5s，x=0 代入振动方程，有 ) 4 3 0 4 10 cos(0.5 2 ， 即 ) 0 4 3 cos(0.5 ，于是 4 2 3 0.5 ， 即 t=0.5s 时 v>0，则 ) 0 4 3 sin(0.5 ，于是 4 2 3 0.5 ， ( / ) 2 rad s ， 所以物体的振动方程为 ) 4 3 2 4 10 cos( 2 x t 。（SI 制） 例３ 如图 13-4，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k=24N/m，重物的质量 m=6kg， 重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力 F=10N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平 衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去力 F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物 体的运动方程。 分析 该题是与上题类似的题目，只是某些特征量未直接给出，需要运用以前所学知 识（质点运动学和动力学知识）结合简谐运动的特征（本例可用能量特征）去求解。 解 设物体的运动方程为： cos( ) 0 x A t ， 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F 0.05 100.05J. 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为 0.5J，即： kA 0.5J 2 1 2 故 A=0.204m, A 就是振幅。 2 2 k / m 4(rad /s) ， 2rad /s。 按题目所述时刻计时，初相为 。 所以物体的运动方程为 x 0.204cos(2t ). （SI） 例 4 如图 13-5 所示，一质量为 m，直径为 D 的塑料圆柱体 放入密度为 的液体中，圆柱体有一部分浸入水中，另一部分浮 在水面上。如果用手轻轻向下按动圆柱体，放手后圆柱体将上下 O x x 图 13- 5 F 图 13-4 m O
振动,试证明该振动为简谐振动,并求振动周期(圆柱体表面和液体的摩擦力忽略不计) 分析本题属于判断某种运动是否为简谐振动的问题。要证明一个物体的运动是否为 简谐运动,即要看它的运动是否符合简谐振动的特征,若符合,则为简谐运动,否则便不 是,本题可从动力学特点分析。分析圆柱体在平衡位置附近上下运动时,它所受的合外力 F与位移x之间的关系,若满足F=kx,则圆柱体作简谐运动,并可求得振动周期7= Imk 证明以圆柱体平衡时的顶端为坐标原点,向下为正方向建立如图13-5所示的坐标系, 设平衡时圆柱体在液体中的体积为V,则 pg=mg, 若将圆柱体向下压下一微小距离x,则它所受到的合外力为 F=mg-fa=mg-[+r()'xlpg =mg -(X=-Tpg()X 根据牛顿第二定律得 F=-TPg()X=mae m d2 整理后得 pgx dt- 4m ,即m=D rpg1m,得 d 此式是简谐振动的微分方程,因此该振动为简谐振动。其周期为 2丌4 DVA 例5有两个振动方向相同的简谐振动,其振动方程分别为 x,=3cos(2 +r)cm, x,= 4 cos(2n+-)cm (1)求它们的合振动方程 (2)另有一同方向的简谐振动x3=2c0s(2m+q3)Cm,问当φ3为何值时,x1+x3的
振动，试证明该振动为简谐振动，并求振动周期（圆柱体表面和液体的摩擦力忽略不计）。 分析 本题属于判断某种运动是否为简谐振动的问题。要证明一个物体的运动是否为 简谐运动，即要看它的运动是否符合简谐振动的特征，若符合，则为简谐运动，否则便不 是，本题可从动力学特点分析。分析圆柱体在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力 F 与位移 x 之间的关系，若满足 F=-kx，则圆柱体作简谐运动，并可求得振动周期 T= k m 2 2 ， 证明 以圆柱体平衡时的顶端为坐标原点，向下为正方向建立如图 13-5 所示的坐标系， 设平衡时圆柱体在液体中的体积为 V，则 gV mg ， 若将圆柱体向下压下一微小距离 x，则它所受到的合外力为 X D X g D mg gV g g D F mg f mg V 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( ) x] 2 [ ( 浮 根据牛顿第二定律得 2 2 2 ) 2 ( dt d x X ma m D F g ＝ ， 整理后得 0 4 2 2 2 gx m D dt d x 令 g m D 4 2 2 ，即 g m D / 2 ，得 0 4 2 2 2 gx m D dt d x 此式是简谐振动的微分方程，因此该振动为简谐振动。其周期为 g m D T 2 4 ＝ 。 例 5 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为 x1 3cos(2t )cm， x t )cm 2 2 4cos(2 ， (1) 求它们的合振动方程； (2) 另有一同方向的简谐振动 x3 2cos(2t 3 )cm ，问当 3 为何值时， 1 3 x x 的
振幅为最大值?当φ3为何值时,x1+x3的振幅为最小值? 分析本题属于简谐振动合成问题。可以采用解析法或旋转矢量法求解,直接套用简 谐振动合成的公式即可 解(1)由题意可知x和x2是两个振动方向相同,频率也相同的简谐振动,其合振 动也是简谐振动,设合振动方程为 x= Acos(@t+o) 则合振动的圆频率与分振动的圆频率相同,即 O=2mad/s。 合振动的振幅为 A=√+4+240(2-m)=19+16+2×3×4×osz)=5m 合振动的初相位为 3sin +sin A sin A, sin A cosp+ A cos p2 3cosz +4cos I 3 由旋转矢量图法可知,所求的初相位应在第二象限,因此 90 故所求的振动方程为 x= 5cos(2n+--t)cm (2)当q3-=±2kx(k=0,12,…)时,即x1与x相位同时,合振动的振幅最大, 由于1=丌,故 =±2k丌+m(k=0.1,2,…) 当φ3-9=±2kπ(k=0.1,2,…)时,即x1与x3相位相反时,合振动的振幅最小,由 于q=丌,故 q3=±(2k+1)x+丌 即3=±2k7(k=0.1,2…
振幅为最大值？当 3 为何值时， 1 3 x x 的振幅为最小值？ 分析 本题属于简谐振动合成问题。可以采用解析法或旋转矢量法求解，直接套用简 谐振动合成的公式即可。 解 （1）由题意可知 1 x 和 2 x 是两个振动方向相同，频率也相同的简谐振动，其合振 动也是简谐振动，设合振动方程为 cos( ) 0 x A t ， 则合振动的圆频率与分振动的圆频率相同，即 2rad /s 。 合振动的振幅为 A A A A A ) 5cm 2 2 cos( ) 9 16 2 3 4 cos( 1 2 2 1 2 2 2 1 合振动的初相位为 3 4 2 3cos 4cos 2 3sin 4sin cos cos sin sin tan 1 1 2 2 1 1 2 2 0 A A A A 由旋转矢量图法可知，所求的初相位应在第二象限，因此 10 7 0 ＝ 故所求的振动方程为 x t )cm 10 7 5cos(2 (2) 当 2 ( 0,1,2, ) 3 1 ＝ k k 时，即 x1 与 x3 相位同时，合振动的振幅最大， 由于 1 ，故 2 ( 0,1,2, ) 3 k k 当 2 ( 0,1,2, ) 3 1 ＝ k k 时，即 x1与 x3相位相反时，合振动的振幅最小，由 于 1 ＝ ，故 3 （2k 1) 即 2 ( 0,1,2, ) 3 ＝ k k