鱼点难忘指导 第十章恒定电流和真空中恒定磁场 1.恒定电流和恒定电场 1)电流密度矢量o δ的大小等于单位时间通过空间中某点处垂直于电荷运动方向的单位面积的电荷量, 方向和该点处正电荷运动方向一致。 电流密度和电流强度的关系 2)电流连续性方程 (2) >0时,流入闭合曲面S中的电荷量多于流出的电荷量 <0时,流入闭合曲面S中的电荷量少于流出的电荷量 d q =0时,流入闭合曲面S中的电荷量等于流出的电荷量,这是维持恒定电流的条 dt 件 3)欧姆定律的微分形式 (3) 式中y为导体的电导率,y O为电阻率
重点难点指导 第十章 恒定电流和真空中恒定磁场 1．恒定电流和恒定电场 1) 电流密度矢量 的大小等于单位时间通过空间中某点处垂直于电荷运动方向的单位面积的电荷量， 方向和该点处正电荷运动方向一致。 电流密度和电流强度的关系： S I dS （1） 2)电流连续性方程 dt dq dS 。 （2） 0 dt dq 时，流入闭合曲面 S 中的电荷量多于流出的电荷量。 0 dt dq 时，流入闭合曲面 S 中的电荷量少于流出的电荷量。 0 dt dq 时，流入闭合曲面 S 中的电荷量等于流出的电荷量，这是维持恒定电流的条 件。 3)欧姆定律的微分形式 E ， （3） 式中 为导体的电导率， 1 ， 为电阻率
积分形式 R 4)焦耳榜次定律的微分形式 p= (4) 式中p称为热功率密度,是电流在导体中流过时,导体内单位时间,单位体积中所 产生的热量。 5)电源的电动势 电源的电动势等于电源中非静电力把单位正电荷从负极经内电路移到正极时所作的 式中E=为单位正电荷在电源内部受的非静电力F,可称为“非静电性场的场 强”。 电动势的指向规定:由负极经内电路指向正极 如整个闭合电路中处处有非静电力F时,电动势可表示为: E= Ek. d 即“非静电性场的场强”沿闭合电路上的环流。 注意 (1)不同电源其非静电力性质可能不同,如干电池的非静电力为化学力,后面讲到的 动生电动势的非静电力是洛仑兹力,感生电动势来源于涡旋电场
积分形式 R U I 4)焦耳-楞次定律的微分形式 2 p E （4） 式中 p 称为热功率密度，是电流在导体中流过时，导体内单位时间，单位体积中所 产生的热量。 5)电源的电动势 电源的电动势等于电源中非静电力把单位正电荷从负极经内电路移到正极时所作的 功。 A B K E dl ， （5） 式中 q0 F E K k 为单位正电荷在电源内部受的非静电力 Fk ，可称为“非静电性场的场 强”。 电动势的指向规定：由负极经内电路指向正极。 如整个闭合电路中处处有非静电力 Fk 时，电动势可表示为： E dl k ， 即“非静电性场的场强”沿闭合电路上的环流。 注意： (1)不同电源其非静电力性质可能不同，如干电池的非静电力为化学力，后面讲到的 动生电动势的非静电力是洛仑兹力，感生电动势来源于涡旋电场
(2)电动势反映了一个电源把其它形式的能量转换成电能的本领。 6)一段含源电流的欧姆定律 V4-VB=∑R-∑6 (V4-B)为任意一段电路A、B两端点间的电势差,IR2为第i个电阻(包括电源 电阻)上的电势降落,∑R为A,B电路上所有m个电阻上总的电势降落的代数和, ∑是A,B段电路上所有电源的电动势的代数和。 注意: (1)此表达式中的电势降落和电动势均有正负之分,其和为代数和 (2)正负号规定 求电路中两点间电势差V-VB时若先规定由A→B为讨论问题的正方向,则电阻上 电势降落和电源电动势的正、负规定为 电势降落:通过电阻上的电流和规定方向相同时该项为正,否则为负。 电动势:电动势的指向和规定方向相同时该项为正,反之为负。 3)该式中∑E项前面为“”号,如写成“+”号上述电动势的正负规定刚好相反。 7)闭合回路的欧姆定律 (7) R ∑E为该闭合回路中所有电动势的代数和,∑R为该闭合回路中所有电阻(包括 电源电阻)的和
(2)电动势反映了一个电源把其它形式的能量转换成电能的本领。 6)一段含源电流的欧姆定律 n i i m i A B iRi V V I 1 1 ， (6) ( ) VA VB 为任意一段电路 A、B 两端点间的电势差， iRi I 为第 i 个电阻（包括电源 电阻）上的电势降落， m i iRi I 1 为 A，B 电路上所有 m 个电阻上总的电势降落的代数和， i n i 1 是 A，B 段电路上所有电源的电动势的代数和。 注意： (1)此表达式中的电势降落和电动势均有正负之分，其和为代数和。 (2)正负号规定 求电路中两点间电势差 VA VB 时若先规定由 A→B 为讨论问题的正方向，则电阻上 电势降落和电源电动势的正、负规定为： 电势降落：通过电阻上的电流和规定方向相同时该项为正，否则为负。 电动势：电动势的指向和规定方向相同时该项为正，反之为负。 (3)该式中 i n i 1 项前面为“-”号，如写成“+”号上述电动势的正负规定刚好相反。 7)闭合回路的欧姆定律 i i R I （7） i 为该闭合回路中所有电动势的代数和， Ri 为该闭合回路中所有电阻（包括 电源电阻）的和
2.真空中的恒定磁场 1)磁感应强度磁场的高斯定理 (1)磁感应强度 磁感应强度B是定量描述磁场各点特性的基本物理量,其定量描述可用一带电运动 粒子在磁场中的受力情况来定义,其大小为 B 式中q为粒子的带电量,v为其运动速度大小,F为该粒子以不同方向运动时的最 大受力(此时速度方向和磁感应强度B的方向垂直)。方向可由右手法则来判断。 (2)磁感应线 为了形象地描绘磁场,我们引入磁感应线。磁感应线的切线方向表示该点的磁感应 强度B的方向,而该点处穿过垂直于磁感应强度B方向单位面积上的磁感应线的根数等 于该点的磁感应强度B的大小 磁感应线的特点 ①磁感线是闭合曲线,无头无尾。 ②两根磁感应线不会相交。 ③磁感应线密处磁感应强度大,磁感应线稀疏处磁感应强度小 (3)磁通量 在磁场中,通过一给定曲面的总磁感应线根数,称为通过该曲面的磁通量,用Φ,表 通过一面积微元dS的磁通量:
2．真空中的恒定磁场 1)磁感应强度 磁场的高斯定理 (1)磁感应强度 磁感应强度 B 是定量描述磁场各点特性的基本物理量，其定量描述可用一带电运动 粒子在磁场中的受力情况来定义，其大小为： qv F B m （8） 式中 q 为粒子的带电量，v 为其运动速度大小， Fm 为该粒子以不同方向运动时的最 大受力（此时速度方向和磁感应强度 B 的方向垂直）。方向可由右手法则来判断。 (2)磁感应线 为了形象地描绘磁场，我们引入磁感应线。磁感应线的切线方向表示该点的磁感应 强度 B 的方向，而该点处穿过垂直于磁感应强度 B 方向单位面积上的磁感应线的根数等 于该点的磁感应强度 B 的大小。 磁感应线的特点： ①磁感线是闭合曲线，无头无尾。 ②两根磁感应线不会相交。 ③磁感应线密处磁感应强度大，磁感应线稀疏处磁感应强度小。 (3)磁通量 在磁场中，通过一给定曲面的总磁感应线根数，称为通过该曲面的磁通量，用 m 表 示。 通过一面积微元 dS 的磁通量：
d=B·dS= Bas cose dS=dSn,en为面积微元dS的外法线方向上的单位矢量,O为磁感应强度B和面 元矢量dS的夹角 通过有限曲面S的磁通量为 (4)磁场的高斯定理 由于磁感应线为闭合曲线,因此穿过任一闭合曲面的磁感应线的净根数(穿出为正, 穿入为负)应等于零,亦即 手:dS=0 (10) 止式称为磁场的高斯定理 该式反映了磁场和电场是两类不同特性的场,磁场属涡旋式的场,而电场为发散式 2)毕奥萨伐尔定律 载流导线上取出一小段,由该电流元ldl在空间某一点P处产生的磁场的磁感应强 度为: dB=ho ld xro (11) 式中=4丌×107H/m为真空中的磁导率。 F为电流元指向P点的矢量,而为该矢量方向上的单位矢量。 任意电流激发的总磁感应强度为 B=|dB=l×x (12) 4丌
dm B dS BdS cos ， n dS dSe ， n e 为面积微元 dS 的外法线方向上的单位矢量， 为磁感应强度 B 和面 元矢量 dS 的夹角。 通过有限曲面 S 的磁通量为: S m B dS . (9) (4)磁场的高斯定理 由于磁感应线为闭合曲线，因此穿过任一闭合曲面的磁感应线的净根数(穿出为正， 穿入为负)应等于零，亦即 S B dS 0 (10) 止式称为磁场的高斯定理. 该式反映了磁场和电场是两类不同特性的场，磁场属涡旋式的场，而电场为发散式 场. 2)毕奥-萨伐尔定律 载流导线上取出一小段，由该电流元 Idl 在空间某一点 P 处产生的磁场的磁感应强 度为： 2 4 r Idl r dB o o ， （11） 式中 o 4 10 H /m 7 为真空中的磁导率。 r 为电流元指向 P 点的矢量， 0 r 为该矢量方向上的单位矢量。 任意电流激发的总磁感应强度为 2 4 r Idl r B dB o o （12） 图 1 Idl P r I
(1)公式中为矢量叉乘,dB的方向由ld和F的方向 根据右手法则判定。 2)磁场也遵守叠加原理 (3)B=「dB为矢量积分,因此要先分解 dB=dBi+dBj+dBk,后积分。 几种典型恒定电流产生的磁场: (1)有限长载流直导线产生的磁场 B (13) 注意:B1,B2有正负之分,以OP为参考方向。式中d为讨论点到直导线的垂直距 离 无限长直导线产生的磁场 B (14) 方向满足右手法则 (2)截流圆线圈轴线上一点处磁场 n-a Is (15)
注意： (1)公式中为矢量叉乘， dB 的方向由 Idl 和 r 的方向 根据右手法则判定。 (2)磁场也遵守叠加原理。 (3) B dB 为矢量积分，因此要先分解 dB dB i dB j dB k x y z ，后积分。 几种典型恒定电流产生的磁场： (1)有限长载流直导线产生的磁场 (sin sin ). 4 2 1 d I B o （13） 注意： 1 ， 2 有正负之分，以 OP 为参考方向。式中 d 为讨论点到直导线的垂直距 离。 无限长直导线产生的磁场 d I B o 2 （14） 方向满足右手法则。 (2)截流圆线圈轴线上一点处磁场 2 2 3 / 2 2 (R x ) IS B o ， （15） 图 2 r 2 1 O I dl l L d dB P
方向为轴线方向,满足是右手法则。式中S=mR2为圆线圈的面积 在圆心处的磁场为 B=地 (16) 段载流圆弧在圆心处磁场为 (17) 2丌2R 式中日为该圆弧角度。 (3)载流螺线管轴线上一点的磁场 B=on/(cos B,-COSP) (18) 式中n为单位长度内线圈匝数。 无限长载流螺线管的磁场 B=山on(管内),B=0(管外)。 长螺线管顶端的磁场 B (19) 为中央处的一半。 (4)载流螺绕环的磁场 B=n(管内),B=0(管外) (20)
方向为轴线方向，满足是右手法则。式中 2 S R 为圆线圈的面积。 在圆心处的磁场为 R I B 2 0 0 （16） 一段载流圆弧在圆心处磁场为 R I B 2 2 0 ， （17） 式中 为该圆弧角度。 (3)载流螺线管轴线上一点的磁场 (cos cos ) 2 2 1 0 B nI ， （18） 式中 n 为单位长度内线圈匝数。 无限长载流螺线管的磁场 B nI 0 （管内），B=0 （管外）。 长螺线管顶端的磁场 B nI 0 2 1 （19） 为中央处的一半。 (4)载流螺绕环的磁场 B nI 0 （管内），B=0 （管外）。 （20）
4)安培环路定理 在磁场中,沿任何闭合曲线的B矢量积分(也称B矢量的环流),等于真空的磁导率 0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和。即 于2Bd=∑1 (21) 注意: (1)电流有正、负之分,和所取积分绕行方向成右手关系的电流为正,反之为负,电 流和为代数和。 (2)公式中B表示闭合曲线上任一点的磁感应强度,为空间所有电流产生的磁感应强 度的矢量和但B矢量的环流Bd只与穿过所围面积部分的电流有关,等于A∑1 5)运动电荷的磁场 以速度v运动着的带电量为q的粒子在空间中某一点P产生的磁场的磁感应强度为 B oqv×r (22) 注意 (1)该公式可由毕奥一萨伐尔定律推导出来 (2)可正可负,q的正负会影响B的方向。 当q>0时,B与v×后方向一致; 当q<0时,B与-下×方向一致。 3.磁场对电流的作用 1)磁场对运动电荷作用力—洛仑兹力 带电量为q的粒子以速度v运动在磁场中时,其受磁场的作用力称为洛仑兹力
4）安培环路定理 在磁场中，沿任何闭合曲线的 B 矢量积分（也称 B 矢量的环流），等于真空的磁导率 0 乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和。即 B dl I L o 。 （21） 注意： (1)电流有正、负之分，和所取积分绕行方向成右手关系的电流为正，反之为负，电 流和为代数和。 (2)公式中 B 表示闭合曲线上任一点的磁感应强度，为空间所有电流产生的磁感应强 度的矢量和，但 B 矢量的环流 L B dl 只与穿过所围面积部分的电流有关，等于 I 0 。 5）运动电荷的磁场 以速度v运动着的带电量为q的粒子在空间中某一点P产生的磁场的磁感应强度为： 2 0 0 4 r qv r B 。 （22） 注意： (1)该公式可由毕奥－萨伐尔定律推导出来。 (2)q 可正可负，q 的正负会影响 B 的方向。 当 q>0 时， B 与 0 v r 方向一致； 当 q<0 时， B 与- 0 v r 方向一致。 3．磁场对电流的作用 1）磁场对运动电荷作用力——洛仑兹力 带电量为 q 的粒子以速度 v 运动在磁场中时，其受磁场的作用力称为洛仑兹力
F=q×B (23) B为粒子所在位置处的磁感应强度。 注意 (1)F和v,B决定的平面垂直,即F⊥v,故洛仑兹力对电荷不作功,只改变速度 的方向。 (2)均匀磁场中ν⊥B时粒子作圆周运动,v和B不垂直时,粒子作螺旋线运动。 (3)q可正可负,q为负值时,F和(×B)方向相反 2)磁场对载流导线的作用—安培力 磁场对处于其中的载流导线有作用,该力又称为安培力 电流元团dl在磁场中受磁场的作用力为 dF=ldl×B (24) 方向:由右手法则确定 一段任意形状的载流导线所受总的磁场作用力为 F=[dF=「×B (25) 注意 (1)上式积分为矢量积分,原则上要先分解再求各分量积分。 F=dF,= dF cosa, F,=aF,=dF cos B F=dF:=dF cosy. (2)对处于均匀磁场中的直导线,上述积分式可变成 F=l×B 大小为F=B∥in=BH1,l为垂直于磁感应强度B方向的直导线长度投影
F qv B （23） B 为粒子所在位置处的磁感应强度。 注意： (1) F 和 v ，B 决定的平面垂直，即 F v ，故洛仑兹力对电荷不作功，只改变速度 的方向。 (2)均匀磁场中 v B 时粒子作圆周运动， v 和 B 不垂直时，粒子作螺旋线运动。 (3) q 可正可负，q 为负值时， F 和 (v B) 方向相反。 2)磁场对载流导线的作用——安培力 磁场对处于其中的载流导线有作用，该力又称为安培力。 电流元 Idl 在磁场中受磁场的作用力为 dF Idl B （24） 方向：由右手法则确定。 一段任意形状的载流导线所受总的磁场作用力为 F dF Idl B （25） 注意： (1)上式积分为矢量积分，原则上要先分解再求各分量积分。 Fx dFx dF cosa, Fy dFy dF cos ， F dF dF cos z z 。 (2)对处于均匀磁场中的直导线，上述积分式可变成 F Il B 大小为 F BIlsin BIl , l 为垂直于磁感应强度 B 方向的直导线长度投影
(3)对处于均匀磁场中任意形状的弯导线,上述公式亦可变换成X×× F=「M×B=a)xB=×B, lb为连接弯曲导线两端而成的矢量,亦即整个弯导线可由连接a 两端而成的直导线等效。 图3 3)磁场对载流线圈的作用 在均匀磁场中,任意形状的载流平面线圈受磁场总作用力为零,但受磁场作用的力 矩为 M=pn×B 式中pn=NSn,En为载流线圈的法线方向(和所载电流成右手关系),N为线圈 匝数,S为该平面线圈面积。 磁力矩的作用:磁力矩总是要使载流线圈的法线方向转向平行于磁感应强度的方向。 注意 (1)载流平面线圈在匀强磁场中所受合安培力为零,但合磁力矩一般不为零,线圈只 转动,不平动。 2)该公式对匀强磁场中任意形状的平面线圈都成立。但该公式只适用于匀强磁场, 对非匀强磁场,线圈所受合安培力和合力矩一般不均为零,上述公式也不适用。 4)磁力的功 直导线或载流线圈在磁场中运动时,磁场力要作功,对匀强磁场 A=IAΦ, △Φ为导线或线圈运动时闭合回路环绕的面积内磁通量的增加(对导线,也可讲是 导线切割磁感应线的根数)
(3)对处于均匀磁场中任意形状的弯导线，上述公式亦可变换成 F Idl B I dl B Il a b B ( ) ， ab l 为连接弯曲导线两端而成的矢量，亦即整个弯导线可由连接 两端而成的直导线等效。 3)磁场对载流线圈的作用 在均匀磁场中，任意形状的载流平面线圈受磁场总作用力为零，但受磁场作用的力 矩为： M pm B ， 式中 m n p NISe ， n e 为载流线圈的法线方向（和所载电流成右手关系），N 为线圈 匝数，S 为该平面线圈面积。 磁力矩的作用：磁力矩总是要使载流线圈的法线方向转向平行于磁感应强度的方向。 注意： (1)载流平面线圈在匀强磁场中所受合安培力为零，但合磁力矩一般不为零，线圈只 转动，不平动。 (2)该公式对匀强磁场中任意形状的平面线圈都成立。但该公式只适用于匀强磁场， 对非匀强磁场，线圈所受合安培力和合力矩一般不均为零，上述公式也不适用。 4)磁力的功 直导线或载流线圈在磁场中运动时，磁场力要作功，对匀强磁场 A I ， （27） 为导线或线圈运动时闭合回路环绕的面积内磁通量的增加（对导线，也可讲是 导线切割磁感应线的根数）。 图 3 I a b
