重点难点指导 第十三章振动学基础 1.简谐振动的特征 1)从运动学角度考察 简谐振动是变加速运动,以弹簧振子为例,当它沿x方向运动时,加速度随位移而 变化 a=--x (13-1) 上式表明,弹簧振子作简谐振动时,加速度与位移成正比,而方向相反。 物体作简谐振动的过程中,任意时刻相对于平衡位置的位移,可表示为时间的余弦 (或正弦)函数,即 x= Acos(at+o) (13-2) 上式称为简谐振动的表达式或简谐振动的方程,分别对时间求一阶导数和二阶导数, 可得简谐振动的速度表达式和加速度表达式 dx Asin(at+o), dx a cos(@t +o) (13-4) 2)从动力学角度分析 物体作简谐振动时,所受的合外力必须是弹性力或准弹性力,即合外力大小和位移 成正比,而方向相反
重点难点指导 第十三章 振动学基础 1．简谐振动的特征 1)从运动学角度考察 简谐振动是变加速运动，以弹簧振子为例，当它沿 x 方向运动时，加速度随位移而 变化 x m k a , (13-1) 上式表明，弹簧振子作简谐振动时，加速度与位移成正比，而方向相反。 物体作简谐振动的过程中，任意时刻相对于平衡位置的位移，可表示为时间的余弦 （或正弦）函数，即 cos( ) 0 x A t (13-2) 上式称为简谐振动的表达式或简谐振动的方程，分别对时间求一阶导数和二阶导数， 可得简谐振动的速度表达式和加速度表达式 sin( ) 0 A t dt dx v , (13-3) cos( ) 0 2 2 2 A t dt d x a (13-4) 2)从动力学角度分析 物体作简谐振动时，所受的合外力必须是弹性力或准弹性力，即合外力大小和位移 成正比，而方向相反
∑∫ (13-5) 这种力总是促使物体返回平衡位置,又称回复力。 3)从能量角度分析 振动系统在任一时刻所具有的动能 Ek=mm=-mA-@ sin(ot+o) (13-6) 因为O2=k/m,上式可写为 EL=-kA' Sin(at+o 振动系统在任一时刻的势能 K =kA coS(ot+o) (13-8) 可见,动能和势能分别是按正弦平方和余弦平方的规律随时间作周期性变化 振动系统在任一时刻的机械能为 FEk+e mo 对给定的振动系统,在作简谐振动的过程中,动能和势能可以转换,但机械能守恒, 为一常量 2.描述简谐振动的特征物理量 1)振幅A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值,是描述振动物体运动范围或幅度 的物理量。 振幅的大小由振动物体的初始位移x和初始速度v决定
i i f kx , (13-5) 这种力总是促使物体返回平衡位置，又称回复力。 3)从能量角度分析 振动系统在任一时刻所具有的动能 sin ( ) 2 1 2 1 0 2 2 2 2 Ek mv mA t (13-6) 因为 k / m 2 ，上式可写为 sin ( ) 2 1 0 2 2 Ek kA t (13-7) 振动系统在任一时刻的势能 cos ( ) 2 1 2 1 0 2 2 2 Ep kx kA t (13-8) 可见，动能和势能分别是按正弦平方和余弦平方的规律随时间作周期性变化 振动系统在任一时刻的机械能为 2 2 2 1 2 1 2 E＝Ek Ep kA m A (13-9) 对给定的振动系统，在作简谐振动的过程中，动能和势能可以转换，但机械能守恒， 为一常量。 2．描述简谐振动的特征物理量 1）振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，是描述振动物体运动范围或幅度 的物理量。 振幅的大小由振动物体的初始位移 x0 和初始速度 v0 决定
A (13-10) 由式(13-9)可知,振幅也是衡量振动系统总能量的一个物理量。 2)角频率(圆频率)、频率v和周期T 简谐振动的一个显著特点是运动的周期性,物体作一次完全振动所需要的时间称为 振动的周期,以T表示。一秒钟内完成全振动的次数称为频率,以v表示。O表示在2丌 秒内完成全振动的次数,称为角频率(或圆频率)。 对于弹簧振子 T=2 Vk'2rvm (13-11) 对于单摆 2V1 (13-12) 因为k,m和l均是反映振动系统固有性质的物理量,故T和v也称为固有周期和回 有频率。 3相位(o+)和初相位 振动系统给定时,振动物体的位置、速度、加速度等完全由(m+0)确定,称o+φo 为t时刻的相位,相位是描述振动物体在任一时刻运动状态的物理量。 1=0时刻的相位o称为初相位,它描述物体初始时刻振动状态的物理量,初相位由 振动物体的初始位移x和初始速度v决定
2 0 2 0 ( ) v A x , (13-10) 由式(13-9)可知，振幅也是衡量振动系统总能量的一个物理量。 2）角频率（圆频率） 、频率 v 和周期 T 简谐振动的一个显著特点是运动的周期性，物体作一次完全振动所需要的时间称为 振动的周期，以 T 表示。一秒钟内完成全振动的次数称为频率，以 v 表示。 表示在 2 秒内完成全振动的次数，称为角频率（或圆频率）。 对于弹簧振子 m k , k m T 2 , m k v 2 1 . (13-11) 对于单摆 l g , g l T 2 , l g v 2 1 . (13-12) 因为 k，m 和 l 均是反映振动系统固有性质的物理量，故 T 和 v 也称为固有周期和回 有频率。 3)相位（ 0 t ）和初相位 0 振动系统给定时，振动物体的位置、速度、加速度等完全由（ 0 t ）确定，称 0 t 为 t 时刻的相位，相位是描述振动物体在任一时刻运动状态的物理量。 t=0 时刻的相位 0 称为初相位，它描述物体初始时刻振动状态的物理量，初相位由 振动物体的初始位移 xo 和初始速度 vo 决定
=arctan(--) (13-13) oo 由相位可以比较振动物体位移、速度、加速度随时间变化的关系,并且可以判定两 个以上简谐振动的步调是否一致。 3.简谐振动的旋转矢量表示法 简谐振动的规律除了用简谐振动的运动方程和振动曲线表示外,还可以采用旋转矢 量表示法,旋转矢量表示法可以更直观地说明简谐振动三个特征物理量的意义。 x/ cm COSo 图13-1 在平面上画一矢量OA,其长度等于振动的振幅A,初始位置与x轴的夹角等于初相 位φ,其顶端固定在坐标原点上,并以角速度O绕O点作逆时针方向的匀速转动,矢量 OA的末端在x轴上的投影点就在x轴于O点两侧往返运动,则经过时间t,矢量OA的 末端在x轴上的投影点的位移是 x= Acos(@t +o) (13-14) 这正是简谐振动的表达式,即作匀速转动的矢量OA,其末端在x轴上的投影点的运 动是简谐振动。 于是,简谐振动的旋转矢量表示法把描述简谐振动的三个重要的物理量非常直观地 表示出来了:矢量的模即为振动的相位;而t0时刻矢量与x轴正方向的夹角即为振动的
arctan( ) 0 0 x v ＝ . （13-13） 由相位可以比较振动物体位移、速度、加速度随时间变化的关系，并且可以判定两 个以上简谐振动的步调是否一致。 3．简谐振动的旋转矢量表示法 简谐振动的规律除了用简谐振动的运动方程和振动曲线表示外，还可以采用旋转矢 量表示法，旋转矢量表示法可以更直观地说明简谐振动三个特征物理量的意义。 在平面上画一矢量 OA ，其长度等于振动的振幅 A，初始位置与 x 轴的夹角等于初相 位 0 ，其顶端固定在坐标原点上，并以角速度 绕 O 点作逆时针方向的匀速转动，矢量 OA 的末端在 x 轴上的投影点就在 x 轴于 O 点两侧往返运动，则经过时间 t，矢量 OA 的 末端在 x 轴上的投影点的位移是 cos( ) 0 x A t (13-14) 这正是简谐振动的表达式，即作匀速转动的矢量 OA ，其末端在 x 轴上的投影点的运 动是简谐振动。 于是，简谐振动的旋转矢量表示法把描述简谐振动的三个重要的物理量非常直观地 表示出来了：矢量的模即为振动的相位；而 t=0 时刻矢量与 x 轴正方向的夹角即为振动的 图 13－1 O x / cm t /s e 0 A 0 t x 0 Acos T
初相位。 4.简谐振动的合成 1)同方向同频率简诸振动的合成 x=A, cos(at+1)+ A, cos(at+2)=Acos(@t+Po),(13-15) 其中 A=2+42+24142cos(02-) (13-16) A sin A, sin arctan (13-17) A, COS 1+ A, cos P2 2)同方向不同频率简谐振动的合成 般情况下,合成运动的物理图像较为复杂,合运动的振幅、角速度、相位差都随 时间变化。当两分振动的频率都很大而频率差很小时,合成运动为“拍”。 拍:合振幅随时间发生周期性变化的现象。 拍频:合振幅变化的频率(即单位时间内合成振幅加强或减弱的次数),拍频等于两 分振动频率之差,即 (13-16) 3)同频率相互垂直简谐振动的合成 设两分振动为 x=A, coS(@t+@r), y=A, coS(w, +o,) 合成运动的轨道方程为
初相位。 4．简谐振动的合成 1）同方向同频率简谐振动的合成 cos( ) cos( ) cos( ) 1 1 2 2 0 x A t A t A t ， （13-15） 其中 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A A1 A A A （13-16） 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin arctan A A A A （13-17） 2）同方向不同频率简谐振动的合成 一般情况下，合成运动的物理图像较为复杂，合运动的振幅、角速度、相位差都随 时间变化。当两分振动的频率都很大而频率差很小时，合成运动为“拍”。 拍：合振幅随时间发生周期性变化的现象。 拍频：合振幅变化的频率（即单位时间内合成振幅加强或减弱的次数），拍频等于两 分振动频率之差，即 2 1 v拍 ＝v v （13-16） 3)同频率相互垂直简谐振动的合成 设两分振动为 cos( ) x x x A t ， cos( ) Ay wt y y ， 合成运动的轨道方程为
x22xco(9,-9)=sn2(g,-9 (13-19) 合成运动的情况与相位差△=卯,-9有关。一般情况下合成运动的轨道是一个椭 4)不同频率相互垂直简谐振动的合成 般情况下,合成运动的物理图像很复杂,但在两分振动的频率成简单整数比时, 合成运动的轨迹是某种形式的稳定闭合曲线一李萨如图形 5.电磁振荡 电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。 对LC振荡电路,有 d q q=-0q (13-20) 式中 于是 q= @o cos(at+oo) (13-21) dq ia s-ag sin(at+po)=Io cos(ot+9+r) (13-22) 式中Q为电荷振幅,10=Q为电流振幅
cos( ) sin ( ) 2 2 2 2 2 2 y x y x x y Ax Ay xy A y A x 。 （13-19） 合成运动的情况与相位差 y x 有关。一般情况下合成运动的轨道是一个椭 圆。 4)不同频率相互垂直简谐振动的合成 一般情况下，合成运动的物理图像很复杂，但在两分振动的频率成简单整数比时， 合成运动的轨迹是某种形式的稳定闭合曲线－李萨如图形。 5． 电磁振荡 电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。 对 LC 振荡电路，有 q q dt LC d q 2 2 2 1 ， （13-20） 式中 LC 2 1 于是 cos( ) 0 0 q Q t ， （13-21） ) 2 sin( ) cos( 0 0 0 0 Q t I t dt dq i ， （13-22） 式中 Q0 为电荷振幅， 0 Q0 I 为电流振幅