奥郾例题剖彻 13机械波和电磁波 1.基本思路 本章重点是对波动的理解,包括这样一些内容:机械波的产生及描述方法,平面简谐波的波函数,波 的传播是能量的传播,波的干涉现象的分析,多普勒效应,电磁波的概念。习题可分为六类: (1)由波方程求解波动的特征量(波速、频率、振幅、波长) (2)由波源(或波线上某点)的运动方程(或振动曲线)求波动物理量和波动方程 (3)由波形曲线求波动物理量和波动方程 (4)波的干涉问题 (5)多普勒效应问题 解题前应分清习题属于哪一类,只要理解波动的各特征量的意义、 理解波动方程的建立过程和物理意义、掌握一些基本的公式,计算过00m y/ 程一般来说也并不复杂。 2.例题剖析 图3 例1如图3所示为某平面简谐波在t=0时刻的波形曲线。求 (1)波长、周期、频率; (2)a,b两点的运动方向 (3)该波的波函数 (4)P点的振动方程,并画出振动曲线 (5)t=1.25时刻的波形方程,并画出该波形曲线 分析本题属于由波形曲线求波动物理量和波动方程问题,从波形曲线图可获取波的特征量及波的传 播方向,波源的振动初相也可由当前时刻的运动速度方向及位移求出,从而可以建立波函数。要判断波线
典型例题剖析 13 机械波和电磁波 1．基本思路 本章重点是对波动的理解，包括这样一些内容：机械波的产生及描述方法，平面简谐波的波函数，波 的传播是能量的传播，波的干涉现象的分析，多普勒效应，电磁波的概念。习题可分为六类： (1) 由波方程求解波动的特征量（波速、频率、振幅、波长）； (2) 由波源（或波线上某点）的运动方程（或振动曲线）求波动物理量和波动方程； (3) 由波形曲线求波动物理量和波动方程； (4) 波的干涉问题； (5) 多普勒效应问题。 解题前应分清习题属于哪一类，只要理解波动的各特征量的意义、 理解波动方程的建立过程和物理意义、掌握一些基本的公式，计算过 程一般来说也并不复杂。 2．例题剖析 例 1 如图 3 所示为某平面简谐波在 t=o 时刻的波形曲线。求： (1) 波长、周期、频率； (2) a，b 两点的运动方向； (3) 该波的波函数； (4) P 点的振动方程，并画出振动曲线； (5) t=1.25s 时刻的波形方程，并画出该波形曲线。 分析 本题属于由波形曲线求波动物理量和波动方程问题，从波形曲线图可获取波的特征量及波的传 播方向，波源的振动初相也可由当前时刻的运动速度方向及位移求出，从而可以建立波函数。要判断波线 y / m 0.04 0.04O x / m u 0.08m/s 0.2 0.4 P a b 图 3
上某些点的运动方向,可将当前时刻的波形曲线向着波传播的方向移动Ax=Mt距离,由于波线上质点 并不随波迁移,只是在其平衡位置附近作振动,于是比较两个时刻的波形曲线,及可获得这些点的运动方 向,也可由此再借助旋转矢量法获得这些点在该时刻的振动相位,从而建立这些点的振动方程。 解(1)由1=0时刻的波形曲线可知 u=008m/s,2=02m 所以=0.4mT 10.4 =5.00s =0.20H (2)由于波沿x轴正方向传播,故将1=0时刻的波形移动Ax=△t,如图4所示,可见,在t=o时刻 a点沿y轴负方向运动,b点沿y轴正方向运动。 =0.08m/s (3)设波函数为 0.21 4 2丌 y=Acos(ot--x+)=0.04c0s(0.4m-5m+q0m) 图4 由t=o的波形曲线可知,对于x=0质点:y=0y<0所以有 coS o =0, 0. 所以 因此,波函数为 y=0.04cos(0.4m-5m+)(m)。 (4)对于P点:x=-A=0.30m,代入波函数,得到P点的振动方程为 yp=0.04co(0.4m-1.5丌+ 0.04co(0.4a)(m) 振动曲线如图5所示
上某些点的运动方向，可将当前时刻的波形曲线向着波传播的方向移动 x ut 距离，由于波线上质点 并不随波迁移，只是在其平衡位置附近作振动，于是比较两个时刻的波形曲线，及可获得这些点的运动方 向，也可由此再借助旋转矢量法获得这些点在该时刻的振动相位，从而建立这些点的振动方程。 解 (1) 由 t=o 时刻的波形曲线可知 u 0.08m/s， 0.2m 2 ＝ 所以 ＝0.4m 5.00s 0.08 0.4 u ＝ ＝ ＝ T 20 z 0. T 1 v H (2) 由于波沿 x 轴正方向传播，故将 t=o 时刻的波形移动 x ut ，如图 4 所示，可见，在 t=o 时刻 a 点沿 y 轴负方向运动，b 点沿 y 轴正方向运动。 (3) 设波函数为 ) 0.04cos(0.4 5 )( ) 2 cos y A t x 0 t x 0 m （ 由 t=o 的波形曲线可知，对于 x=o 质点：y=0,v<0 所以有 sin 0. cos 0, 0 0 所以 2 0 。 因此，波函数为 )( ) 2 y 0.04cos(0.4 t 5 x m 。 (4) 对于 P 点： x 0.30m 4 3 ，代入波函数，得到 P 点的振动方程为 ) 0.04cos(0.4 )( ) 2 yP 0.04cos(0.4 t 1.5 t m ， 振动曲线如图 5 所示。 y / m 0.04 0.04O x / m u 0.08m/s 0.2 0.4 P a b x 图 4
v/m 0.04 0.04 5 x/m O 0.20 04x/m 0.04 0.04 P点振动曲线 t=1.25s点振动曲线 图5 (5)将1=1.25s代入波函数,得到=1.25时刻的波形方程为 y=1.25s=004c0s(-5x+)=-0.04c0s(5z)m) 波形曲线如图5所示。 例2已知一波动方程为y=0.05sin(1Oa-2x)m。(1)求波长、频率、波速和周期;(2)说明x=0 时方程的意义,并作图表示。 分析本题属于由波动方程求解波动的特征量(波速、频率、振幅、波长)问题。可采用比较法,即 将已知的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式,与波动方程的一般 形式y= Acoso(t--)+9]作比较,即可得角频率O、波速l和初 相φo’从而可以求得波长和频率等。而当x确定时,波动方程即为该 坐标处质点的振动方程y=y()。 解(1)将题给的波动方程改写为 y=005c010x(-x)-2 )-]m,与波动方程的一般形式 5 y= Acos[a(-3)+9n]作较后可得n=157ms-,角频率=10丌-1,故有v=2=50H, 2丌 T 0.2s,A=uT=3.14m。 (2)由分析知x=0时,方程y=005c0s(10m-)m表示位于坐标原点的质点的振动方程,见图6 例3一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅和圆频率分别为A和O,波速为u,设t=0时的波形曲 线如图137所示,(1写出此波的波动方程:(2)求距O点分别为和38两处质点在=0时刻的振动 速
(5) 将 t=1.25s 代入波函数，得到 t=1.25s 时刻的波形方程为 y 1.25s 0.04cos( 5 x ) 0.04cos(5 x)(m) t 波形曲线如图 5 所示。 例 2 已知一波动方程为 y 0.05sin(10t 2x) m。（1）求波长、频率、波速和周期；(2) 说明 x=0 时方程的意义，并作图表示。 分析 本题属于由波动方程求解波动的特征量（波速、频率、振幅、波长）问题。可采用比较法，即 将已知的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，与波动方程的一般 形式 cos[ ( ) ] 0 u x y A t 作比较，即可得角频率 、波速 u 和初 相 0 ，从而可以求得波长和频率等。而当 x 确定时，波动方程即为该 坐标处质点的振动方程 y y(t) 。 解 （1）将题给的波动方程改写为 m x y t ] 2 ) 5 0.05cos[10 ( ，与波动方程的一般形式 cos[ ( ) ] 0 u x y A t 作比较后可得 1 15.7 u ms ，角频率 1 10 s ，故有 v 5.0Hz 2 ， s v T 0.2 1 ， uT 3.14m 。 (2) 由分析知 x=0 时，方程 y t )m 2 0.05cos(10 表示位于坐标原点的质点的振动方程，见图 6。 例 3 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，其振幅和圆频率分别为 A 和 ，波速为 u，设 t=0 时的波形曲 线如图 13-7 所示。(1)写出此波的波动方程；（2）求距 O 点分别为 8 和 8 3 两处质点在 t=0 时刻的振动 速度。 y / m 0.04 0.04O 2.5 5 x / m P 点振动曲线 y / m 0.04 0.04O 0.20 0.4 x / m t＝1.25s 点振动曲线 图 5 y / m 0.05 0.05O 0.1 0.2 x / m 图 6
分析本题属于由波形曲线求波动物理量和波动方程的问题。从波形曲线图可获取波的特征量及波的 传播方向,波源(坐标原点x=0处的质点可看成波源)的振动初相也可由当前时刻的运动速度方向及位移 求出,从而可以建立波函数。再由波函数可得波线上某些质点的振动方程,这 振动速度可由其振 动方程对时间求导数得到。 解(1)以O为坐标原点,由图可知,初始条件为 yo= AcoS Po=0, vo=-Aosin o <0 所以 波动方程为 y=Acos[ot-(oy (2)x=%处质点的振动方程为 y= A cos[ot.-(2nx)+22=4(-m4) (3)x处质点振动速度表达式为 )Asin(ot 所以1=0时刻,x=8处质点的振动速度为 /=0=-a1s r(4/8),丌 A =0时刻,x=38处质点的振动速度为 2m(32/8) 3A=-oAist A+2」-2 Ao 例4S和S为同媒质中的两相干波源,其振动方程分别为y=0.lcos2m(m) y2=0.lcos(2m+r)m)。它们传到P点相遇,已知波速l=20m/s,PS1=40m,PS2=50m,试求 两波在P点的分振动表达式及合振幅 分析本题属于由波源(或波线上某点)的运动方程求波动方程以及波的干涉综合的问题。首先应由 波线上某点的振动方程写出波动方程,然后分析两列波在空间某点相遇时的迭加问题。相遇点同时受两列
分析 本题属于由波形曲线求波动物理量和波动方程的问题。从波形曲线图可获取波的特征量及波的 传播方向，波源（坐标原点 x=o 处的质点可看成波源）的振动初相也可由当前时刻的运动速度方向及位移 求出，从而可以建立波函数。再由波函数可得波线上某些质点的振动方程，这些质点的振动速度可由其振 动方程对时间求导数得到。 解 (1) 以 O 为坐标原点，由图可知，初始条件为 y0 Acos0 0 ，v0 Asin0 0， 所以 2 0 波动方程为 ] 2 cos[ ( ) u x y A t (2) 8 x 处质点的振动方程为： ] cos( 4) 2 ) 8 2 cos[ ( y A t A t (3) x 处质点振动速度表达式为 ) 2 2 v sin( x A t t y 。 所以 t=0 时刻， x 8 处质点的振动速度为 v Aisn A x t 2 2 2 2 ( /8) , 0 8 t=0 时刻， x 3 8 处质点的振动速度为 v Aisn A x t 2 2 2 2 (3 /8) , 0 8 3 例 4 S1 和 S2 为 同 媒 质 中 的 两 相 干 波 源 ， 其 振 动 方 程 分 别 为 0.1cos2 ( ) y1 ＝ t m ， 0.1cos(2 )( ) y2 ＝ t m 。它们传到 P 点相遇，已知波速 u 20m/s ，PS1 40m，PS2 50m ，试求 两波在 P 点的分振动表达式及合振幅。 分析 本题属于由波源（或波线上某点）的运动方程求波动方程以及波的干涉综合的问题。首先应由 波线上某点的振动方程写出波动方程，然后分析两列波在空间某点相遇时的迭加问题。相遇点同时受两列 y O P x u 图 7
相干波的作用,其振动为两个同频率、同振动方向的简谐和振动的合成,合成振动的振幅与两简谐振动的 相位差有关。 解设两波均为平面简谐波,则传达至P点,引起P点处质点振动的表达式分别为 S, P y=0.1cos2r(t-=)=0.1cos 2T(t-1)=0.1cos 2m(m) y2=0102x(-5)+]=010912x(-50)+n]=01c0s2m(m) 所以P点处质点合振动为 y=y+y2=0.2 cos 2n(m) 其合振幅为 图8 A=0.2(m) 例5设入射波的方程式为:y1=4cos2x(+2),在x=0处发生反射,反射点为一固定端,设反 射时无能量损失,求:(1)反射波的方程式;(2)合成的驻波的方程式;(3)波腹和波节位置。 分析本题属于驻波问题。求反射波时要注意半波损失问题,波在固定端反射时,反射波将出现半波 损失,即反射波在分界处的相应较之入射波跃迁了丌。在自由端反射时,则不会出现半波损失。入射波和 反射波干涉的结果可以产生驻波,由驻波方程即可确定波腹、波节的位置。 解(1)反射点是固定端,所以反射时存在“半波损失”,由于反射时无能量损失,即反射波的振幅仍 为A,因此反射波的表达式为: y2=Acos[2T(x/2-t/T)+T (2)驻波的表达式是 y=y+y2=2Acos(2n/2+r/2)cos(2/T-TI/2) (1)波腹位置: 2x/A+/2=nx,x=(n-1/2)2/2,n=1,2,3,4, 波节位置
相干波的作用，其振动为两个同频率、同振动方向的简谐和振动的合成，合成振动的振幅与两简谐振动的 相位差有关。 解 设两波均为平面简谐波，则传达至 P 点，引起 P 点处质点振动的表达式分别为： ) 0.1cos2 ( ) 20 40 0.1cos2 ( ) 0.1cos2 ( 1 1 t t m u S P y t p ＝ ) ] 0.1cos2 ( ) 20 50 0.1cos[2 ( ) ] 0.1cos[2 ( 2 2 t t m u S P y t p ＝ 所以 P 点处质点合振动为 0.2cos2 ( ) y y1 y2 t m ， 其合振幅为 A 0.2(m) 。 例 5 设入射波的方程式为： cos2 ( ) 1 T x t y A ，在 x=0 处发生反射，反射点为一固定端，设反 射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波的方程式；（3）波腹和波节位置。 分析 本题属于驻波问题。求反射波时要注意半波损失问题，波在固定端反射时，反射波将出现半波 损失，即反射波在分界处的相应较之入射波跃迁了 。在自由端反射时，则不会出现半波损失。入射波和 反射波干涉的结果可以产生驻波，由驻波方程即可确定波腹、波节的位置。 解 (1) 反射点是固定端，所以反射时存在“半波损失”，由于反射时无能量损失，即反射波的振幅仍 为 A，因此反射波的表达式为： cos[2 ( / / ) ] y2 ＝A x t T 。 (2) 驻波的表达式是 2 cos(2 / / 2)cos(2 / / 2) y y1 y2 A x t T (1) 波腹位置： 2x / / 2 n ， x (n 1/ 2) / 2 ，n=1，2，3，4，„ 波节位置： S1 S2 P 图 8
2mx/+x/2=n+x/2,x=n/2,n=1,2,3,4 例6一警车以25m·s-1的速度在静止的空气中行驶,假设车上的警笛的频率为800H,求:(1)静 止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率;(2)如果警车追赶一辆速度为15m·s-1的客车 则客车上人听到的警笛声波的频率是多少?(设空气中的声速u=330m·s-) 分析本题属于多普勒效应公式可解得结果。在处理这类问题时,要清楚观察者相对介质是静止还是 运动,还要清楚声源的运动状态 解(1)由多普勒频率公式,当声源(警车)以速度ⅴ=25m:s-运动,静止于路边的观察者所接收 到的频率为 V-v 警车驶近观察者时,式中vy前取“一”号,故有 vv—=8656H 警车驶离观察者时,式中v前取“+”号,故有 =743.7Hz (2)声源(警车)与客车上的观察者作同向运动时,观察接收到的频率为 =826.2Hz
2x / / 2 n＋ / 2 , x n / 2, n=1，2，3，4，„ 例 6 一警车以 1 25 ms 的速度在静止的空气中行驶，假设车上的警笛的频率为 800Hz，求：（1）静 止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；（2）如果警车追赶一辆速度为 1 15 ms 的客车， 则客车上人听到的警笛声波的频率是多少？（设空气中的声速 1 u 330m s － ） 分析 本题属于多普勒效应公式可解得结果。在处理这类问题时，要清楚观察者相对介质是静止还是 运动，还要清楚声源的运动状态。 解 (1) 由多普勒频率公式，当声源（警车）以速度 1 vs 25 ＝ ms 运动，静止于路边的观察者所接收 到的频率为 s u v u ＝ ， 警车驶近观察者时，式中 vs前取“—”号，故有 865.6 z 1 H u v u s ＝ － ＝ 警车驶离观察者时，式中 vs前取“+”号，故有 743.7 z 2 H u v u s ＝ － ＝ (2) 声源（警车）与客车上的观察者作同向运动时，观察接收到的频率为 826.2 z v0 H u v u s ＝ － － ＝