延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（重点难点指导）第十六章 光的衍射

鱼点难点指导 第十六章光的衍射 1.基本概念 (1)惠更斯原理:波在传播过程中,波阵面上各点都可以看成是新的波源,发射子波。 (2)惠更斯-菲涅耳原理:波在传播过程中,从同一波阵面上各点发出的子波,经传 播而在空间某点相遇时,产生相干叠加。 (3)光的衍射:光偏离直线传播的现象,其实质是同一光束中无数子波在障碍物后相 干叠加的结果。 (4)衍射角θ:入射光经障碍物衍射后沿某一方向传播的子波波线与入射光传播方向 的夹角。 (5)菲涅耳衍射:衍射屏离开光源或接收屏的距离为有限远时的衍射。 (6)夫琅和费衍射;衍射屏离开光源和接收屏的距离均为无穷远时的衍射。 单缝夫琅和费衍射 1)单缝夫琅和费衍射 单缝夫琅和费衍射装置如图1所示,用单色平等光垂直入射在单缝上,在单缝后放 置一透镜,在透镜的焦平面上再放置一屏幕,则在屏幕上可观察到在中央明纹两侧对称 分布的明暗相间的各级条纹。 2)半波带分析法

重点难点指导 第十六章 光的衍射 1．基本概念 (1) 惠更斯原理：波在传播过程中，波阵面上各点都可以看成是新的波源，发射子波。 (2) 惠更斯-菲涅耳原理：波在传播过程中，从同一波阵面上各点发出的子波，经传 播而在空间某点相遇时，产生相干叠加。 (3) 光的衍射：光偏离直线传播的现象，其实质是同一光束中无数子波在障碍物后相 干叠加的结果。 (4) 衍射角  ：入射光经障碍物衍射后沿某一方向传播的子波波线与入射光传播方向 的夹角。 (5) 菲涅耳衍射：衍射屏离开光源或接收屏的距离为有限远时的衍射。 (6) 夫琅和费衍射；衍射屏离开光源和接收屏的距离均为无穷远时的衍射。 2．单缝夫琅和费衍射 1)单缝夫琅和费衍射 单缝夫琅和费衍射装置如图 1 所示，用单色平等光垂直入射在单缝上，在单缝后放 置一透镜，在透镜的焦平面上再放置一屏幕，则在屏幕上可观察到在中央明纹两侧对称 分布的明暗相间的各级条纹。 2)半波带分析法

P 半波带分析法解释单缝衍射条纹的分布,可避免复杂的计算。如图2,把单缝(缝宽 为a)处的波面分割成等宽的平行窄带,使分得的相邻两条窄带上的对应点发出的沿衍射 角为θ方向的子波线的光程差为一,是这两条窄带所对应的子波束经透镜汇聚后在屏幕 上相遇,相位差为Ⅱ,彼此完全抵消,这样分得的窄带称为半波带。对于衍射角θ,如 果单缝恰能被分成偶数个半波带,即asiθ=2k,k=±1,+2,±3…则此方向上所有 的子波相互抵消,出现光强极小 )衍射明暗条纹的形成条件 θ满足asn=2k,k=±1,±2,±3,对应第k级暗纹中心,最暗; 满足asi6=(2k+1)-,k=±1,+2,+3…对应第k级明纹中心,最亮。 =0,各衍射光的光程差为零,对应中央明纹中心。 其它衍射角,aimO介于2k2与(2k+12之间,即单缝处的波阵面不能正好分 成整数个半波带,在这些方向上,光线汇聚后介于最亮与最暗之间。 射角较小的情况下(6≈sn6) 屏幕上暗纹中心的位置:x=2k,相应的射角=2k2 屏幕上亮纹中心的位置:x=(2k+1)2n,相应的衔射角a=(2k+1)

半波带分析法解释单缝衍射条纹的分布，可避免复杂的计算。如图 2，把单缝（缝宽 为 a）处的波面分割成等宽的平行窄带，使分得的相邻两条窄带上的对应点发出的沿衍射 角为θ 方向的子波线的光程差为 2  ，是这两条窄带所对应的子波束经透镜汇聚后在屏幕 上相遇，相位差为π ，彼此完全抵消，这样分得的窄带称为半波带。对于衍射角θ ，如 果单缝恰能被分成偶数个半波带，即 2 sin 2  a   k ， k  1,2,3,  则此方向上所有 的子波相互抵消，出现光强极小。 3)衍射明暗条纹的形成条件  满足 , 1, 2, 3, 2 asin  2k k       对应第 k 级暗纹中心，最暗；  满足 , 1, 2, 3 2 asin  (2k 1) k       对应第 k 级明纹中心，最亮。  =0，各衍射光的光程差为零，对应中央明纹中心。 其它衍射角  ，asin 介于 2 (2 1) 2 2   k 与 k  之间，即单缝处的波阵面不能正好分 成整数个半波带，在这些方向上，光线汇聚后介于最亮与最暗之间。 衍射角较小的情况下 (  sin) 屏幕上暗纹中心的位置： a f x k k 2 2   ，相应的衍射角 a k k 2 2    ； 屏幕上亮纹中心的位置： a f x k k 2 (2 1)    ，相应的衍射角 a k k 2 (2 1)     ， A B asin a C  2  A1 A2 图 2 A B asin a C  P O L 图 1

其中k=±1,+2 相邻两明纹或相邻两暗纹间距Ax=x1,-x=2,角宽度B=2,中央明纹宽 度△x=2 中央明纹半角宽度△O=日1 4衍射条纹的分布特点 (1)中央明纹的宽度为其它明纹宽度的两倍 (2)中央明纹两侧对称分布着明暗相间的衍射条纹,且衍射角θ越大(衍射级次越高), 分成的波带数越多,相应的衍射明条纹的光强越弱。 5)关于单缝夫琅和费衍射的讨论 (1)根据衍射条纹间距Ax=以及角宽度_λ,当缝宽a一定时,波长越长 衍射条纹的间隔越大,越容易观察到衍射现象,反之,波长越短,衍射条纹越密集;当 用白光照射单缝时,将形成中央明纹为白光,其它各级衍射明条纹为由里向外,由紫到 红的彩色条纹。 (2)当入射光波长λ一定时,单缝的宽度a变小,衍射条纹间距变大,中央明纹变宽 衍射作用明显;当缝宽a~时,1~90°,屏幕上只能看到中央明纹;缝宽a变大 衍射条纹间距变大,当与波长相比很大(a>>λ)时,衍射条纹相当密集,以至难以分 辨,这时就观察不到衍射现象,几何学中光线沿直线传播定律成立 3.圆孔夫琅和费衍射 爱里斑 圆孔夫琅和费衍射图样,由第一暗环所包围的中央光斑(爱里斑)及一些同心亮环

其中 k  1,2,3 相邻两明纹或相邻两暗纹间距 a f x x x k k    1   ，角宽度 a  1  ，中央明纹宽 度 a f x   0  2 ，中央明纹半角宽度 a   0  1  。 4)衍射条纹的分布特点 (1)中央明纹的宽度为其它明纹宽度的两倍： (2)中央明纹两侧对称分布着明暗相间的衍射条纹，且衍射角  越大（衍射级次越高）， 分成的波带数越多，相应的衍射明条纹的光强越弱。 5)关于单缝夫琅和费衍射的讨论 (1)根据衍射条纹间距 a f x    以及角宽度 a  1  ，当缝宽 a 一定时，波长越长， 衍射条纹的间隔越大，越容易观察到衍射现象，反之，波长越短，衍射条纹越密集；当 用白光照射单缝时，将形成中央明纹为白光，其它各级衍射明条纹为由里向外，由紫到 红的彩色条纹。 (2)当入射光波长  一定时，单缝的宽度 a 变小，衍射条纹间距变大，中央明纹变宽， 衍射作用明显；当缝宽 a ~  时， ~ 90 1 ，屏幕上只能看到中央明纹；缝宽 a 变大， 衍射条纹间距变大，当与波长相比很大（a   ）时，衍射条纹相当密集，以至难以分 辨，这时就观察不到衍射现象，几何学中光线沿直线传播定律成立。 3． 圆孔夫琅和费衍射 1）爱里斑 圆孔夫琅和费衍射图样，由第一暗环所包围的中央光斑（爱里斑）及一些同心亮环

组成,爱里斑的角半径为:1=1.22,该式也称为圆孔衍射的反比关系,式中D为圆 孔直径。爱里斑的中心亮点是几何光学像点。 2)光学仪器分辨率 由于衍射现象,光源上一个点所发出的光波经过S 光学仪器的孔径后,并不能聚焦成为一个点,而是形 成一个衍射图样,其主要部分就是爱里斑。物体上两 点S,S发出的光波通过光学仪器成像时,若S像的中央最亮处恰与S像的第一暗环相 重合,该两点恰能分辨(图3),此时S,S对仪器透镜光心的张角称为最小分辨角 0n==122.1 称为仪器的分辨率或分辨本领:F=1D-,可见仪器的 1.22 孔径越大,所使用波长越短,分辨率越高。 4.光栅衍射 1)光栅衍射 光栅是由大量等间距的平行狭缝构成的光学器件,设缝宽为a,缝间不透光部分为b d=a+b,称为光栅常数。光栅上的每一条狭缝都可以产生单缝衍射,许多单缝的衍射光在 屏幕上相干叠加,光栅衍射是单缝衍射和缝与缝之间干涉的总效果。 2)光栅方程 射角θ满足相邻两缝发出的光束的光程差等于波长的整数倍时,彼此相强出现明 纹。当入射光垂直照射光栅时,光栅衍射明纹的条件为 (a+b)sin=k,k=0±1+2

组成，爱里斑的角半径为： D  1  1.22 ，该式也称为圆孔衍射的反比关系，式中 D 为圆 孔直径。爱里斑的中心亮点是几何光学像点。 2）光学仪器分辨率 由于衍射现象，光源上一个点所发出的光波经过 光学仪器的孔径后，并不能聚焦成为一个点，而是形 成一个衍射图样，其主要部分就是爱里斑。物体上两 点 S1，S2发出的光波通过光学仪器成像时，若 S1像的中央最亮处恰与 S2像的第一暗环相 重合，该两点恰能分辨（图 3），此时 S1，S2对仪器透镜光心的张角  R 称为最小分辨角， D R   1 1.22 。  R 1 称为仪器的分辨率或分辨本领：  1.22 1 D R R   ，可见仪器的 孔径越大，所使用波长越短，分辨率越高。 4． 光栅衍射 1)光栅衍射 光栅是由大量等间距的平行狭缝构成的光学器件，设缝宽为 a，缝间不透光部分为b， d=a+b,称为光栅常数。光栅上的每一条狭缝都可以产生单缝衍射，许多单缝的衍射光在 屏幕上相干叠加，光栅衍射是单缝衍射和缝与缝之间干涉的总效果。 2)光栅方程 衍射角  满足相邻两缝发出的光束的光程差等于波长的整数倍时，彼此相强出现明 纹。当入射光垂直照射光栅时，光栅衍射明纹的条件为： (a  b)sin  k ， k  0,1,2  R  R 1 S S2 d 图 3

称为光栅方程。满足光栅方程的明纹称为主明纹或主极大。 3)光栅衍射图样 (1)k级主明纹的角位置:sinb4=-,O4= arcsin(,),入射波长一定时 a+b 光栅常数a+b越小,相邻两明纹分得越开。 (2)由于-1ssnb ≤1,光栅衍射明纹最高级次不大于 明纹数目将 受到光栅方程的限制。入射波长λ一定时,光栅常数越小,可观察到的明纹数目越少 (3)缺级:如果衍射角θ的某些值既满足光栅方程的主明纹条件,又满足单缝衍射的 暗纹条件,这些主明纹将消失,称为缺级现象 缺级级数:k= k’,k=±1,+2,±3, (4)暗纹及次明纹:在相邻两条主明纹之间存在N条暗纹及N-1条次明纹,次明纹的 强度很弱,因此主明纹之间实际上是一片暗区。 (5)光栅衍射图样的特点是:明条纹细且亮,两条明纹之间存在很宽的暗区。 4光栅光谱 (1)光栅常数a+b一定时,入射波长A较大,角位置也较大,因此当以复色光入射时, 除中央明纹外,不同波长的同一级明纹的角位置彼此分开,并按从中央到两侧,波长顺 序由短到长对称排列,形成一系统谱线,称为光栅光谱。 (2)光栅光谱谱线存在重叠现象,不同波长的光,不同级次的明条纹,在屏幕上占据 同一位置,即对于衍射角6,波长入,同时满足 (a+b)sin 8=k,=k2n

称为光栅方程。满足光栅方程的明纹称为主明纹或主极大。 3)光栅衍射图样 (1)k 级主明纹的角位置： sin , arcsin( ) a b k a b k k k         ，入射波长  一定时， 光栅常数 a+b 越小，相邻两明纹分得越开。 (2)由于 1 sin 1     a b k  ，光栅衍射明纹最高级次不大于  a  b ，明纹数目将 受到光栅方程的限制。入射波长  一定时，光栅常数越小，可观察到的明纹数目越少。 (3)缺级：如果衍射角  的某些值既满足光栅方程的主明纹条件，又满足单缝衍射的 暗纹条件，这些主明纹将消失，称为缺级现象。 缺级级数： k a a b k    ，k  1,2,3,  (4)暗纹及次明纹：在相邻两条主明纹之间存在 N 条暗纹及 N-1 条次明纹，次明纹的 强度很弱，因此主明纹之间实际上是一片暗区。 (5)光栅衍射图样的特点是：明条纹细且亮，两条明纹之间存在很宽的暗区。 4)光栅光谱 (1)光栅常数 a+b 一定时，入射波长  较大，角位置也较大，因此当以复色光入射时， 除中央明纹外，不同波长的同一级明纹的角位置彼此分开，并按从中央到两侧，波长顺 序由短到长对称排列，形成一系统谱线，称为光栅光谱。 (2)光栅光谱谱线存在重叠现象，不同波长的光，不同级次的明条纹，在屏幕上占据 同一位置，即对于衍射角  ，波长 1，2 同时满足 1 1 2 2 (a  b)sin  k   k 

5)光栅衍射光谱的变动 当入射光线斜入射时,即入射角φ≠0(如图4),相邻两缝发出的光束的光程差为 (a+bsnb±sinq),式中,当日,g在法线的同一侧(图4a)时取正号,当6,g 在法线的异侧(图4b)时取负号。相应的光栅方程为: (a+b)(sinb±sinq)=kλ,k=0,±1,±2,…,中央主明纹(k=0)出现在法线的另一侧, 角位置=@处 4 6)光栅的分辨率 R kN,取决于光栅的缝数N和光谱级数k。 4.X射线衍射 (1)X射线:波长约0.1mm数量级的电磁波,晶体可看成是对X射线若适用的三维光 栅 (2)布喇格公式:2dsinθ=kλ,k=1,2,3,…,d为晶面间距,掠射角θ满足布喇格 公式时,晶面间散射射线相互加强形成亮点

5)光栅衍射光谱的变动 当入射光线斜入射时，即入射角   0 （如图 4），相邻两缝发出的光束的光程差为 (a  b)(sin  sin) ，式中，当  ， 在法线的同一侧（图 4a）时取正号，当  ， 在法线的异侧（ 图 4b ） 时 取 负 号 。 相 应 的 光 栅 方 程 为 ： (a  b)(sin  sin)  k，k  0,1,2,  ，中央主明纹（k=0）出现在法线的另一侧， 角位置  = 处。 6)光栅的分辨率 R  kN     ，取决于光栅的缝数 N 和光谱级数 k。 4．X 射线衍射 (1)X 射线：波长约 0.1nm 数量级的电磁波，晶体可看成是对 X 射线若适用的三维光 栅。 (2)布喇格公式： 2d sin  k，k 1,2,3, ，d 为晶面间距，掠射角  满足布喇格 公式时，晶面间散射射线相互加强形成亮点。 图 4 (a) P  P0  P  P0  (b)