延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（重点难点指导）第十二章 电磁感应和电磁场

重点难点指导 第十二章电磁感应和电磁场 1.电磁感应 (1)电磁感应现象:当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时, 不管这种变化是由什么原因引起的,在导体回路中就会产生感应电流的现象。 (2)楞次定律:闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向,它总是使感应电流所产 生的通过回路面积的磁通量,去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化。 注意:关键词为补偿或反抗。 (3)法拉第电磁感应定律 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中产生的感应电动势E1与磁通量对 时间的变化率成正比。表达式为:E1=-m (12-1) 讨论 (1)“”号反映了感应电动势的方向。确定感应电动势方向有两种方法。一是在规定 回路绕行正方向后,判断出皿的方向,再求出E1的方向。此方向数学上较繁,且容易 出错。二是用楞次定律判断E的方向,“-”号代表着“反抗或补偿”的含义。该方法简 便易行,不易出错 (2)楞次定律解决的是感应电动势的方向,而法拉第电磁感应定律主要反映了感应电 动势的大小,同时也表示出方向。 (3)如线圈为N匝导线串联而成,则总电动势是每匝电动势之和,为单匝的N倍

重点难点指导 第十二章 电磁感应和电磁场 1．电磁感应 (1)电磁感应现象：当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时， 不管这种变化是由什么原因引起的，在导体回路中就会产生感应电流的现象。 (2)楞次定律：闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产 生的通过回路面积的磁通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化。 注意：关键词为补偿或反抗。 (3)法拉第电磁感应定律 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势 i  与磁通量对 时间的变化率成正比。表达式为： dt d m i     (12-1) 讨论： (1)“-”号反映了感应电动势的方向。确定感应电动势方向有两种方法。一是在规定 回路绕行正方向后，判断出 dt dm 的方向，再求出 i  的方向。此方向数学上较繁，且容易 出错。二是用楞次定律判断 i  的方向，“-”号代表着“反抗或补偿”的含义。该方法简 便易行，不易出错。 (2)楞次定律解决的是感应电动势的方向，而法拉第电磁感应定律主要反映了感应电 动势的大小，同时也表示出方向。 (3)如线圈为 N 匝导线串联而成，则总电动势是每匝电动势之和，为单匝的 N 倍

d (Nap) 12-4 dt 式中NΦ称为线圈的磁通量匝数或称磁链数 如每一匝的磁通量不同,则可先求磁通量总和∑Φ,再求导数,得总电动势。 (4)感应电流:若回路中电阻为R I da (12-3) rr dt 感生电荷量:从到t2时间内回路中的感生电量 1 dd q=Idr ∫-a d=(d1-d2)。 (12-4) (5)法位第电磁感应定律积分形式为 6=∮E (12-5) 式中E为非静电性场强。 B·dS 2.动生电动势 由于导体在磁场中运动而产生的感应电动势,称为动生电动势。 E,=L(vx B)dI. (12-6) 讨论 (1)动生电动势的非静电场力为导体中电荷所受洛仑兹力。Ek=ν×B (2)任一长度微元d上产生的动生电动势为dE1=(v×B)7,总的动生电动势为 (3)在磁场为均匀磁场,导线为直导线且导线作平动时

dt d N dt d N m i ( )       (12-2) 式中 N 称为线圈的磁通量匝数或称磁链数. 如每一匝的磁通量不同，则可先求磁通量总和  ，再求导数，得总电动势。 (4)感应电流：若回路中电阻为 R， dt d R R I i i      1 （12-3） 感生电荷量：从 1 t 到 2 t 时间内回路中的感生电量                  2 1 2 1 2 1 ( ) 1 1 1 1 2 t t t t i R d R dt dt d R q I dt 。 （12-4） (5)法位第电磁感应定律积分形式为        S i k B dS dt d  E dl ， （12-5） 式中 Ek 为非静电性场强。     S m B dS 。 2．动生电动势 由于导体在磁场中运动而产生的感应电动势，称为动生电动势。     l  i (v B) dl 。 （12-6） 讨论： (1)动生电动势的非静电场力为导体中电荷所受洛仑兹力。 Ek  v  B 。 (2)任一长度微元 dl 上产生的动生电动势为 d v B l i   (  ) ，总的动生电动势为  i  d i   。 (3)在磁场为均匀磁场，导线为直导线且导线作平动时

E,=×B)d=(xB)∫D=(×B 只有当,B和1三者均彼此垂直时才有E1=Bhv成立,否则就必须用上述公式具 体积分或投影,解题中切不可用此特殊条件下结论代替原始公式 (4)E1>0时说明电动势方向由A→B,E<0时电动势方向为B→A。 (5)动生电动势公式是法拉第电磁感应定律的一种形式。法拉第电磁感应定律 皿用动生电动势观点再考虑,可看成是单位时间内导线切割磁感应线的根数 (或导线扫过面积内的磁通量)。 3.在磁场中转动的线圈内的感应电动势(动生电动势) 若一平面线圈有N匝,面积为S,在均匀磁场中绕一固定轴旋转,则有 Φ=B.S=BS cost, Ndgp d NISsin e 若线圈作匀速转动,日=O+,则 E=NBSosin(at+0)=Esin(ot+Bo (12-7) 为一交变的电动势,电流为交流电,此为交流发电机发电原理 注意:结论中的回路形状是任意的,上述公式对任意形状的平面线圈均成立,故用 此公式计算可比用动生电动势公式简单得多。 4.感生电动势,有旋电场 (1)感生电动势:当导线回路固定不动,而磁通量的变化完全由磁场的变化所引起时, 导线回路内也将产生感应电动势,这种由于磁场变化引起的感应电动势,称为感生电动

A B B A B A i v B dl v B dl v B l                      ( ) ( ) ( ) 只有当 v  ， B  和 l  三者均彼此垂直时才有 Blv  i  成立，否则就必须用上述公式具 体积分或投影，解题中切不可用此特殊条件下结论代替原始公式。 (4)  i  0 时说明电动势方向由 A→B， i  0 时电动势方向为 B→A。 (5)动生电动势公式是法拉第电磁感应定律的一种形式。法拉第电磁感应定律 dt d m i     用动生电动势观点再考虑，可看成是单位时间内导线切割磁感应线的根数 （或导线扫过面积内的磁通量）。 3．在磁场中转动的线圈内的感应电动势（动生电动势） 若一平面线圈有 N 匝，面积为 S，在均匀磁场中绕一固定轴旋转，则有   B S  BS cos ， dt d NBS dt Nd i    sin   。 若线圈作匀速转动， o   t  ，则 sin( ) sin( ) 0 0  0  i  NBS t    t  （12-7） 为一交变的电动势，电流为交流电，此为交流发电机发电原理。 注意：结论中的回路形状是任意的，上述公式对任意形状的平面线圈均成立，故用 此公式计算可比用动生电动势公式简单得多。 4．感生电动势，有旋电场 (1)感生电动势：当导线回路固定不动，而磁通量的变化完全由磁场的变化所引起时， 导线回路内也将产生感应电动势，这种由于磁场变化引起的感应电动势，称为感生电动

(2)有旋电场:变化的磁场在其周围激发了一种电场,称为感生电场,又称有旋电场。 (有些书中称涡旋电场 有旋电场的场强E是一种“非静电性场的场强”,其对电荷的作用力也是一种非静 电力,正是有旋电场对电荷的作用力使得正电荷逆着静电场方向运动,产生了感生电动 势。因此感生电动势的非静电力是有旋电场对电荷的作用力,而动生电动势的非静电力 为洛仑兹力。 由法拉第电磁感应定律和电动势定义可知有旋电场的环流和变化的磁场间关系为 (12-8) 上式左边为一闭合回路中总的感生电动势E,右式为磁通量对时间的变化率一四的 负值。 由上式还可看出,E的方向∂B/a成左旋系统。但该方向的判别还是用楞次定律判 断方便。建议用楞次定律判断E,的方向。若回路为一导体回路时,由楞次定律可判断感 应电流的方向。感应电流方向即正电荷运动方向即为E,的方向。此结果和aB/O的左旋 关系一致 (3)有旋电场和静电场的相同点和不同点 相同点:都能对处于其场中的电荷有作用力,电场强度定义,电场线画法相同 不同点 (1)产生的来源不同:静电场由静止的电荷产生;而有旋电场是由变化的磁场产生

势。 (2)有旋电场：变化的磁场在其周围激发了一种电场，称为感生电场，又称有旋电场。 （有些书中称涡旋电场 有旋电场的场强 Er  是一种“非静电性场的场强”，其对电荷的作用力也是一种非静 电力，正是有旋电场对电荷的作用力使得正电荷逆着静电场方向运动，产生了感生电动 势。因此感生电动势的非静电力是有旋电场对电荷的作用力，而动生电动势的非静电力 为洛仑兹力。 由法拉第电磁感应定律和电动势定义可知有旋电场的环流和变化的磁场间关系为：         S r dS t B E dl     。 （12-8） 上式左边为一闭合回路中总的感生电动势 i  ，右式为磁通量对时间的变化率 dt dm 的 负值。 由上式还可看出， Er  的方向 B/ t  成左旋系统。但该方向的判别还是用楞次定律判 断方便。建议用楞次定律判断 Er  的方向。若回路为一导体回路时，由楞次定律可判断感 应电流的方向。感应电流方向即正电荷运动方向即为 Er  的方向。此结果和 B/ t  的左旋 关系一致。 (3)有旋电场和静电场的相同点和不同点。 相同点：都能对处于其场中的电荷有作用力，电场强度定义，电场线画法相同。 不同点： (1)产生的来源不同：静电场由静止的电荷产生；而有旋电场是由变化的磁场产生

(2)电场线不同:静电场的电场线从正电荷(或无穷远处)起始,终止于负电荷( 无穷远处);而有旋电场的电场线为一闭合曲线,无头无尾,故称有旋电场。 (3)环流积分结果不同:静电场的环流为零,故静电场为保守力场。而涡旋电场的环 流一般不为零,不是保守力场,为有旋电场 电子感应加速器和涡电流等都是有旋电场的具体体现和应用: 5.自感和互感 由于回路中电流产生的磁通量发生变化,而在自己回路中激起感应电动势的现象称 为自感现象。相应的电动势称为自感电动势 由毕奥一萨伐尔定律可知,一回路由自身电流产生的穿过自身回路的磁通量Φ应与 其电流强度I成正比 ①=L, (12-9) L称为该回路的自感系数。 当I变化时,Φ也在变,回路中产生自感电动势,由法拉第电磁感应定律可得 E (12-10) ①当线圈为N匝时,公式=L左边应写为线圈总的磁通量∑Φ,若N匝磁通 均相等,写成N即磁链数,可记成Φx。 ②由E1=-L,若L为已知,则求E可直接由I的变化求,不必先求Φ,再求导 ③如果回路中有铁磁材料,由于I(或H)与Φ此时不成正比关系,故自感系数L 也不是一个常数

(2)电场线不同：静电场的电场线从正电荷（或无穷远处）起始，终止于负电荷（或 无穷远处）；而有旋电场的电场线为一闭合曲线，无头无尾，故称有旋电场。 (3)环流积分结果不同：静电场的环流为零，故静电场为保守力场。而涡旋电场的环 流一般不为零，不是保守力场，为有旋电场。 电子感应加速器和涡电流等都是有旋电场的具体体现和应用： 5．自感和互感 由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自己回路中激起感应电动势的现象称 为自感现象。相应的电动势称为自感电动势。 由毕奥－萨伐尔定律可知，一回路由自身电流产生的穿过自身回路的磁通量  应与 其电流强度 I 成正比：   LI ， （12-9） L 称为该回路的自感系数。 当 I 变化时，  也在变，回路中产生自感电动势，由法拉第电磁感应定律可得 dt dI  i  L 。 （12-10） ①当线圈为 N 匝时，公式   LI 左边应写为线圈总的磁通量 i ，若 N 匝磁通 均相等，写成 N 即磁链数，可记成 N 。 ②由 dt dI  i  L ，若 L 为已知，则求 i  可直接由 I 的变化求，不必先求  ，再求导。 ③如果回路中有铁磁材料，由于 I（或 H）与  此时不成正比关系，故自感系数 L 也不是一个常数

④在无铁磁材料的情况下或μ为一常数时,自感系数L反映了自感元件本身的物理 固有性质,只与线圈的形状、大小、匝数、结构等有关,而与外界(如电流I等)无关。 ⑤一长直螺旋管的自感系数L=N2S =A,式中N为总匝数,1为长度, n=一为单位长度上的匝数,V为螺旋管内磁场的体积。 (2)互感 ①互感现象:由于一个回路中电流变化而在邻近另一回路中产生感应电动势的现象。 对应的电动势称为互感电动势。 ②互感系数 如果两个回路的相对位置固定不变,而且在其周围没有铁磁性物质,若回路1(线圈 1)中电流为l1,电流/在回路2(线圈2)中产生的总磁通量(磁链数)为N2Φ21,则 N2Φ21=M1, (12-11) N2为回路2(线圈2)的匝数。M称为互感系数 同理:由电流l2在回路1(线圈1)中产生的总磁通量(磁链数)N2Φ21和l2的关 系为 NΦ21=M (12-12) 当l变化时在线圈2中产生的互感电动势 dI E21=-M 当l2变化时在线圈1中产生的互感电动势 12=-M-2 (12-14)

④在无铁磁材料的情况下或  为一常数时，自感系数 L 反映了自感元件本身的物理 固有性质，只与线圈的形状、大小、匝数、结构等有关，而与外界（如电流 I 等）无关。 ⑤一长直螺旋管的自感系数 n V l N S L 2 0 2 0     ，式中 N 为总匝数，l 为长度， l N n  为单位长度上的匝数，V 为螺旋管内磁场的体积。 （2）互感 ①互感现象：由于一个回路中电流变化而在邻近另一回路中产生感应电动势的现象。 对应的电动势称为互感电动势。 ②互感系数 如果两个回路的相对位置固定不变，而且在其周围没有铁磁性物质，若回路 1（线圈 1）中电流为 1 I ，电流 1 I 在回路 2（线圈 2）中产生的总磁通量（磁链数）为 N221 ，则 N221  MI1， （12-11） N2 为回路 2（线圈 2）的匝数。M 称为互感系数。 同理：由电流 2 I 在回路 1（线圈 1）中产生的总磁通量（磁链数） N221 和 2 I 的关 系为 N221  MI2 (12-12) 当 1 I 变化时在线圈 2 中产生的互感电动势 dt dI M 1  21   (12-13) 当 2 I 变化时在线圈 1 中产生的互感电动势 dt dI M 2  12   (12-14)

由上式可知,若已知互感系数M,由电流的变化率一可直接求出在另一线圈中的互 dt 感电动势,而不必先求Φ后求导 6.磁场的能量 (1)载流自感元件的储能Wn 载有电流强度为I,自感系数为L的自感元件(线圈)其储有的磁场能量为 W=-L (12-15) (2)磁场的能量密度m 磁场中某一点处的磁场能量密度,即单位体积中的磁场能量为 Wm=BH=I B uH (12-16) B,H为该点处磁场的磁感应强度和磁场强度。 注意:该公式对任意磁场都成立。 (3)磁场总能量 由磁场能量密度公式可求出任意的磁场和任意空间内的总能量 取一体积微元d,则其中磁场能量为 dw=wdv=-BhdI B,H为该何种元处的磁感应强度和磁场强度。则总的磁场能量为 Wm=JBHdk (12-17) 对自感元件产生的磁场全空间积分,其总能量应等于自感元件储能,即 BHd (12-18)

由上式可知，若已知互感系数 M，由电流的变化率 dt dI 可直接求出在另一线圈中的互 感电动势，而不必先求  后求导。 6．磁场的能量 (1)载流自感元件的储能 Wm 载有电流强度为 I，自感系数为 L 的自感元件（线圈）其储有的磁场能量为 2 2 1 W LI m  （12-15） (2)磁场的能量密度 wm 磁场中某一点处的磁场能量密度，即单位体积中的磁场能量为： 2 2 2 1 2 1 2 1 H B wm BH      （12-16） B，H 为该点处磁场的磁感应强度和磁场强度。 注意：该公式对任意磁场都成立。 (3)磁场总能量 由磁场能量密度公式可求出任意的磁场和任意空间内的总能量。 取一体积微元 dV，则其中磁场能量为 dWm wmdV BHdV 2 1   B，H 为该何种元处的磁感应强度和磁场强度。则总的磁场能量为  Wm  BHdV 2 1 。 （12-17） 对自感元件产生的磁场全空间积分，其总能量应等于自感元件储能，即  Wm  LI  BHdV 2 1 2 1 2 。 （12-18）

用此式亦可求出自感元件的自感系数,只是积分较繁。 7.位移电流 (1)位移电流:“位移电流”是一种假设,它不是电荷的流动,其本质是变化的电场 其值等于穿过由面S的电位移通量对时间的变化率。即 (D为电位移矢量)(12-19) 位移电流密度(即垂直于电流方向的单位面积上流过的电流强度)为该点处电位移 矢量对时间变化率。 (12-20) (2)全电流 传导电流和位移电流l相加的合电流=I+l4叫做全电流 注意:传导电流不总是连续的,如在电容器的两极板之间,传导电流中断;位移电 流也一样,如在导线内,只有传导电流,无位移电流,但全电流是连续的 (3)全电流定律 变化的电场即位移电流同样和传导电流一样产生磁场。 在磁场中沿任一闭合回路H的线积分在数值上等于穿过以该闭合回路为边线的任意 曲面的传导电流和位移电流的代数和,即 ∮·d=∑(U+) (1221) 该方程称为全电流定律

用此式亦可求出自感元件的自感系数，只是积分较繁。 7．位移电流 (1)位移电流：“位移电流”是一种假设，它不是电荷的流动，其本质是变化的电场。 其值等于穿过由面 S 的电位移通量对时间的变化率。即        S D d dS t D dt d I   。 （ D  为电位移矢量） （12-19） 位移电流密度（即垂直于电流方向的单位面积上流过的电流强度）为该点处电位移 矢量对时间变化率。 dt dD d     。 （12-20） (2)全电流 传导电流和位移电流 d I 相加的合电流 r d I  I  I 叫做全电流。 注意：传导电流不总是连续的，如在电容器的两极板之间，传导电流中断；位移电 流也一样，如在导线内，只有传导电流，无位移电流，但全电流是连续的。 (3)全电流定律 变化的电场即位移电流同样和传导电流一样产生磁场。 在磁场中沿任一闭合回路 H 的线积分在数值上等于穿过以该闭合回路为边线的任意 曲面的传导电流和位移电流的代数和，即    (  ) d H dl I I   。 （12-21） 该方程称为全电流定律

(4)位移电流和传导电流的异同 相同点:两者均能产生磁场 不同点 (1)来源不同。传导电流是由电荷定向运动形成的,而位移电流是把变化的电场看成 电流。 (2)电流强度定义不同。由(1)的不同,两者的电流强度表述亦不同 传导电流 位移电流4= 山 (3)传导电流能产生焦耳热,位移电流不产生焦耳热(但可通过其他形式发热,如使 分子相互摩擦发热)。 8.麦克斯韦方程组、电磁场 变化的磁场激发涡旋电场,而变化的电场激发涡旋的磁场,变化的电场和磁场不是 彼此独立的,它们相互联系,相互激发组成一个统一的电磁场。 总结电场(包括静电场和涡旋电场)、磁场(包括由传导电流产生的和位移电流产生 的)的性质,可得出麦克斯韦方程组 D,6=∑ B·dS=0, (1222) H·dl=I+l

(4)位移电流和传导电流的异同 相同点：两者均能产生磁场。 不同点： (1)来源不同。传导电流是由电荷定向运动形成的，而位移电流是把变化的电场看成 电流。 (2)电流强度定义不同。由（1）的不同，两者的电流强度表述亦不同。 传导电流 dt dq I  。 位移电流           S S D d dS t D D dS dt d dt d I     。 (3)传导电流能产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热（但可通过其他形式发热，如使 分子相互摩擦发热）。 8．麦克斯韦方程组、电磁场 变化的磁场激发涡旋电场，而变化的电场激发涡旋的磁场，变化的电场和磁场不是 彼此独立的，它们相互联系，相互激发组成一个统一的电磁场。 总结电场（包括静电场和涡旋电场）、磁场（包括由传导电流产生的和位移电流产生 的）的性质，可得出麦克斯韦方程组                            . , 0, , ( ) d m i H dl I I dt d E dl B dS D dS q         内 （12-22）

第一式中q1为自由电荷。由于涡旋电场E的电场线是闭合的,故其穿过一闭合曲面 的D通量为零。 第二式中无论是传导电流还是位移电流产生的磁场的磁感应线均是闭合的,故穿过 任一闭合曲面磁通量为零。 第三式中由于静电场为保守力场,其E的环流为零,故此式右端为由涡旋电场的环 流结果。 第四式是全电流定律 麦克斯韦方程组微分形式 V·D=p V·B=0 VxHs aD (12-23) V×E=一 电磁场同样是一种物质,其能量、质量和动量等都是其物质性的表现

第一式中 i q 为自由电荷。由于涡旋电场 Er  的电场线是闭合的，故其穿过一闭合曲面 的 D  通量为零。 第二式中无论是传导电流还是位移电流产生的磁场的磁感应线均是闭合的，故穿过 任一闭合曲面磁通量为零。 第三式中由于静电场为保守力场，其 E  的环流为零，故此式右端为由涡旋电场的环 流结果。 第四式是全电流定律 麦克斯韦方程组微分形式：                            t B E t D H B D          0 （12-23） 电磁场同样是一种物质，其能量、质量和动量等都是其物质性的表现