鱼点难点指导 第三章运动守恒定律 1.机械能守恒定律 1)功和功率 功是反映力对空间累积作用的物理量.功是标量,同时也是过程量 (1)恒力的功 A=F·MF=FM·cosO (3-1) ①功没有方向,但有正负; ②0≤00,F对物体作正功 6=时,A=0,F对物体不作功 sb<丌时,A<0,F对物体作负功 (2)变力的功 元功dA=F·d= Fcos eds, 总功A=Fd=F 在直角坐标系中 F=Fi+ Frj+F:k, dr=dxi +dy +dk (F+F,中+ 对功的概念的理解应注意以下几个问题 ①功是过程量,描述力作用于物体的空间累积效应
重点难点指导 第三章 运动守恒定律 1．机械能守恒定律 1) 功和功率 功是反映力对空间累积作用的物理量．功是标量，同时也是过程量． (1) 恒力的功 A F r F r cos ． （3-1） ① 功没有方向，但有正负； ② 2 0 时，A>0， F 对物体作正功； 2 时，A=0， F 对物体不作功． 2 时，A<0， F 对物体作负功． (2) 变力的功 元功 dA F dr F cosds ， 总功 A= F dr F ds b a a b cos ． （3-2） 在直角坐标系中 F F i F j F k x y z ， dr dxi dyj dzk ， A= (F dx F dy F dz) x y z b a ． 对功的概念的理解应注意以下几个问题． ① 功是过程量，描述力作用于物体的空间累积效应．
②功是标量,但它有正负之分 ③机械功的两个不可缺的要素:力和力的作用点与沿该力的方向上的位移 ④明确所讨论的功是那个力对被研究对象所做的,因为功是指某一力所做的功,合 力所做的功是指力所做功的代数和 (3)功率 力在单位时间内所作的功叫功率 P=a=F如=F 2)动能 动能 Ek 动能是也是物体运动状态的单值函数.动能具有相对性,与参考系有关.例如, 颗飞行的子弹,对速度和它一样的飞机来说,动能等于零,这颗子弹对飞机中的驾驶员 毫无威胁.但对地面上的固定物体,其动能就不可等闲视之,它能穿到物体中去 3)动能定理 力对物体作功,则要使物体的运动状态发生变化 A=∫ 223m1=ER-E (3-5) 上式说明:合外力对物体所作的功等于其动能的增量,这就是动能定理.动能定理 给出了功与动能增量之间的关系 (1)功反映力的空间累积效应,其大小与过程有关,是过程量;动能反映物体的运动 状态,是状态量,动能定理把过程量和状态量动能的改变联系起来了.物体在外力的持
② 功是标量，但它有正负之分． ③ 机械功的两个不可缺的要素：力和力的作用点与沿该力的方向上的位移． ④ 明确所讨论的功是那个力对被研究对象所做的，因为功是指某一力所做的功，合 力所做的功是指力所做功的代数和． (3) 功率 力在单位时间内所作的功叫功率． F v dt F dr dt dA P （3-3） 2) 动能 动能 2 2 1 E mv k ， （3-4） 动能是也是物体运动状态的单值函数．动能具有相对性，与参考系有关．例如，一 颗飞行的子弹，对速度和它一样的飞机来说，动能等于零，这颗子弹对飞机中的驾驶员 毫无威胁．但对地面上的固定物体，其动能就不可等闲视之，它能穿到物体中去． 3) 动能定理 力对物体作功，则要使物体的运动状态发生变化． 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 k k b a A F dr mv mv E E （3-5） 上式说明：合外力对物体所作的功等于其动能的增量，这就是动能定理．动能定理 给出了功与动能增量之间的关系． (1) 功反映力的空间累积效应，其大小与过程有关，是过程量；动能反映物体的运动 状态，是状态量，动能定理把过程量和状态量动能的改变联系起来了．物体在外力的持
续作用下经历某一段路程,不管外力是否为变力,也不管运动过程如何复杂,其路径是 曲线还是直线,合外力对物体所作描总是取决于物体始末动能之差.由此给出一种计算 过程量的方法,即用状态量的变化求过程量 (2)由于动能具有相对性,其大小依赖于参考系的选择,所以动能定理只适用于惯性 系,并且(28)式中各量是对同一参考系而言的 4)保守力与势能 (1)保守力与非保守力 根据力作功特点的不同,可把力分成保守力和非保守力,若某种力作功只与始末两 点的位置有关,而与路径无关,则这种力称为保守力,反之称为非保守力.保守力的判 据为 (2)势能 由保守力作功的特点可知,这些力的功都等于与始末位置有关的状态函数之差.由 于功是能量转换或转移的量度,因此这种状态函数所反映的必定是能量.而这种能量与 动能不同,它不是由于运动而具有的,而是取决于系统中物体的相对位置,这种与物体 相对位置有关的能称为势能.可见,引入势能的条件是:系统内部存在保守内力. ①势能是属于物体系的,是物体系共有的 ②势能是物体系状态的单值函数 ③势能具有相对性,与势能零点的选取在关,但势能的差值与势能的零点的选取无
续作用下经历某一段路程，不管外力是否为变力，也不管运动过程如何复杂，其路径是 曲线还是直线，合外力对物体所作描总是取决于物体始末动能之差．由此给出一种计算 过程量的方法，即用状态量的变化求过程量． (2) 由于动能具有相对性，其大小依赖于参考系的选择，所以动能定理只适用于惯性 系，并且（2-8）式中各量是对同一参考系而言的． 4) 保守力与势能 (1) 保守力与非保守力 根据力作功特点的不同，可把力分成保守力和非保守力，若某种力作功只与始末两 点的位置有关，而与路径无关，则这种力称为保守力，反之称为非保守力．保守力的判 据为 F dr 0 （3-6） (2) 势能 由保守力作功的特点可知，这些力的功都等于与始末位置有关的状态函数之差．由 于功是能量转换或转移的量度，因此这种状态函数所反映的必定是能量．而这种能量与 动能不同，它不是由于运动而具有的，而是取决于系统中物体的相对位置，这种与物体 相对位置有关的能称为势能．可见，引入势能的条件是：系统内部存在保守内力． ① 势能是属于物体系的，是物体系共有的． ② 势能是物体系状态的单值函数． ③ 势能具有相对性，与势能零点的选取在关，但势能的差值与势能的零点的选取无
重力势能:En=mgh,h是相对势能零点的高度 弹性势能:E2=G”,选无限远处为势能零点 (3)保守力作功与势能改变的关系 Aa=EpI -Ep2=-AE (3-7) 保守力的功等于势能的减少或势能增量的负值 5)质点系动能定理 如果研究对象不是一个物体(质点),而是几个物体组成的物体系(质点系),则该 研究对象受到的力不单是外力,内部各个物体之间还存在着相互作用,即内力,这时动 能定理可表示为 A4+A1=Eka2-EA=△Ek 式中A为系统外力的功,A为系统内力的功,AEA为系统动能的增量 系统外力的功和内力的功的总和等于系统的动能的增量 特别注意 虽然系统内第一对内力是作用力与反作用力,它们等值反向,且沿同一条直线,所 有内力的矢量和为零,但各个质点受力后的位移不一定相同,所以内力作功的代数和不 定等于零.但若相互作用的两质点之间没有相对位移,或质点之间的相互作用力与它 们之间的相对位移垂直时,成对内力所作功之和为零 6)质点系的功能原理
关． 重力势能： Ep mgh，h 是相对势能零点的高度． 弹性势能： 2 2 2 r m m Ep G ，选无限远处为势能零点． (3) 保守力作功与势能改变的关系 Aci Ep1 Ep2 Ep （3-7） 保守力的功等于势能的减少或势能增量的负值． 5) 质点系动能定理 如果研究对象不是一个物体（质点），而是几个物体组成的物体系（质点系），则该 研究对象受到的力不单是外力，内部各个物体之间还存在着相互作用，即内力，这时动 能定理可表示为 Ae Ai Ek 2 Ek1 Ek （3-8） 式中 Ae为系统外力的功，Ai为系统内力的功， Ek 为系统动能的增量． 系统外力的功和内力的功的总和等于系统的动能的增量． 特别注意： 虽然系统内第一对内力是作用力与反作用力，它们等值反向，且沿同一条直线，所 有内力的矢量和为零，但各个质点受力后的位移不一定相同，所以内力作功的代数和不 一定等于零．但若相互作用的两质点之间没有相对位移，或质点之间的相互作用力与它 们之间的相对位移垂直时，成对内力所作功之和为零． 6) 质点系的功能原理
功能原理是质点系动能定量的另一种表达形式 因4+41=EA2-EA 而4=A+Aa,且Aa=-(Ep2-Ep) 因此A+A+Aa=EA2-EA1变为 A +Ad=(en tEn2)-(ek+E=E-e (3-9) 上式表明,当系统从状态1变化到状态2时,它的机械能增量等于外力的功与非保 守内力的功的总和.这个结论叫系统的功能原理 质点动能定理、质点系动能定理及质点系功能原理的比较: ①当取物体作为研究对象时,用质点动能定理,其中外力的功,指的是作用在物体 上所有外力的总功,所以必须计算包括重力、弹力在内的一切外力的功.物体动能的变 化是由外力作用所作的总功来决定 当取质点系作为研究对象时,由于应用了势能这个概念,关于保守力所作的功 例如重力的功和弹力的功等,在算式(3-9)不再出现,已为系统势能的变化所代替.因 此,在解题时,如果计算了保守力所作的功(用(3-8)式),就不必考虑势能的变化;反 之,考虑了势能的变化(用(3-9)式),就不必计算保守内力的功 定理 研究对象 功 能的增量 质点动能定理 质点合外力的功 质点动能的增量 质点系动能定理质点系外力功与内力功的总和 质点系总动能的增量 功能原理 质点系外力功与非保守内力功的总和系统机械能的增量
功能原理是质点系动能定量的另一种表达形式． 因 Ae Ai Ek 2 Ek1 而 Ai Aci Adi ，且 ( ) ACi EP2 EP1 ． 因此 Ae Aci Adi Ek 2 Ek1 变为 2 2 1 1 2 1 Ae Adi (Ek Ep ) (Ek Ep ) E E （3-9） 上式表明，当系统从状态 1 变化到状态 2 时，它的机械能增量等于外力的功与非保 守内力的功的总和．这个结论叫系统的功能原理． 质点动能定理、质点系动能定理及质点系功能原理的比较： ① 当取物体作为研究对象时，用质点动能定理，其中外力的功，指的是作用在物体 上所有外力的总功，所以必须计算包括重力、弹力在内的一切外力的功．物体动能的变 化是由外力作用所作的总功来决定． ② 当取质点系作为研究对象时，由于应用了势能这个概念，关于保守力所作的功， 例如重力的功和弹力的功等，在算式（3-9）不再出现，已为系统势能的变化所代替．因 此，在解题时，如果计算了保守力所作的功（用（3-8）式），就不必考虑势能的变化；反 之，考虑了势能的变化（用（3-9）式），就不必计算保守内力的功 定 理 研究对象 功 能的增量 质点动能定理 质 点 合外力的功 质点动能的增量 质点系动能定理 质点系 外力功与内力功的总和 质点系总动能的增量 功能原理 质点系 外力功与非保守内力功的总和 系统机械能的增量
7)机械能守恒定律 由功能原理式(3-9)可知, 当A4+Aa=0时,AE=0,即E1=E2 这就是说,如果一个系统只有保守力作功,其他内力和一切外力都不作功,或者它 们的总功为零,系统的机械能总值不变.这个结论叫机械守恒定律 关于机械能守恒条件的分析.机械能守恒条件是外力和非保 守内力都不作功或所作的总功为零 (1)机械能守恒是对某一过程而言的,只有在整个过程的每 个微小间间隔或对第一微小位移外力和非保守内力都不作功 图3-1 或所作功之和为零,机械能才守恒.不能仅看始末两个状态机械 能相等,就认为整个过程机械能守恒.例如,一弹簧固定于水平面上,水球从高为h处 以初v落下,撞击弹簧后跳回到高h为时速度仍为v,如图3-1所示,若以小球为系统 小球在全过程中受的重力和弹力均为外力.虽然这两个力在全过程中所作功之和为零, 但这两个力的功并不随时抵消,即每一微小位移力都在作功,小球的机械能时刻在变, 因此机械能不守恒 (2)机械能守恒是对某一系统而言诉,它与系统的划分密切相关.同样对图3-1所示 的过程,若以小球、地球和弹簧为系统,系统只受内力作用,地面的支持力是非保守内 力,但它不作功,策略和弹力均为保守内力,所以系统的机械能守恒. (3)机械能守恒并不要求外力和非保守力为零.例如单摆,以小球和地球为系统,它
7) 机械能守恒定律 由功能原理式（3-9）可知， 当 Ae Adi 0 时， E 0 ，即 E1 E2 ． 这就是说，如果一个系统只有保守力作功，其他内力和一切外力都不作功，或者它 们的总功为零，系统的机械能总值不变．这个结论叫机械守恒定律． 关于机械能守恒条件的分析．机械能守恒条件是外力和非保 守内力都不作功或所作的总功为零． (1) 机械能守恒是对某一过程而言的，只有在整个过程的每 一个微小间间隔或对第一微小位移外力和非保守内力都不作功 或所作功之和为零，机械能才守恒．不能仅看始末两个状态机械 能相等，就认为整个过程机械能守恒．例如，一弹簧固定于水平面上，水球从高为 h 处 以初 v0落下，撞击弹簧后跳回到高 h 为时速度仍为 v0，如图 3-1 所示，若以小球为系统， 小球在全过程中受的重力和弹力均为外力．虽然这两个力在全过程中所作功之和为零， 但这两个力的功并不随时抵消，即每一微小位移力都在作功，小球的机械能时刻在变， 因此机械能不守恒． (2) 机械能守恒是对某一系统而言诉，它与系统的划分密切相关．同样对图 3-1 所示 的过程，若以小球、地球和弹簧为系统，系统只受内力作用，地面的支持力是非保守内 力，但它不作功，策略和弹力均为保守内力，所以系统的机械能守恒． (3) 机械能守恒并不要求外力和非保守力为零．例如单摆，以小球和地球为系统，它 图 3-1 0 v m 0 v h
受外力T,但T不作功,小球的机械能守恒 2.动量守恒定律 1)冲量 冲量是反映力对时间的累积作用的物理量,冲量是与时间对应的,是过程量 (1)恒力的冲量 I=F△ 冲量是矢量,恒力的冲量的方向与力的方向相同 (2)变力的冲量 I= Fdi 由于F不是恒力,因此变力的冲量I的方向一般也不与某时刻的力的方向相同,而 是各微元冲量矢量合成的方向 在直角坐标中 =l+1,j+1k, 其中,1,=山,1,=,山,12=F山 2)动量定理 由布=F得 1= Fdt=P2-P 质点的动量定理:合外力的冲量等于相同时间内质点动量的增量.动量定理给出了 冲量与动量增量之间的关系
受外力 T，但 T 不作功，小球的机械能守恒． 2．动量守恒定律 1） 冲量 冲量是反映力对时间的累积作用的物理量，冲量是与时间对应的，是过程量． (1) 恒力的冲量 I Ft ， 冲量是矢量，恒力的冲量的方向与力的方向相同． (2) 变力的冲量 I Fdt t t 2 1 ． 由于 F 不是恒力，因此变力的冲量 I 的方向一般也不与某时刻的力的方向相同，而 是各微元冲量矢量合成的方向． 在直角坐标中 I I i I j I k x y z ， 其中， 2 1 t t I x Fxdt ， 2 1 t t I y Fydt ， 2 1 t t I z Fzdt ． 2）动量定理 由 dp Fdt 得： 2 1 2 1 t t I Fdt p p ． 质点的动量定理：合外力的冲量等于相同时间内质点动量的增量．动量定理给出了 冲量与动量增量之间的关系．
(1)在一个运动过程中,力F的大小和方向可以变化,但力F对时间的积分总与物体 运动过程的始末状态的动量增量相等.冲量由动量的增量来量度,与运动过程中变化的 细节无关.力在一段时间内的累积效果,是使物体产生动量增量.要产生同样的效果 即同样动量的增量,力大力小都可以,但是力大需要的时间短些,力小需要的时间长些.办 要力的时间累积即冲量一样,就能产生同样的动量增量.无论是恒力还是变力的冲量的 方向总是与动量增量的方向相同. (2)动量定理仅对惯性系成立,式中各量是对同一物体、同一坐标系而言的 (3)直角坐标系中动量定理的分量式为 1=)F=P2-P1=m2x-m 1,=Fd=P2,-P,=m2一m F dt=p2.-P=mv2s-mya 平均冲力 F 广h=4 (3-10) 3)质点系的动量定理 对质点系的每一质点有上 Fd=m, V-m,io 对所有质点求和有∑F山=∑m-∑m 作用力 F=F外+F内 由于质点系内部作用与反作用力都有相同的作用时间,因此作用力的冲量等于反作 用力的冲量,即
(1) 在一个运动过程中，力 F 的大小和方向可以变化，但力 F 对时间的积分总与物体 运动过程的始末状态的动量增量相等．冲量由动量的增量来量度，与运动过程中变化的 细节无关．力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量．要产生同样的效果， 即同样动量的增量，力大力小都可以，但是力大需要的时间短些，力小需要的时间长些．办 要力的时间累积即冲量一样，就能产生同样的动量增量．无论是恒力还是变力的冲量的 方向总是与动量增量的方向相同． (2) 动量定理仅对惯性系成立，式中各量是对同一物体、同一坐标系而言的． (3) 直角坐标系中动量定理的分量式为 x x x x x t t I x F dt p2 p1 mv2 m1 2 1 ， y y y y y t t I y F dt p2 p1 mv2 m1 2 1 ， z z z z z t t I z F dt p2 p1 mv2 m1 2 1 ． 平均冲力 2 1 2 1 2 1 1 t t p p t p Fdt t F t t ． （3-10） 3）质点系的动量定理 对质点系的每一质点有 2 1 t t i i i i io F dt m v m v ， 对所有质点求和有 2 1 t t i i i i io F dt m v m v ． 作用力 Fi Fi外 Fi内 ． 由于质点系内部作用与反作用力都有相同的作用时间，因此作用力的冲量等于反作 用力的冲量，即
广FM=0 则有 ②FM=∑m,-∑m 3-11) 作用于质点系所有外力的冲量和,等于质点系总动量在同一时间的增量.这就是质 点系的动量定理 质点系的内力不改变系统的总动量,但可改变系统内部的动量分布,即可改变系统 内单个质点的动量 4)动量守恒定律 (1)动量守恒定律 由牛顿第二定律,容易得出质点系动量定理的微分形式 Fp外=∑m) 由上式知:当∑F外=0时, ∑m,=常矢量 (3-12) 这就是说,如果系统所受到的外力之和为零,则系统的总动量保持不变,这就是动 量守恒定律 (2)动量守恒定律条件的分析 ①动量守恒定律条件是∑F外=0,即作用质点所有外力的矢量和为零但对于碰撞 爆炸等过程,虽外力不为零,但内力远大于外力,仍可认为动量守恒 ②总动量不守恒并不意味着分动量也不守恒,当外力在某个方向上的分力为零时, 则在该方向上的总动量的分量仍是守恒的
2 1 ( ) 0 t t i F 内 dt ， 则有 2 1 0 ( ) t t i i i i i F dt m v m v 外 （3-11） 作用于质点系所有外力的冲量和，等于质点系总动量在同一时间的增量．这就是质 点系的动量定理． 质点系的内力不改变系统的总动量，但可改变系统内部的动量分布，即可改变系统 内单个质点的动量． 4）动量守恒定律 (1) 动量守恒定律 由牛顿第二定律，容易得出质点系动量定理的微分形式 i i i i i m v dt d F ( ) 外 ． 由上式知：当 i Fi外 0 时， i i i m v 常矢量 （3-12） 这就是说，如果系统所受到的外力之和为零，则系统的总动量保持不变，这就是动 量守恒定律． (2) 动量守恒定律条件的分析 ① 动量守恒定律条件是 i Fi外 0 ,即作用质点所有外力的矢量和为零．但对于碰撞、 爆炸等过程，虽外力不为零，但内力远大于外力，仍可认为动量守恒． ② 总动量不守恒并不意味着分动量也不守恒，当外力在某个方向上的分力为零时， 则在该方向上的总动量的分量仍是守恒的．
∑F2=0∑P2=常量 ∑F,=0∑P,=常 ∑F:=0∑P:=常量 ③应用动量守恒定律时各速度应相对同一坐标系 ④动量守恒是系统总动量的大小、方向皆保持不变,不是指每个质点的动量都不 变.在内力的作用下,系统内部的动量分布状态是可以改变的 ⑤动量守恒的条件是合外力为零(∑F外=0),而不是合外力的冲量和为零 ①F)=0).合外力的冲量和为零,并不能保证系统的动量守恒.例如,作匀 速圆周运动的质点,从某点出发,绕圆一周,又回到该点.显然,出发点和终点的动量 相同,从出发到终点的冲量为零,但在整个过程中,动量在连续变化.可见,冲量为零 只能说明了系统的始末两个状态的动量相等,并不能保证系统的动量守恒.只有当合外 力为零时,才能保证系统的动量在整个过程中不变,即系统的动量守恒 5)碰撞 处理碰撞问题的理论依据是:动量守恒定律;机械能守恒定律;碰撞定律. (1)碰撞定律:碰后两物体的分离速度(v2-1),与碰前两球的接近速度(v0-120)成 正比,比值由两球的材料决定,即e= ,e称为恢复系统 (2)碰撞的三种类型 ①完全弹性碰撞:碰撞前后系统的总动量不变,系统无能量损失,e=l. ②非弹性碰撞:碰撞前后系统的总动量不变,但有能量损失,0<e<l
Fx 0， px 常量 Fy 0， py 常量 Fz 0， pz 常量 ③ 应用动量守恒定律时,各速度应相对同一坐标系. ④ 动量守恒是系统总动量的大小、方向皆保持不变，不是指每个质点的动量都不 变．在内力的作用下，系统内部的动量分布状态是可以改变的． ⑤ 动量守恒的条件是合外力为零（ i Fi外 0 ），而不是合外力的冲量和为零 （ i i t t ( F )dt 0 2 1 外 ）．合外力的冲量和为零，并不能保证系统的动量守恒．例如，作匀 速圆周运动的质点，从某点出发，绕圆一周，又回到该点．显然，出发点和终点的动量 相同，从出发到终点的冲量为零，但在整个过程中，动量在连续变化．可见，冲量为零 只能说明了系统的始末两个状态的动量相等，并不能保证系统的动量守恒．只有当合外 力为零时，才能保证系统的动量在整个过程中不变，即系统的动量守恒． 5) 碰撞 处理碰撞问题的理论依据是：动量守恒定律；机械能守恒定律；碰撞定律． (1)碰撞定律：碰后两物体的分离速度（v2-v1）,与碰前两球的接近速度（v10-v20）成 正比，比值由两球的材料决定，即 10 20 2 1 v v v v e ，e 称为恢复系统． (2)碰撞的三种类型 ①完全弹性碰撞：碰撞前后系统的总动量不变，系统无能量损失，e=1． ②非弹性碰撞：碰撞前后系统的总动量不变，但有能量损失，０<e<1．