MOM 矩量法 The Method of moment
MOM 1 矩量法 The Method of Moment
矩量法基本思想 矩量法(简称MoM),就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程,离散化过 程和选配过程,从而把线性算子方程转化为矩阵方程 这里先举一个简单的例子
2 矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过 程和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。 这里先举一个简单的例子。 矩量法基本思想
矩量法基本思想 「例1无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。 试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘, 在中心线距离d处有一点电荷,如图所示, 02 求解导体圆盘上的电荷分布。 「解假设导体圆盘上电荷密度为o(x,y),根据电磁学的基本概念可知 (1)由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位中和导体圆盘本身感应电荷 密度G所产生的电位Φ之和U在盘上处处相等,即保证导体圆盘是等位面。 (2)由于本问题中是感应电荷,因此总电荷Q=0 3
3 [解] 假设导体圆盘上电荷密度为 ，根据电磁学的基本概念可知： (1) 由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位Φe和导体圆盘本身感应电荷 密度σ所产生的电位Φi之和U在盘上处处相等，即保证导体圆盘是等位面。 (2) 由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi≡0。 ( , ) x y [例1]无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。 试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘， 在中心线距离d处有一点电荷，如图所示， 求解导体圆盘上的电荷分布。 矩量法基本思想
矩量法基本思想 其中: 2 (4-1) 4mE√x2+y2+d o(x',y) ds' (4-2) 4er 图41导体圆盘上的电荷分布 o'=lo(x,y'ydS' (4-3)
4 2 2 2 0 4 e Q x y d = + + 0 ( , ) 4 i s x y dS r = ( , ) i s Q x y dS = 图4-1 导体圆盘上的电荷分布 （4-1） （4-2） （4-3） 其中： 矩量法基本思想
矩量法基本思想 于是,问题可写为 Φ°+Φ=U l=0(约束条件) (4-4) 式中r=(x-x)2+(y-y)2,其中打撤的表示源点,不打撤的表示场点。 这个问题,采用电磁学经典解析方法不能很好的解决,因为未知量σ处于积分内 部,是一个典型的积分方程。为此,把圆盘分割成两部分:中心小圆和外部环带 (如图4-1所示),并假定每一部分内的电荷密度(=1,2)近似为常数,于是 (x3y)=∑σP(S)+a2P(S2) (4-5) i=1 式中 S∈S (4-6) 0 SEs 5
5 于是，问题可写为 0 ( ) e i i U Q + = = 约束条件 式中r = ( ) ( ) x x y y − + − 2 2 ，其中打撇的表示源点，不打撇的表示场点。 （4-4） 这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，因为未知量σ处于积分内 部，是一个典型的积分方程。为此，把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带 (如图4-1所示)，并假定每一部分内的电荷密度σi (i=1,2)近似为常数，于是 2 1 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) i x y P S P S = = + 式中 1 ( ) 0 i i i S S P S S S = （4-5） （4-6） 矩量法基本思想
矩量法基本思想 (46)称为脉冲函数,这时问题方程(44成为 ds 4丌Eor (4-7) ∑σ,S=0 (48) 把问题方程(44近似的转化为式47和式43)的过程称为离散化过程。 但是,必须注意到方程(47)中,场点表示圆盘上的任意点(x,y),换句 话它们是不定的,因而式4-7中包含着无限个方程。另一方面,离散后 的方程组(47)和方程组48)内只有三个未知数a1、σ2和U,于是方程 组超定。 6
6 （4-6）称为脉冲函数，这时问题方程(4-4)成为 2 1 0 2 1 4 0 i e i i S i i i dS U r S = = − = − = （4-8） （4-7） 把问题方程(4-4)近似的转化为式(4-7)和式(4-8)的过程称为离散化过程。 但是，必须注意到方程(4-7)中，场点r表示圆盘上的任意点(x，y)，换句 话它们是不定的，因而式(4-7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后 的方程组(4-7)和方程组(4-8)内只有三个未知数 σ1 、σ2 和 U ，于是方程 组超定。 矩量法基本思想
矩量法基本思想 为了把超定方程组转化为唯一解的方程组,可以采用很多办法。矩量法 中,习惯用选配过程解决这个问题。简单说来,即在每个离散的单元上 只选取一个场点作为代表来建立方程。例如,在例中对于离散的S1 和S2分别取(x1y1)和(x2y2)两点做试验点,如图4-2所示。具体写 出方程组 11+l2a2=-Φ+U 第1试验点 l2a1+l202= g+U 第2试验点 (x11Nx2V2) so+so=o (4-9) 图4-2圆盘上的试验点
7 为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多办法。矩量法 中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说来，即在每个离散的单元上 只选取一个场点作为代表来建立方程。例如，在[例1]中对于离散的 S1 和S2 分别取（x1 ,y1）和（x2 ,y2）两点做试验点，如图4-2所示。具体写 出方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 e e l l U l l U S S + = − + + = − + + = 第1试验点 第2试验点 (4-9) 图4-2 圆盘上的试验点 矩量法基本思想
矩量法基本思想 其中 1-4兀0S1 (4-10) )2 ds 12 4reo s,(x-x)+(x-v22 4-11) S (4-12) y ds (4-13) 4 x2-x)2+(y2-y1) (x131x2 1..+lo=-:+U 第1试验点 2a+l2a2=-①2+U第2试验点 So1+S2O2=0 图4-2圆盘上的试验点三 8
8 其中 1 2 11 2 2 0 1 1 12 2 2 0 1 1 21 2 2 0 2 2 1 (4-10) 4 ( ) ( ) 1 (4-11) 4 ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) S S dS l x x y y dS l x x y y dS l x x y y = − + − = − + − = − + − 1 2 22 2 2 0 2 2 (4-12) 1 (4-13) 4 ( ) ( ) S S dS l x x y y = − + − 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 e e l l U l l U S S + = − + + = − + + = 第1试验点 第2试验点 图4-2 圆盘上的试验点 矩量法基本思想
矩量法基本思想 4-10 4n√x-x)2+(y2-y) 4-11) 4 (x-x)2+(y1-y) 4-12) (x2-x)2+(y2-y) ds 24x0x-x)+(3-y) 4-13) 其中 h1表示S1面元电荷在(x1y1)处产生场的自作用单元; l2表示S2面元电荷在(x2y2)处产生场的自作用单元 l12表示S2面元电荷在(x12y1)处产生场的互作用单元; l2表示S1面元电荷在(x2y2)处产生场的互作用单元。 9
9 1 2 11 2 2 0 1 1 12 2 2 0 1 1 21 2 2 0 2 2 1 (4-10) 4 ( ) ( ) 1 (4-11) 4 ( ) ( ) 1 4 ( ) ( ) S S dS l x x y y dS l x x y y dS l x x y y = − + − = − + − = − + − 1 2 22 2 2 0 2 2 (4-12) 1 (4-13) 4 ( ) ( ) S S dS l x x y y = − + − 其中 l11表示S1 面元电荷在(x1 ,y1 ) 处产生场的自作用单元； l22表示S2 面元电荷在(x2 ,y2 ) 处产生场的自作用单元； l12表示S2 面元电荷在(x1 ,y1 ) 处产生场的互作用单元； l21表示S1 面元电荷在(x2 ,y2 ) 处产生场的互作用单元。 矩量法基本思想
矩量法基本思想 又有 4mE0√x2+y12+d (4-13) 4 +y2+d 经过离散化过程和选配过程,将积分方程组近似地)转化为矩阵方程 22 S20LU (4-14) 由此得出电荷分布的解为 12 4-15) 10
10 又有 1 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 0 2 2 1 4 1 4 e e Q x y d Q x y d = • + + = • + + 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 1 0 0 e e l l l l S S U − − = − 1 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 1 1 0 0 e e l l l l U S S − − − = − − （4-13） （4-15） （4-14） 经过离散化过程和选配过程，将积分方程组(近似地)转化为矩阵方程 由此得出电荷分布的解为 矩量法基本思想