4.10在恒定磁场中电子的运动: 恒定磁场中的准经典运动 二.自由电子的量子理论 三.霍尔效应 四.回旋共振 讨论晶体电子在恒定磁场中的运动,是分析晶体许多重要物理效应的 理论基础,有两种方法:准经典近似和求解含磁场的 Schrodinger方程,前 方法所得结果物理图像清晰,但有一定的局限性。正确地解释这些现象 是能带论的成功之作,而这些现象也能成为能带论最有力的实验证据
4.10 在恒定磁场中电子的运动: 一. 恒定磁场中的准经典运动 二. 自由电子的量子理论 三. 霍尔效应 四. 回旋共振 讨论晶体电子在恒定磁场中的运动,是分析晶体许多重要物理效应的 理论基础,有两种方法:准经典近似和求解含磁场的Schrödinger方程,前 一方法所得结果物理图像清晰,但有一定的局限性。正确地解释这些现象 是能带论的成功之作,而这些现象也能成为能带论最有力的实验证据
恒定磁场中的准经典运动 依然沿用准经典运动的两个基本方程: (k V,(k) dk F=-eV(k)×B=h t 只考虑磁场中的行为,公式中没有电场力,只有 Lorentz力,磁场 对电子的作用和电场不同,它不作功不改变电子的能量。该公式表明, 在只涉及外力时,晶体动量起着普通动量的作用,我们假定只在z方向 有磁场,先在波矢空间下讨论 Bloch电子的行为
一. 恒定磁场中的准经典运动 依然沿用准经典运动的两个基本方程: 只考虑磁场中的行为,公式中没有电场力,只有Lorentz 力,磁场 对电子的作用和电场不同,它不作功不改变电子的能量。该公式表明, 在只涉及外力时,晶体动量起着普通动量的作用,我们假定只在z方向 有磁场,先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为。 = − × = = ∇ dt d e E k F v k B v k k k ( ) ( ) 1 ( )
k)×B=h水k t 几 ⊥B表明,沿磁场方向k的分量不随时间而变 即在k空间中,电子在垂直于磁场B的平面内运动;又由于 lorentz力 不做功,F⊥卩,所以电子的能量E(k)不随时间而变,即电子在等能 面上运动。综合以上两点,可以看出: ka.h 电子在k空间中 的运动轨迹是垂直于 磁场的平面与等能面 的交线,即电子在垂 直于磁场的等能线上 k 运动。一般情形等能 线形状是很复杂的
表明,沿磁场方向k 的分量不随时间而变, 即在k 空间中,电子在垂直于磁场B 的平面内运动;又由于Lorentz力 不做功, F ⊥ v ,所以电子的能量E(k)不随时间而变,即电子在等能 面上运动。综合以上两点,可以看出: 电子在k 空间中 的运动轨迹是垂直于 磁场的平面与等能面 的交线,即电子在垂 直于磁场的等能线上 运动。一般情形等能 线形状是很复杂的。 B k ⊥ dt d dt d e k − v(k) × B =
v(k)==ve(k 也可从公式Wk=-[vk)xEt出发直接说明此点 上式表明:磁场作用下,电子在k空间运动,其位移dk垂直于v和B 所决定的平面,dk垂直于B,这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的 平面内,k还垂直于ν,因为ν垂直于k空间的等能面,这意味着dk 处在这个等能面内,综合上述两点可以确定:电子沿着垂直于磁场的 等能线做旋转运动,且对磁场而言是反时针旋转。 电子沿等能线运动, 既不从磁场吸收能量 电子轨道 也不把能量传递给 【等能线) 磁场,这与电磁学中 电荷和磁场相互作用 的规律是一致的
也可从公式 出发直接说明此点: 上式表明:磁场作用下,电子在k 空间运动,其位移dk 垂直于v 和B 所决定的平面,dk 垂直于B,这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的 平面内,dk 还垂直于v ,因为v 垂直于k 空间的等能面,这意味着dk 处在这个等能面内,综合上述两点可以确定:电子沿着垂直于磁场的 等能线做旋转运动,且对磁场而言是反时针旋转。 电子沿等能线运动, 既不从磁场吸收能量 ,也不把能量传递给 磁场,这与电磁学中 电荷和磁场相互作用 的规律是一致的。 [ ]dt e dk = − v(k)× B ( ) 1 v(k) = ∇kE k
所以,电子在k空间中的运动是循环的,经过一段时间后又回到出发的 那一点。按照上式 ev(k)×B=h dk 电子回旋运动周期(推) dt T d i E=const B v取垂直于磁场的分量。 回旋运动圆频率( Cyclotron frequency): 2TeB/ dk E=const 这里,微分dk是沿回路周边取的,一般情况形状复杂
所以,电子在k 空间中的运动是循环的,经过一段时间后又回到出发的 那一点。按照上式: 电子回旋运动周期(推): v取垂直于磁场的分量。 回旋运动圆频率(Cyclotron frequency): 这里,微分dk 是沿回路周边取的,一般情况形状复杂, ∫ ∫ ∫ = = = ⊥ = = = E const E const E const v dk eB k dk T dt ∫ = ⊥ = = E const c v dk eB T π π ω 2 2 dt d e k − v(k) × B =
对于自由电子:(练) h-k vCk E(k) 2 eB k 有 或:v(k) hk e. k dt 电子的运动轨道为圆,如下图 在等能线上,k1= const 2丌=2l B 2eB eB dn,-2水k1
对于自由电子:(练) 有: 或: 电子的运动轨道为圆,如下图 在等能线上,k⊥= const. m eB k k m eB v dk eB T E const c = = = = ⊥ = ⊥ ⊥ ∫ π π π π ω 2 2 2 2 = − × = ( ) ( ) k B m e dt dk m k v k m k E 2 ( ) 2 2 k = = = = − 0 dt dk k m eB dt dk k m eB dt dk z x y y x m k v ⊥ ⊥ = (k)
磁场作用下自由电子 在k空间中的运动轨道 是圆。其回旋频率: eB 从前面讨论中可以看出 Bloch电子在磁场中虽然也在做回旋运动,但由于其等能面的复杂变化,其 运动轨迹要复杂得多,因而其旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底 和能带顶,情况变得简单,可以给出类似自由电子的表达式: m是Boch电子的有效质量
磁场作用下自由电子 在k 空间中的运动轨道 是圆。其回旋频率: 从前面讨论中可以看出: Bloch 电子在磁场中虽然也在做回旋运动,但由于其等能面的复杂变化,其 运动轨迹要复杂得多,因而其旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底 和能带顶,情况变得简单,可以给出类似自由电子的表达式: m * 是Bloch 电子的有效质量. m eB ωc = * m eB ωc =
由上面自由电子的公式可以给出:磁场沿z 轴方向,有: z B eB 投影 eB du 在实空间中,沿磁场方向,ⅴ是常数,即做 匀速运动,电子的运动轨迹为一螺旋线
由上面自由电子的公式可以给出:磁场沿z 轴方向,有: 在实空间中,沿磁场方向,vz是常数,即做 匀速运动,电子的运动轨迹为一螺旋线。 = = = − 0 dt dv v m eB dt dv v m eB dt dv z x y y x
Vo cos @ot 1-+ 解为{vy= vo sin @ot B v= const 实空间中电子的运动图象:沿磁场方向(z方向),电子作匀速运动, 在垂直于磁场的平面内,电子作匀速圆周运动。 eB 回转频率:O0= 对于晶体中的电子 F=-ev×B
实空间中电子的运动图象:沿磁场方向(z方向),电子作匀速运动, 在垂直于磁场的平面内,电子作匀速圆周运动。 回转频率: 对于晶体中的电子 解为 = = = . sin cos 0 0 0 0 v const v v t v v t z y x ω ω 2 2 2 0 x y v = v + v m eB ω0 = m eB ω0 = = − × ⋅ = F v B F v e dt m d * 1