第四章能带论
第四章 能 带 论
Felix bloch Uber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern Mit 2 Abbildungen. (Einge gangen am 10. August 1928. Die Bewegung eines Elektrons im Gitter wird untersucht, indem wir uns dieses hwingungen GroBenordnung und Temperaturabhangigkei fahigkeit von Metallen in qualitative Obereinstimmung mit der Erfahrung ergibt Einleitung. Die Elektronentheorie der Metalle hat seit Zeit Fortschritte zu verzeichnen, die in der Anwendung quantentheo. retischer Prinzipien auf das Elektronengas begruindet sind. Zunachst hat Pauli unter der Annahme, dab die Metallelektronen sich vollig frei im Gitter bewegen konnen und der Fermischen s Statistik gehorchen, den temperaturunabhangigen Paramagnetismus der Alkalien zu erklaren ver- 结论阳杏时知理学楼支2:+=“二“二m Physik A52,555(1928),那一年,他年仅23岁 chen als gegeben betrachtet und ihre Wechselwirkung 在 Leipzig大学攻读博士 nur durch eine zunachst phainomenologisch eingefuhrte, dann von Houston e strenger begrtindete freie Weglange mitberucksichti In 1946 he proposed the bloch equations which SchlieBlich hat Heisenberg gezeigt, daB im anderen Grenzfall, wo nachst die Elektronen an die lonen im Gitter gebunden gedacht und erst determine the time evolution of nuclear magnetization. He and Edward Mills Purcell were werden, das fur den Ferromagnetismus entscheidende intermolekulare Feld seine Erklarung findet. awarded the 1952 Nobel prize for their Hier soll ein Zwischenstandpunkt zwischen den beiden development of new ways and methods for wahnten Behandlungsweisen eingenommen werden, insofern, als tausch der Elektronen unbertcksichtigt bleibt, sie dagegen nicht nuclear magnetic precision measurements. .. E. Fermi, ebe nd av. 902. 19263 feld, W. V. Houston, C. Eckart, ebenda 47, 1, 1928 水本W.V. Houston, ebenda48,449,1928 y W. Heisenberg, ebenda 49, 619, 1928
Felix Bloch 这是当年Bloch发表在德国物理学报上的、其主 要结论被后人归结为Bloch定理的论文Zeitschrift Physik A52, 555 (1928) ，那一年，他年仅23岁， 在Leipzig大学攻读博士 In 1946 he proposed the Bloch equations which determine the time evolution of nuclear magnetization. He and Edward Mills Purcell were awarded the 1952 Nobel Prize for "their development of new ways and methods for nuclear magnetic precision measurements
1.海森堡模型(磁学) 2.金属的电导问题 薛定谔 海森堡 德拜 布洛赫
薛定谔 德拜 海森堡 布洛赫 1. 海森堡模型（磁学） 2. 金属的电导问题
研究的历史发展: 1900年, Drude和 Lorentz—金属的经典电子气理 论 麦克斯韦一玻尔兹曼统计 1928年, Sommerfeld一索末菲自由电子理论 费米一狄拉克统计量子自由电子理论 之后至30年代初, Bloch和 Brilliouin,周期场中运动电子的特征 Wilson用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满 量子自由电子理论可作为一种零级近似纳入能带理论
1900年，Drude和Lorrentz — 金属的经典电子气理 论 研究的历史发展： 之后至30年代初， Bloch和Brilliouin，周期场中运动电子的特征 Wilson用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满 —— 麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计 1928年，Sommerfeld — 索末菲自由电子理论 — 费米 — 狄拉克统计 量子自由电子理论 量子自由电子理论可作为一种零级近似纳入能带理论！
金属的经典电子气理论 Drude- Lorentz电子气 起因: 高电导率 金属的一般性质高热导率 ①价电子→自由电子(组成电子气),离子实保 持原子在自由状态时的构型; ②自由电子之间的相互作用忽略不记; ③电子气遵从麦克斯韦一玻尔兹曼统计(MB)
金属的经典电子气理论 Drude–Lorrentz 电子气 起 因： 金属的一般性质 高电导率 高热导率 ① 价电子 → 自由电子（组成电子气），离子实保 持原子在自由状态时的构型； ③ 电子气遵从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计(M-B ) ② 自由电子之间的相互作用忽略不记；
模型的成功 可定性解释金属的电导、霍尔(Hal)效应和热传 导等问题! 例如: 证明了金属热导率K除以电导率与绝对温度的积 aT是一个与温度无关的普适常数( Lorentz常数) K/OT B|=1.11×10-8-g/K 与 Weidemann-franz实验定律相符
模型的成功 可定性解释金属的电导、霍尔（Hall）效应和热传 导等问题！ 例如： 证明了金属热导率 除以电导率与绝对温度的积 是一个与温度无关的普适常数（Lorentz常数） κ σT 8 2 2 1.11 10 / 3 2 / w K e k T B = × − Ω = − κ σ 与Weidemann-franz实验定律相符
模型的失败 电子气体的比热: Dre模型是把金属电子看成经典气体 →它们遵循MB统计规律: ※每个电子有3个自由度 ※每个自由度对应平均能量为k 金属中N个自由电子对热容的贡献为: N B ≈几百倍实骊儘
Drude模型是把金属电子看成经典气体 → 它们遵循 M-B 统计规律： 模型的失败 电子气体的比热： ※ 每个自由度对应平均能量为 kB T 2 1 ※ 每个电子有 3 个自由度 金属中N 个自由电子对热容的贡献为： 2 3 CV = N B ≈ 几百倍实验值 (低 温
索末菲自由电子论 量子力学建立后,索末菲将薜定谔方应用于自由电子气体模 型,建立了量子自由电子理论。 按照量子自由电子理论,金属中的价电子类似于理想气体,彼 此之间没有相互作用,且各自独立地在一个等于平均势能的势 场中运动。 其中每一个电子所具有的状态就是一定深度势阱中运动的粒子 所具有的能态——单电子的本征态 电子气服从量子的费米一狄拉克( Fermi- Dirac)统计和泡利 ( Pauli)不相容原理 *计算出电子气体的比热容
索末菲自由电子论 1、 模 型 2、 边界条件 3、 薛定谔方程的解 4、 K 空间和能态密度 5、 费米 — 狄拉克（Fermi-Driac）分布 6、 电子热容量 -量子力学建立后，索末菲将薛定谔方程应用于自由电子气体模 型，建立了量子自由电子理论。 -按照量子自由电子理论，金属中的价电子类似于理想气体，彼 此之间没有相互作用，且各自独立地在一个等于平均势能的势 场中运动。 -其中每一个电子所具有的状态就是一定深度势阱中运动的粒子 所具有的能态 —— 单电子的本征态 -电子气服从量子的费米 — 狄拉克(Fermi-Dirac)统计和泡利 (Pauli)不相容原理 *计算出电子气体的比热容
模型 边长为L立方体金属,M个价电子在其中自由运 动,但不能跑出表面—脱出功电子的势能为: z体积V o(x,y,z≤ 00<xy=<L) L oolX L 相当于电子束缚在方盒子内 在金属表面为界的势井中独立运动 每个单电子的状态可用波函数ψ(r)描述 —波函数ψ(r)满足定态薛定谔方程
边长为L 立方体金属，N 个价电子在其中自由运 动，但不能跑出表面 — 脱出功电子的势能为： ( ) ( ) ( ) ∞ ≥ < < ∞ ≤ = x y z L x y z L x y z V , , 0 0 , , , , 0 模 型 相当于电子束缚在方盒子内 —在金属表面为界的势井中独立运动 每个单电子的状态可用波函数ψ(r)描述 ——波函数ψ (r)满足定态薛定谔方程
我从来不明白,即使是一种近似,像自由电 子运动那样的事会是真的。毕竟一根充满密 集离子的金属丝完全不同于“空管
我从来不明白，即使是一种近似，像自由电 子运动那样的事会是真的。毕竟一根充满密 集离子的金属丝完全不同于“空管