15晶体点阵和结构分类
1.5 晶体点阵和结构分类
群的概念-1.定义 数学上看,群代表一组元素的集合 G=(E,g1g2… 这些元素被赋予一定的乘法法则,满足下列性 质 1.若gg∈G则g=gg∈G,这是群的闭合 性 2元素间满足结合律:g(g)=(gggk 3存在单位元素E使所有元素满足:Eg=g1 4任意元素g,存在逆元素:gg=E 夜圣
一、群的概念-1.定义 • 数学上看，群代表一组元素的集合 • G ｛E, g1 , g2 , ……｝ • 这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性 质： • 1. 若gi , gj∈G 则gk ＝ gi gj∈ G, 这是群的闭合 性。 • 2.元素间满足结合律： gi (gj gk ) = ( gi gj gk ) • 3.存在单位元素E,使所有元素满足： E gi = gi • 4. 任意元素gi，存在逆元素： gi gi -1=E
2.对称操作群 个物体全部对称操作的集合,也满足上述群 的定义。因此一个物体的全部对称操作的集合 构成对称操作群。描述物体的对称性需要指乡 物体的全部对称操作,也就是找出它所具有的 对称操作群。 在对称操作中保持不动的轴、面或点,称为对 称操作群的对称元素,比如转动轴,反演中心, 运算法则是连续操作 如:中心反演的逆元素是中心反演,不动操作 是单位元素。 夜圣
2. 对称操作群 • 一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群 的定义。因此一个物体的全部对称操作的集合， 构成对称操作群。描述物体的对称性需要找出 物体的全部对称操作，也就是找出它所具有的 对称操作群。 • 在对称操作中保持不动的轴、面或点，称为对 称操作群的对称元素，比如转动轴，反演中心， • 运算法则是连续操作 • 如：中心反演的逆元素是中心反演，不动操作 是单位元素
间群 晶体的所有对称操作包括平移对称操作和 点群对称操作A以及他们的组合 晶体的一般对称操作可写为: r'=gr= Atr= Ar+t 由一般对称操作组合构成的群称为空间群 t=0,非平移操作{A|0}组合构成的群称为 点群 A=E,仁R,纯平移操作组合的群称为平移 群 夜圣
空间群 • 晶体的所有对称操作包括平移对称操作t和 点群对称操作A以及他们的组合 • 晶体的一般对称操作可写为： 𝒓 ′ = 𝒈𝒓 = 𝑨 𝒕 𝒓 = 𝑨𝒓 + 𝒕 • 由一般对称操作组合构成 的群称为空间群 • t = 0，非平移操作 𝑨 𝟎 组合构成的群称为 点群 • A=E，t=Rl，纯平移操作组合的群称为平移 群
三、晶体结构的32种点群和230种空间群 由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容 这种受限制的点群称为晶体学点群( crystallographic point group) ·晶体中只有8种独立的对称元素: 1,2,3,4,6,i,m,6 ·实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各 种可能组合之一,由对称元素组合成对称操作群时,对 称轴之间的夹角、对称轴的数目,都会受到严格的限制 例如,若有两个2重轴,它们之间的夹角只可能是30 45、60、90度, ·总共只能有32种不同的组合方式,称为32种晶体学点群 夜圣
三、晶体结构的32种点群和230种空间群 • 由于点群中的对称操作必须和晶体的平移对称性相容， 这种受限制的点群称为晶体学点群（crystallographic point group） • 晶体中只有8 种独立的对称元素： 1, 2, 3, 4, 6, i, m, 𝟔 • 实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素的各 种可能组合之一，由对称元素组合成对称操作群时，对 称轴之间的夹角、对称轴的数目，都会受到严格的限制， 例如，若有两个2重轴，它们之间的夹角只可能是30、 45、60、90度， • 总共只能有32种不同的组合方式，称为32 种晶体学点群
八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组合方式? 即晶体的宏观对称类型有多少种呢? 组合要符合如下条件: (1)对称要素间是相互作用的,两个对称要素 相组合,必然产生新的对称要素来; (2)对称要素间的组合不是任意的,需要满足: 参加组合的对称要素必须至少相交于 点。这是因为晶体的外形是有限的、封闭 的多面体。 ⅱ晶体是一种点阵结构,对称要素的组合 结果不容许产生与点阵结构不相容的对称 要素来。(5、7…等 夜圣
八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组合方式？ 即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1) 对称要素间是相互作用的，两个对称要素 相组合，必然产生新的对称要素来； (2) 对称要素间的组合不是任意的，需要满足： i-参加组合的对称要素必须至少相交于一 点。这是因为晶体的外形是有限的、封闭 的多面体。 ii-晶体是一种点阵结构，对称要素的组合 结果不容许产生与点阵结构不相容的对称 要素来。(5、7····等)
对称素的组合规则-例子(已经讲过) 如果晶体具有两个2次轴,他们之间的夹角只能是30、45、 60、90、180度。 2,2是相交于O点的2次轴 夹角是日 对应操作是A,A AA操作,N不变, ·轴2在A操作下不变 轴2在A操作下变成2 AA是以NN为轴的旋转对称操作, 图1.4.3两条2次轴 夹角∠22-26=60,90,120,180,360度 之间可能的夹角 故θ=30,45,60,90,180度 夜圣
对称素的组合规则-例子（已经讲过） 如果晶体具有两个2次轴，他们之间的夹角只能是30、45、 60、90、180度。 • 2, 2’ 是相交于O点的2次轴 • 夹角是 • 对应操作是A，A’ • AA’操作，N不变， • 轴2在A操作下不变 • 轴2在A’操作下变成2’’ • AA’是以NN’为轴的旋转对称操作， • 夹角22’’=2 = 60, 90, 120, 180,360度 • 故= 30, 45, 60, 90, 180度
晶体不可能有对于2个6次轴,也不可能有一个6次轴 和一个4次轴相交。(已经讲过) 设n次轴和m次轴相交于O点 绕n次轴旋转,从m次轴 的B点,得到一正n边形 ·N变形顶角为=(n2)m/n ·再绕m次操作得一凸多面体 顶角在B点 图1.4.4一条n次轴和一条m次轴相交 m个顶角之和为m=m(n-2)/n≤2兀 ·两个6次轴,m=n=6,6X(6-2)6=4兀>2π(不符) 6次轴和4次轴,m=6,n=4,6X4-2)/2=3π>2π(不符) 夜圣
晶体不可能有对于2个6次轴，也不可能有一个6次轴 和一个4次轴相交。（已经讲过） • 设n次轴和m次轴相交于O点 • 绕n次轴旋转，从m次轴 的B点，得到一正n边形 • N变形顶角为 =(n-2)/n • 再绕m次操作得一凸多面体， 顶角在B点 • m个顶角之和为m=m(n-2)/n≤2 • 两个6次轴，m=n=6, 6X(6-2)/6=4 > 2 (不符) • 6次轴和4次轴，m=6, n=4, 6X(4-2)/2=3 > 2 (不符)
点群的 Schoenflies符号(熊夫利符号): ·主轴:Cn、Dn、Sn、T和O Cn:n次旋转轴;Sn:n次旋转一反演轴; Dn:n次旋转轴加上n个与之垂直的二次轴 T:四面体群;O:八面体群。 脚标:h、v、d h:垂直于n次轴(主轴)的水平面为对称面 v:含n次轴(主轴)在内的竖直对称面; d:垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。 夜圣
• 点群的Schönflies符号 (熊夫利符号)： • 主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴； Sn ： n次旋转－反演轴； Dn：n次旋转轴加上n个与之垂直的二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。 • 脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面； d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面
点对称操作 (1)旋转对称操作: 1,2,3,4,6度旋转对称操作。 C1,C2,C3C4C6(用熊夫利符号表示) (2)旋转反演对称操作 1,2,3,4,6度旋转反演对称操作。 S1,S2,S3,S4,S6(用熊夫利符号表示) (3)中心反映:i (4)镜象反映:m 独立的对称操作有即1,2,3,4,6,i,m,4。或C1,C2,C3,C4C6,C 夜圣
1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 (3)中心反映：i。 (4)镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示） S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示） 点对称操作： (2)旋转反演对称操作： (1)旋转对称操作： 独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci， Cs，S4。 4