复旦大学：《固体物理导论》教学课件_第一章 晶体的结构及其对称性 1.3 倒点阵 Reciprocal lattice

倒点阵 (Reciprocal lattice) 定义 二.倒点阵和晶体点阵的关系 倒点阵的物理意义 四.倒点阵实例

1.3 倒点阵 (Reciprocal lattice) 一. 定义 二. 倒点阵和晶体点阵的关系 三. 倒点阵的物理意义 四. 倒点阵实例

定义:假设a1,a2,a3是一个晶格的基矢,该点阵的格矢 为:R1=(1d1+2a2+l3a3)原胞体积是:!=a1·(a2×a3) 现在定义另一晶格的3个基矢:b,b2,b2,它们与a1,a2,a3的关系 满足: 丌.l b.=2n6 |0,i≠ i,j=1,2,3 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢a12a2,a3的格子为正格子, 则b,b2,b3的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量R=(h2b1+h2b2+h3b)就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的2丌因子,对于晶体学家来说并没有多大用处, 但对于固体物理研究却带来了极大的方便 倒点阵的概念是 Ewald1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的,对 我们理解衍射问题极有帮助,更是整个固体物理的核心概念

一.定义：假设 是一个晶格的基矢，该点阵的格矢 为：𝑅𝑅𝑙𝑙 = 𝑙𝑙1𝑎𝑎 ⃗ 1 + 𝑙𝑙2𝑎𝑎 ⃗ 2 + 𝑙𝑙3𝑎𝑎 ⃗ 3 原胞体积是： 现在定义另一晶格的3个基矢： ，它们与 的关系 满足： 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢 的格子为正格子， 则 的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量 就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的 因子，对于晶体学家来说并没有多大用处， 但对于固体物理研究却带来了极大的方便。 倒点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对 我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。 1 2 3 a ,a ,a    ( ) 1 2 3 a a a    Ω = • × 1 2 3 b ,b ,b    1 2 3 a ,a ,a       ≠ = ⋅ = = i j i j a b i i ij 0, 2 , 2 π πδ   i, j =1,2,3 1 2 3 a ,a ,a    1 2 3 b ,b ,b    2π 𝐾𝐾ℎ = (ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3)

证明:b=2n-2一 a1·(a,2×a 倒格子的另一种定义 b2=2兀 ·(a2×a 3=2z、 a2×a b1口a2,b1a3=今b1=c2xa b=c1(a2×a2)=2z 2丌 2 丌(a2×a a1·(a2×a 同理(练习)b2 2xz(3×a1) 2z(a3×a1) a1·(a,xa d1·(a2×d3)

( ) 2 1 2 3 2 3 1 a a a a a b       ⋅ × × = π ( ) 2 1 2 3 3 1 2 a a a a a b       ⋅ × × = π ( ) 2 1 2 3 1 2 3 a a a a a b       ⋅ × × = π 证明： 倒格子的另一种定义 1 2 1 ⊥ 3 b ⊥ a ,b a     1 2 3 b ca a    = × a1 ⋅b1 = ca1 ⋅(a2 × a3 ) = 2π      ( ) 2 1 2 3 a a a c    ⋅ × = π ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 3 1 a a a a a b       ⋅ × × = π ( ) 2 ( ) 1 2 3 3 1 2 a a a a a b       ⋅ × × = π ( ) 2 ( ) 1 2 3 3 1 2 a a a a a b       ⋅ × × = π 同理(练习)

倒点阵是正点阵的傅立叶变换 Page16,eq.1.3.7 δ函数的傅里叶变换8(x)→1/2兀 ft 6(x-k)→e iwk T 2丌 2m汇 泊松求和公式 f(na ∑9 (已知f(x)→g(W) 取a=1,n=h,m=l 6(h-k)=2丌 2re-i(lnk 2πik e -2TTil1k1-2TTil2k2-2TTil3K 3 ∑∑ 6(h1-k1)6(h2-k2)6(h3-k3 13 12 11 h3 h2 h1

倒点阵是正点阵的傅立叶变换 Page16, eq. 1.3.7 𝛿𝛿 𝑥𝑥 → 𝑓𝑓𝑡𝑡 1/2𝜋𝜋 𝛿𝛿 𝑥𝑥 − 𝑘𝑘 → 𝑓𝑓𝑡𝑡 1 2𝜋𝜋 𝑒𝑒 δ函数的傅里叶变换 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 泊松求和公式 � 𝑛𝑛 f 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋 𝑎𝑎 � 𝑚𝑚 𝑔𝑔( 2𝑚𝑚𝜋𝜋 𝑎𝑎 ) (已知 𝑓𝑓 𝑥𝑥 → 𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑔𝑔(𝑤𝑤)) 取𝑎𝑎 = 1, 𝑛𝑛 = ℎ, 𝑚𝑚 = 𝑙𝑙 � ℎ 𝛿𝛿 ℎ − 𝑘𝑘 = 2𝜋𝜋� 𝑙𝑙 1 2𝜋𝜋 𝑒𝑒−𝑖𝑖 2𝑙𝑙𝜋𝜋 𝑘𝑘 = � 𝑙𝑙 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑙𝑙3 � 𝑙𝑙2 � 𝑙𝑙1 𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑒𝑒−2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = � ℎ3 � ℎ2 � ℎ1 𝛿𝛿(ℎ1 − 𝑘𝑘𝑘)𝛿𝛿(ℎ2 − 𝑘𝑘𝑘)𝛿𝛿(ℎ3 − 𝑘𝑘𝑘)

倒点阵和晶体点阵之间的关系: 倒点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的,可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系 1.两个点阵的基矢之间满足正交关系: b,·a1=2zS 0,i≠ 两个点阵的格矢之积是2的整数倍:Rn·R1=2mn (h1b1+h2b2+h3b3)(1l1+l2a2+l3d3) 2I(L1h1+l2h2 +l3h3)=2Tn 2.倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积: c2=b·(b2×b) (2丌)

二. 倒点阵和晶体点阵之间的关系： 倒点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系： 1. 两个点阵的基矢之间满足正交关系： 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 2. 倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积：    ≠ = = ⋅ = i j i j b a ij i i ij 0, 1, 2 δ πδ   2π Ω Ω = • × = 3 1 2 3 * (2 ) ( ) π b b b    𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3 𝑙𝑙1𝑎𝑎 ⃗ 1 + 𝑙𝑙2𝑎𝑎 ⃗ 2 + 𝑙𝑙3𝑎𝑎 ⃗ 3 = 2𝜋𝜋 𝑙𝑙1ℎ1 + 𝑙𝑙2ℎ2 + 𝑙𝑙3ℎ3 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛

3.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵:由正点阵a12d2a2给出倒 点阵b1,b2,b3现假定b,b2b3为正点阵,则其 倒点阵根据定义为: 2兀(b×b) c2=b·(b2×b) 利用三重矢积公式:AX(BXC)=B(A·C)-C(A·B) 可以得到:b2xb 2丌 2丌 (a2×a1) a1×a Qa(×a·a2)-a2(2x)12 丌 g2.Q=b·(b2×b2)g=(2n)(a·h)=(2n) 2 2丌 同样可以证明:c2=a2c3=a3(练习)

3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵：由正点阵 给出倒 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒点阵根据定义为： 1 2 3 a ,a ,a    1 2 3 b ,b ,b    1 2 3 b ,b ,b    ( ) 2 1 * 2 3 c b b   × Ω = π ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 * a a a b b b       Ω = • × Ω = • × 利用三重矢积公式： A (B C) B(A C) C(A B)          × × = • − • 可以得到： ( ) 1 1 2 1 * 2 2 c a a    = Ω Ω = π π 3 1 1 2 1 2 3 * Ω ⋅Ω = b • (b ×b )⋅Ω = (2π ) (a •b ) = (2π )      ( ) ( ) 1 2 1 3 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a a a a a a b b a a a a                Ω × • − × • = Ω = × Ω × × Ω × = π π π π 同样可以证明： 2 2 3 3 c a ,c a     = = (练习)

4.布里渊区 在固体物理中,很少使用由倒点阵基矢b,b2,b2围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞,因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区( Brillouin zone)

4. 布里渊区 在固体物理中，很少使用由倒点阵基矢 围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞，而总是采用倒点阵的W-S初基元胞，因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 1 2 3 b ,b ,b    倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区 (Brillouin zone)

5.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设g为正格子的一个点群对称操作,即当R1为一正格矢时,gR1也为正格 矢,同样g-1R1也是正格矢 由于R·R1=2 Kn·g-1R1=2mn 由于点对称操作是正交变换,即保持空间两点距离不变的变换,两矢量 受同一点群对称操作作用,其点乘保持不变,即 gKn·gg-1R1=gKn·R1=2mn 这样,对群中任一操作g,gR和g-1Kn也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性 正空间中wS原胞是布拉维格子的对称化原胞,具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此,倒空间中的WS原胞(第1布里渊区)也具有晶 格点群的全部对称性

5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设g为正格子的一个点群对称操作，即当𝑅𝑅𝑙𝑙为一正格矢时，𝑔𝑔𝑅𝑅𝑙𝑙也为正格 矢，同样𝑔𝑔−1𝑅𝑅𝑙𝑙也是正格矢。 由于点对称操作是正交变换，即保持空间两点距离不变的变换，两矢量 受同一点群对称操作作用，其点乘保持不变，即： 由于 这样，对群中任一操作𝑔𝑔 ， 𝑔𝑔𝐾𝐾ℎ和𝑔𝑔−1𝐾𝐾ℎ 也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞，具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此，倒空间中的WS原胞（第1布里渊区）也具有晶 格点群的全部对称性。 𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 𝐾𝐾ℎ � 𝑔𝑔−1𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛 𝑔𝑔𝐾𝐾ℎ � 𝑔𝑔𝑔𝑔−1𝑅𝑅𝑙𝑙 = 𝑔𝑔𝐾𝐾ℎ � 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑛𝑛

6.正点阵晶面族(h1,h2,h2)与倒点阵格矢an相互垂直, G=(h11+h2b2+h3b3)且有: 2丌 Lhih2n3 Gn 证明:n=(h1b1+h2b2+h3b3 与正格子的晶面系(h1h2h2)正交 如图所示,晶面系(h2h2h3)中最靠近原点的晶面(ABC) 在正格子基矢a122,a3的截距分别为 h, h2h3 图1-18晶面与倒易点阵位矢关系示意图

6. 正点阵晶面族 与倒点阵格矢 相互垂直， 且有： ( , , ) h1 h2 h3 证明： 与正格子的晶面系 (h1,h2 ,h3 ) 正交。 如图所示，晶面系(h1,h2 ,h3 )中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 a1,a2 ,a3 的截距分别为：    3 3 2 2 1 1 , , h a h a h a    𝐺𝐺 ⃗ ℎ 𝐺𝐺 ⃗ ℎ = (ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3) 𝑑𝑑ℎ1ℎ2ℎ3 = 2𝜋𝜋 |𝐺𝐺 ⃗ ℎ| 𝐺𝐺 ⃗ ℎ = (ℎ1𝑏𝑏1 + ℎ2𝑏𝑏2 + ℎ3𝑏𝑏3)

于是 CA=OA-OC h B CB=OB-OC h1h23 图1-18晶面与倒易点阵位矢关系示意图 (+B2+)(a-3)=2-2z=0 (练习)同理Gn·CB=0而且CA,CB都在(ABC)面上, 所以an与晶面系(h1,h2h3)正交

于是： 3 3 1 1 h a h a CA OA OC   = − = − 3 3 2 2 h a h a CB OB OC   = − = − ( ) ( ) 2 2 0 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 + + • − = − = • = π π h a h a h b h b h b G h h h CA        同理 𝐺𝐺 ⃗ ℎ � 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 0 而且𝐶𝐶𝐶𝐶，𝐶𝐶𝐵𝐵 都在（ABC)面上， 所以 𝐺𝐺 ⃗ ℎ 与晶面系 (ℎ1, ℎ2, ℎ3) 正交。 (练习)