3.6非完整晶格的振动局域模 前面讨论都是基于理想晶体,而实际中晶体中难免会有缺陷或者杂 质等。这些缺陷和杂质会对晶格振动有较大影响。 我们这里只讨论一个替代杂质原子的一维原子链的情况(只杂质原 子质量不同于其它原子质量)。 晶体中的杂质可以导致无序系统,包含很多复杂的动力学问题和深 刻的物理问题
3.6 非完整晶格的振动 局域模 前面讨论都是基于理想晶体，而实际中晶体中难免会有缺陷或者杂 质等。这些缺陷和杂质会对晶格振动有较大影响。 我们这里只讨论一个替代杂质原子的一维原子链的情况（只杂质原 子质量不同于其它原子质量）。 晶体中的杂质可以导致无序系统，包含很多复杂的动力学问题和深 刻的物理问题
维完整单原子链的扩展模式 一维单原子链的本征解和色散关系 Aeilgna-u(9),g∈IBZ 0。=2 w(a)=wm sin 2 qal m M 语一晋0晋 很显然,最大的频率为m。所有其它本征频率都小于该频率: 当wq<wm时,q有实数解,对应的本征解是一种可以在整个原 子链中传播的格波,称为扩展模 原子链中存在一个 的振动模式,它必然是一个局域在原子 链某个原子附近,不随着时间衰减的振动 ω离开ωπ愈大,局域范围越小,这种振动模式称为局域模
一、一维完整单原子链的扩展模式 一维单原子链的本征解和色散关系 很显然，最大的频率为 。所有其它本征频率都小于该频率： 当 时，q有实数解，对应的本征解是一种可以在整个原 子链中传播的格波，称为扩展模。 原子链中存在一个 的振动模式，它必然是一个局域在原子 链某个原子附近，不随着时间衰减的振动。 ω离开ωm愈大，局域范围越小，这种振动模式称为局域模
二、含单个缺陷的一维原子链的振动频率 一维单原子链,原子质量M,元胞数N。 假设在n=0格位上有一个质量为M的杂质,所有近邻的弹性力常数仍然 全部为β。 a M ≠0 7=0 M-M 定义 M 其中0<ε<1,表示“轻杂质” 而ε<0,表示“重杂质
二、含单个缺陷的一维原子链的振动频率 一维单原子链，原子质量 M，元胞数 N。 假设在n=0格位上有一个质量为M’的杂质，所有近邻的弹性力常数仍然 全部为β 。 定义 其中0<ε<1，表示“轻杂质” 而ε<0 ，表示“重杂质
轻杂质:在0ωn的禁带中。它是以一个杂质原子为中心的 局域模式。 F(O' (b) 重杂质:所有解都往低频方向移动,它们仍然落在允许的完整晶格的频带 之内,即没有出现分裂的局域模 由于单原子链只有声频支,其下界为0。如果考虑复式晶格,光频支的下 界为非零值,此时重杂质可能在光频支频带下的禁带中,产生局域模式
轻杂质：在ωωm的禁带中。它是以一个杂质原子为中心的 局域模式。 重杂质：所有解都往低频方向移动，它们仍然落在允许的完整晶格的频带 之内，即没有出现分裂的局域模。 由于单原子链只有声频支，其下界为0。如果考虑复式晶格，光频支的下 界为非零值，此时重杂质可能在光频支频带下的禁带中，产生局域模式
局域模 这一个振动模式的频率ω>ωm,它是局域在n=0杂质原子附近的振动,相邻 原子振动方向相反,并且随着n的增大,位移趋于0: 我们可以得到一个重要结论:任何周期结构的破坏均可能导致局域态的出 现,即无序可以导致局域化
三、局域模 这一个振动模式的频率ω>ωm，它是局域在n=0杂质原子附近的振动，相邻 原子振动方向相反，并且随着|n|的增大，位移趋于0： 我们可以得到一个重要结论：任何周期结构 的破坏均可能导致局域态的出 现，即无序可以导致局域化
3.7晶格比热容 比热容是单位质量物质每改变单位温度所得到或释放出的能量。热容 是固体原子热运动在宏观性质上的最直接体现,因而对固体原子热运动的 认识实际上首先是从固体热容研究开始的,并得出了原子热运动能量是量 子化的这个无可争辩的结论。我们讨论固体热容仍是以揭示原子热运动特 征为目的,而完整地介绍热容统计理论应是统计物理的内容。 晶体的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分。晶格激发声子, 晶格振动的能量变化贡献出晶格比热容。 对于绝缘体,无自由运动的电子,所以电子对比热容贡献很小。在金 属中,只有在低温时候,电子对比热容有重要贡献;而在不太低的温度时 候,电子对比热容的贡献一般远小于晶格的贡献,常温下只有晶格热容的 1%,可以忽略。 我们这里只考虑晶格比热容
3.7 晶格比热容 比热容是单位质量物质每改变单位温度所得到或释放出的能量。热容 是固体原子热运动在宏观性质上的最直接体现，因而对固体原子热运动的 认识实际上首先是从固体热容研究开始的，并得出了原子热运动能量是量 子化的这个无可争辩的结论。我们讨论固体热容仍是以揭示原子热运动特 征为目的，而完整地介绍热容统计理论应是统计物理的内容。 晶体的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分。 晶格激发声子， 晶格振动的能量变化贡献出晶格比热容。 对于绝缘体，无自由运动的电子，所以电子对比热容贡献很小。在金 属中，只有在低温时候，电子对比热容有重要贡献；而在不太低的温度时 候，电子对比热容的贡献一般远小于晶格的贡献，常温下只有晶格热容的 ~1%，可以忽略。 我们这里只考虑晶格比热容
Dulong- Petit 1819年发现大多数固体常温下的摩尔热容量差不多 都等于一个与材料和温度无关的常数值(25J/mol.K),这个结果就 称为 Dulong-Peti定律。 根据经典统计中的能量均分定理,受简谐力作用的原子像一组谐振子, 每个自由度的平均总能量为kBT,一摩尔固体中有N个原子,所以每摩 尔晶体晶格的振动能为: aE e=3NkpT aT/=3N,kB const 1=3×602217×138062 J. mol. K-=249430 J. mol". K 虽然 Dulong-Pet定律得到经典能量均分定理的解释。但1875年 Weber就发现不少固体的热容量远低于 Dulong-Pet数值,而且随温度的 降低而减小,这是经典理论所无法理解的,也是量子论诞生的催生剂之一
Dulong－Petit 1819 年发现大多数固体常温下的摩尔热容量差不多 都等于一个与材料和温度无关的常数值（25 J/mol﹒K），这个结果就 称为Dulong－Petit定律。 根据经典统计中的能量均分定理，受简谐力作用的原子像一组谐振子， 每个自由度的平均总能量为 kBT，一摩尔固体中有 个原子，所以每摩 尔晶体晶格的振动能为： 3 E N k T = A B 3 const. V A B V E C N k T = = = 虽然Dulong－Petit 定律得到经典能量均分定理的解释。但1875年 Weber 就发现不少固体的热容量远低于Dulong－Petit数值，而且随温度的 降低而减小，这是经典理论所无法理解的，也是量子论诞生的催生剂之一。 -1 1 -1 1 CV 3 6.02217 1.38062J mol K 24.9430J mol K − − = = NA
声子态密度 在温度T下,晶格的平均热能为:B(D)=∑(na(m)+5)u 其中n是平均声子数:mn()=(ew/k1-1]-1 晶格的定容比热容:C(T) OET OT ∑C(ul(0) V q,5 hws(q 2 ehws(@/kBT kRt 其中C(()=kB=1e/k-12 C(o3(q)代表模式为qs的声子对比热容的贡献 q点在倒空间连续分布,且处于1BZ,求和可以用积分替代
一、声子态密度 在温度T下，晶格的平均热能为： 其中n是平均声子数： 晶格的定容比热容： 其中 C(ωs (q)) 代表模式为qs的声子对比热容的贡献。 q点在倒空间连续分布，且处于 1BZ，求和可以用积分替代
其中(2)3为空间的波矢密度。C(o(q)只是频率的函数,上式可 以写成对频率积分 plw c(w)do 其中p(ω)是声子态密度。它表示单位频率间隔内的模式数。应满足总 模式数等于总自由度数 p(a)dw=3nN
其中 为q空间的波矢密度。 C(ωs (q))只是频率的函数，上式可 以写成对频率积分 其中ρ(ω)是声子态密度。它表示单位频率间隔内的模式数。应满足总 模式数等于总自由度数：
一声子态密度写成对等频率面积分,对不同维度有: (2丌)3 ∑∫∫r BD 2D 丌 ∑∫ 2丌 dws(q/ 声子态密度反映了晶格热激发的主要特征,决定了晶体中与晶格振动 相关的物理过程。在倒空间,声子群速度的那些临界点附近,频谱存 在局部平坦的区域,将给出p(o)的奇点,称为范霍夫( van hove奇点 这些奇点在q空间的临界点有特别重要的意义
声子态密度写成对等频率面积分，对不同维度有： 声子态密度反映了晶格热激发的主要特征，决定了晶体中与晶格振动 相关的物理过程。在倒空间，声子群速度的那些临界点附近，频谱存 在局部平坦的区域，将给出ρ(ω)的奇点，称为范霍夫 (van Hove)奇点。 这些奇点在q空间的临界点有特别重要的意义