13倒点阵 (Reciprocal lattice) 定义 倒点阵和晶体点阵的关系 三.倒点阵的物理意义 四.倒点阵实例
1.3 倒点阵 (Reciprocal lattice) 一. 定义 二. 倒点阵和晶体点阵的关系 三. 倒点阵的物理意义 四. 倒点阵实例
倒点阵的概念是 Ewald1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的,对我们理解 衍射问题极有帮助,更是整个固体物理的 核心概念 个物理问题,既可以在坐标空间(正空 间)内描述,也可以在动量空间(倒空间) 描述。适当的选取空间描述问题可以简化 处理 在实质上,动量空间是坐标空间的傅里叶 变换
• 倒点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的,对我们理解 衍射问题极有帮助,更是整个固体物理的 核心概念。 • 一个物理问题,既可以在坐标空间(正空 间)内描述,也可以在动量空间(倒空间) 描述。适当的选取空间描述问题可以简化 处理。 • 在实质上,动量空间是坐标空间的傅里叶 变换
定义:假设a1,a2a3是一个晶格的基矢,该点阵的格矢 为:R1=(1a1+l2a2+l3a3)原胞体积是:9=a1·(a2×a3) 现在定义另一晶格的3个基矢:b,b,b3,它们与a,42,3的关系 满足: 丌,l 2n6.= 101≠)=123 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢a1,a2,3的格子为正格子, 则b,b2b3的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量Kn=(h1b1+h2b2+h3b3)就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的2丌因子,对于晶体学家来说并没有多大用处, 但对于固体物理研究却带来了极大的方便
一.定义:假设 是一个晶格的基矢,该点阵的格矢 为:𝑅𝑙 = 𝑙1𝑎 1 + 𝑙2𝑎 2 + 𝑙3𝑎 3 原胞体积是: 现在定义另一晶格的3个基矢: ,它们与 的关系 满足: 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢 的格子为正格子, 则 的格子就是倒格子。反之亦然。 位移矢量 就构成了倒点阵。 上面变换公式中出现的 因子,对于晶体学家来说并没有多大用处, 但对于固体物理研究却带来了极大的方便。 321 ,, aaa )( aaa 321 321 ,, bbb 321 ,, aaa ji ji bai j ij ,0 ,2 2 ji 3,2,1, 321 ,, aaa 321 ,, bbb 2 𝐾ℎ = (ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3)
证明:b=2丌 C1·(a2×a 倒格子的另一种定义 丌 (a2×a3) a1×a b2=2丌 Cl2×a ⊥ Ca X d1·b=c1(a2×a3)=2丌 2丌 a 2(a2XG3) a1·(a2×a 夜同理21x4)b.=2a× a1·(a,2
)( 2 321 32 1 aaa aa b )( 2 321 13 2 aaa aa b )( 2 321 21 3 aaa aa b 证明: 倒格子的另一种定义 ⊥ 3121⊥ , abab 321 aacb aaacba 32111 2)( )( 2 321 aaa c )( )(2 321 32 1 aaa aa b )( )(2 321 13 2 aaa aa b )( )(2 321 1 2 3 aaa aa b 同理
对于正空间内任意矢量F=xa+x22+x2a3的性质,由晶体的 点阵连描述,称为正点阵,其可以用空间密度函数表示: p(F)=∑O(F-R) 其中R=la1+l2a2+l23(1、l2、1为整数)为正点阵基矢 对于倒空间内的任意矢量k=kb1+k2b2+k3b3, 由于a·b2=2n;,可以得到 k.R1=2(k1+k2l2+k3l3) 将正点阵P()进行傅里叶变换并记作p(k)。则有 )∑∫0(F-RF=∑e
对于正空间内任意矢量 的性质,由晶体的 点阵连描述,称为正点阵,其可以用空间密度函数表示: 其中 ( 、 、 为整数)为正点阵基矢。 对于倒空间内的任意矢量 , 由于 ,可以得到 将正点阵 进行傅里叶变换并记作 。则有 1 1 2 2 3 3 r x a x a x a ( ) ( )l l r r R R l a l a l a l 1 1 2 2 3 3 1 l 2 l 3 l 1 1 2 2 3 3 k k b k b k b 𝑎 𝑖 ⋅ 𝑏𝑖 = 2𝜋𝛿𝑖𝑗 1 1 2 2 3 3 2 ( ) l k R k l k l k l ( )r ( ) k i i ( )= ( ) d l k r k R l l l k r R e r e
利用泊松求和公式∑e2m=∑6(x-h)可以得到: p()=∑ -12(k1+k2+k3y3) h12, 6(k-h)6(k2-h2)6(k-h2)=∑O(k一) 内,h2,h2 其中Kn=b+hb2+hb3,h、h在为整数
利用泊松求和公式 可以得到: 其中 , 、 、 为整数。 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 i2 ( ) , , 1 1 2 2 3 3 , , ( ) ) ( ) ( ) ( ) k l k l k l l l l h h h h h k e k h k h k h k K ( 2 i ( ) lz l h e z h K h b h b h b h 1 1 2 2 3 3 1 h 2 h 3 h
倒点阵和晶体点阵之间的关系: 倒点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的,可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系: 1.两个点阵的基矢之间满足正交关系: b·a1=2n6 I=J 0.i≠ 两个点阵的格矢之积是2x的整数倍:Rn·R1=2mn RnR=(1b1+h2b2+h2b)(4a1+12+12a) =2m(l1h1+l2h2+l3h3)=2mn 2.倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积: (b2×b3) (2丌)
二. 倒点阵和晶体点阵之间的关系: 倒点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的,可以 方便地证明它和正点阵之间有如下关系: 1. 两个点阵的基矢之间满足正交关系: 两个点阵的格矢之积是 的整数倍: 2. 倒点阵元胞的体积反比于正点阵元胞的体积: i j i j b a ij i i ij 0, 1, 2 2 3 1 2 3 * (2 ) ( ) b b b 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = ℎ1𝑏1 + ℎ2𝑏2 + ℎ3𝑏3 𝑙1𝑎 1 + 𝑙2𝑎 2 + 𝑙3𝑎 3 = 2𝜋 𝑙1ℎ1 + 𝑙2ℎ2 + 𝑙3ℎ3 = 2𝜋𝑛
3.正点阵是它本身倒点阵的倒点阵:由正点阵a、a、d,给出倒 点阵b1,b2,b3现假定b1,b2,b2为正点阵,则其 倒点阵根据定义为: 2丌 C2=b·(b2×b2) Q 利用三重矢积公式:Ax(BxC)=B(AC)-C(A·B) 可以得到:b2xb3 2丌 2兀(、×a2 (a2×a1)×—( 丌 a1(a3xa1a2)-a2(3×a1a1) Q g2∵.Q=b(b2×b)92=(2n)(a.·b)=(2r) 2(2x 1 同样可以证明:c2=a23=a3
3. 正点阵是它本身倒点阵的倒点阵:由正点阵 给出倒 点阵 现假定 为正点阵,则其 倒点阵根据定义为: 321 ,, aaa 321 ,, bbb 321 ,, bbb )( 2 1 * 32 bbc )( )( 321 321 * aaa bbb 利用三重矢积公式: BACCABCBA )()()( 可以得到: 11 2 1 * 22 c aa 3 11 2 321 * bbb ba )2()()2()( 1 2 11322131 2 32 13 21 2 )()( 2 )( 2 )( 2 aaaaaaaa a aaaabb 同样可以证明: 3322 , acac 2
4.布里渊区 在固体物理中,很少使用由倒点阵基矢b,b2,b2围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞,因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区( Brillouin zone) 孩人社
4. 布里渊区 在固体物理中,很少使用由倒点阵基矢 围成的平行六面体作 为倒点阵的初基元胞,而总是采用倒点阵的W-S初基元胞,因为它充分 反映了倒点阵的宏观对称性。 321 ,, bbb 倒点阵的W-S元胞称为第一布里渊区 (Brillouin zone)
5.倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设α为正格子的一个点群对称操作,即当R为一正格矢时,gR1也为正格 矢,同样g-1R1也是正格矢。 由于Rn·R1=2mn h·g-Rt=2mn 由于点对称操作是正交变换,即保持空间两点距离不变的变换,两矢量 受同一点群对称操作作用,其点乘保持不变,即: gkh·ggRt=gkh:Rt=2mn 这样,对群中任一操作g,gRn和g-1应也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞,具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此,倒空间中的wS原胞(第1布里渊区)也具有晶 孩骆点群的全部对称性
5. 倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性 设α为正格子的一个点群对称操作,即当𝑅𝑙为一正格矢时,𝑔𝑅𝑙也为正格 矢,同样𝑔 −1𝑅𝑙也是正格矢。 由于点对称操作是正交变换,即保持空间两点距离不变的变换,两矢量 受同一点群对称操作作用,其点乘保持不变,即: 由于 这样,对群中任一操作𝑔 , 𝑔𝐾ℎ和𝑔 −1𝐾ℎ 也是倒格矢。这表明正格子和 倒格子有相同的点群对称性。 正空间中WS原胞是布拉维格子的对称化原胞,具有布拉维格子的全 部点群对称性。因此,倒空间中的WS原胞(第1布里渊区)也具有晶 格点群的全部对称性。 𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝐾ℎ ∙ 𝑔 −1𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛 𝑔𝐾ℎ ∙ 𝑔𝑔 −1𝑅𝑙 = 𝑔𝐾ℎ ∙ 𝑅𝑙 = 2𝜋𝑛