3.4三维晶格振动格波量子声子 三维晶格振动 维双原子链已经基本反映出了格波的主要特性,现在将推广到三 维复式晶格的情况。 设晶体中有N个元胞,每个元胞n个原子。 元胞的位置由正格矢决定Rt=l1d1+l2d2+l3a3 用指标/来标记。 定义位移矢量的分量,代表第个元胞中第个原子在σ方向上 的相对于平衡位置的移动 令该原子的质量为M。 系统有3nN个位移分量,3nN个自由度。每个元胞内有3n个自由度
3.4 三维晶格振动 格波量子——声子 一、三维晶格振动 一维双原子链已经基本反映出了格波的主要特性，现在将推广到三 维复式晶格的情况。 设晶体中有N个元胞，每个元胞n个原子。 元胞的位置由正格矢决定 用指标l来标记。 定义位移矢量的分量， 代表第l个元胞中第j个原子在σ方向上 的相对于平衡位置的移动。 令该原子的质量为Mj 。 系统有3nN个位移分量，3nN个自由度。每个元胞内有3n个自由度
系统动能 ∑2 系统势能: 02V dudu ljl’j j,σσ lj diol 应用经典力学中的拉格朗日方法,得到运动方程 n=-∑ ljo, li'oray j 其中Ayi,ya= 为力常数 lj lyo」0
系统动能： 𝑇𝑇 = � 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 1 2 𝑀𝑀𝑗𝑗𝑢𝑢̇ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2 系统势能： 𝑉𝑉 = 1 2 � 𝑙𝑙𝑙𝑙′,𝑗𝑗𝑗𝑗′,𝜎𝜎𝜎𝜎′ 𝜕𝜕2𝑉𝑉 𝜕𝜕𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝜕𝜕𝑢𝑢𝑙𝑙′𝑗𝑗′𝜎𝜎′ 0 𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑢𝑢𝑙𝑙′𝑗𝑗′𝜎𝜎′ 应用经典力学中的拉格朗日方法，得到运动方程： 其中 为力常数
02V ALjo, Ij'o unio Ouyo」o 它表示第l个元胞中第j个原子在σ方向上的单位位移对第个元胞中第 个原子在σ方向上产生的力,是一个张量 实际上它只与两个元胞之间的相对位置有关,而与绝对位置无关,所以: A1i,y=入yo(R1-B)
它表示第 l’个元胞中第j’个原子在 σ’方向上的单位位移对第l个元胞中第j 个原子在σ方向上产生的力，是一个张量。 实际上它只与两个元胞之间的相对位置有关，而与绝对位置无关，所以：
所以运动方程可以写作 m=-∑Am(1-成),Wy l'j' 它表示3nN个耦合方程组。这些方程具有平移对称性,平移指标,得到 完全相同的方程组。令格波解: 1=Aoel1-团 其中Ajq是振幅,与/无关。因为对于一个确定的q,任意元胞第j 个原子在σ方向上有相同的振幅,只不过从一个元胞到另一个元胞有 个相位ciRt,已经出现在e指数上了
所以运动方程可以写作： 它表示3nN个耦合方程组。这些方程具有平移对称性，平移指标l,l’得到 完全相同的方程组。令格波解： 其中 是振幅，与l无关。因为对于一个确定的q，任意元胞第j 个原子在σ方向上有相同的振幅，只不过从一个元胞到另一个元胞有一 个相位 ，已经出现在e指数上了
把格波解代入运动方程 1-=∑4m(- i[.Ry-wt y 两边消去clRt-u 得到: M24mx∑{∑m-)}4m ∑
把格波解代入运动方程： 两边消去 得到：
这里的(=∑(c-际一是力常数知阵的傅里叶 变换形式,称为动力学矩阵。 以下方程是3n个有限的关于未知系数Aoq的线性齐次方程组。要使 得该方程组有非零解,则其系数行列式等于0 入ny(0-02M16176 0013m×3m 0 由此可以解除3n个色散关系:s(,S=1,2, 3 这里的3n就是一个元胞内的自由度数目。 3支声学支(元胞的质心自由度,代表了原子的整体振动),其中包含2 支横波,1支纵波。 3n-3支光学支(代表了元胞内原子的相对振动),其中包含2(n-1)支横 波,(n-1)支纵波
这里的 是力常数 矩阵的傅里叶 变换形式，称为动力学矩阵。 以下方程是 3n 个有限的关于未知系数 的线性齐次方程组。要使 得该方程组有非零解，则其系数行列式等于0。 由此可以解除 3n 个色散关系： 这里的 3n 就是一个元胞内的自由度数目。 3支声学支（元胞的质心自由度，代表了原子的整体振动），其中包含 2 支横波，1支纵波。 3n-3支光学支（代表了元胞内原子的相对振动），其中包含 2（n-1）支横 波，（n-1）支纵波
Kh·Bt=2mm 动力学矩阵是倒空间的周期函数 ymyo/(q+Kh)=入oy(⑦ 由本征方程确定的频率也是倒空间的周期函数 Ws(o=ws(q+kh) 所以独立的波矢q应限制在第一布里渊区内
动力学矩阵是倒空间的周期函数 由本征方程确定的频率也是倒空间的周期函数 所以独立的波矢q应限制在第一布里渊区内
纵波:原子振动方向与波传播方向一致 横波:原子振动方向与波传播方向垂直 对于声学支: 横声学支( Transverse acoustic branch,TA) 纵声学支( Longitudinal acoustic branch,LA) 对于光学支: 横光学支( Transverse optic branch,TO) 纵光学支( Longitudinal optic branch,LO)
纵波：原子振动方向与波传播方向一致 横波：原子振动方向与波传播方向垂直 对于声学支： 横声学支（Transverse acoustic branch，TA） 纵声学支（Longitudinal acoustic branch，LA） 对于光学支： 横光学支（Transverse optic branch，TO） 纵光学支（Longitudinal optic branch，LO）
纵振动 横振动 声学 ●。· 质心运动 光学 原子的相对运动
纵振动 横振动 声学 质心运动 光学 原子的相对运动
以金刚石为例,可将上述讨论更加具体化。金刚石是复式格子,每一个原 胞中有两个原子,有3支声学波和3支光学波。对于某一传播方向,频率o和 波矢q的关系曲线如图所示。 光学波的频率随q变化很小,在实际计算中,将其视为与波矢q无关的常数。 在三支声学波中一支是纵波,两支是横波。当q很小时,0与q成比例,这 时,声学波与弹性波一样,波速为常数,而且就是弹性波的速度。 8~D00轴 10]轴 [111轴 频率o和波矢q的关系曲线。 沿[10[1轴两支横波 简并 (图中横坐标以2为单位, 其中代表有关轴向的格点 间距) [000 0000E01[0马
以金刚石为例，可将上述讨论更加具体化。金刚石是复式格子，每一个原 胞中有两个原子，有3支声学波和3支光学波。对于某一传播方向，频率ω和 波矢q的关系曲线如图所示。 光学波的频率随q变化很小，在实际计算中，将其视为与波矢q无关的常数。 在三支声学波中一支是纵波，两支是横波。 当q 很小时， ω 与q 成比例，这 时，声学波与弹性波一样，波速为常数，而且就是弹性波的速度。 频率ω 和波矢q的关系曲线。 沿[100]及[111]轴两支横波 简并。 (图中横坐标以2π/l为单位， 其中l代表有关轴向的格点 间距)
