目录 第一章 第二章 第三章 第四章 26038 第五章
目录 第一章...............................................................................................2 第二章...............................................................................................6 第三章.............................................................................................10 第四章.............................................................................................13 第五章.............................................................................................18
第一章 1.求金刚石结构的堆积密度。 对六角密堆积结构 a)求理想情况下其长轴和底边的比值c/a b)已知钠在273K附近从bcc结构转变为hcp结构(马氏体相变), 假如在此相变过程中保持密度不变,求hcp的点阵常数a。已 知bc相的点阵常数为423A,且hcp相的ca比值与理想值 相同。 3.基矢为a1=ai,a2=a,a3=(i+j+k)的晶体为何种结构?若 a3=(+k)+i,又为何种结构?为什么? 解: 4.指出立方晶格(111)面与(100)面,(111)面与(110)面的交 线的晶向。 解: 5.证明在立方晶系中,晶列[hk]与晶面(hk)正交,并求晶面(hkl)与 晶面(h2kl2)的夹角
第一章 1. 求金刚石结构的堆积密度。 2. 对六角密堆积结构： a) 求理想情况下其长轴和底边的比值 c/a。 b) 已知钠在273K 附近从bcc结构转变为hcp 结构（马氏体相变）， 假如在此相变过程中保持密度不变，求 hcp 的点阵常数 a。已 知 bcc 相的点阵常数为 4.23Å，且 hcp 相的 c/a 比值与理想值 相同。 3. 基矢为𝑎1 = 𝑎𝑖，𝑎2 = 𝑎𝑗，𝑎3 = 𝑎 2 (𝑖 + 𝑗 + 𝑘)的晶体为何种结构？若 𝑎3 = 𝑎 2 (𝑗 + 𝑘) + 3𝑎 2 𝑖，又为何种结构？为什么？ 解： 4. 指出立方晶格（111）面与（100）面，（111）面与（110）面的交 线的晶向。 解： 5. 证明在立方晶系中，晶列[hkl]与晶面(hkl)正交，并求晶面(h1k1l1)与 晶面(h2k2l2)的夹角
6.考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hk) a)证明倒易点阵矢量G=hb1+kb2+Lb3垂直于这组平面(hk) b)如果初基矢量(a1,a,a3)相互正交,求两个相邻点阵间的距 离 7.证明面心立方点阵的倒点阵是体心立方点阵。 8.列举正六角柱体的对称操作。 XCH00028 9.用图示说明以下对称素的组合定理 a)两个对称镜面相交,其交线为旋转轴,基转角为镜面相交角的 倍 b)如果在偶次旋转轴上有对称中心,则必有一对称镜面与旋转轴 垂直相交于对称中心(以二次轴为例) 10.求正六对称晶体的介电常数
6. 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl） a) 证明倒易点阵矢量G = h𝑏1 + k𝑏2 + 𝑙𝑏3垂直于这组平面（hkl） b) 如果初基矢量（a1，a2，a3）相互正交，求两个相邻点阵间的距 离 7. 证明面心立方点阵的倒点阵是体心立方点阵。 8. 列举正六角柱体的对称操作。 9. 用图示说明以下对称素的组合定理 a) 两个对称镜面相交，其交线为旋转轴，基转角为镜面相交角的 2 倍 b) 如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一对称镜面与旋转轴 垂直相交于对称中心（以二次轴为例） 10. 求正六对称晶体的介电常数 x y z
11.求晶格常数为a的体心立方晶面族(h1h2h3)的晶面间距。 12.求晶格常数为a的体心立方晶面族的晶面间距 13.画出bcc和fcc晶格结构的金属在(100),(110),(111,(200) 面上的原子排布二维图(密勒指数)。 14.晶面(h1h2h3)与h1h2h3)的交线与晶列R1=l1a1+l2a2+l3a3平 行,求1,l2,l 15.已知晶体中原子的电子密度函数为 ifrr 求该原子的原子散射因子 16.X射线衍射的线宽 假定一个有限大小的晶体,点阵结点由R1=∑a确定,其中1取 整数0,1,…,N1-1,每个结点处有全同的点散射中心。散射振 幅可写为 -k)2=1
11. 求晶格常数为 a 的体心立方晶面族(ℎ1ℎ2ℎ3 )的晶面间距。 12. 求晶格常数为 a 的体心立方晶面族 的晶面间距。 13. 画出 bcc 和 fcc 晶格结构的金属在（100），（110），（111），（200） 面上的原子排布二维图（密勒指数）。 14. 晶面(h1ℎ2ℎ3 )与(h1 ′ ℎ2 ′ ℎ3 ′ )的交线与晶列Rl ⃗⃗⃗ = 𝑙1𝑎1 ⃗⃗⃗ + 𝑙2𝑎2 ⃗⃗⃗ + 𝑙3𝑎3 ⃗⃗⃗ 平 行，求l1，𝑙2，𝑙3。 15. 已知晶体中原子的电子密度函数为 ρ(r) = { 𝑛, if 𝑟 ≤ 𝑅 0, if 𝑟 > 𝑅 求该原子的原子散射因子 16. X 射线衍射的线宽 假定一个有限大小的晶体，点阵结点由Rl ⃗⃗⃗ = ∑𝑙𝑖𝑎𝑖 ⃗⃗ 确定，其中l i取 整数 0，1，…，Ni − 1，每个结点处有全同的点散射中心。散射振 幅可写为 u = c ∑ 𝑒 −𝑖(𝑘 ⃗⃗⃗⃗′ −𝑘⃗ )∑ 𝑙𝑖𝑎𝑖 ⃗⃗⃗ 3 𝑖=1 𝑁𝑖−1 li=0
利用级数 证明散射强度 sm2号M(△k:a) (△E·a) 其中△k=R-k 17.讨论金刚石结构晶体的消光法则 18.考虑由A,B原子形成的原子列ABAB.AB,A-B键的键长为a2 A、B原子的原子散射因子分别为fA和fB。X射线沿着垂直于原子 列的方向传播 a)绘制倒空间的示意图,证明衍射极大条件为 n=a·cos b)计算该晶格的几何结构因子,并解释当fA=∫g时发生消光的原 因 19.金属铁在20℃时,可以得到最小的三个衍射角,分别为
利用级数 ∑ 𝑥 𝑚 = 1 − 𝑥 𝑀 1 − 𝑥 M−1 m=0 证明散射强度 I = |u| 2 = 𝑢 ∗ 𝑢 = 𝑐 2∏ sin2 1 2 𝑁𝑖(Δ𝑘⃗ ∙ 𝑎𝑖 ⃗⃗ ) sin2 1 2 (Δ𝑘⃗ ∙ 𝑎𝑖 ⃗⃗ ) 3 𝑖=1 其中Δk⃗ = 𝑘⃗⃗⃗ ′ − 𝑘⃗ 17. 讨论金刚石结构晶体的消光法则 18. 考虑由A，B原子形成的原子列ABAB…AB，A-B键的键长为a/2。 A、B 原子的原子散射因子分别为fA和fB。X 射线沿着垂直于原子 列的方向传播。 a) 绘制倒空间的示意图，证明衍射极大条件为 nλ = a ∙ cos 𝜃 b) 计算该晶格的几何结构因子，并解释当fA = 𝑓𝐵时发生消光的原 因 19. 金属铁在 20 ℃时，可以得到最小的三个衍射角，分别为
8°12,11°38′,14918′;当升温到1000℃时,最小的三个衍射角 变为7°55′,99′,12°59′。已知在上述温度范围内,铁金属为立 方结构。试分析在20℃和1000℃下,铁各属于何种立方结构。 20.讨论六角密积结构的消光条件 第二章 1.已知惰性气体氪的勒那-琼斯势参数∈,σ,并且其结晶为体心立方 结构,两个结构参数为 P12=911418 ∑ 12.2533 求平衡晶格参数ro和结合能W r 2.将离子晶体的最近邻离子间排斥能(A/r)换为指数形式(Zep) 问当平衡距离ro具体满足什么条件时,晶体平衡时的内能不变? 3.已知离子晶体的总内能 U=N 有一按电荷±q交替线性排列组成的原子列,求其马德隆常数和平
8°12′，11°38′，14°18′；当升温到 1000℃时，最小的三个衍射角 变为7°55′，9°9 ′，12°59′。已知在上述温度范围内，铁金属为立 方结构。试分析在 20℃和 1000℃下，铁各属于何种立方结构。 20. 讨论六角密积结构的消光条件。 第二章 1. 已知惰性气体氪的勒那-琼斯势参数ϵ, σ，并且其结晶为体心立方 结构，两个结构参数为 ∑𝑃𝑖𝑗 −12 j = 9.11418,∑𝑃𝑖𝑗 −6 𝑗 = 12.2533 求平衡晶格参数r0和结合能W 2. 将离子晶体的最近邻离子间排斥能(A/r n )换为指数形式(𝑍𝜆𝑒 − 𝑟 𝜌)， 问当平衡距离r0具体满足什么条件时，晶体平衡时的内能不变？ 3. 已知离子晶体的总内能 U = N(− αe 2 𝑟 + 𝐴 𝑟 𝑛 ) 有一按电荷±q 交替线性排列组成的原子列，求其马德隆常数和平
衡状态下的内能 4.一维单原子链中,只考虑最近邻作用,第n个原子的运动方程为 d2l ma2=B(n+1+1-2m) 格波解为 Aellqna-at 证明在长波近似下,该运动方程可以化成弹性波方程 提示:x即原子的位置(x=na) 5.已知一维单原子链满足 4β|.1 n示aq 求其频率分布函数dn/do 6.一维单原子链中,考虑第p个最近邻的原子相互作用,第n个原 子的运动方程是 ∑n a)证明简正模的色散关系是
衡状态下的内能 4. 一维单原子链中，只考虑最近邻作用，第 n 个原子的运动方程为 m ⅆ 2 𝑙𝑛 ⅆ𝑡 2 = 𝛽(𝑙𝑛+1 + 𝑙 − 2𝑙𝑛) 格波解为 ln = 𝐴𝑒 𝑖(𝑞𝑛𝑎 −𝜔𝑡) 证明在长波近似下，该运动方程可以化成弹性波方程 ∂ 2 𝑙 𝜕𝑡 2 = 𝑣 2 𝜕 2 𝑙 𝜕𝑥 2 提示：x 即原子的位置（x = na） 5. 已知一维单原子链满足 ω(q) = √ 4β m |sin 1 2 𝑎𝑞| 求其频率分布函数ⅆn/ⅆω 6. 一维单原子链中，考虑第 p 个最近邻的原子相互作用，第 n 个原 子的运动方程是 m ⅆ 2𝑢𝑛 ⅆ𝑡 2 = ∑ 𝛽𝑝(𝑢𝑛+𝑝 − 𝑢𝑛) 𝑁 𝑝=−𝑁 a) 证明简正模的色散关系是
0=2∑2 pq m 提示:根据平移对称性,有βp=B b)求长波极限下的色散关系及声速(假设级数ΣB=1p2B收敛) 7.考虑由相同原子的行和列组成的平面正方格子的横振动,um表示 在第1列第m行的原子垂直于晶格平面的位移。每个原子的质量 为m,最近邻原子间的力常数为β a)证明运动方程式为 d dt +(u 1 L,m-1 b)设解的形式为 i(lkxatmkya-ot) 求色散关系 c)证明独立解存在的k空间区域是一个边长为2π/a的正方形,即 正方形格子的第一布里渊区。绘制出k=kx且ky=0,和k= kx=ky两种情况下的色散关系(-k图) 8.由2N个离子,按电荷±q交替线性排列组成的原子列,最近邻离
ω = 2√∑ 𝛽𝑝 𝑚 (sin2 1 2 𝑝𝑞𝑎) 𝑁 𝑝=1 提示：根据平移对称性，有β−p = 𝛽𝑝 b) 求长波极限下的色散关系及声速（假设级数∑ 𝑝 2𝛽𝑝 N p=1 收敛） 7. 考虑由相同原子的行和列组成的平面正方格子的横振动，ul,m表示 在第 l 列第 m 行的原子垂直于晶格平面的位移。每个原子的质量 为 m，最近邻原子间的力常数为β a) 证明运动方程式为 m ⅆ 2𝑢𝑙,𝑚 ⅆ𝑡 2 = 𝛽[(𝑢𝑙+1,𝑚 + 𝑢𝑙−1,𝑚 − 2𝑢𝑙,𝑚) + (𝑢𝑙,𝑚+1 + 𝑢𝑙,𝑚−1 − 2𝑢𝑙,𝑚)] b) 设解的形式为 ul,m = 𝑢0𝑒 𝑖(𝑙𝑘𝑥𝑎+𝑚𝑘𝑦𝑎−𝜔𝑡) 求色散关系 c) 证明独立解存在的k⃗ 空间区域是一个边长为2π/ a的正方形，即 正方形格子的第一布里渊区。绘制出k = kx且ky = 0，和1 √2 k = kx = 𝑘𝑦两种情况下的色散关系（ω − k图） 8. 由 2N 个离子，按电荷±q 交替线性排列组成的原子列，最近邻离
子间的排斥能为A/r, a)求马德隆常数 b)证明在平衡距离ro下的内能U(ro) 2 Ne2 In 2 U 9.已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为 U(r) ag 4πEo 其中马德隆常数α,平衡离子间距τ,Na原子质量mNa’Cl原子质 Cl3 光速c已知。 a)试求离子在平衡位置附近的振动频率; b)计算与该频率相当的电磁波波长。 离子在平衡位置振动频率 10.一个一维双原子分子晶体,链上最近邻原子间的力常量交替等于 10β和β,两种原子质量都为m,间距为a/2 )求其运动方程 b)设解的形式为un=Ae(n2o),u2n+1=Be(+1-a),求色 散关系
子间的排斥能为A/r n， a) 求马德隆常数 b) 证明在平衡距离r0下的内能U(r0 ) U = − 2Ne2 ln 2 𝑟0 (1 − 1 𝑛 ) 9. 已知 NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为 𝑈(𝑟) = − 𝛼𝑞 2 4𝜋𝜀0𝑟 + 𝛽 𝑟 𝑛 其中马德隆常数α，平衡离子间距𝑟0，Na 原子质量𝑚Na，Cl 原子质 量𝑚Cl，光速 c 已知。 a) 试求离子在平衡位置附近的振动频率； b) 计算与该频率相当的电磁波波长。 c) 离子在平衡位置振动频率 10. 一个一维双原子分子晶体，链上最近邻原子间的力常量交替等于 10β和β，两种原子质量都为 m，间距为a/2 a) 求其运动方程 b) 设解的形式为u2n = 𝐴𝑒 𝑖(2𝑛 𝑞𝑎 2 −𝜔𝑡)，u2n+1 = 𝐵𝑒 𝑖((2𝑛+1) 𝑞𝑎 2 −𝜔𝑡)，求色 散关系
11.一维复式格子,原子质量都为m,原子统一编号,任一原子与两最 邻近的间距不同,力常数不同,分别为1和β2,晶格常数为a,求 原子的运动方程及色散关系 o.0--2·:-- 第三章 1.声子的物理动量 a)证明对于波矢为q,频率为ω的格波 u=ael 维单原子链的总动量为 p(q)=-io MAe -iot >eiqla b)利用波恩-冯卡门边界条件,证明声子(q≠0)是不携带物理动 量的 )如果lm(oA)≠0,当q→0时,表示一维单原子链的什么运动? 2.一维复式格子m=5×167×10-24g,M/m=4,β=15×10N/
11. 一维复式格子，原子质量都为𝑚，原子统一编号，任一原子与两最 邻近的间距不同，力常数不同，分别为𝛽1和𝛽2，晶格常数为𝑎，求 原子的运动方程及色散关系。 第三章 1. 声子的物理动量 a) 证明对于波矢为q，频率为ω的格波 ul = 𝐴𝑒 𝑖(𝑞𝑙𝑎−𝜔𝑡) 一维单原子链的总动量为 p(q) = −iωMAe−iωt∑𝑒 𝑖𝑞𝑙𝑎 𝑁 𝑙=1 b) 利用波恩-冯卡门边界条件，证明声子(q ≠ 0)是不携带物理动 量的 c) 如果lim ω→0 (𝜔𝐴) ≠ 0，当q → 0时，表示一维单原子链的什么运动？ 2. 一维复式格子m = 5 × 1.67 × 10−24𝑔，M/m = 4，β = 1.5 × 10N/ m，求 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 N-1 N
