4.8布洛赫电子的动力学性质
4.8 布洛赫电子的动力学性质
布洛赫电子 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动 的本征态和本征能量之后,就可以开始研 究晶体中电子运动的具体问题了,由于周 期势场的作用,晶体中的电子的本征能量 和本征函数都已不同于自由电子,因而在 外场中的行为也完全不同于自由电子,我 们称之为布洛赫电子( Bloch电子)
布洛赫电子 • 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动 的本征态和本征能量之后，就可以开始研 究晶体中电子运动的具体问题了，由于周 期势场的作用，晶体中的电子的本征能量 和本征函数都已不同于自由电子，因而在 外场中的行为也完全不同于自由电子，我 们称之为 布洛赫电子（Bloch 电子）
布洛赫电子的描述 当外加场(电场、磁场等)施加到晶体上 时,晶体中的电子不只是感受到外场的作 用,而且还同时感受着晶体周期场的作用。 通常情况下,外场要比晶体周期势场弱得 多。因为晶体周期场强度一般相当于 108vcm。而外电场是难以达到这个强度的。 因此,晶体中的电子在外场中的运动必须 在周期场本征态的基础上进行讨论
布洛赫电子的描述 • 当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上 时，晶体中的电子不只是感受到外场的作 用，而且还同时感受着晶体周期场的作用。 通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得 多 。 因为晶体周期场强度一般相当于 108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。 因此，晶体中的电子在外场中的运动必须 在周期场本征态的基础上进行讨论
外场中的电子运动 ·电子在外场中的运动问题时,除了周期场中单电子哈密顿量外,还应 加入外势场 电子的状态和能量将随时间变化,必须求解包括外加势场在内的含时 薛定谔方程 方ay H=、hLah=(H+U)地 2 V+V(r,v(r+R)=v( 处理方法 将波函数以系统的本征函数为基展开表示(布洛赫表象) 通过布洛赫函数定义一套完整的万尼尔局域函数,以它们为基展 开(万尼尔表象) 某些特性条件下,也可以把电子近似地作为经典粒子来处理
外场中的电子运动 • 电子在外场中的运动问题时，除了周期场中单电子哈密顿量外，还应 加入外势场 • 电子的状态和能量将随时间变化，必须求解包括外加势场在内的含时 薛定谔方程 − ℏ 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = (𝐻𝐻 + 𝑈𝑈)𝜓𝜓 𝐻𝐻 = − ℏ2 2𝑚𝑚 𝛻𝛻2 + 𝑉𝑉 𝑟𝑟 , 𝑉𝑉 𝑟𝑟 + 𝑅𝑅 = 𝑉𝑉(𝑟𝑟) • 处理方法 – 将波函数以系统的本征函数为基展开表示（布洛赫表象） – 通过布洛赫函数定义一套完整的万尼尔局域函数，以它们为基展 开（万尼尔表象） – 某些特性条件下，也可以把电子近似地作为经典粒子来处理
布洛赫电子做一个准经典近似,引入布洛赫波包
布洛赫电子做一个准经典近似，引入布洛赫波包
准经典粒子近似 ·含外场的波动方程 方oy H=、hL0(H+U)ψ V2+V(r),v(r+r)=v(r) 通常情况下求解含外场的波动方程,但只能近似求解。 另一种方法是在: 外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。 等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理 这种方法图像清晰,运算简单,可以得到基本合理的结果
准经典粒子近似 • 含外场的波动方程 − ℏ 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = (𝐻𝐻 + 𝑈𝑈)𝜓𝜓 𝐻𝐻 = − ℏ2 2𝑚𝑚 𝛻𝛻2 + 𝑉𝑉 𝑟𝑟 , 𝑉𝑉 𝑟𝑟 + 𝑅𝑅 = 𝑉𝑉(𝑟𝑟) • 通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。 • 另一种方法是在： 外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。 等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。 这种方法图像清晰，运算简单，可以得到基本合理的结果
经典粒子和布洛赫波包 经典粒子同时具有确定的能量和动量,但服从量子 力学运动规律的微观粒子是不可能有确定的能量和 动量;(不确定原理) ·如果一个量子态的经典描述近似成立,则在量子力 学中的这个态就要用一个“波包”来代表,所谓波包 是指该粒子(例如电子)空间分布在r0附近的△r 范围内,动量取值在hk0附近的范围方△k内,△r△k 满足测不准关系 把波包中心r0看作该粒子的位置,把hko看作该粒 子的动量。晶体中的电子,可以用其本征函数 Bloch波组成波包,从而当作准经典粒子来处理
经典粒子和布洛赫波包 • 经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子 力学运动规律的微观粒子是不可能有确定的能量和 动量；（不确定原理） • 如果一个量子态的经典描述近似成立，则在量子力 学中的这个态就要用一个“波包”来代表，所谓波包 是指该粒子（例如电子）空间分布在 r0附近的△r 范围内，动量取值在ℏk0附近的范围ℏ∆k 内，∆r∆k 满足测不准关系。 • 把波包中心 r0 看作该粒子的位置，把ℏk0看作该粒 子的动量。晶体中的电子，可以用其本征函数 Bloch波组成波包，从而当作准经典粒子来处理
布洛赫波包(推) 实际晶体中的电子态往往是一些本征态的叠加,构成一个波包 布洛赫本征态可表示为 yk(r)=e k r_En(k) 忽略带间跃迁,将同一能带中特定波矢ko附近Δk范围内的诸波函数叠加得到 △k Enck) ψ(,t) k rexp i(kr tdk △kJ 令 k=ko+ sk 在ko附近将En(k)展开为(P166 En(k)=En(ko)+[keN(k)lk. 8k 则有 LkEn(k)lk ψ(r,t)≈ exp n(o i&.r 0·7 e d (sk) △k
布洛赫波包 (推) • 实际晶体中的电子态往往是一些本征态的叠加，构成一个波包 • 布洛赫本征态可表示为 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑘𝑘�𝑟𝑟−𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 ℏ 𝑡𝑡 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛(𝑟𝑟) 忽略带间跃迁，将同一能带中特定波矢k0附近Δk范围内的诸波函数叠加得到 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟,𝑡𝑡 = 1 ∆𝑘𝑘 � 𝑘𝑘0−∆𝑘𝑘 2 𝑘𝑘0+∆𝑘𝑘 2 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝑘𝑘 � 𝑟𝑟 − 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 ℏ 𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 令 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘0 + 𝛿𝛿𝛿𝛿 在k0附近将En 𝑘𝑘 展开为 (P166) 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 = 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘0 + 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑘𝑘0 � 𝛿𝛿𝛿𝛿 + ⋯ 则有 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟,𝑡𝑡 ≈ 𝑢𝑢𝑘𝑘0 𝑛𝑛 𝑟𝑟 ∆𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑘𝑘0 � 𝑟𝑟 − 𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘0 ℏ 𝑡𝑡 × � −∆𝑘𝑘 2 ∆𝑘𝑘 2 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝛿𝛿𝛿𝛿� 𝑟𝑟− 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑘𝑘0 ℏ 𝑡𝑡 𝑑𝑑 𝛿𝛿𝛿𝛿
布洛赫波包 令 1/aEn(k) 方(Ok 1/aEn(k) 1/aEn(k) x=x-h、okz/k t 得到(推) △kx54ky sin sin wk(r,t)vk(r, t)Akx5 Akyn 4kz5-pko(r, t)A(r, t) 2 2 表示布洛赫波包,某时刻在坐标空间找到电子的概率是 lPk(r, t)12=Juk(r)/1A(r, t)12 uz()周期因子,A(r,t)包含能带信息
布洛赫波包 • 令 𝜉𝜉 = 𝑥𝑥 − 1 ℏ 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑘𝑘0 𝑡𝑡 𝜂𝜂 = 𝑦𝑦 − 1 ℏ 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑦𝑦 𝑘𝑘0 𝑡𝑡 𝜁𝜁 = 𝑥𝑥 − 1 ℏ 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑧𝑧 𝑘𝑘0 𝑡𝑡 得到（推） 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟,𝑡𝑡 ≈ 𝜓𝜓𝑘𝑘0 𝑛𝑛 𝑟𝑟,𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛥𝛥𝑘𝑘𝑥𝑥𝜉𝜉 2 𝛥𝛥𝑘𝑘𝑥𝑥𝜉𝜉 2 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛥𝛥𝑘𝑘𝑦𝑦𝜂𝜂 2 𝛥𝛥𝑘𝑘𝑦𝑦𝜂𝜂 2 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛥𝛥𝑘𝑘𝑧𝑧𝜁𝜁 2 𝛥𝛥𝑘𝑘𝑧𝑧𝜁𝜁 2 = 𝜓𝜓𝑘𝑘0 𝑛𝑛 𝑟𝑟,𝑡𝑡 𝐴𝐴 𝑟𝑟,𝑡𝑡 表示布洛赫波包，某时刻在坐标空间找到电子的概率是 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟,𝑡𝑡 2 = 𝑢𝑢𝑘𝑘0 𝑛𝑛 𝑟𝑟 2 𝐴𝐴 𝑟𝑟,𝑡𝑡 2 • 𝑢𝑢𝑘𝑘0 𝑛𝑛 𝑟𝑟 周期因子，𝐴𝐴 𝑟𝑟,𝑡𝑡 包含能带信息
波包 △k=0:布洛赫本征态,在空间找到电子的概率为以n(),电子的坐标完全不 确定 ·Δk≠0:仅当ξ,η,=0时,波包振幅最大,其他ξ,η,>0时振幅都趋近于0 把某时刻波包的中心位置认定为电子的坐标,即 x t ( ak2 aEn(k) 九(ak 1/0En(k) t h akz )Ko 写成矢量 KeN(kt
波包 • Δ𝑘𝑘 = 0：布洛赫本征态，在空间找到电子的概率为 𝑢𝑢𝑘𝑘0 𝑛𝑛 𝑟𝑟 2 ，电子的坐标完全不 确定 • Δ 𝑘𝑘 ≠ 0：仅当𝜉𝜉, 𝜂𝜂, 𝜁𝜁 = 0时，波包振幅最大，其他𝜉𝜉, 𝜂𝜂, 𝜁𝜁 ≫ 0时振幅都趋近于0 • 把某时刻波包的中心位置认定为电子的坐标，即 𝑥𝑥 = 1 ℏ 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑥𝑥 𝑘𝑘0 𝑡𝑡 𝑦𝑦 = 1 ℏ 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑦𝑦 𝑘𝑘0 𝑡𝑡 𝑧𝑧 = 1 ℏ 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑘𝑘𝑧𝑧 𝑘𝑘0 𝑡𝑡 • 写成矢量 𝑟𝑟 = 1 ℏ 𝛻𝛻𝑘𝑘𝐸𝐸𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑡𝑡