固体物理导论 黄高山 复旦大学材料科学系 NIV Email:shuang@fudan.edu.cn Tel:65642829
黄高山 复旦大学 材料科学系 Email: gshuang@fudan.edu.cn Tel: 65642829
5金属电子论
5.金属电子论
费米分布函数和自由电气比热 费米分布函数 经典的 Boltzmann统计:(E)exp 量子统计: Fermi- Dirac统计和Bose- Einstein统计 费米子:自旋为半整数(n+1/2)的粒子(如:电子、质子、 中子等),费米子遵从 Fermi-dirac统计。 >玻色子:自旋为整数n的粒子(如:光子、声子等),玻色 子遵从Bose- Einstein统计规律
5.1费米分布函数和自由电子气比热容 一、费米分布函数 经典的Boltzmann统计： 量子统计： Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计 >费米子：自旋为半整数（n＋1/2） 的粒子（如：电子、质子、 中子等）， 费米子遵从Fermi－Dirac统计。 >玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等）， 玻色 子遵从Bose－Einstein统计规律。 k TE f E B ( ) exp
自由电子气:1897年 Thomson发现电子,1900年 Drude就大 胆地将当时已经很成功的气体分子运动论用于金属,提出用 自由电子气模型来解释金属的导电性质,他假定:金属晶体 内的价电子可以自由运动,它们在晶体内的行为宛如理想气 体中的粒子,故称作经典自由电子气模型,以此模型可以解 释欧姆定律。几年之后 Lorentz又假定自由电子的运动速度 服从 Maxwell-Boltzman分布,由此解释了 Wiedemann- franz 定律(热导和电导之比)。这些成功使自由电子气模型得到 承认。虽然之后发现经典模型并不能解释金属比热、顺磁磁 化率等多种金属性质,不过这些困难并不是自由电子气模型 本身造成的,而是采用经典气体近似所造成的。1928年索末 菲又进一步将费米一狄拉克统计用于电子气体,发展了量子 的金属自由电子气体模型,从而克服了经典自由电子气体模 型的不足
自由电子气：1897 年Thomson发现电子，1900 年Drude 就大 胆地将当时已经很成功的气体分子运动论用于金属，提出用 自由电子气模型来解释金属的导电性质，他假定：金属晶体 内的价电子可以自由运动，它们在晶体内的行为宛如理想气 体中的粒子，故称作经典自由电子气模型，以此模型可以解 释欧姆定律。几年之后Lorentz 又假定自由电子的运动速度 服从Maxwell-Boltzman分布， 由此解释了Wiedemann-Franz 定律（热导和电导之比）。这些成功使自由电子气模型得到 承认。虽然之后发现经典模型并不能解释金属比热、顺磁磁 化率等多种金属性质，不过这些困难并不是自由电子气模型 本身造成的，而是采用经典气体近似所造成的。1928年索末 菲又进一步将费米 —狄拉克统计用于电子气体，发展了量子 的金属自由电子气体模型，从而克服了经典自由电子气体模 型的不足
Drude模型在定性方面是正确的,那么问题的来源就是不能把 电子气看作是经典粒子,不应服从 Maxwell-Boltzman经典统计 规律,而应该服从量子统计规律。1927年, Sommerfeld应用量 子力学重新建立了自由电子论,正确地解释了金属的大多数性 质,使自由电子论成为解释金属物理性质的一个方便而直观的 模型。虽然以后能带论以更加严格的数学处理得到了更加完美 的理论结果,但在很多情形下,我们仍然乐于方便地使用自由 电子论来讨论金属问题
Drude 模型在定性方面是正确的，那么问题的来源就是不能把 电子气看作是经典粒子，不应服从Maxwell-Boltzman 经典统计 规律，而应该服从量子统计规律。1927年，Sommerfeld应用量 子力学重新建立了自由电子论，正确地解释了金属的大多数性 质，使自由电子论成为解释金属物理性质的一个方便而直观的 模型。虽然以后能带论以更加严格的数学处理得到了更加完美 的理论结果，但在很多情形下，我们仍然乐于方便地使用自由 电子论来讨论金属问题
金属导电 经典自由电子论 理论研究 1900年德鲁特 的发展: 量子力学基础 量子自由电子论 能带论 1927年索末菲 1928年 Bloch 保持自由电子观点, 1931年 Wilson 用量子行为约束。 简单直观, 彻底改变观念,放弃自由假定, 使用方便。 建立了固体理论新模式。 理论复杂数十年发展方才完善
金属导电 理论研究 的发展： 经典自由电子论 1900年德鲁特 量子力学基础 量子自由电子论 1927年索末菲 能带论 1928年Bloch 1931年Wilson …… 保持自由电子观点， 用量子行为约束。 简单直观， 使用方便。 彻底改变观念，放弃自由假定， 建立了固体理论新模式。 理论复杂数十年发展方才完善
金属的物理性质主要取决于导带电子 单电子近似下,导带电子可以看做一个近似独立的粒子系 系统中的电子具有一系列由能带理论确定的本征态。 系统平衡统计分布由费米分布函数来确定 ∫(E ele-u)/kBT 能量为E的量子态被电子占据的概率 μ(T):系统的化学势。代表压强和温度不变时,系统增加或减少 个电子时所需要的吉布斯能量。它是温度和电子浓度的函数。 根据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子 如果系统中有N个电子∑)=N N足够大时,把对状态的求和变为对能/(BN(EE=N 量的积分
金属的物理性质主要取决于导带电子。 单电子近似下，导带电子可以看做一个近似独立的粒子系。 系统中的电子具有一系列由能带理论确定的本征态。 系统平衡统计分布由费米分布函数来确定: ( ) ( ) 1 1 E kTB f E e = - m + m( ): T 系统的化学势。代表压强和温度不变时，系统增加或减少 一个电子时所需要的吉布斯能量。它是温度和电子浓度的函数。 能量为 E的量子态被电子占据的概率。 根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子。 如果系统中有 N个电子 量子态 f E N f E N E dE N N足够大时，把对状态的求和变为对能 0 量的积分
基态下费米分布函数和自由电子的费米能 f(e E-p)/ka7⊥1 T=o时M(B)=H(E-E E≤E亥维赛单元函数 O E>E E=μ(0)价电子的最高能量,费米能 E≤E时,所有状态都被占据E>E时,所有状态都为空 do=-H(E-EP)=S(E-EP) 三维情况下自由电子气:0N点同其 N=(E)N(E)dP(2m)号1 Ede V (ump E=m(-m费米能仅仅依赖于电子浓度
( ) ( )1 1 E kTB f E e = -m + ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 F F F E E f E HE E E E ìïï £ = -=í T=0时 ïïî > 亥维赛单元函数 0 = ( EF m 0) 价电子的最高能量，费米能 0 E E £ F时，所有状态都被占据 0 E E > F时，所有状态都为空 ( ) ( ) 0 0 0 ' F F f HE E E E E d ¶ - =- - = - ¶ 三维情况下自由电子气: ( ) 2 2 2 Ek k m = 0 () () 0 N f E N E dE ¥ = ò 2 2 2 3 0 3 2 F N E m V çæ ö p ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 3 0 1 2 2 2 2 0 2 2 EF V m E dE p æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ò 3 3 2 0 2 2 2 2 2 2 3 F V m E p æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø （ ） 费米能仅仅依赖于电子浓度 ( ) ( ) ( ) 3 22 E k n V dS NE p E k = ò 3 1 2 2 2 2 2 2 V m E π æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ( ) 2 2 2 3 3 2 n m = p 二、基态下费米分布函数和自由电子的费米能
根据量子力学原理,电子在分立能级上的分布规则: 电子在能级上的填充遵守泡利不 相容原理( Pauli exclusion principle) 能级填充到N2 T=0K,电子从最低能级开始填充 (能量最低原则),每个能级可以 填2个电子(自旋参量) 能量相同的电子态数目称为简并 度 电子填充的最高能级称为费米能 级( Fermi energy,EF 每个能级可以填 2个电子
根据量子力学原理，电子在分立能级上的分布规则： • 电子在能级上的填充遵守泡利不 相容原理（Pauli exclusion principle ） • T= 0K，电子从最低能级开始填充 （能量最低原则），每个能级可以 填 2个电子（自旋参量） • 能量相同的电子态数目称为简并 度 • 电子填充的最高能级称为费米能 级（Fermi Energy, E F ） 能级填充到N/2 每个能级可以填 2个电子
系统的基态能量: n 2x方23 (E0)2 (2m)2 en EdE E2dEv2m2s 方 h)03 NEF 每个电子的平均能量E==3E 电子的平均速度()=1=(25F=(6E T=OK Fo=Uo-TS=UC NEO OF 2U 2= NER 2 3 v 3 般的金属a≈0.2-0.4mm,n≈102-102/cm3,m≈10g 1.5→7e x(62=25F≈10m/sP~10Pa 300kn≈25.8meV
系统的基态能量: ( ) 0 0 0 EF U EN E dE = ò 0 3 1 2 2 2 2 0 2 2 EF V m E E dE π æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ò 3 5 2 0 2 2 2 2 5 F V m E p æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 3 0 5 = NEF ( ) 3 1 2 2 2 2 2 2 V m NE E π æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 3 3 2 0 2 2 2 2 2 2 3 F V m N E p æ ö = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø （ ） 每个电子的平均能量 0 0 0 35 F U E E N = = 电子的平均速度 1 2 0 8 0 2 ( ) 10 / E v k cm s m æ ö = ÷» ç ÷ çç ÷ ç ÷ è ø T 0K, F0 U0 TS U0 0 0 T F P V æ ö ¶ = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ¶ 0 0 3 5 U NE = F 10 10 / , 22 23 3 一般的金属 a nm » - 0.2 0.4 , n cm 27 m g 10- » ( ) 2 2 0 2 3 3 1.5 7 2 EF n eV m = » p 0 1 () () k v k Ek = 10 P Pa 0 ~ 10 1 2 0 2E m æ ö = ÷ ç ÷ çç ÷ ç ÷ è ø 1 0 2 6 5 EF m æ ö ç ÷ =ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 2 2 2 3 3 3 5 2 N N m V æ ö ç p ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 2 0 5 F 0 = nE 23 UV 0 = UV ¶ = - ¶ 2 3 V - µ 3 0 2 5 3 NEF V = 300 25.8 B k meV »