固体物理导论 黄高山 复旦大学材料科学系 Email:shuang@fudan.edu.cn Ie:65642829
黄高山 复旦大学 材料科学系 Email: gshuang@fudan.edu.cn Tel: 65642829
3晶格动力学和晶体的热学性质
3.晶格动力学和晶体的热学性质
第一章:晶体的结构、分类及其测量方法 第二章:晶体的结合 T=0 负电性、成键类型、结合能 固体的许多性质都可以基于静态模型来理解(即晶体点阵模型),即认 为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列,在该框架内,我们讨论了X 光衍射发生的条件,求出了晶体的结合能,以后还将在此框架内,建立能 带论,计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原(离)子构形的一种近 似,因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的,而是在固体温 度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振 动的规律,更多的晶体性质才能得到理解。如:固体热容,热膨胀,热传导, 融化,声的传播,电导率,压电现象,某些光学和介电性质,位移性相变, 超导现象,晶体和辐射波的相互作用等等
第一章: 晶体的结构、分类及其测量方法 第二章: 晶体的结合 负电性、成键类型、结合能 T=0 固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认 为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能 带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近 似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温 度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振 动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变， 超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等
晶格振动的研究始于圊体热容研究,19世纪初人们就通过 Dulong-Petit定律 aE =3NKR, (E=3N,kRT) aT 认识到:热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现。然而直到20世 纪初才由 Einstein利用 Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降 低而下降的现象(1907年),从而推动了固体原子振动的研究,1912 年玻恩(Bomn,1954年 Nobel物理学奖获得者)和冯卡门(Von- Karman)发 表了论晶体点阵振动的论文,首次使用了周期性边界条件,但他们的 研究当时被忽视了,因为同年发表的更为简单的 Debye热容理论(弹 性波近似)已经可以很好的说明当时的实验结果了,但后来更为精确 的测量却表明了 Debye模型不足,所以1935年 Blakeman才重新利用Bomn 和von- Karman近似讨论晶格振动,发展成现在的晶格动力学理论。后 来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出,特别是1954年和Born共同写 作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过 Dulong-Petit 定律 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现。然而直到20世 纪初才由Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降 低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1912 年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发 表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的 研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹 性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确 的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born 和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后 来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写 作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。 3N k ,(E 3N k T) T E C A B A B V v = = ∂ ∂ =
黄昆院士简介:(摘录) 1945-1947年,在英国布列斯托( Bristol)大学物理系学习,获哲学博士 学位;发表《稀固溶体的X光漫散射》论文,理论上预言“黄散射”。 1948-1951年,任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员,这期间建立 “黄方程”,提出了声子极化激元的概念,并与李爱扶(A.Rhys,妻子) 建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年,与玻恩教授合著《晶格动力学》一书(英国牛津出版社, 1954年)。(2006年中文版) 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与 多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学 声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者
黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士 学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立 了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A. Rhys，妻子） 建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英国牛津出版社， 1954年）。（2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与 多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学 声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者
3.简正模和格波 微振动理论一一简正模 当振动非常微弱时,原子之间的相互作用可以认为是简谐 的,非简谐的互作用可以忽略。从原子之间的相互作用出 发,在简谐近似下去讨论晶体的本征振动,即简正模。 利用晶格周期性证明晶体中的一个简正模对应一个振幅调 制的平面波,即格波。 简谐近似下,晶体中振动模式是独立的。与原子振动相关 的任意激发,只是这些本征振动的线性叠加。 由于晶体的平移对称性,振动模式的能量不是连续的,而 是分立的
3.1 简正模和格波 一、微振动理论——简正模 当振动非常微弱时，原子之间的相互作用可以认为是简谐 的，非简谐的互作用可以忽略。从原子之间的相互作用出 发，在简谐近似下去讨论晶体的本征振动，即简正模。 利用晶格周期性证明晶体中的一个简正模对应一个振幅调 制的平面波，即格波。 简谐近似下，晶体中振动模式是独立的。与原子振动相关 的任意激发，只是这些本征振动的线性叠加。 由于晶体的平移对称性，振动模式的能量不是连续的，而 是分立的
一设晶体包含N个原子,有3N个自由度 对应3N个偏离平衡位移矢量分量: l1(i=1,2.3N) 引入约化坐标 q 则系统哈密顿量 H=T+(q1,q2…,q3N) S×r(O)+ ∑(an)4+22(an19+高次项 取平衡点势能为零,略去高次项 H=29+229,为一对称实矩阵
设晶体包含N个原子，有3N个自由度 对应3N个偏离平衡位移矢量分量： ( 1, 2...3 ) i ui N = 引入约化坐标： i ii q mu = 则系统哈密顿量 12 3 (, , , ) H T Vq q q = + N 3 2 2 0 1 1 1 (0) ( ) ( ) 2 2 N i i i j i i i j i i j V V q V q q q = q q q ∂ ∂ = ++ + + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑∑ 高次项 取平衡点势能为零，略去高次项 1 1 2 2 2 i ij i j i ij H q qq = + ∑ ∑ λ λi j , 为一对称实矩阵
由系统的拉格朗日L=TV,得到q的共轭动量 OL OH 由正则方程内=1得到3N个耦合方程: i+∑=0,i=1,2,…,3N 要直接求解3N个耦合方程是比较困难的,可以通过正交变换,引 入简正坐标,使得问题简化
由系统的拉格朗日L=T-V，得到qi 的共轭动量 由正则方程 得到3N个耦合方程： 要直接求解 3N 个耦合方程是比较困难的，可以通过正交变换，引 入简正坐标，使得问题简化
引入矢量 q=(q1,q2…,g3N) (q1,g2, T N×3 这里前两项是坐标和动量的列矢量,有3N个矩阵元;而第三项是力 常数矩阵,为3N×3N的方阵 哈密顿量写成矩阵形式: H=qq+-q7入
引入矢量： 这里前两项是坐标和动量的列矢量，有 3N个矩阵元；而第三项是力 常数矩阵，为 3N×3N的方阵 哈密顿量写成矩阵形式：
根据矩阵代数·一个实对称方阵,总能找到一个正交矩阵, 使其对角化:A-入A 2 3N 其中i,w2,…,3N是方矩阵λ的本征值
根据矩阵代数，一个实对称方阵，总能找到一个正交矩阵， 使其对角化： 其中 是方矩阵λ的本征值