第六章弯曲变形及分析 材料物理 王珺 2019.3
第六章 弯曲变形及分析 材料物理 王珺 2019.3
主要内容 工程中的弯曲变形问题 挠曲线的微分方程 用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形 简单超静定梁 提高弯曲刚度的一些措施
主要内容 • 工程中的弯曲变形问题 • 挠曲线的微分方程 • 用积分法求弯曲变形 • 用叠加法求弯曲变形 • 简单超静定梁 • 提高弯曲刚度的一些措施
工程中的弯曲变形问题 工程中应用的梁 强度要求 刚度要求 应力分析 变形、应变分析 变形过大影响精度 和使用 使用中希望获得较 大变形
工程中的弯曲变形问题 工程中应用的梁 强度要求 刚度要求 变形过大影响精度 和使用 使用中希望获得较 大变形 应力分析 变形、应变分析
挠曲线的微分方程 变形前的梁轴线为x轴,垂直向上的轴为y轴,xy平面为梁的纵向对称面。在对称的 情况下,变形后梁的轴线将成为x平面内的一条曲线,称为挠曲线。 挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标,用v来表示,代表坐标为x的横截面的形心沿 y方向的位移,称为挠度。 挠曲线的方程可以写成0=f(x) de、 截面转角:梁的横截面对原来位置转过的角度。 根据平截面假设,截面转角就是y轴与挠曲线 法线的夹角,应等于挠曲线的倾角,即x轴与 挠曲线切线的夹角 tan= 0= arctan C d 纯弯曲情况下,弯矩与曲率间的关系为 挠度和转角是度量弯曲变形的两 个基本量,上图坐标系中,向上 的挠度和反时针的转角为正。 P El
挠曲线的微分方程 变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴，xy平面为梁的纵向对称面。在对称的 情况下，变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。 挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标，用w来表示，代表坐标为x的横截面的形心沿 y方向的位移，称为挠度。 挠曲线的方程可以写成 截面转角：梁的横截面对原来位置转过的角度。 根据平截面假设，截面转角就是y轴与挠曲线 法线的夹角，应等于挠曲线的倾角，即x轴与 挠曲线切线的夹角。 挠度和转角是度量弯曲变形的两 个基本量，上图坐标系中，向上 的挠度和反时针的转角为正。 纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为
挠曲线的微分方程 弯矩 1 M 横力弯曲 P EI 1M(x) 剪力 El 跨度远大于梁高度时,可忽略剪力的影响 de lds=plde d ds de 考虑到M为正时,随弧长增加,θ也增加,因此,d0M ds EI d El
挠曲线的微分方程 横力弯曲 弯矩 剪力 跨度远大于梁高度时，可忽略剪力的影响 考虑到M为正时，随弧长增加， θ也增加，因此
挠曲线的微分方程 da d 0= arctan arctan r do de dr d dwl dx arctan ds dr ds dr dr ds 1+(da dw2 ds d U 注意到ds 1+ 上式成为 dx ds da 注意到d_M dx M称为挠曲线方程,适 d s El 1+(vy213/2E用于弯曲变形的任意 d x 情况,是非线性的。 小变形情况下,将其线性化,有≈tan0 d f'(a) 很小,原方程成为 da d-w 称为挠曲线的近似方程。 d El
挠曲线的微分方程 注意到 上式成为 注意到 称为挠曲线方程，适 用于弯曲变形的任意 情况，是非线性的。 小变形情况下，将其线性化，有 很小，原方程成为 称为挠曲线的近似方程。 µ ¼ tan µ = dw dx = f 0(x) dw dx
用积分法求弯曲变形 挠曲线近似微分方程 d w M(x) E M(x) El x积分一次,可得转角方程b% 将挠曲线近似微分方程关于 dx+C dr El 再关于x积分一次,可得挠曲线方程 dc dx+Cx+D El C,D为积分常数,由边界条件和连续性条件决定。 典型边界条件 a,w=0 b,w=0 6=0 弯曲变形对称点 上,转角为零
用积分法求弯曲变形 将挠曲线近似微分方程关于 x积分一次，可得转角方程 再关于x积分一次，可得挠曲线方程 C,D为积分常数，由边界条件和连续性条件决定。 典型边界条件： 弯曲变形对称点 上，转角为零 挠曲线近似微分方程： 2 2 ( ) z d w M x dx EI 2 2 ( ) z d w EI M x dx
用积分法求弯曲变形 挠曲线应是一条连续、光滑的曲线。 不连续 不光滑 m 求出梁的挠度和转角后,根据需要,限制最大挠度和最大转角,或特 定截面的挠度和转角不超过某一规定数值,就得到刚度条件: elmar na 中括号中的值是规定的许可挠度和转角
用积分法求弯曲变形 挠曲线应是一条连续、光滑的曲线。 不连续 不光滑 求出梁的挠度和转角后，根据需要，限制最大挠度和最大转角，或特 定截面的挠度和转角不超过某一规定数值，就得到刚度条件： 中括号中的值是规定的许可挠度和转角
求挠曲线示例 下图为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度,镗刀杆的弯曲变形不能过 大。设径向切削力F=200N,镗刀杆直径d=10mm,外伸长度l=50mm。材 料的弹性模量E=210GPa。试求镗刀杄上安装镗刀头的截面B的转角和挠度。 简化为悬臂梁,选取图示坐标系,任意截面受到的 弯矩为 M=-F(-x) 挠曲线微分方程Eh"=M=-F(-x) 积分可得Ehp F x-Flx+C 2F Fl Elw x'+Cx+D 2 固定端A的转角和挠度均应等于零,即x=0时 B 6,=0 C=EI0=0 D=ElwA=0
求挠曲线示例 简化为悬臂梁，选取图示坐标系，任意截面受到的 弯矩为 挠曲线微分方程 积分可得 固定端A的转角和挠度均应等于零，即x=0时 M F l x EIw M F l x '' 2 ' 2 F EIw x Flx C 3 2 6 2 F Fl EIw x x Cx D ' 0 0 A A A w w 0 0 A A C EI D EIw 下图为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过 大。设径向切削力𝐹 = 200𝑁 ，镗刀杆直径 𝑑 = 10𝑚𝑚，外伸长度𝑙 = 50 𝑚𝑚。材 料的弹性模量 𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎。试求镗刀杆上安装镗刀头的截面 𝐵 的转角和挠度
求挠曲线示例 将积分常数代入挠曲线方程,可得转角方程和挠度方程, F F Fl El==-x-Flx Elw= 6 2 为求出截面B的转角和挠度,将x=代入上述方程,得 Fl 2EI 3EI 转角为负值,表示截面B的转角是顺时针方向的,挠度为负值,表示B点的挠 度向下 AF=200 N,E=210 GPa, I=50 mm,I 丌d 491mm4,得 64 B=-0.00242rad 0.0805mm
求挠曲线示例 将积分常数代入挠曲线方程，可得转角方程和挠度方程， 为求出截面B的转角和挠度，将x=l代入上述方程，得 转角为负值，表示截面B的转角是顺时针方向的，挠度为负值，表示B点的挠 度向下。 2 ' 2 F EIw x Flx 3 2 6 2 F Fl EIw x x 2 ' 2 B B Fl w EI 3 3 B Fl w EI 令𝐹 = 200 𝑁,𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎，𝑙 = 50 𝑚𝑚， ，得