奥型题剖祈 第七章热力学基础 .基本思路 本章的基本习题有以下几方面的内容: (1)热力学第一定律及其在理想气体的几个重要的准静态过程中的应用 i)必须掌握几个准静态过程的特征及其过程方程 (i)应用热力学第一定律时应注意上节中所讲的四点注意事项 (2)求解热机效率问题 (i)效率公式7=1-中的Q,是指循环各过程中从外量吸收的总热量,而不是外界吸收的净” 热量。 (ⅱi)卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成,效率n=1-7,T,T为热学力温度,T 为高温源温度。 (3)有关熵的计算: 不可逆过程 求任意系统不可逆过程的熵变应满足S-S2>O。熵是状态函数,所 以对两个确定的状态,无论通过可逆过程还是不可逆过程,熵的变化相可逆过程 图6-1 同。对于不可逆过程,计算熵变可以用这种方法: 可设想一个可逆过程把不可逆过程的始末态连接起来,如图6-1,由可逆过程中熵变的定义S-S2= dQ 求出的熵变就是不可逆过程的熵变 2.例题剖析 B(P, V2) 例1如图62所示:1mol氦气,由状态A(p)沿直线变到状态B) (p2V2),求这过程中内能的变化,吸收的热量,对外作的功 分析由图可求出△E,A,再由热力学第一定律求出Q 图6-2
典型例题剖析 第七章 热力学基础 1．基本思路 本章的基本习题有以下几方面的内容： (1)热力学第一定律及其在理想气体的几个重要的准静态过程中的应用； (ⅰ)必须掌握几个准静态过程的特征及其过程方程。 (ⅱ)应用热力学第一定律时应注意上节中所讲的四点注意事项。 (2)求解热机效率问题： (ⅰ)效率公式 2 1 1 Q Q 中的 Q1是指循环各过程中从外量吸收的总热量，而不是外界吸收的“净” 热量。 (ⅱ)卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成，效率 2 1 1 T T ，T1，T2 为热学力温度，T1 为高温源温度。 (3)有关熵的计算： 求任意系统不可逆过程的熵变应满足 S1-S2>0。熵是状态函数，所 以对两个确定的状态，无论通过可逆过程还是不可逆过程，熵的变化相 同。对于不可逆过程，计算熵变可以用这种方法： 可设想一个可逆过程把不可逆过程的始末态连接起来，如图 6-1，由可逆过程中熵变的定义S1-S2= 2 1 dQ T 求出的熵变就是不可逆过程的熵变。 2．例题剖析 例 1 如图 6-2 所示：1mol 氦气，由状态 A（p1,V1）沿直线变到状态 （p2,V2）,求这过程中内能的变化，吸收的热量，对外作的功。 分析 由图可求出 E ，A，再由热力学第一定律求出 Q。 可逆过程 不可逆过程 P O 图 V 6-1 图 6-2 V P O D C 1 1 A P V ( , ) 2 2 B P V ( , )
解1mol氦气的内能为E=R7。 从状态A变到状态B,内能的增量为△E==R(T2-7)=(p2V2-PV)。对外作功为梯形ABCD 的面积 A==(+P2(2-V1) 由热力学第一定律,此过程中吸收的热量为 Q=AB+4=2(2V2-P份x (P+P2)(V2-h1)=2(P212-P1)+(P2-P2) 例2如图6-3所示,分别通过下列准静态过程把标准状态下0014kg氮气压缩为原体积的一半。 (1)等温过程;(2)绝热过程;(3)等压过程。求:在这些过程中,气体内能的改变,传递的热量 和外界对气体所做的功。设氮气为理想气体,则C=R。 分析该题是热力学第一定律在几个等值过程中的应用 (2) (1) 解已知 0.5o1,T=273(K) V,) =0.5,C,=R=20.78/moK 图6-3 (1)等温过程△E=0 A=-A=-RT In 0.5×831×273×ln0.5=786( Q=-A=-786J)(放热) (2)绝热过程Q=0 由过程方程T=T22,y=CnC=140 得 72=()-.T=2×273≈360(K), △E=-C(72-T1)=0.5×20.78×(360-273)≈904 A=-A=△E=904(/)。 (2)等压过程
解 1mol 氦气的内能为 3 2 E RT 。 从状态 A 变到状态 B，内能的增量为 2 1 2 2 1 1 3 3 ( ) ( ) 2 2 E R T T p V p V 。对外作功为梯形 ABCD 的面积 1 2 2 1 1 ( )( ) 2 A p p V V 。 由热力学第一定律，此过程中吸收的热量为 2 2 1 1 1 2 2 1 3 1 ( ) ( )( ) 2 2 Q E A p V p V p p V V 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2( ) ( ) 2 p V p V p V p v 。 例 2 如图 6-3 所示，分别通过下列准静态过程把标准状态下 0.014kg 氮气压缩为原体积的一半。 （1）等温过程；（2）绝热过程；（3）等压过程。求：在这些过程中，气体内能的改变，传递的热量 和外界对气体所做的功。设氮气为理想气体，则 5 2 C R V 。 分析 该题是热力学第一定律在几个等值过程中的应用。 解 已知 0.5( ) M mol ， 1 T K 273( ) 2 1 0.5 V V ， 5 2 C R V 1 1 20.78J mol K （1）等温过程 E 0 2 1 1 ln M V A A RT V 0.5 8.31 273 ln0.5 786( ) J Q A J 786( ) ( ) 放热 （2）绝热过程 Q=0 由过程方程 1 2 TV T V 1 1 2 2 ， / 1.40 C C p V 得 1 1 0.4 1 2 2 ( ) 2 273 360( ) V T T K V ， 2 1 ( ) 0.5 20.78 (360 273) 904( ) V M E C T T J 。 A A E J 904( ) 。 （2）等压过程 图 6-3 V P O V1 V2 (1) 1 1 1 ( , , ) P V T (2) (3)
由过程方程=五,T1=r=1365K) A pd=P1(1-H2)=PV1 A=××8.31×273=567() M C(T2-T1)=0.5×20.78×(136.5-273)≈-1418( Q=△E+A=△E-A=-1418-567=-1985().(放热) 例3如图6-4所示,ba为理想气体绝热过程,bla和b2a是任 意过程,分析上述两过程气体是做正功还是负功,过程是吸热还是放 热? 分析热力学第一定律的应用 解第一种方法 因bca过程是绝热压缩过程,根据热力学第一定律有 Ea-E=ct A表示气体对外界做功,A表示外界对气体做功。由压缩知,外界做正功;所以气体内能增加, 其数值如图6-4所示等于曲边梯形 bade的面积。 对ba过程应用热力学第一定律有 Q=E-E+ A 4表示ba过程外界所做的功。A>0,它等于曲边梯形 blade的面积。由图可见,A>A,所 以Q>0即该过程吸热,气体做负功 第二种方法 把acb2a看做一部制冷机的逆循环过程。对全过程有Q=A<0,而acb为绝热过程,只有b2a过 程与外界有热交换,故Q<0,表示b2a过程放热。同理,b2a过程对外做负功。 例4如图6-5所示,器壁与活塞均绝热的容器中间被一隔板等分为两部分,其中左边贮有1mol
由过程方程 1 1 2 2 V T V T ， 2 2 1 1 136.5( ) V T T K V ， 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 V V M A A pdV p V V p V RT 1 1 8.31 273 567( ) 2 2 A J 2 1 ( ) 0.5 20.78 (136.5 273) 1418( ) V M E C T T J 。 Q E A E A J 1418 567 1985( ). ( ) 放热 例 3 如图 6-4 所示，bca 为理想气体绝热过程，b1a 和 b2a 是任 意过程，分析上述两过程气体是做正功还是负功，过程是吸热还是放 热？ 分析 热力学第一定律的应用 解 第一种方法 因 bca 过程是绝热压缩过程，根据热力学第一定律有 0 E E A A a b ， A 表示气体对外界做功， A 表示外界对气体做功。由压缩知，外界做正功；所以气体内能增加， 其数值如图 6-4 所示等于曲边梯形 bcade 的面积。 对 bla 过程应用热力学第一定律有 Q E E A A A 1 1 1 a b ， A1 表示 b1a 过程外界所做的功。 A1 >0，它等于曲边梯形 b1ade 的面积。由图可见， A > A1 ，所 以 Q1>0 即该过程吸热，气体做负功。 第二种方法 把 acb2a 看做一部制冷机的逆循环过程。对全过程有 Q=A<0，而 acb 为绝热过程，只有 b2a 过 程与外界有热交换，故 Q<0，表示 b2a 过程放热。同理，b2a 过程对外做负功。 例 4 如图 6-5 所示，器壁与活塞均绝热的容器中间被一隔板等分为两部分，其中左边贮有 1 mo1 图 6-4 V P O d e 1 c a b 2
处于标准状态的氦气(可视为理想气体),另一边为真空。现先把隔板拉于,待气体平衡后再缓慢向 左推动活塞,把气体压缩到原业的体积。问氦气的温度改变了多少? 分析当隔板拉于后,因右边为真空,故左边的氦气作自由膨胀,是绝热的非准静态过程;平 衡后,缓慢压缩,是绝热的准静态过程 解拉开隔板:气体作绝热自由膨胀,所以 氧气/政空 A=0,Q=0。 由Q=△E+A,得△E=0。 图6-5 即E2=E1因是理想气体,故T2=T1 平衡后,72=7=273(K),V2=2V。 缓慢压缩:绝热过程 由绝热过程方程Ty3=T2,得 T3=72(2y=7(y 因v=-v,氦气7=+25 故△T=T3-7=273×(23-1)≈160(k)。 例5一可逆卡诺热机低温热源的温度为70℃,效率为40%:若要将其效率提高到50%,则高温 热源温度需提高几度? 分析利用卡诺热机效率刀进行计算,理解提高η的途径 解已知低温源的温度72=7+273=280K)。 设热机效率η=40%时高温热源的温度为T,热机效率η'=50%时高温热源的温度为T'。 根据卡诺热机效率7=/、T2则 T 72 所以,高温热源需要提高的温度为
处于标准状态的氦气（可视为理想气体），另一边为真空。现先把隔板拉于，待气体平衡后再缓慢向 左推动活塞，把气体压缩到原业的体积。问氦气的温度改变了多少？ 分析 当隔板拉于后，因右边为真空，故左边的氦气作自由膨胀，是绝热的非准静态过程；平 衡后，缓慢压缩，是绝热的准静态过程。 解 拉开隔板：气体作绝热自由膨胀，所以 A=0，Q=0。 由 Q E A ，得 E 0。 即 E2=E1 因是理想气体，故 T T 2 1 ， 平衡后， 2 1 2 1 T T K V V 273( ), 2 。 缓慢压缩：绝热过程 由绝热过程方程 1 1 T V T V 3 3 2 2 ，得 2 2 1 1 3 2 1 3 3 ( ) ( ) V V T T T V V 。 因 3 2 1 2 V V ，氦气 2 5 , 3 i i 故 2 3 3 1 T T T k 273 (2 1) 160( )。 例 5 一可逆卡诺热机低温热源的温度为 7.0℃,效率为 40%；若要将其效率提高到 50%，则高温 热源温度需提高几度？ 分析 利用卡诺热机效率 进行计算，理解提高 的途径。 解 已知低温源的温度 2 T K 7 273 280( ) 。 设热机效率 =40%时高温热源的温度为 T1，热机效率 50% 时高温热源的温度为 T1 。 根据卡诺热机效率 2 1 1 T T ，则 2 1 1 T T ， 2 1 1 T T ， 所以，高温热源需要提高的温度为 图 6-5 1mol 氦气 真空
A7=7-7 1-n1-n 280 △T 280 1-0.51-0.4 93.3(K) 例6如图6-6所示的循环过程,ab和cd为绝热过程,bc和da为等体过程,用T,T2和Ty T分别代表a态、b态和c态、d态的温度。若已知温度T和T2,求 循环效率η,并判断此循环是不是卡诺循环 分析循环中的吸热过程只有一个,即d→a;放热过程也只有一个,即。b→>C。据定义计 算热机的循环效率,应用绝热过程方程求得吸、放热之比与T1、T2的关系。由卡诺循环的组成判断 该循环是否为卡诺循环。 解设循环中吸热量为Q,放热量为Q, b(72) 则热机效率 d(T4 d→>a吸热,故Q=-C1(71-7) 图6-6 b→c放热,故Q2=-C(T2-T3)。 Cr(T2-73) 2, u G(7-7)-7° 对ab线,应用绝热过程方程有 对cd线,应用绝热过程方程有 上两式相除,得五=2,所以 72(1 Q2_72-7 9 T-T Q2,T2
2 2 1 1 1 1 1 T T T T T ， 1 280 280 93.3( ) 1 0.5 1 0.4 T K 。 例 6 如图 6-6 所示的循环过程，ab 和 cd 为绝热过程，bc 和 da 为等体过程，用 T1，T2 和 T3， T4 分别代表 a 态、b 态和 c 态、d 态的温度。若已知温度 T1 和 T2，求： 循环效率 ，并判断此循环是不是卡诺循环。 分析 循环中的吸热过程只有一个，即 d a ;放热过程也只有一个，即。 b c 。据定义计 算热机的循环效率，应用绝热过程方程求得吸、放热之比与 T1、T2 的关系。由卡诺循环的组成判断 该循环是否为卡诺循环。 解 设循环中吸热量为 Q1，放热量为 Q2， 则热机效率 2 1 1 Q Q ， d a 吸热，故 1 1 4 ( ) V M Q C T T 。 b c 放热，故 2 2 3 ( ) V M Q C T T 。 2 3 2 2 3 1 1 4 1 4 ( ) ( ) V V M C T T Q T T Q T T M C T T 。 对 ab 线，应用绝热过程方程有 1 1 TV T V 1 1 2 2 。 对 cd 线，应用绝热过程方程有 1 1 T V T V 4 1 3 2 上两式相除，得 1 2 4 3 T T T T ，所以 3 2 2 2 2 2 3 1 1 4 1 4 1 1 (1 ) (1 ) T T Q T T T T Q T T T T T T ， 故 2 2 1 1 1 1 Q T Q T 。 图 6-6 V P O V1 V2 1 a T( ) 2 bT( ) 3 cT( ) 4 d T( )
虽然此循不的效率表示式类似于卡诺热机的效率表达式,但此循 环不是卡诺循环,因为它不是由两条等温线和两条绝热线组成。此循[理想 环效率n=1-72/T中的T,7与卡诺循环中的T,含义不同。对于[热机 卡诺循环,系统只有两个热源,T代表高温源的温度,T2代表低温源|T2 的温度。本题的循环叫做奥托循环,是内燃机的理论循环,这里的 图6-7 T,T是任意标记的,代表达a态的温度,T代表b态的温度,所以不能将此循环看成卡诺循环。 例7如图6-7所示,一理想可逆热机可利用的高温热源保持在t=100C,在循环过程中向作 为低温热源的房间放出热量,并使室内温度保持在t2=20°C,同时,热机输出的功W以驱动一理想 热泵从=3°℃的恒温热源抽取热量,也向房间供热,当热机从高温热源抽取一个单位热量时,房间 吸收的热量是多少? 分析利用理想热机、理想热泵的概念,先求出热机对外所作的功及向低温源放出的热量;再 由热机向热泵输出功及热泵工作系数,求出热泵向房间放出的热量。 解图6-7是热机与热泵的联合运动示意图,设热机从T热源吸收的热量为Q,对外输出的功 为A,则按卡诺定理可知: T-T A 热机在输出功A的同时,向低温热源T放出热量为 Q2=Q-A==Q, 热机向热泵输出功A,热泵从低温热源T3抽取热量q,房间获得的热量为q2,因热泵的工作系 数 AT2-73 TA 72、T-72T2( 72-73T-T1…(72 所以,房间共吸收的热量为
虽然此循不的效率表示式类似于卡诺热机的效率表达式，但此循 环不是卡诺循环，因为它不是由两条等温线和两条绝热线组成。此循 环效率 2 1 1 T T 中的 T1，T2与卡诺循环中的 T1，T2含义不同。对于 卡诺循环，系统只有两个热源，T1代表高温源的温度，T2代表低温源 的温度。本题的循环叫做奥托循环，是内燃机的理论循环，这里的 T1，T2是任意标记的，T1代表达 a 态的温度，T2代表 b 态的温度，所以不能将此循环看成卡诺循环。 例 7 如图 6-7 所示，一理想可逆热机可利用的高温热源保持在 1 t C 100 ，在循环过程中向作 为低温热源的房间放出热量，并使室内温度保持在 2 t C 20 ，同时，热机输出的功 W 以驱动一理想 热泵从 3 t C 3 的恒温热源抽取热量，也向房间供热，当热机从高温热源抽取一个单位热量时，房间 吸收的热量是多少？ 分析 利用理想热机、理想热泵的概念，先求出热机对外所作的功及向低温源放出的热量；再 由热机向热泵输出功及热泵工作系数，求出热泵向房间放出的热量。 解 图 6-7 是热机与热泵的联合运动示意图，设热机从 T1热源吸收的热量为 Q，对外输出的功 为 A，则按卡诺定理可知： 1 2 1 T T A Q T 。 热机在输出功 A 的同时，向低温热源 T2放出热量为 2 2 1 T Q Q A Q T ， 热机向热泵输出功 A，热泵从低温热源 T3 抽取热量 q，房间获得的热量为 q2 ，因热泵的工作系 数 2 2 2 3 q T A T T ， 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 1 1 2 3 ( ) ( ) T A T T T T T T q Q Q T T T T T T T T 。 所以，房间共吸收的热量为 图 6-7 T1 T3 Q 理想 热机 理想 热泵 T2 Q2 3 q 2 q
0+g2 T2·(T1-7)29397 (72-T3)37317448(单位热量)。 例8某人设想一台可逆卡诺热机,循环一次可以从400K的高温热源吸热1800J,向300CK的 低温热源放热800J,同时对外作功1000J,试分析这一设想是否合理?为什么? 分析该设想虽然满足热力学第一定律,但是否合理,还看其满足不满足熵増加原理。 解令卡诺热机带动一机械将重物提高消耗1000J的功。 现将高温热源T,低温热源T,卡诺热机及附属机械、重物看成一孤立系统,则一次循环中系 统的总熵变 AS=△S+△S+AS+AS , o 7172 -1.83<0 这个结果是违背熵增加原理的,因此这一设计不合理。 例9已知lmo理想气体的定体热容量为Cp,如图6-8所示,开始时温度为T、体积为V 经过下列三个可逆过程,先绝热膨胀到体积为V2(V2=2V),再等体升压使温度恢复到T,最后等 温压缩到原来体积。设比热比y是已知量。求 (1)计算每一个过程的熵变是多少? (2)等容过程与外界环境的总熵变是多少? (3)整个循环过程系统的熵变是多少? 图6-8 分析熵是状态量,只要始、末状态不变,经任何过程所得的熵变相同。 解(1)第一个过程是可逆绝热过程,据熵增加原理,可逆绝热过程熵不变,故 第二个过程是可逆等容升温过程,其熵变 As,= dg 因等容过程系统对外做功dA=0,故dO=dE=Cd,即气体吸收热量等于内能的增量,所以
2 1 3 2 2 1 2 3 ( ) 293 97 4.48( ) ( ) 373 17 T T T Q q T T T 单位热量 。 例 8 某人设想一台可逆卡诺热机，循环一次可以从 400K 的高温热源吸热 1800J，向 300K 的 低温热源放热 800J，同时对外作功 1000J，试分析这一设想是否合理？为什么？ 分析 该设想虽然满足热力学第一定律，但是否合理，还看其满足不满足熵增加原理。 解 令卡诺热机带动一机械将重物提高消耗 1000J 的功。 现将高温热源 T1，低温热源 T2，卡诺热机及附属机械、重物看成一孤立系统，则一次循环中系 统的总熵变 1.83 0 300 800 400 1800 0 0 2 2 1 1 1 2 T Q T Q S S S S S T T 卡 机 这个结果是违背熵增加原理的，因此这一设计不合理。 例 9 已知 1mo1 理想气体的定体热容量为 CV，如图 6-8 所示，开始时温度为 T1、体积为 V1， 经过下列三个可逆过程，先绝热膨胀到体积为 V2（V2=2V1），再等体升压使温度恢复到 T1，最后等 温压缩到原来体积。设比热比 是已知量。求： (1)计算每一个过程的熵变是多少？ (2)等容过程与外界环境的总熵变是多少？ (3)整个循环过程系统的熵变是多少？ 分析 熵是状态量，只要始、末状态不变，经任何过程所得的熵变相同。 解 （1）第一个过程是可逆绝热过程，据熵增加原理，可逆绝热过程熵不变，故 S1 0 。 第二个过程是可逆等容升温过程，其熵变 T dQ S2 ， 因等容过程系统对外做功 dA=0，故 dQ=dE=CVdT，即气体吸收热量等于内能的增量，所以 图 6-8 V P O V1 V2 ( ) a V1，T1 b c
Cdl =C In 因T>T2,故ΔS2>0,等容升温过程,气体吸收热熵增加,对绝热过程φb应用过程方程,有 五 72=v1 则 △S2=Ch=(y-1)Crh2>0。 第三个过程是等温放热过程,熵一定减少 R(lmol理想气体)=Rln=-Rh2<0 (2)等容过程系统从外界吸热,外界向系统放热,系统和外界构成绝热系统,因为经历过程是 可逆的,所以大系统的熵不变,即△S大系统=0。 (3)因为熵是状态函数,系统经历一个循环过程回到原态,故 AS=0。 例10已知在0℃,1mol的冰溶解为1mol的水需要吸热6000,求 (1)在0℃时这些冰化为水时的熵变; (2)在0℃时这些水的微观状态数与冰的微观状态数之比 分析计算熵变,了解热力学概率Ω。 解(1)0℃的冰化为的0℃水,温度不变按可逆等温过程计算熵变 ≈22.0(J/K)。 (2)由s=khg可得 △S=S水-S冰=kh水-kh9冰=kh A△/k=e2013810-23=10150
1 2 2 1 2 ln T T V V T T C T C dT S 因 T1>T2，故 S2 0 ，等容升温过程，气体吸收热熵增加，对绝热过程 ab 应用过程方程，有 1 2 2 1 1 1 T V T V ， 所以 1 1 1 2 2 1 ( ) 2 V V T T ， 则 ln ( 1) ln 2 0 2 1 2 V CV T T S C 。 第三个过程是等温放热过程，熵一定减少 (1 1 ) ln ln 2 0 2 1 2 1 2 R V V mo R V dV R T pdV T dQ S V V 理想气体 （2）等容过程系统从外界吸热，外界向系统放热，系统和外界构成绝热系统，因为经历过程是 可逆的，所以大系统的熵不变，即 S大系统 0 。 （3）因为熵是状态函数，系统经历一个循环过程回到原态，故 S系统 0 。 例 10 已知在 0℃，1mo1 的冰溶解为 1mo1 的水需要吸热 6000J，求 (1) 在 0℃时这些冰化为水时的熵变； (2) 在 0℃时这些水的微观状态数与冰的微观状态数之比。 分析 计算熵变，了解热力学概率 。 解 （1）0℃的冰化为的 0℃水，温度不变按可逆等温过程计算熵变： 22.0( / ) 273 1 6000 J K T m dQ dT T dQ s 。 (2) 由 s k ln 可得 冰 水 水 冰 水 冰 S S S k ln k ln k ln ， 2 3 / 22.0 /1.38 10 23 15.9 10 10 S k h e e 冰 水