奥例题剖彻 第十四章光的干涉 1.基本思路 研究光的干涉现象,关键是计算两束相干光的光程差及判断相干相长(明纹)、相干相消(暗纹)的 条件。题目主要涉及双缝干涉、劈尖与牛顿环干涉、增透膜与增反膜等。解题前应首先搞淸题目所涉及的 内容,确定已知条件,不要死记公式,适当地运用一些近似计算的方法。在比较反射光的光程差时,必须 考虑是否存在A/2的附加光程差。 2.例题剖析 例1在杨氏双缝实验中,设两缝之间的距离为d=02mm,屏幕与缝之间的距离为D=100cm (a)当波长=5890×10-10m的单色光垂直入射时,求10条干涉条纹之间的距离 b)若以白光入射,将出现彩色条纹,求第二级光谱的宽度。 分析杨氏双缝干涉问题。在杨氏双缝干涉实验中,如果入射光为单色光,则干涉条纹为等距分布的 明暗相间的直条纹,n条条纹之间的距离为(n1)△x=(n-1),如果入射光为白光;中心零级明纹 极大处为白色,其他各级条纹均因波长不同而彼此分开,具有一定的宽度,第k级干涉条纹(谱线)的宽 度为△x=k,(na-mm)。 解(a)在杨氏双缝干涉的图样中,其干涉条纹呈等间距排列,相邻两条纹之间的距离为 Ar=D2=100×10×5890×100 =0.295cm, 而10条条纹之间有9个间距,所以10条干涉条纹之间的距离△x'"为 Ax'=9x=2.66cm。 (b)第二级彩色条纹光谱宽度是指第二级紫光明条纹中心位置到第二级红光明条纹中心位置之间的距 离。杨氏双缝干涉明条纹的位置为
典型例题剖析 第十四章 光的干涉 1．基本思路 研究光的干涉现象，关键是计算两束相干光的光程差及判断相干相长（明纹）、相干相消（暗纹）的 条件。题目主要涉及双缝干涉、劈尖与牛顿环干涉、增透膜与增反膜等。解题前应首先搞清题目所涉及的 内容，确定已知条件，不要死记公式，适当地运用一些近似计算的方法。在比较反射光的光程差时，必须 考虑是否存在 / 2 的附加光程差。 2．例题剖析 例 1 在杨氏双缝实验中，设两缝之间的距离为 d=0.2mm，屏幕与缝之间的距离为 D=100cm。 (a)当波长 m 10 5890 10 的单色光垂直入射时，求 10 条干涉条纹之间的距离； (b)若以白光入射，将出现彩色条纹，求第二级光谱的宽度。 分析 杨氏双缝干涉问题。在杨氏双缝干涉实验中，如果入射光为单色光，则干涉条纹为等距分布的 明暗相间的直条纹，n 条条纹之间的距离为（n-1） d D x (n 1) ，如果入射光为白光；中心零级明纹 极大处为白色，其他各级条纹均因波长不同而彼此分开，具有一定的宽度，第 k 级干涉条纹（谱线）的宽 度为 ( ) max min d D x k 。 解 （a）在杨氏双缝干涉的图样中，其干涉条纹呈等间距排列，相邻两条纹之间的距离为 cm d D x 0.295 0.2 10 100 10 5890 10 3 2 1 0 ， 而 10 条条纹之间有 9 个间距，所以 10 条干涉条纹之间的距离 x 为 x 9x 2.66cm。 (b)第二级彩色条纹光谱宽度是指第二级紫光明条纹中心位置到第二级红光明条纹中心位置之间的距 离。杨氏双缝干涉明条纹的位置为
kDa k=0,,2, 而紫光的波长A=400mm,红光的波长A2=760m,则第二级紫光明条纹中心的位置为 kDa kDa 第二级红光明条纹中心的位置为 2 由此可得第二级彩色条纹的光谱宽度△x为 100×10-2 x=x2-x=2-(2-1)=+02×10-(760-400)×10°=036cm 例2用很薄的云母片(n=1.58)覆盖在杨氏双缝实验中的一条缝上,这时屏幕上的中央明条纹中心 为原来第7级明条纹中心所占据,如果入射波的波长A=550mm,求此云母片的厚度 分析这是由于光路中媒质变化而引起杨氏双缝干涉条纹变动的问题。已知原中央明纹中心处干涉条 纹的变动情况,可以得到两束相干光在该处的光程差δ的变化,而光程差的变化与光路中引入的媒质(厚 度、折射率)有关,因此求解问题的关键是计算两束相干光在相遇点的光程差及其变动情况。 解根据双缝干涉明条纹的条件 d 6=x=±k 以及相邻两明条纹间距为 可知,中央明条纹每移动一个条纹间距,光程差改变一个波长。按题意,中央明条纹移动了7个间距 所以光程差改变量是 △δ=7。 若云母片的厚度为e,则由于盖上云母片后所引起的光程差的改变量是 △d=ne-e=(n-1)e 由以上两式,有
, k 0,1,2, d kD x 而紫光的波长 1 400nm ，红光的波长 2 760nm ，则第二级紫光明条纹中心的位置为 d kD x 1 1 2 ， 第二级红光明条纹中心的位置为 d kD x 2 2 2 ， 由此可得第二级彩色条纹的光谱宽度 x 为 cm d D x x x (760 400) 10 0.36 0.2 10 100 10 2 ( ) 2 9 3 2 2 1 2 1 例 2 用很薄的云母片（n=1.58）覆盖在杨氏双缝实验中的一条缝上，这时屏幕上的中央明条纹中心 为原来第 7 级明条纹中心所占据，如果入射波的波长 550nm ，求此云母片的厚度。 分析 这是由于光路中媒质变化而引起杨氏双缝干涉条纹变动的问题。已知原中央明纹中心处干涉条 纹的变动情况，可以得到两束相干光在该处的光程差 的变化，而光程差 的变化与光路中引入的媒质（厚 度、折射率）有关，因此求解问题的关键是计算两束相干光在相遇点的光程差及其变动情况。 解 根据双缝干涉明条纹的条件 k , k 0,1,2, D d x 。 以及相邻两明条纹间距为 d D x x x k1 k 。 可知，中央明条纹每移动一个条纹间距，光程差改变一个波长。按题意，中央明条纹移动了 7 个间距， 所以光程差改变量是 7 。 若云母片的厚度为 e，则由于盖上云母片后所引起的光程差的改变量是 ne e (n 1)e， 由以上两式，有
解得 e77×550×10=66×10m 例3折射率n2=1.33的油膜覆盖在n3=1.50的玻璃片上。设有一束波长可以连续调节的光垂直照 射在油膜上,观察到A1=500mm和2=700m这两种波长的光在反射光中消失,求: (1)膜的厚度 (2)如果用白光垂直照射该膜,反射光中哪些颜色的光最强?透射光中又有哪种颜色的光最强? 分析这是薄膜干涉问题。薄膜上下表面的反射光在薄膜表面相干叠加,相干相消的条件是两束相干 光的光程差δ是入射光半波长的奇数倍,即δ=(2k+1)2,而光程差δ与入射光波长、薄膜的折射率、 膜厚有关,另外由于需要比较反射光的光程差,必须考虑是否存在半波损失。对于透射光也会产生干涉现 象,当反射光相干加强时,相应的透射光相干相消,反之,当反射光相干相消时,相应的透射光相干加强。 因此,问题的关键是计算两束反射光的光程差(也可以通过计算透射光的光程差来求解) 解(1)由于n1<n2<n3,油膜上下表面的反射光均有半波损失,故总光程差没有附加光程差 6=2n2e,相干相消的条件为 2n2e=(2k+1)7,2ne=(2k2+1) 由上式可以得出 (2k1+1)1=(2k2+1)2, 2k1+1_2_7×107 2k2+145×10-45 可以求出 k1=3 k2 于是 2A+1).=66×101(m 2 (2)如用白光垂直照射,反射光中看到的主要颜色的光波波长应满足反射干涉极大的条件,应有
(n 1)e 7 ， 解得 m n e 6 9 6.6 10 1.58 1 7 550 10 1 7 。 例 3 折射率 n2 1.33 的油膜覆盖在 n3 1.50 的玻璃片上。设有一束波长可以连续调节的光垂直照 射在油膜上，观察到 1 500nm 和 2 700nm 这两种波长的光在反射光中消失，求： (1)膜的厚度； (2)如果用白光垂直照射该膜，反射光中哪些颜色的光最强？透射光中又有哪种颜色的光最强？ 分析 这是薄膜干涉问题。薄膜上下表面的反射光在薄膜表面相干叠加，相干相消的条件是两束相干 光的光程差 是入射光半波长的奇数倍，即 2 (2 1) k ，而光程差 与入射光波长、薄膜的折射率、 膜厚有关，另外由于需要比较反射光的光程差，必须考虑是否存在半波损失。对于透射光也会产生干涉现 象，当反射光相干加强时，相应的透射光相干相消，反之，当反射光相干相消时，相应的透射光相干加强。 因此，问题的关键是计算两束反射光的光程差（也可以通过计算透射光的光程差来求解）。 解 （1）由于 n1 n2 n3 ，油膜上下表面的反射光均有半波损失，故总光程差没有附加光程差， n e 2 2 ，相干相消的条件为： 2 2 (2 1) 1 2 1 n e k ， 2 2 (2 1) 2 2 2 n e k ， 由上式可以得出 1 1 2 2 (2k 1) (2k 1) ， 即 5 7 5 10 7 10 2 1 2 1 4 4 1 2 2 1 k k ， 可以求出 k1 3, k2 2。 于是 6.6 10 ( ) 2 2 (2 1) 1 4 2 1 mm n k e 。 (2) 如用白光垂直照射，反射光中看到的主要颜色的光波波长应满足反射干涉极大的条件，应有：
2n2e1.75×10175 k k k 当k=1时,1=1750m,红外线 当k=2时,A=8750m,红外线。 当k=3时,A3=583.3mm,黄色光。 当k4时,A4=437.5m,紫色光。 当k=5时,A5=350m,紫外线。 因此,反射光中黄色、紫色光最强 透射光中看到的主要颜色的光波波长应满足反射干涉相消的条件,应有: 4n2e3.50×10-63500 当k=1时,A=11667m,红外线。 当k=2时,2=700m,红色光 当k=3时,A3=500m,绿色光 当k=4时,A4=3889mm,紫外线 因此,透射光红色、绿色光最强 例4两平板玻璃之间形成一个O=10+rad的空气劈尖,若用波长A=600mm的单色光垂直入射。 (1)试求第15条明纹距劈尖棱边的距离 (2)劈尖中充以某种液体后,观察到第15条明纹在玻璃上移动了095cm,试求该液体的折射率。 分析当日很小时,有O≈smB≈tmB成立。根据劈尖干涉明条纹的条件:6=2me+2=k,相 应的劈尖的厚度为=(k-)/2n,则第k级干涉明纹距棱边的距离为L1=。当劈尖媒质改变时
2n2 e k， 故 ( ) 2 1.75 10 1750 6 2 nm k k k n e 。 当 k=1 时， 1 1750nm ，红外线。 当 k=2 时， 2 875.0nm ，红外线。 当 k=3 时， 3 583.3nm ，黄色光。 当 k=4 时， 4 437.5nm，紫色光。 当 k=5 时， 5 350nm ，紫外线。 因此，反射光中黄色、紫色光最强。 透射光中看到的主要颜色的光波波长应满足反射干涉相消的条件，应有： 2 2 (2 1) 2 n e k ， 故 ( ) 2 1 3500 2 1 3.50 10 2 1 4 6 2 nm k k k n e 当 k=1 时， 1 1166.7nm ，红外线。 当 k=2 时， 2 700nm ，红色光。 当 k=3 时， 3 500nm ，绿色光。 当 k=4 时， 4 388.9nm ，紫外线。 因此，透射光红色、绿色光最强。 例 4 两平板玻璃之间形成一个 rad 4 10 的空气劈尖，若用波长 600nm 的单色光垂直入射。 (1)试求第 15 条明纹距劈尖棱边的距离； (2)劈尖中充以某种液体后，观察到第 15 条明纹在玻璃上移动了 0.95cm，试求该液体的折射率。 分析 当 很小时，有 sin tan 成立。根据劈尖干涉明条纹的条件： ne k 2 2 ，相 应的劈尖的厚度为 ek k ) / 2n 2 1 ( ，则第 k 级干涉明纹距棱边的距离为 k k e L 。当劈尖媒质改变时
由于n变化,劈尖厚度为e处两束反射光的光程差随之改变,干涉结果发生变化,原来的k级干涉条纹将 发生移动,设移至厚度为e'处,应有2n1e=2n2e',根据△e与ML的关系即可计算出第二种媒质的折射率。 解(1)设第15条明纹对应的空气厚度为e1s, 6=2e 由此可算出 2×15-1 4×600×10-9=435×10-6m, 第15条明纹距劈尖棱边的距离为 4.35×10 =435×10-2m。 sine 0 10 (2)若劈尖中充以某种液体,则液体层上、下表面反射光的光程差由2e+变为2ne+,即光程 差加大,若此时跟踪第15条明纹,那么它在玻璃片上将向棱边方向移动,设此时第15条明纹距棱边的距 离为L15,所对应的液体的厚度为e,由题意可知, M=42-=5=2( 可解得 n= e5-ML435×10-6-10-4×0.95×10-=1.28 例5在牛顿环干涉实验中,平凸透镜的曲率半径为50m,而平凸透镜的直径为2.0cm,试求它能产 生干涉条纹的数目。若将实验装置放入水中(n=1.33),又能看到多少个干涉环?假设入射波长为589nm 分析观察牛顿环的实验中,入射光垂直入射,干涉条纹为以接触点O为中心的同心圆球,分布在平 凸透镜的上表面,越向外,干涉条纹的级次越高,超出平凸透镜的范围,不存在两束相干光的相干叠加, 也就不再能观察到干涉条纹。在牛顿环实验中通常观察牛顿环的暗环。因此,可以通过求解当暗环半径最 大(不超过平凸透镜的半径)时,相应的干涉级次来获得能产生干涉条纹的数目。当牛顿环实验装置中的
由于 n 变化，劈尖厚度为 e 处两束反射光的光程差随之改变，干涉结果发生变化，原来的 k 级干涉条纹将 发生移动，设移至厚度为 e 处，应有 n e n e 2 1 2 2 ，根据 e 与 L 的关系即可计算出第二种媒质的折射率。 解 （1）设第 15 条明纹对应的空气厚度为 15 e ， 15 2 2e15 ， 由此可算出 e m 9 6 1 5 600 10 4.35 10 4 2 15 1 ， 第 15 条明纹距劈尖棱边的距离为 m e e L 2 4 6 1 5 1 5 1 5 4.35 10 10 4.35 10 sin 。 （2）若劈尖中充以某种液体，则液体层上、下表面反射光的光程差由 2 2 e 变为 2 2 ne ，即光程 差加大，若此时跟踪第 15 条明纹，那么它在玻璃片上将向棱边方向移动，设此时第 15 条明纹距棱边的距 离为 L15 ，所对应的液体的厚度为 15 e ，由题意可知， 2 15 2 15 e ne , n e e 15 15 , ) 1 1 5 (1 1 5 1 5 1 5 1 5 n e e e L L L , 可解得 1.28 4.35 10 10 0.95 10 4.35 10 6 4 2 6 1 5 1 5 e L e n 。 例 5 在牛顿环干涉实验中，平凸透镜的曲率半径为 5.0m，而平凸透镜的直径为 2.0cm，试求它能产 生干涉条纹的数目。若将实验装置放入水中（n=1.33），又能看到多少个干涉环？假设入射波长为 589nm。 分析 观察牛顿环的实验中，入射光垂直入射，干涉条纹为以接触点 O 为中心的同心圆球，分布在平 凸透镜的上表面，越向外，干涉条纹的级次越高，超出平凸透镜的范围，不存在两束相干光的相干叠加， 也就不再能观察到干涉条纹。在牛顿环实验中通常观察牛顿环的暗环。因此，可以通过求解当暗环半径最 大（不超过平凸透镜的半径）时，相应的干涉级次来获得能产生干涉条纹的数目。当牛顿环实验装置中的
平凸透镜与平板玻璃之间的媒质为折射率为n的任意媒质时,两束反射光的光程差为δ=2me+一,相应 的干涉暗环半径为F= kR2 当r=2=1.0cm,介质为空气(n=1)时 0×10 =it(3.95)=33 5.0×589×10 即能产生33条干涉条纹。 若浸在水中,透镜与平板玻璃之间的介质为水,n=1.33,则 kna=n(m)=nt[1.33×3395]=nt(45.15)=45, 能看到45个干涉环。可见浸入水中以后,干涉环变密,向中心移动。 例6用Na光灯(A=5893mm)作光源,在迈克尔逊干涉仪的一支光路上,放置了一个长度为140mm 的玻璃容器,当以某种气体充入容器时,观察干涉条纹移动了180条,问该种气体的折射率多大?(已知 空气的折射率为1.000276)。 分析这是迈克尔逊干涉仪的应用问题。在干涉仪的一条光路上放入折射率为n的媒质,两条光路上 传播的光束的光程差将发生变化,设媒质的长度为l,原来媒质的折射率为n0,相应的光程差的变化量为 (n-n0)=N·,据此可以得到媒质的折射率n 解长度为l的玻璃容器中的空气(折射率为n)被某种气体(折射率为n)代替后,条纹改变N条, 必有 2(n-n0=N 因此 =no 2100276+180×5893×10-° =1000655 2×140×10
平凸透镜与平板玻璃之间的媒质为折射率为 n 的任意媒质时，两束反射光的光程差为 2 2 ne ，相应 的干涉暗环半径为 n kR rk ， 当 cm d r 1.0 2 max ，介质为空气（n=1）时， ] int(33.95) 33 5.0 589 10 (1.0 10 ) int( ) int[ 9 2 2 2 max R r k nax ， 即能产生 33 条干涉条纹。 若浸在水中，透镜与平板玻璃之间的介质为水，n=1.33，则 int( ) int[1.33 33.95] int(45.15) 45 2 max R r k nax ， 能看到 45 个干涉环。可见浸入水中以后，干涉环变密，向中心移动。 例 6 用 Na 光灯（ 589.3nm) 作光源，在迈克尔逊干涉仪的一支光路上，放置了一个长度为 140mm 的玻璃容器，当以某种气体充入容器时，观察干涉条纹移动了 180 条，问该种气体的折射率多大？（已知 空气的折射率为 1.000276）。 分析 这是迈克尔逊干涉仪的应用问题。在干涉仪的一条光路上放入折射率为 n 的媒质，两条光路上 传播的光束的光程差将发生变化，设媒质的长度为 l，原来媒质的折射率为 n0 ，相应的光程差的变化量为 （ 2 )0 n n l N ，据此可以得到媒质的折射率 n。 解 长度为 l 的玻璃容器中的空气（折射率为 n0 ）被某种气体（折射率为 n）代替后，条纹改变 N 条， 必有 2(n n0 )l N ， 因此 1.000655 2 140 10 180 589.3 10 1.000276 2 3 9 0 l N n n