第6章静电场中的导体和电介质 上一章已经讨论了真空中的静电场在实际中,电场中总有导体或电介质(即绝缘体) 存在本章将讨论静电场与导体、电介质的相互作用和影响对于导体本章只限于讨论 各向同性的均匀金属导体 s6.1静电场中的导体 、导体的静电平衡 金属导体的电结构特征是在它的内部有可以自由移动的电荷一一自由电子,将金 属导体放在静电场中,它内部的自由电子将受静电场的作用而产生定向运动,并在导 体侧面集结,使该侧面出现负电荷,而相对的另一侧面出现正电荷这就是静电感应现 象由静电感应现象所产生的电荷,称为感应电荷感应电荷同样在空间激发电场将这 部分电场称为附加电场而空间任一点的电场强度是外加电场和附加电场的矢量和在 导体内部附加电场与外电场方向相反随着感应电荷的增加,附加电场也随之增加,直至 附加电场与外电场完全抵消,使导体内部的场强为零,这时自由电子的定向运动也就停 止了在金属导体中,自由电子没有定向运动的状态称为静电平衡所以有如下的静电 平衡条件 (1)导体内部的场强处处为零(否则自由电子的定向运动不会停止 (2)导体表面上的场强处处垂直于导体表面(否则自由电子将会在沿表面分量的电 场力的作用下作定向运动) 由导体的静电平衡条件容易推出处于静电平衡状态的金属导体必具有下列性质 (1)整个导体是等势体,导体表面是等势面(这是由于导体上的任意两点a和b 因导体内各处电场强度为零而使其电势差为零) (2)导体内部不存在净电荷,电荷都分布在导体的表面上(这是由于导体内各处电 场强度为零,使得在导体内任意一闭面的电通量为零 二、导体表面的电荷和电场 处于静电平衡的金属导体电荷只分布在导体的表面上在导体表面上电荷的分布 与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关对于孤立导体实验表明导 体曲率愈大处(例如尖端部分)表面电荷面密度也愈大:导体曲率较小处,表面电荷面密 度也较小;在表面凹进去的地方(曲率为负)电荷 密度更小另外由高斯定理可以求出导体表面附近 E(n) 的场强与该表面处电荷面密度的关系 在导体表面紧邻处取一点P以E表示该处的 电场强度,如图6.1所示过P点做一个平行于导体 E=0 表面的小面积元△S,并以此为底,以过P点的导体 图61
1 第 6 章 静电场中的导体和电介质 上一章已经讨论了真空中的静电场.在实际中,电场中总有导体或电介质(即绝缘体) 存在.本章将讨论静电场与导体、电介质的相互作用和影响.对于导体本章只限于讨论 各向同性的均匀金属导体. §6.1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 金属导体的电结构特征是在它的内部有可以自由移动的电荷——自由电子,将金 属导体放在静电场中，它内部的自由电子将受静电场的作用而产生定向运动，并在导 体侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷,这就是静电感应现 象.由静电感应现象所产生的电荷,称为感应电荷.感应电荷同样在空间激发电场,将这 部分电场称为附加电场,而空间任一点的电场强度是外加电场和附加电场的矢量和.在 导体内部附加电场与外电场方向相反,随着感应电荷的增加,附加电场也随之增加,直至 附加电场与外电场完全抵消,使导体内部的场强为零,这时自由电子的定向运动也就停 止了.在金属导体中,自由电子没有定向运动的状态,称为静电平衡.所以有如下的静电 平衡条件： (1)导体内部的场强处处为零(否则自由电子的定向运动不会停止)； (2)导体表面上的场强处处垂直于导体表面(否则自由电子将会在沿表面分量的电 场力的作用下作定向运动). 由导体的静电平衡条件容易推出处于静电平衡状态的金属导体必具有下列性质： (1) 整个导体是等势体,导体表面是等势面(这是由于导体上的任意两点 a 和 b 因导体内各处电场强度为零而使其电势差为零)； (2) 导体内部不存在净电荷,电荷都分布在导体的表面上(这是由于导体内各处电 场强度为零,使得在导体内任意一闭面的电通量为零). 二、导体表面的电荷和电场 处于静电平衡的金属导体,电荷只分布在导体的表面上,在导体表面上电荷的分布 与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关.对于孤立导体,实验表明,导 体曲率愈大处(例如尖端部分),表面电荷面密度也愈大；导体曲率较小处,表面电荷面密 度也较小；在表面凹进去的地方(曲率为负),电荷 密度更小.另外由高斯定理可以求出导体表面附近 的场强与该表面处电荷面密度的关系. 在导体表面紧邻处取一点 P,以 E 表示该处的 电场强度,如图 6.1 所示.过 P 点做一个平行于导体 表面的小面积元 S ,并以此为底,以过P点的导体
表面法线为轴作一个封闭的扁筒扁筒的另一底面△S"在导体的内部由于导体内部的 场强为零,而表面紧邻处的场强又与表面垂直所以通过此封闭扁筒的电通量就是通过 ΔS面的电通量以σ表示导体表面上P点附近的面电荷密度据高斯定理可得 EAS g4S 表面临近处的场强与表面垂直 →= 其中n是导体表面法线方向上式表明带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电 荷密度成正比 对于有尖端的导体由于尖端处电荷密度很大,尖端处的电场也很强,当这里的电场 强到一定值时,就可使空气中残留的离子在电场作用下发生激烈运动使得空气电离而 产生大量的带电粒子与尖端上电荷异号的带电粒子受尖端电荷的吸引,飞向尖端,使尖 端上的电荷中和掉;与尖端上电荷同号的带电粒子受到排斥而从尖端附近飞开从外表 上看,就好象尖端上的电荷被“喷射”出来放掉一样,这现象称为尖端放电在尖端放电 过程中还可使原子受激发光而出现电晕避雷针就是根据尖端放电的原理制成的在高 压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和电能的浪费,可采取表面光滑的较粗导 体 三、静电屏蔽 1导体空腔 对于腔内没有带电体的空腔导体如图62(a)所示在导体内部作一包围空腔的高 斯面S由于S面上的场强在导 体处于静电平衡状态时处处为 零,由高斯定理可知导体空腔内 表面上的电荷代数和为零,导体 (b) 空腔内表面没有电荷分布[如图 图62 62(a否则若在导体内表面分 布着等量异号电荷[如图6.2(b)这时电力线就从导体空腔内表面某正电荷处出发而终 止到导体空腔内表面负电荷处,这与静电平衡时导体为等势体相矛盾;内表面上电荷密 度为零,内表面附近也不会有电场否则,若腔内空间存在电场,那么这种电场的电力线 就只能在腔内空间闭合这也是与静电场的性质相矛盾的所以,腔内没有电荷的导体 空腔在静电平衡时,其内表面没有电荷分布;空腔内没有电场、电势处处相等并等于导 体的电势 对于腔内有带电体的空腔导体,用高斯定理也不难证明,空腔内表面必定带有与腔 内带电体等量异号的电荷 静电屏蔽
2 表面法线为轴作一个封闭的扁筒,扁筒的另一底面 S' 在导体的内部.由于导体内部的 场强为零,而表面紧邻处的场强又与表面垂直,所以通过此封闭扁筒的电通量就是通过 S 面的电通量,以σ表示导体表面上 P 点附近的面电荷密度,据高斯定理可得 E n S E S ˆ 0 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ = = 表面临近处的场强与表 面垂直 (6.1) 其中 n 是导体表面法线方向.上式表明带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电 荷密度成正比 . 对于有尖端的导体,由于尖端处电荷密度很大,尖端处的电场也很强,当这里的电场 强到一定值时,就可使空气中残留的离子在电场作用下发生激烈运动,使得空气电离而 产生大量的带电粒子.与尖端上电荷异号的带电粒子受尖端电荷的吸引,飞向尖端,使尖 端上的电荷中和掉；与尖端上电荷同号的带电粒子受到排斥而从尖端附近飞开.从外表 上看,就好象尖端上的电荷被“喷射”出来放掉一样,这现象称为尖端放电.在尖端放电 过程中,还可使原子受激发光而出现电晕.避雷针就是根据尖端放电的原理制成的.在高 压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和电能的浪费,可采取表面光滑的较粗导 体. 三、静电屏蔽 1 导体空腔 对于腔内没有带电体的空腔导体,如图 6.2(a)所示,在导体内部作一包围空腔的高 斯面 S,由于 S 面上的场强在导 体处于静电平衡状态时处处为 零,由高斯定理可知导体空腔内 表面上的电荷代数和为零,导体 空腔内表面没有电荷分布[如图 6.2 (a)],否则,若在导体内表面分 布着等量异号电荷[如图 6.2(b)],这时电力线就从导体空腔内表面某正电荷处出发,而终 止到导体空腔内表面负电荷处,这与静电平衡时导体为等势体相矛盾；内表面上电荷密 度为零,内表面附近也不会有电场.否则,若腔内空间存在电场,那么这种电场的电力线 就只能在腔内空间闭合,这也是与静电场的性质相矛盾的,所以, 腔内没有电荷的导体 空腔在静电平衡时,其内表面没有电荷分布；空腔内没有电场、电势处处相等并等于导 体的电势. 对于腔内有带电体的空腔导体,用高斯定理也不难证明,空腔内表面必定带有与腔 内带电体等量异号的电荷. 2 静电屏蔽
根据导体空腔的性质,在导体空腔内部若不存在其它带电体,则无论导体外部电场 如何分布也不管导体空腔自身带电情况如何,只要处于静电平衡,腔内必定不存在电场 另外,如果空腔内部存在电量为+q的带电体则在空腔内、外表面必将分别产生q和 q的电荷外表面的电荷+q将会在空腔外空间产生电场,如图6.3(a所示若将导体接 地,则由外表面电荷产生的电场随之消失,于是腔外空间将不再受腔内电荷的影响如图 63(b所示这种利用导体静电平衡性质使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影 响,或者将导体空腔接地使腔外空间免受腔内电荷和电场影响的现象,称为静电屏蔽. 分4 图63 静电屏蔽在电磁测量和无线电技术中有广泛的应用如常把测量仪器或整个实验 室用金属壳或金属网罩起来使测量免受外部的影响. 作业(P141)6.9
3 根据导体空腔的性质,在导体空腔内部若不存在其它带电体,则无论导体外部电场 如何分布,也不管导体空腔自身带电情况如何,只要处于静电平衡,腔内必定不存在电场. 另外,如果空腔内部存在电量为+q 的带电体,则在空腔内、外表面必将分别产生-q 和 +q 的电荷,外表面的电荷+q 将会在空腔外空间产生电场,如图 6.3(a)所示.若将导体接 地,则由外表面电荷产生的电场随之消失,于是腔外空间将不再受腔内电荷的影响,如图 6.3(b)所示.这种利用导体静电平衡性质使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影 响,或者将导体空腔接地,使腔外空间免受腔内电荷和电场影响的现象,称为静电屏蔽. 静电屏蔽在电磁测量和无线电技术中有广泛的应用.如常把测量仪器或整个实验 室用金属壳或金属网罩起来,使测量免受外部的影响. 作业(P141)：6.9
§62电容电容器 孤立导体的电容 理论和实践都证明任何一种孤立导体它所带的电量q与其电势V成正比,则孤立 导体所带的电量q与其电势Ⅴ的比值为一常数把这个比值称为孤立导体的电容用C 表示,即为 C=q∥ (6.2) 可见孤立导体的电容C只决定于导体自身的几何因素与导体所带的电量及电势无关 它反映了孤立导体储存电荷和电能的能力 例如,半径为R,带电为Q的孤立导体球,其电势,进而电容为 v=_0 BREx C C==4πER 在国际单位制中,电容的单位为法拉(F)常用的还有微法(μF)和皮法(PF 电容器及其电容 实际的导体往往不是孤立的在其周围还常存在着别的导体,且必然存在着静电感 应现象这时导体的电势V不仅与其所带的电量Q有关而且还与其它导体的位置、形 状以及所带电量有关也就是说,其它导体的存在将会影响导体的电容在实际中根据 静电屏蔽原理常常设计一导体组,使其电容不受外界的影响这种导体的组合就称为电 容器常用的电容器是由中间夹有电介质的两块金属板构成 设有两个导体A和B组成一电容器(常称导体A、B为电容器的两个极板)若A,B 分别带电+q和-q其电势分别为V和V2,电容器的电容定义为:一个极板的电量q与两 极板间的电势差之比,即 C=9=9 V1-V2 UAB (6.3) 孤立导体实际上也是一种电容器只不过另一导体在电势为零的无限远处 、几种常见的电容器及其电容 1平行板电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的平行金属板构成设金属板的面积为S,内侧 表面间的距离为d在极板间距d远小于板面线度的情况下,平板可看成无限大平面,因 而可忽略边缘效应若极板带等量异号电荷,电量大小为q面电荷密度为σ,则两极板间 的电势差为
4 §6.2 电容 电容器 一、孤立导体的电容 理论和实践都证明,任何一种孤立导体,它所带的电量 q 与其电势 V 成正比,则孤立 导体所带的电量 q 与其电势 V 的比值为一常数,把这个比值称为孤立导体的电容,用 C 表示,即为 C = q /V (6.2) 可见,孤立导体的电容 C 只决定于导体自身的几何因素,与导体所带的电量及电势无关, 它反映了孤立导体储存电荷和电能的能力. 例如,一半径为 R,带电为 Q 的孤立导体球 ,其电势，进而电容为 R V Q C R Q V 0 0 4 4 ⎯⎯⎯→ = = = 据定义 在国际单位制中,电容的单位为法拉(F).常用的还有微法(μF)和皮法(PF). 二、电容器及其电容 实际的导体往往不是孤立的,在其周围还常存在着别的导体,且必然存在着静电感 应现象,这时导体的电势 V 不仅与其所带的电量 Q 有关,而且还与其它导体的位置、形 状以及所带电量有关.也就是说,其它导体的存在将会影响导体的电容.在实际中,根据 静电屏蔽原理常常设计一导体组,使其电容不受外界的影响,这种导体的组合就称为电 容器.常用的电容器是由中间夹有电介质的两块金属板构成. 设有两个导体 A 和 B 组成一电容器(常称导体 A、B 为电容器的两个极板).若 A,B 分别带电+q 和- q,其电势分别为 V1和V2 ,电容器的电容定义为：一个极板的电量 q 与两 极板间的电势差之比,即 UAB q V V q C = − = 1 2 (6.3) 孤立导体实际上也是一种电容器,只不过另一导体在电势为零的无限远处. 三、几种常见的电容器及其电容 1 平行板电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的平行金属板构成.设金属板的面积为 S,内侧 表面间的距离为 d,在极板间距 d 远小于板面线度的情况下,平板可看成无限大平面,因 而可忽略边缘效应.若极板带等量异号电荷,电量大小为 q,面电荷密度为σ,则两极板间 的电势差为
C=JmE.d=Ed=°d= 据式63)得平行板电容器的电容为 q 80 S (64) 可见平行板电容器的电容与极板面积S成正比,与两极板间的距离d成反比 2同心球形电容器及其电容 这种电容器是由两个同心放置的导体球壳构成设内、外球壳的半径分别为RA和RB, 内球壳上带电量+Q,外球壳上带电量-Q据高斯定理可求得两球壳之间的电场强度大 小分布为 Q 方向沿径向向外两球壳间的电势差为 E·dl d 4 据式(63)得同心球形电容器的电容为 C Q_4π0RRB RB-R 当RB→∞时C=4x0RA此即为孤立导体球的电容 3同轴柱形电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的同轴导体圆柱面构成设内、外柱面的半径分 别为RA和RB圆柱的长为Z且内柱面上带电量+Q,外柱面上带电量Q当>RBRA 时,可忽略柱面两端的边缘效应,认为圆柱是无限长的据高斯定理可求得两柱面之间的 电场强度大小分布为 E 式中A是内柱面单位长度所带的电量两柱面间的电势差为 UR=Edi dr= R12 2 因为内柱面上的总电量为Q=1λ,所以同轴柱形电容器的电容为
5 d S q U E dl Ed d B B AB 0 0 = = = = 据式(6.3)得平行板电容器的电容为 d S U q C AB 0 = = (6.4) 可见平行板电容器的电容与极板面积 S 成正比,与两极板间的距离 d 成反比. 2 同心球形电容器及其电容 这种电容器是由两个同心放置的导体球壳构成.设内、外球壳的半径分别为 RA 和 RB , 内球壳上带电量+Q ,外球壳上带电量-Q .据高斯定理可求得两球壳之间的电场强度大 小分布为 2 0 4 r Q E = 方向沿径向向外.两球壳间的电势差为 ( ) A B R R B A AB r r Q dr r Q U E dl B A 1 1 4 4 0 2 0 − = = = 据式(6.3)得同心球形电容器的电容为 B A A B AB R R R R U Q C − = = 0 4 (6. 5) 当 RB→∞时,C=4πε0 RA ,此即为孤立导体球的电容. 3 同轴柱形电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的同轴导体圆柱面构成.设内、外柱面的半径分 别为 RA 和 RB ,圆柱的长为 l,且内柱面上带电量+Q ,外柱面上带电量-Q .当 l>>RB -RA 时,可忽略柱面两端的边缘效应,认为圆柱是无限长的.据高斯定理可求得两柱面之间的 电场强度大小分布为 r E 0 2 = 式中λ是内柱面单位长度所带的电量.两柱面间的电势差为 A B R R R R AB R R dr r U E dl B A B A ln 0 0 2 2 = = = 因为内柱面上的总电量为 Q=l ,所以同轴柱形电容器的电容为
(66) UR In(rB/R 归纳以上几例,计算电容的一般方法为:先假设两个极板分别带有+Q和-Q的电量, 计算两极板间的电场强度分布;再根据电场强度求出两极板的电势差;最后根据电容 的定义计算电容器的电容 四、电容器的联接 在实际应用中,既要考虑电容器的电容值,又要考虑电容器的耐压值,当单个电容器 不能同时满足这两个要求时,就需要把现有的电容器适当联接后使用当几只电容器互 相联接后,它们所容的电荷量与其两端的电势差之比称为它们的等值电容 若n个电容器串联(电极首尾相接),其等值电容C满足下式 一+…十 (6.7) 若n个电容器并联(各电容器的正、负极分别连在一起),其等值电容C满足 (68) 应当指出在电容器串联时,总电容降低但耐压能力增强:在电容器并联时,总电容 增加而耐压值等于耐压能力最低的电容器的耐压值在具体电路中,根据电路的要求使 用不同的连接方法有时还采取既有串联,又有并联的电容器组合,即电容器的混联 例题61C1、C2两个电容器分别标明了200PF500V和300F、900V把它们串联起 来后等效电容是多少?如果两端加1000V电压,是否会击穿? [解]:C1和C2串联等效电容为 C=c+c=210-0+310-=12x10F 若在它们两端加电压U=1000V,则每块极板带电 q=CU=1000×1.2×1010=12×107C 此时,两电容器的端电压分别为 U=x=1200=600V,U2=y=12x0 =400V C12×10-0 3×10-1 由于C1的耐压是500V则C1将被击穿,击穿后所有的电压都加在C2上,故C2 也将被击穿 作业(P141):611
6 ln( / ) AB RB RA l U Q C 0 2 = = ( 6.6 ) 归纳以上几例,计算电容的一般方法为：先假设两个极板分别带有+Q和- Q的电量, 计算两极板间的电场强度分布；再根据电场强度求出两极板的电势差；最后根据电容 的定义计算电容器的电容. 四、电容器的联接 在实际应用中,既要考虑电容器的电容值,又要考虑电容器的耐压值,当单个电容器 不能同时满足这两个要求时,就需要把现有的电容器适当联接后使用.当几只电容器互 相联接后,它们所容的电荷量与其两端的电势差之比,称为它们的等值电容. 若 n 个电容器串联(电极首尾相接),其等值电容 C 满足下式 C C C Cn 1 1 1 1 1 2 = + ++ (6.7) 若 n 个电容器并联(各电容器的正、负极分别连在一起),其等值电容 C 满足 C = C1 +C2 ++Cn (6.8) 应当指出,在电容器串联时,总电容降低,但耐压能力增强；在电容器并联时,总电容 增加,而耐压值等于耐压能力最低的电容器的耐压值.在具体电路中,根据电路的要求使 用不同的连接方法.有时还采取既有串联,又有并联的电容器组合,即电容器的混联. 例题 6.1 C1、C2 两个电容器,分别标明了 200PF、500V 和 300PF、900V,把它们串联起 来后,等效电容是多少？如果两端加 1000V 电压,是否会击穿？ [解]：C1 和 C2 串联等效电容为 F 10 10 10 10 10 1 2 1 2 1 2 10 2 10 3 10 2 10 3 10 − − − − − = + = + = . C C C C C 若在它们两端加电压 U=1000V,则每块极板带电 q = C·U = 1000 ×1.2 ×10 -10 = 1.2 ×10 -7 C 此时,两电容器的端电压分别为 V , 400V 3 10 1 2 10 600 2 10 1 2 10 10 7 2 10 2 7 1 1 = = = = = = − − − − . . C q U C q U 由于 C1 的耐压是 500 V.则 C1 将被击穿, 击穿后,所有的电压都加在 C2 上,故 C2 也将被击穿. 作业(P141)：6.11
§6.3稳恒电流 稳恒电流和稳恒电场 电荷的定向移动形成电流提供电流的带电粒子称为载流子,单位时间通过导体横 截面的电量称为电流强度,电流强度的方向规定为正电荷定向移动的方向.电流强度用 符号I表示如果在dt时间内通过导体某截面的电量为dQ,则通过该截面的电流强度为 r=2 (6.9 d t 在国际单位制中,电流强度是七个基本物理量之一,其单位为安培(A,是七个基本 单位之 l电流密度 电流强度反映了单位时间内载流子通过导体整个横截面的状况,它不涉及载流子 穿过横截面各处的细节如果导体的粗细不均匀,在大截面各处和小截面各处载流子的 分布状况显然不同为了描述电流的分布,引入另一个物理量,即电流密度.电流密度是 矢量,它在导体中任意一点的方向与正载流子在该点流动的方向相同,它的大小等于通 过该点并垂直于电流的单位横截面的电流强度如图64所示dS是在考察点附近与所 考察点电流方向垂直的面元d是流过面元dS的电流强度n是面元dS的法向单位矢 而dS'则是在考察点附近与dS对应的任一面元n是其法向单位矢,0是n与n的夹角 电流密度为 d d coS 在国际单位制中,电流密度的单位是安培/米2(A 由电流密度的定义可知通过导体中任一曲面S的电流强度I可以表示为 I= jdS cos 0=jds (6.11) 可见通过导体中任一曲面S的电流强度Ⅰ就等于该曲面的电流密度j的通量 电流场中的电流分布,可通过引入电流线来形象描述,电流线是电流场中的一系列 曲线其上每一点的切线方向都与该点的电流密度矢量方向相同由电流线围成的管状 区域称为电流管 2稳恒电流及其稳恒条件 在导体内任意取一个闭合曲面S,根据电荷守恒定律,流出闭合曲面S的电流强度 应等于曲面S内单位时间电荷的减少量,即
7 §6.3 稳恒电流 一、稳恒电流和稳恒电场 电荷的定向移动形成电流,提供电流的带电粒子称为载流子,单位时间通过导体横 截面的电量称为电流强度,电流强度的方向规定为正电荷定向移动的方向.电流强度用 符号 I 表示.如果在 dt 时间内通过导体某截面的电量为dQ,则通过该截面的电流强度为 dt dQ I = (6.9) 在国际单位制中,电流强度是七个基本物理量之一,其单位为安培(A),是七个基本 单位之一. 1 电流密度 电流强度反映了单位时间内载流子通过导体整个横截面的状况,它不涉及载流子 穿过横截面各处的细节.如果导体的粗细不均匀,在大截面各处和小截面各处载流子的 分布状况显然不同.为了描述电流的分布,引入另一个物理量,即电流密度.电流密度是 矢量,它在导体中任意一点的方向与正载流子在该点流动的方向相同,它的大小等于通 过该点并垂直于电流的单位横截面的电流强度.如图 6.4 所示,dS 是在考察点附近与所 考察点电流方向垂直的面元,dI 是流过面元 dS 的电流强度,n 是面元 dS 的法向单位矢. 而 dS ' 则是在考察点附近与 dS 对应的任一面元,n'是其法向单位矢,θ是 n'与 n 的夹角. 电流密度为 n dS dI n dS dI j ˆ 'cos ˆ = = (6.10) 在国际单位制中,电流密度的单位是安培/米 2 (A/m2 ) 由电流密度的定义可知,通过导体中任一曲面 S 的电流强度 I 可以表示为 = = S S I jdS j dS cos (6.11) 可见,通过导体中任一曲面 S 的电流强度 I 就等于该曲面的电流密度 j 的通量. 电流场中的电流分布,可通过引入电流线来形象描述,电流线是电流场中的一系列 曲线,其上每一点的切线方向都与该点的电流密度矢量方向相同.由电流线围成的管状 区域,称为电流管. 2 稳恒电流及其稳恒条件 在导体内,任意取一个闭合曲面 S ,根据电荷守恒定律,流出闭合曲面 S 的电流强度 应等于曲面 S 内单位时间电荷的减少量,即
乐,=- (6.12) 此即电荷守恒定律的数学表达式也称为电流的连续性方程 一般情况下,电流是随时间变化的把分布不随时间变化的电流称为稳恒电流电流 不随时间变化则形成电流的电荷的分布也就不随时间变化由分布不随时间变化的电 荷所激发的电场,称为稳恒电场由于稳恒电流的电荷分布不随时间变化,则有dQlt=0, 根据电流的连续性方程式(6,12)可得稳恒条件为 -dS=0 (6.13) 电流的稳恒条件表明,在稳恒电流场中通过任意闭合曲面的电流必等于零,也即无论闭 合曲面取在何处,凡是从闭合曲面一处穿入的电流线都必从闭合曲面另一处穿出所以 稳恒电流场的电流线必定是头尾相接的闭合曲线通过同一电流管的任一横截面的电 流是相等的 上述所说的稳恒电场,是由运动的、分布不随时间变化的电荷所激发的在遵从高 斯定理和环路定理方面稳恒电场与静电场具有相同的性质,所以两者通称为库仑场. 、欧姆定律及其微分形式 1欧姆定律 处于正常状态下的导体在稳恒电流情况下,一段导体两端的电势差(或电压)与通 过这段导体的电流之间服从欧姆定律,即 R (6.14) R是导体的电阻在国际单位制中电阻的单位为欧姆(9)电阻的倒数称为电导(G,单位 是西门子(S)导体的电阻与导体的长度l成正比,与导体的横截面积S成反比,即 (6.15) 其中p是导体的电阻率它由导体材料的性质来决定电阻率的倒数称为电导率(0),即 σ=1/p在国际单位制中电阻率的单位是欧姆·米(9·m),电导率的单位是西门子/ 米(S/m) 电阻率(或电导率)不但与材料的种类有关而且还与其温度有关一般的金属在温 度不太低时,p与温度t有线性关系即 p=p(1+a) (6.16) 其中p和po分别是tC和0°C时的电阻率,α叫电阻的温度系数其值随材料的不同而
8 dt dQ j dS S = − (6.12) 此即电荷守恒定律的数学表达式,也称为电流的连续性方程. 一般情况下,电流是随时间变化的,把分布不随时间变化的电流称为稳恒电流.电流 不随时间变化,则形成电流的电荷的分布也就不随时间变化,由分布不随时间变化的电 荷所激发的电场,称为稳恒电场.由于稳恒电流的电荷分布不随时间变化,则有 dQ/dt =0, 根据电流的连续性方程式(6.12)可得稳恒条件为 = 0 S j dS (6.13) 电流的稳恒条件表明,在稳恒电流场中通过任意闭合曲面的电流必等于零,也即,无论闭 合曲面取在何处,凡是从闭合曲面一处穿入的电流线都必从闭合曲面另一处穿出,所以, 稳恒电流场的电流线必定是头尾相接的闭合曲线,通过同一电流管的任一横截面的电 流是相等的. 上述所说的稳恒电场,是由运动的、分布不随时间变化的电荷所激发的.在遵从高 斯定理和环路定理方面,稳恒电场与静电场具有相同的性质,所以两者通称为库仑场. 二、欧姆定律及其微分形式 1 欧姆定律 处于正常状态下的导体,在稳恒电流情况下,一段导体两端的电势差(或电压)与通 过这段导体的电流 I 之间服从欧姆定律,即 R U I = (6.14) R是导体的电阻.在国际单位制中,电阻的单位为欧姆(Ω).电阻的倒数称为电导(G),单位 是西门子(S).导体的电阻与导体的长度 l 成正比,与导体的横截面积 S 成反比,即 S l R = (6.15) 其中ρ是导体的电阻率,它由导体材料的性质来决定.电阻率的倒数称为电导率(σ),即 = 1/ .在国际单位制中电阻率的单位是欧姆·米(Ω·m),电导率的单位是 西门子/ 米(S /m). 电阻率(或电导率)不但与材料的种类有关,而且还与其温度有关.一般的金属在温 度不太低时,ρ与温度 t 有线性关系,即 = (1+ t) 0 (6.16) 其中ρ和ρ0 分别是 C 0 C o 和 o t 时的电阻率, 叫电阻的温度系数,其值随材料的不同而
不同电阻温度系数小的材料其电阻随温度的变化不大可用作标准电阻 2欧姆定律的微分形式 在导体中,电场力使载流子定向移动而形成电流根据电流密度方向的定义可知电 流密度的方向与电场强度E的方向相同.下面利用欧姆定律推出欧姆定律的微分形 式在金属导体的电流场中,取一长为Δ,横截面积为ΔS的细电流管元段根据欧姆定律, 通过该电流管的电流M=△U/R,其中M=AS,△U=EM,R=M/G△S,于是可得 这个关系称为欧姆定律的微分形式它反映了在金属导体中任意一点上电流密度与该 点电场强度的关系 三、电动势及其非静电力 由微分形式的欧姆定律可知,导体中产生稳恒电流的条件是导体内需要有一个稳 恒电场,即在导体两端维持恒定的电势差试设想将一个已充了电的电容器两极板沿外 部用导线连接起来,构成闭合回路,电路上将有电流流过不过,随着两极板电荷的减少, 它们之间的电势差降低,电流很快就消失要使导体两端维持恒定的电势差以形成稳恒 电流就必须设法沿另一路径(例如电容器内部将流到负极板的正电荷再送回到正极 板显然这要靠电容器内的静电力是办不到的而只能通过其它类型的力来实现,这种 力称为非静电力提供非静电力的装置称为电源 单位正电荷所受到的非静电力,定义为非静电性电场的电场强度用K表示在电源 内部(即内电路)电荷同时受到稳恒电场和非静电性电场的作用,而在外电路却只有稳 恒电场的作用因此电荷+q沿电路运行一周,各种电场所作的总功为 A=qE.d+lq(E+K) d=gfE dI+ lk.dl=glk.di 由于稳恒电场遵从环路定理所以上式可化为 A=q「Kd 我们把单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功,定义为电源的电动 势,用以表征电源将其他形式的能量转变为电能的本领若用ε表示电动势可写为 (6.18) 非静电性电场K只存在于电源内部,并且其方向是沿电源内部从负极指向正极的 考虑到一般情形,非静电性电场可能存在于整个电路,于是有 于R 电动势是代数量,它在电路中可取正、负两个方向规定从负极经电源内部到正极
9 不同.电阻温度系数小的材料其电阻随温度的变化不大,可用作标准电阻. 2 欧姆定律的微分形式 在导体中,电场力使载流子定向移动而形成电流,根据电流密度方向的定义可知电 流密度 的方向与电场强度 E 的方向相同.下面利用欧姆定律推出欧姆定律的微分形 式.在金属导体的电流场中,取一长为 l ,横截面积为 S 的细电流管元段,根据欧姆定律, 通过该电流管的电流 I = U / R,其中 I = jS,U = El, R = l / S ,于是可得 j E = (6.17) 这个关系称为欧姆定律的微分形式,它反映了在金属导体中任意一点上电流密度与该 点电场强度的关系. 三、电动势及其非静电力 由微分形式的欧姆定律可知,导体中产生稳恒电流的条件是导体内需要有一个稳 恒电场,即在导体两端维持恒定的电势差.试设想,将一个已充了电的电容器两极板沿外 部用导线连接起来,构成闭合回路,电路上将有电流流过.不过,随着两极板电荷的减少, 它们之间的电势差降低,电流很快就消失.要使导体两端维持恒定的电势差以形成稳恒 电流,就必须设法沿另一路径(例如电容器内部)将流到负极板的正电荷再送回到正极 板.显然,这要靠电容器内的静电力是办不到的,而只能通过其它类型的力来实现,这种 力称为非静电力.提供非静电力的装置称为电源. 单位正电荷所受到的非静电力,定义为非静电性电场的电场强度,用 K 表示.在电源 内部(即内电路),电荷同时受到稳恒电场和非静电性电场的作用,而在外电路却只有稳 恒电场的作用.因此,电荷+q 沿电路运行一周,各种电场所作的总功为 + − + − + − − + A = qEdl + q E + K dl = q Edl + q K dl = q K dl ( ) 由于稳恒电场遵从环路定理,所以上式可化为 + − = q K dl A 我们把单位正电荷沿闭合电路运行一周非静电力所作的功 ,定义为电源的电动 势 ,用以表征电源将其他形式的能量转变为电能的本领.若用ε表示,电动势可写为 + − = = K dl q A (6.18) 非静电性电场 K 只存在于电源内部,并且其方向是沿电源内部从负极指向正极的. 考虑到一般情形,非静电性电场可能存在于整个电路,于是有 = K dl (6.19) 电动势是代数量,它在电路中可取正、负两个方向.规定从负极经电源内部到正极
的方向为电动势的正方向 *四、基尔霍夫定律 在稳恒电流电路中,把由几个元件串联而成的电流通道叫支路:把三条或三条以 上支路的交汇点叫节点;由若干条支路围成的电流闭合通道叫回路. 1基尔霍夫第一定律 把稳恒条件应用于只包围一个节点的闭合曲面可得流入一节点的电流强度就等 于流出该节点的电流强度,若规定流出节点的电流为正,流入节点的电流为负,上结论可 叙述为:流出任一节点的电流强度代数和为零,即 (6.20) 这一规律是19世纪40年代由基尔霍夫总结出来的称为基尔霍夫第一定律,也叫节点 定律相应的方程称为基尔霍夫第一方程(或节点方程) 2基尔霍夫第二定律 对于电路中的任一回路应用稳恒电场的环路定理Ed=0及Ed代表通过线 元dl发生的电势降落,由此可得如下结论:在稳恒电流电路中,沿任何闭合回路一周的 电势降落的代数和总等于零,即 ∑U1=0 (621) 其中U是回路上某一段(或某一元件)上的电势降落,求和是对整个回路求和这一规律 称为基尔霍夫第二定律,相应的方程称为基尔霍夫第二方程(或回路方程) 3应用基尔霍夫定律求解电路问题 应用基尔霍夫定律求解电路的步骤可归纳为如下几点: (1)标定电路中各条支路的电流强度/及其方向,这种标定是任意的(若解出某一支 路的电流为负,则表明该支路的实际电流与标定方向相反) (2)对于有n个节点的电路选其中n-1个节点作为独立节点(有n个节点的电路中, 对应n个节点的节点方程只有n-1个是独立的),列出n-1个独立节点方程 3)利用加新支法(或其他方法选取独立回路(对于电路中的每一回路都可列出 回路方程但这些回路方程并不独立加新支法是确定独立回路的一种典型方法,其基本 思想是后选的新回路应至少包含一条已选出的回路所不包含的新支路 (4)对各条独立回路规定绕行正向,列出独立回路方程 (对于电阻,若电流方向与绕行方向一致,则电势降落为正,反之为负,其值为IR;对于 电源若绕行方向由正极到负极,则电势降落为正,反之为负,其值为e) (5)对以上独立方程联立求解,并根据所解出的各个电流的正负判断出各支路电
10 的方向为电动势的正方向. *四、基尔霍夫定律 在稳恒电流电路中,把由几个元件串联而成的电流通道叫支路 ;把三条或三条以 上支路的交汇点叫节点;由若干条支路围成的电流闭合通道叫回路. 1 基尔霍夫第一定律 把稳恒条件应用于只包围一个节点的闭合曲面,可得流入一节点的电流强度就等 于流出该节点的电流强度,若规定流出节点的电流为正,流入节点的电流为负,上结论可 叙述为：流出任一节点的电流强度代数和为零,即 = 0 i i I (6.20) 这一规律是 19 世纪 40 年代由基尔霍夫总结出来的,称为基尔霍夫第一定律,也叫节点 定律.相应的方程称为基尔霍夫第一方程(或节点方程). 2 基尔霍夫第二定律 对于电路中的任一回路,应用稳恒电场的环路定理 E dl E dl L = 0及 代表通过线 元 d l 发生的电势降落,由此可得如下结论：在稳恒电流电路中,沿任何闭合回路一周的 电势降落的代数和总等于零,即 = 0 i Ui (6.21) 其中 Ui 是回路上某一段(或某一元件)上的电势降落,求和是对整个回路求和.这一规律 称为基尔霍夫第二定律,相应的方程称为基尔霍夫第二方程(或回路方程). 3 应用基尔霍夫定律求解电路问题 应用基尔霍夫定律求解电路的步骤可归纳为如下几点： (1) 标定电路中各条支路的电流强度I及其方向,这种标定是任意的(若解出某一支 路的电流为负,则表明该支路的实际电流与标定方向相反)； (2) 对于有n个节点的电路,选其中n -1个节点作为独立节点(有n个节点的电路中, 对应 n 个节点的节点方程只有 n -1 个是独立的),列出 n -1 个独立节点方程； (3) 利用加新支法(或其他方法)选取独立回路 (对于电路中的每一回路都可列出 回路方程,但这些回路方程并不独立.加新支法是确定独立回路的一种典型方法,其基本 思想是后选的新回路应至少包含一条已选出的回路所不包含的新支路)； (4) 对各条独立回路,规定绕行正向,列出独立回路方程； (对于电阻,若电流方向与绕行方向一致,则电势降落为正,反之为负,其值为 IR；对于 电源,若绕行方向由正极到负极,则电势降落为正,反之为负,其值为ε.) (5) 对以上独立方程联立求解,并根据所解出的各个电流的正负,判断出各支路电