第5章真空中的静电场 §5.1物质的电结构 实验证明,自然界中存在两种电荷分别称为正电荷和负电荷它们之间存在 相互作用力,同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引物体所带电荷的多少称为电 量用q或Q表示,电量的单位取库仑(C) 实验还表明,在自然界中存在着最小的电荷基本单元e,任何带电体所带的电 量只能是这个基本单元的整数倍,即 Q=ne(n=±1,±2,…) (5.1) 电荷的这一特性称为电荷的量子性实验测得这基本单元的电量为 e=1.6021773349)×10C(近似为.602×10-C)(52) 由于e的量值非常小,在宏观现象中不易观察到电荷的量子性常将电量Q看 成是可以连续变化的物理量它在带电体上的分布也看成是连续的 由物质的电结构可知原子中一个电子带一个单位负电荷,一个质子带一个单 位正电荷其量值就是e=1.602×10-C,原子失去电子带正电,原子得到电子带负 电 随着人们对物质结构的认识,1964年盖尔曼(M· Gell-Mann)等人提出了夸 克模型认为夸克粒子是物质结构的基本单元强子(质子、中子等)是由夸克组 成的而不同类型的夸克带有不同的电量,分别为±e或±e截止1995年,核子 的6个夸克已全部被实验发现可靠的依据也证明了分数电荷的存在但到目前为 止还没有发现自由状态存在的夸克 我们已经知道在正常情况下物体不带电呈电中性即物体上正、负电荷的代 数和为零当物体呈带电状态时,是由于电子转移或电子重新分配的结果,在电子 转移或重新分配的过程中,正、负电荷的代数和并不改变大量实验表明,把参与相 互作用的几个物体或粒子作为一个系统若整个系统与外界没有电荷交换则不管 在系统中发生什么变化过程整个系统电荷量的代数和将始终保持不变这一结论 称为电荷守恒定律,它是自然界中一条基本定律实验还发现,一切宏观的、微观的, 物理的、化学的、生物的等过程都遵守电荷守恒定律
1 第 5 章 真空中的静电场 §5.1 物质的电结构 实验证明,自然界中存在两种电荷,分别称为正电荷和负电荷.它们之间存在 相互作用力,同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.物体所带电荷的多少称为电 量,用 q 或 Q 表示,电量的单位取库仑（C）. 实验还表明,在自然界中,存在着最小的电荷基本单元 e,任何带电体所带的电 量只能是这个基本单元的整数倍,即 Q = ne (n = 1,2, ) (5.1) 电荷的这一特性称为电荷的量子性.实验测得这基本单元的电量为 e . ( ) C ( . C) 19 19 1 60217733 49 10 1 602 10 − − = 近似为 (5.2) 由于e 的量值非常小,在宏观现象中不易观察到电荷的量子性,常将电量Q看 成是可以连续变化的物理量,它在带电体上的分布也看成是连续的. 由物质的电结构可知,原子中一个电子带一个单位负电荷,一个质子带一个单 位正电荷,其量值就是 e C 19 1 602 10− = . ,原子失去电子带正电,原子得到电子带负 电. 随着人们对物质结构的认识,1964 年盖尔曼（M·Gell-Mann）等人提出了夸 克模型,认为夸克粒子是物质结构的基本单元,强子（质子、中子等）是由夸克组 成的,而不同类型的夸克带有不同的电量,分别为 e 3 1 或 e 3 2 .截止 1995 年,核子 的 6 个夸克已全部被实验发现,可靠的依据也证明了分数电荷的存在.但到目前为 止还没有发现自由状态存在的夸克 . 我们已经知道,在正常情况下物体不带电,呈电中性,即物体上正、负电荷的代 数和为零.当物体呈带电状态时,是由于电子转移或电子重新分配的结果,在电子 转移或重新分配的过程中,正、负电荷的代数和并不改变.大量实验表明,把参与相 互作用的几个物体或粒子作为一个系统,若整个系统与外界没有电荷交换,则不管 在系统中发生什么变化过程,整个系统电荷量的代数和将始终保持不变.这一结论 称为电荷守恒定律,它是自然界中一条基本定律.实验还发现,一切宏观的、微观的, 物理的、化学的、生物的等过程都遵守电荷守恒定律
§52库仑定律 实验表明带电体之间的相互作用与带电体之间的距离和所带电量有关也与 带电体的大小、形状、电荷在带电体上的分布情形以及周围介质的性质有关所 以在通常情况下,两个带电体之间的相互作用表现出与多种因素有关的复杂情形 当带电体的线度与带电体之间的距离相比小得多时,带电体的大小、形状对所研 究问题的影响可以忽略这样的带电体称为点电荷.显然,点电荷的概念与质点、刚 体等概念一样,是对实际情况的抽象,是一种理想化的物理模型.一个带电体能否 看成点电荷,必须根据具体情况来决定.一般的带电体不能看成点电荷,但总可以 把它看成是许多点电荷的集合体,从而能由点电荷所遵从的规律出发得出我们所 要寻找的结论本节我们讨论真空中点电荷间的相互作用 两点电荷之间的相互作用是库仑 C.A. Coulomb,1736-1806)通过扭称实验于 1785年总结出来的,其内容为:真空中两静止点电荷之间的相互作用力的大小与 它们所带电量的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比:作用力的方向沿着 两电荷的连线同号电荷相斥(为正异号电荷相吸(为负)这一结论称为库仑定律 其数学表达式为 q142 (53) k为比例系数在SI单位制中实验测得其数值为 k=89875518×10Nm2C2≈9×10N.m2.C-2 为使由库仑定律导出的其它公式具有较简单的形式通常将库仑定律中的比 例系数写为 T 其中εo为真空的电容率(或真空中的介电常数)于是库仑定律又可写为 F=-992F (55) 图51(a)表示两个同号电荷的作用力是排斥力;图5.(b)表示两个异号电荷 的作用力是吸引力 Fi g Fl 2 (a) 图5.1 (b) 值得指出的是,库仑定律只适用于描述两个相对于观察者为静止的点电荷之
2 §5.2 库仑定律 实验表明,带电体之间的相互作用与带电体之间的距离和所带电量有关,也与 带电体的大小、形状、电荷在带电体上的分布情形以及周围介质的性质有关.所 以在通常情况下,两个带电体之间的相互作用表现出与多种因素有关的复杂情形. 当带电体的线度与带电体之间的距离相比小得多时,带电体的大小、形状对所研 究问题的影响可以忽略,这样的带电体称为点电荷.显然,点电荷的概念与质点、刚 体等概念一样,是对实际情况的抽象,是一种理想化的物理模型.一个带电体能否 看成点电荷,必须根据具体情况来决定.一般的带电体不能看成点电荷,但总可以 把它看成是许多点电荷的集合体,从而能由点电荷所遵从的规律出发,得出我们所 要寻找的结论.本节我们讨论真空中点电荷间的相互作用. 两点电荷之间的相互作用是库仑(C.A.Coulomb,1736—1806)通过扭称实验于 1785 年总结出来的,其内容为：真空中两静止点电荷之间的相互作用力的大小与 它们所带电量的乘积成正比 ,与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着 两电荷的连线,同号电荷相斥(为正),异号电荷相吸(为负),这一结论称为库仑定律. 其数学表达式为 r r q q F k ˆ 2 1 2 = ( 5.3 ) k 为比例系数,在 SI 单位制中,实验测得其数值为 2 2 2 2 N m C N m C − − = 9 9 k 8.9875518 10 9 10 为使由库仑定律导出的其它公式具有较简单的形式,通常将库仑定律中的比 例系数写为 0 4 1 k = ( 5.4 ) 其中ε0 为真空的电容率(或真空中的介电常数),于是库仑定律又可写为 r r q q F ˆ 2 0 1 2 4 = (5.5) 图 5.1(a)表示两个同号电荷的作用力是排斥力；图 5.1(b)表示两个异号电荷 的作用力是吸引力. 值得指出的是,库仑定律只适用于描述两个相对于观察者为静止的点电荷之
的相互作用,这种静止电荷的作用力称为静电力(或库仑力)空气对电荷之间的 作用影响较小可看成是真空 例题5.1三个点电荷q、q2和Q所处的位置如图52所示,它们所带的电 量分别为q1=q2=2.0×10°C,Q=40×10C求q和q2对Q的作用力 解:本问题一般是先利用库仑定律 求出qq2分别对Q的作用力F和 F'然后求出它们的合力 41 由本问题的对称性可知F和F 0.3m F 的y分量大小相等,方向相反,因而互 0.3m 相抵消Q所受q、q2之合力方向沿x F F 轴正向由库仑定律得q对Q的作用 图52例题51示图 力大小为 F45899×10° 2.0×10-6×4.0×10-6 =0.29N 0.32+0.4 0.4 F=Fcos6=0.29X~=0.23N 0.5 所以Q所受q、q2之合力大小为 ∫=F+F'=2F= Fcos e=2×0.23=0.46N 作业(P120):5.6
3 的相互作用,这种静止电荷的作用力称为静电力（或库仑力）.空气对电荷之间的 作用影响较小,可看成是真空. 例题 5.1 三个点电荷 q1、q2 和 Q 所处的位置如图 5.2 所示,它们所带的电 量分别为 q q C 6 1 2 2 0 10− = = . ，Q C 6 4 0 10− = . .求 q1和q2 对 Q 的作用力. 解：本问题一般是先利用库仑定律 求出 q1、q2 分别对 Q 的作用力 F 和 F ',然后求出它们的合力. 由本问题的对称性可知 F 和 F ' 的 y 分量大小相等,方向相反,因而互 相抵消.Q 所受 q1、q2 之合力方向沿 x 轴正向.由库仑定律得 1 q 对 Q 的作用 力大小为 0 29N 0 3 0 4 2 0 10 4 0 10 8 99 10 4 2 2 6 6 9 2 0 1 1 . . . . . . = + = = − − r q Q F 0 23N 0 5 0 4 0 29 . . . Fx = F cos = . = 所以 Q 所受 q1、q2 之合力大小为 f = Fx + Fx '= 2Fx = F cos = 20.23 = 0.46N 作业(P120)：5.6
§53电场和电场强度 静电场 关于电荷之间如何进行相互作用历史上曾经有过两种不同的观点一种观点 认为这种相互作用不需要媒质,也不需要时间,而是直接从一个带电体作用到另 个带电体上的即电荷之间的的相互作用是一种“超距作用”这种作用方式可表 示为 电荷◇电荷 另一种观点认为,任一电荷都在自己的周围空间产生电场,并通过电场对其它电荷 施加作用力,这种作用方式可表示为 电荷◇→电场◇电荷 大量事实证明,电场的观点是正确的电场是一种客观存在的特殊物质与由 分子、原子组成的物质一样,它也具有能量、质量和动量. 、电场强度 不同的带电体系具有不同的电场同一电荷体系的电场在空间具有一定的分 布为了定量的描述电场中各点电场的性质引入一新的物理量一一电场强度 电场的一个重要性质,就是对置于其中的电荷施加作用力为此,在电场中引 入电量为φ的试探电荷来研究电场的性质所谓试探电荷是这样一种电荷,首先 它所带的电量要非常小,一致由于它的引入使原电场发生的改变可以忽略;其次 它的几何尺寸亦必须非常小,一致可以看作点电荷实验证明在给定的场点处试 探电荷q所受的电场力F与q之比为一常矢量,与q0的大小无关;不同的场点, 比值不同可见比值F/q0揭示了电场的性质所以我们可将这一比值定义为电场 强度简称电场,用E表示,即 F E= 上式说明,静电场中任意一点的电场强度其大小等于单位试探电荷在该点所受到 的电场力其方向与正电荷在该点的受力方向相同 通常E是空间坐标的函数若E的大小和方向均与空间坐标无关这种电场 称为匀强电场 在SI单位制中电场强度的单位为牛顿库仑(N“C1),或伏特/米(V·m1)
4 §5.3 电场和电场强度 一、静电场 关于电荷之间如何进行相互作用,历史上曾经有过两种不同的观点.一种观点 认为这种相互作用不需要媒质,也不需要时间,而是直接从一个带电体作用到另一 个带电体上的.即电荷之间的的相互作用是一种“超距作用”.这种作用方式可表 示为 电荷 电荷 另一种观点认为,任一电荷都在自己的周围空间产生电场,并通过电场对其它电荷 施加作用力,这种作用方式可表示为 电荷电场电荷 大量事实证明,电场的观点是正确的.电场是一种客观存在的特殊物质,与由 分子、原子组成的物质一样,它也具有能量、质量和动量. 二、电场强度 不同的带电体系具有不同的电场,同一电荷体系的电场在空间具有一定的分 布.为了定量的描述电场中各点电场的性质,引入一新的物理量——电场强度. 电场的一个重要性质,就是对置于其中的电荷施加作用力.为此,在电场中引 入电量为 0 q 的试探电荷来研究电场的性质.所谓试探电荷是这样一种电荷,首先 它所带的电量要非常小,一致由于它的引入使原电场发生的改变可以忽略；其次 它的几何尺寸亦必须非常小,一致可以看作点电荷.实验证明,在给定的场点处,试 探电荷 0 q 所受的电场力 F 与 0 q 之比为一常矢量,与 0 q 的大小无关；不同的场点, 比值不同.可见比值 F/ 0 q 揭示了电场的性质,所以我们可将这一比值定义为电场 强度,简称电场,用 E 表示,即 q0 F E = (5.6) 上式说明,静电场中任意一点的电场强度其大小等于单位试探电荷在该点所受到 的电场力,其方向与正电荷在该点的受力方向相同. 通常 E 是空间坐标的函数.若 E 的大小和方向均与空间坐标无关,这种电场 称为匀强电场. 在 SI 单位制中.电场强度的单位为牛顿/库仑（N·C -1）,或伏特/米（V·m -1）
三、叠加原理和电场强度的计算 1.单个点电荷产生的电场 考虑真空中的静电场是由电量为q的点电荷产生的试探电荷q在其中的P 点所受的电场力可由库仑定律式(55)得 F=99F 4 式中r是点P相对于点电荷的位置矢量是这位置矢量的大小,由电场强度的定 义式(56)则得P点处的电场强度为 E=F=9=-9F (57) qo4πs0r24 上式表示,点电荷在空间任一点P所产生的电场强度E的大小决定于这个点电荷 的电量和点P到该点电荷的距离电场强度E的方向与这个点电荷的符号有关,q 为正,电场强度E的方向与位置矢量r的方向相同;q为负,电场强度E的方向与 位置矢量r的方向相反电场强度在空间呈球对称分布 2.场强的叠加原理多个点电荷的电场强度 考虑空间存在n个点电荷实验证明在它们的电场中任一点P处试探电荷q 所受的电场力F等于各点电荷分别单独存在时q0所受电场力的矢量和并利用电 场强度的定义得: F=∑F 定义E=F E=∑ (58) 上式表明,在点电荷系的电场中,任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时 在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结论称为场强的叠加原理 进一步可表示为E=∑ 3.任意带电体产生的电场 任意带电体的电荷可以看成是很多极小的电荷元c的集合,每一个电荷元 dq在空间任意一点P所产生的电场强度,与点电荷在同一点产生的电场强度相同 整个带电体在P点产生的电场强度就等于带电体上所有电荷元在P点场强的矢 量和如果点P相对于电荷元的位置矢量为r,则电荷元cq在P点产生的电场 强度,进而整个带电体在P点产生的电场强度为:
5 三、叠加原理和电场强度的计算 1. 单个点电荷产生的电场 考虑真空中的静电场是由电量为 q 的点电荷产生的,试探电荷 0 q 在其中的P 点所受的电场力可由库仑定律式（5.5）得 r r q q F ˆ 2 0 0 4 = 式中 r 是点 P 相对于点电荷的位置矢量,r 是这位置矢量的大小,由电场强度的定 义式（5.6）则得 P 点处的电场强度为 r r q r r q q F E 3 0 2 0 4 0 4 = = = ˆ (5.7) 上式表示,点电荷在空间任一点 P 所产生的电场强度 E 的大小,决定于这个点电荷 的电量和点 P 到该点电荷的距离.电场强度 E 的方向与这个点电荷的符号有关,q 为正,电场强度 E 的方向与位置矢量 r 的方向相同；q 为负,电场强度 E 的方向与 位置矢量 r 的方向相反.电场强度在空间呈球对称分布. 2. 场强的叠加原理 多个点电荷的电场强度 考虑空间存在 n 个点电荷.实验证明,在它们的电场中任一点P 处,试探电荷 0 q 所受的电场力 F 等于各点电荷分别单独存在时 0 q 所受电场力的矢量和,并利用电 场强度的定义得： = ⎯⎯⎯ ⎯→ = = i E F q F Fi E E 0 定义 / (5.8) 上式表明,在点电荷系的电场中,任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时 在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结论称为场强的叠加原理. = i i i i r r q E 3 0 4 1 进一步可表示为 (5.9) 3. 任意带电体产生的电场 任意带电体的电荷可以看成是很多极小的电荷元 dq 的集合,每一个电荷元 dq 在空间任意一点 P 所产生的电场强度,与点电荷在同一点产生的电场强度相同. 整个带电体在 P 点产生的电场强度就等于带电体上所有电荷元在 P 点场强的矢 量和.如果点 P 相对于电荷元 dq 的位置矢量为 r,则电荷元 dq 在 P 点产生的电场 强度,进而整个带电体在 P 点产生的电场强度为：
41 4πE。r F体分布(5.1 4π0 E={」F面分布(512) dl 线分布(5.13) 应该注意式(.10)(513)都为矢量式实际应用中多用标量式(投影式),如 E沿Ⅹ轴的投影式为 E 式中a表示r与X轴的夹角 例题52如图53所示有两个电量相等而符号相反的点电荷+q和-q相 距l.求在两点电荷的中垂面上任一点P的 电场强度 E 解:以l的中点为原点建立坐标系如图 设点P到点O的距离为r电荷+q和-q 在点P产生的电场强度分别用E和E表 示,它们的大小相等为 +g x E=E 4πsnr2+2/4 图53例题52示图 它们的方向如图所示 点P的电场强度E为E和E的矢量和即E=E+E E的x分量为 E=E+E e cose -e. cose 4πn(r2+P2/4)32 E的y分量为 E +E=Es 所以点P的电场强度大小为 6
6 ⎯⎯⎯→ = = r r dq r E r dq dE 3 0 3 0 4 1 4 1 求积分 (5.10) = ( . ) ( . ) ( . ) 5 13 4 1 5 12 4 1 5 11 4 1 3 0 3 0 3 0 线分布 面分布 体分布 r r dl r r dS r r dV E 应该注意,式(5.10)— (5.13)都为矢量式.实际应用中多用标量式(投影式) ,如 E 沿 X 轴的投影式为 = = cos 2 4 0 r dq Ex dEx 式中 表示 r 与 X 轴的夹角. 例题 5.2 如图 5.3 所示,有两个电量相等而符号相反的点电荷 + q 和 - q,相 距 l . 求在两点电荷的中垂面上任一点 P 的 电场强度. 解：以 l 的中点为原点建立坐标系,如图 设点 P 到点 O 的距离为 r.电荷 + q 和- q 在点 P 产生的电场强度分别用 E+ E− 和 表 示 ,它们的大小相等为 4 4 1 2 2 0 r l / q E E + + = − = 它们的方向如图所示. 点 P 的电场强度 E 为 E+ E− 和 的矢量和,即 E = E+ + E− E 的 x 分量为 2 2 3 2 0 x x x x 4 4 1 cos cos / (r l / ) ql E E E E E + = + + − = − + − − = − E 的 y 分量为 Ey = E+y + E−y = E+ sin − E− sin = 0 所以,点 P 的电场强度大小为
1q1方向沿x负方向 π(r2+P2/4)2 当r>>l时,这样一对电量相等、符号相反的点电荷所组成的系统称为电偶极子 从负电荷到正电荷所引的有向线段l称为电偶极子的轴电量q与电偶极子的 轴l的乘积定义为电偶极子的电矩用表示,即 P (5.14) 由于r>l故有(r2+P2/4)2≈r3,所以在电偶极子轴的中垂面上任意一点的电 场强度可表示为 (515) 电偶极子是一个很重要的物理模型,在研究电介质极化,电磁波的发射和吸收 等问题中都要用到该模型 例题53有一均匀带电细直棒长为L所带总电量为q直棒外一点P到直棒 的距离为a,求点P的电场强度 解:如图54所示设直棒两端至点P de 的连线与ⅹ轴正向间的夹角分别为 E e1和O2,考虑棒上x处的元段d,其带电量 d=hx=,它在P点产生的电场强 度大小为 d 图54例题53示图 dE 其中l是微元ax到P点的距离,dE的方向如图所示计算其沿x轴和y轴的分量 分别积分得: e= dE 4TE/ cos0=,-sin 0,-sin 0, 4πE.aL cos ede E, sin ede (cos 0, -cos 0,) 4πEa 讨论1)对于半无限长均匀带电细棒(01=0,02=π/2或O1=/2,02=丌)则
7 方向沿X负方向 r l ql E Ex 2 2 3 2 4 0 4 1 / ( + / ) = = 当 r l 时,这样一对电量相等、符号相反的点电荷所组成的系统,称为电偶极子. 从负电荷到正电荷所引的有向线段 l 称为电偶极子的轴 .电量 q 与电偶极子的 轴 l 的乘积,定义为电偶极子的电矩,用表示,即 p ql = (5.14) 由于 r l ,故有 2 2 3 2 3 r + l 4 r / ( / ) ,所以在电偶极子轴的中垂面上任意一点的电 场强度可表示为 3 0 4 r p E − (5.15) 电偶极子是一个很重要的物理模型,在研究电介质极化,电磁波的发射和吸收 等问题中都要用到该模型. 例题 5.3 有一均匀带电细直棒,长为 L,所带总电量为 q .直棒外一点 P 到直棒 的距离为 a,求点 P 的电场强度. 解：如图 5.4 所示,设直棒两端至点 P 的连线与 x 轴正向间的夹角分别为 1和2 ,考虑棒上x处的元段dx,其带电量 dx L q dq = dx = ,它在 P 点产生的电场强 度大小为 2 0 4 d l dx E = 其中 l 是微元 dx 到 P 点的距离, dE 的方向如图所示.计算其沿 x 轴和 y 轴的分量 分别积分得： = = cos 2 0 4 l dx Ex dEx (sin sin ) 2 1 0 4 − = aL q = 2 1 0 4 d a cos sin (cos cos ) 1 2 0 0 4 4 2 1 − = = aL q d a Ey 讨论 1) 对于半无限长均匀带电细棒（ 1 = 0,2 = / 2或1 = / 2,2 = ）则
有 E 2)对于无限长均匀带电细棒(0=0,0,=π)则有 E,=0,E,= (5.16) 2 作业(P120):5.9,5.10
8 有 a Ex 0 4 = ； a Ey 0 4 = 2) 对于无限长均匀带电细棒（ 1 = 0,2 = ）则有 a Ex Ey 0 2 0 = , = (5.16) 作业(P120)：5.9，5.10
§54高斯定理 电力线(电场线) 为了对电场有一个比较直观的了解可用图示的方法形象地描绘电场中的电 场强度分布状况为此在电场中作一系列有向曲线使曲线上每一点的切线方向与 该点的场强方向一致这些有向曲线称为电力线(又称电场线),简称E线 为了使电力线不仅能表示出电场中各点场强的方向而且还能表示出场强的 大小我们规定:电场中任一点场强的大小等于在该点附近垂直通过单位面积的 电力线数,即 =E(电场线密度) 按此规定,电场强度的大小E就等于电力线密度,电力线的疏密描述了电场强 度的大小分布,电力线稠密处电场强电力线稀疏处电场弱匀强电场的电力线是 一些方向一致,距离相等的平行线 静电场的电力线具有以下特点: 1)电力线起自正电荷(或来自无穷远),终止负电荷(或伸向无穷远), 但不会在无电荷的地方中断,也不会形成闭合线 (2)因为静电场中的任一点只有一个确定的场强方向,所以任何两条电力线 都不可能相交 二、电通量 通过电场中某一个曲面的电力线数称为通过该曲面的电通量 ④= ES cos e=E图(b) (5.18) E·dS (c) b 图55电诵量 若对封闭曲面并规定面元法向n的正向为从面内指向面外,则上式可表示
9 §5.4 高斯定理 一、电力线（电场线） 为了对电场有一个比较直观的了解,可用图示的方法形象地描绘电场中的电 场强度分布状况.为此在电场中作一系列有向曲线,使曲线上每一点的切线方向与 该点的场强方向一致,这些有向曲线称为电力线（又称电场线）,简称 E 线. 为了使电力线不仅能表示出电场中各点场强的方向,而且还能表示出场强的 大小,我们规定：电场中任一点场强的大小等于在该点附近垂直通过单位面积的 电力线数,即 E(电场线密度) dS dN = (5.17) 按此规定,电场强度的大小 E 就等于电力线密度,电力线的疏密描述了电场强 度的大小分布,电力线稠密处电场强,电力线稀疏处电场弱.匀强电场的电力线是 一些方向一致,距离相等的平行线. 静电场的电力线具有以下特点： （1）电力线起自正电荷（或来自无穷远）,终止负电荷（或伸向无穷远）, 但不会在无电荷的地方中断,也不会形成闭合线. （2）因为静电场中的任一点,只有一个确定的场强方向,所以任何两条电力线 都不可能相交. 二、电通量 通过电场中某一个曲面的电力线数称为通过该曲面的电通量。 = = ( ) ( ) ( ) cos c b a E dS ES E S ES e 图 (5.18) 若对封闭曲面,并规定面元法向 n 的正向为从面内指向面外,则上式可表示
为 Φ=4.>0从闭面穿出的电场线数大于穿入闭面的电场线 (5.19) 0时,Φ。>0,点电 荷的电力线从点电荷发出不间断的延伸到无限远处;q0时,Φ。<0,电力线从无 限远不间断地终止到点电荷 b 图5.6说明高斯定理示图 2、包围点电荷的任意封闭曲面S的电通量 S"和球面S包围同一个点电荷q,如图56(a)所示,由于电力线的连续性,可 以得出通过任意封闭曲面S'的电力线条数就等于通过球面S的电力线条数所以
10 为： = 从闭面穿出的电场线数小于穿入闭面的电场线 从闭面穿出的电场线数大于穿入闭面的电场线 0 0 S e E dS (5.19) 三、高斯定理 高斯（K.F.Gauss ,1777-1855 年）是德国物理学家和数学家,他在实验物理和 理论物理以及数学方面都做出了很多贡献,他导出的高斯定理是电磁学的一条重 要规律.定理反映了静电场中任一闭面电通量和这闭面所包围的电荷之间的确定 数量关系.下面在电通量概念的基础上,利用场的叠加原理推导高斯定理. 1、包围点电荷 q 的球面的电通量 以点电荷 q 所在点为中心,取任意长度 r 为半径,作一球面 S 包围这个点电荷 q ,如图 5.6（a）所示,据点电荷电场的球对称性知,球面上任一点的电场强度 E 的 大小为 2 0 4 r q ,方向都是以 q 为原点的径向,则电场通过这球面的电通量为： = = = = 0 0 4 4 0 2 0 2 0 q dS r q dS r q E dS S S S e 此结果与球面的半径 r 无关,只与它包围的电荷有关.即通过以 q 为中心的任意球 面的电通量都一样,均为 q/ 0 ,用电力线的图象来说,即当 q >0 时, e > 0 ,点电 荷的电力线从点电荷发出不间断的延伸到无限远处；q<0 时, e < 0 ,电力线从无 限远不间断地终止到点电荷. 2、包围点电荷的任意封闭曲面 S'的电通量 S'和球面 S 包围同一个点电荷 q ,如图 5.6（a）所示,由于电力线的连续性,可 以得出通过任意封闭曲面 S' 的电力线条数就等于通过球面 S 的电力线条数.所以