第一章多项式 §1数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质代数所研究 的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全 体所共有的 定义1设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1如果P中任意两个 数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是中的数,那么P就称为一个数域 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域这三个数域分别用字母Q、R、C来代表全体整数组成的集合就不是数 域 如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中,就说数集P 对这个运算是封闭的因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数 集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P就称为一个 数域 例1所有具有形式 b2 的数(其中a,b是任何有理数),构成一个数域通常用Q(√2)来表示这个数域 例2所有可以表成形式 +a bo+b, 的数组成一数域,其中n,m为任意非负整数,a1,b,(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)是 整数 例3所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭 的 性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分第一章 多项式 §1 数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究 的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全 体所共有的. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1.如果 P 中任意两个 数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么 P 就称为一个数域. 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域.这三个数域分别用字母 Q、R、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数 域. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说数集 P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0，1 在内的数 集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么 P 就称为一个 数域. 例 1 所有具有形式 a + b 2 的数（其中 a,b 是任何有理数），构成一个数域.通常用 Q( 2) 来表示这个数域. 例 2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a     + + + + + +   0 1 0 1 的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j =  =  是 整数. 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭 的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分