卢延荣等：离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 ·247· 那么在任意的初始条件x(0)=x。下，使协调预见 0 0 0007 00007 跟踪问题可解的全局最优预见控制器为 0 0 00 0 01000 MR L= u(k)=F.∑e(i)+Fx(k)+ -1 0 100 M= 00000 Fg(j)R(k+j) :=0 =1 0 -101 0 00000 (23) 0 -100 1 L00000」 证明：由条件(a)和(b)可得定理2的结果，根 假设领导者的输出信号为 据对闭环系统(22)的分析知，在控制器(20)的作 0, k<40 用下，多智能体系统(1)可实现对参考信号r(k)的 r(k)= 40≤k≤80 协调最优预见跟踪.根据差分格式将控制器(20)表 k-40). 述为如下形式： 0 k>80 u(k)-u(k-1)= 跟随者的动力学方程(1)由如下的离散时间双积分 器系统描述 含Fa0 F.e()+F,[x)-rk-1)]+ (a(k+1)=x(k)+hx(k) GRk+)-三F.G)R(k MR x2(k+1)=xa(k)+hu:(k),i=1,2,…,5 y:(k)=x1(k) 并令u(0)=0,R(0)=0,比较等式两端可得(23) (24) 的结果. 其中，h为采样间隔，xa(k)∈R和x2(k)∈R分别 4数值仿真 表示第i个跟随者在4=h时刻的位置与速度，在 本例中取采样间隔为h=0.1s.另外，假设此处所 根据文献[35]，移动车辆的位置状态和速度状 取的输出信号满足A1,即在当前时刻t4,领导者的 态可建模为一个离散时间双积分器系统.因此本文 输出信息r(k),r(k+1),r(k+2),…,r(k+Mg)是 提出的控制器设计方法可应用于多车辆系统中. 可被跟随者直接利用的. 例.设一个多智能体系统由6辆汽车组成，讨 相应于系统(1)，矩阵A,B和C分别为 论5辆跟随者车辆跟踪领导者车辆目标轨迹的问 10.17m 题.其中智能体间的信息交换拓扑罗由图1表示， A= 0.1c=1o 该拓扑满足有向图包含一棵生成树的假设，即满足 利用PBH秩判据判断得，(A,B)是可镇定的， 假设A4. (C,A)是可检测的，此外容易验证矩阵 I-A B 行满秩.即定理2和定理3的条件均成 立，相应于系统(8)和性能指标函数(12)，增益矩 阵Q和R取为 「Q。01 0= 00 Q。=diag(0.11,0.1,0.04,0.06,0.27),R=2-L 图1车辆间的有向通信拓扑 于是代数Riccati方程(14)存在对称半正定解阵. Fig.1 Directed communication topology among vehicles 从而根据定理2可得系统(8)的闭环系统渐近稳 从图1看出与有向图写相应的Laplacian矩阵 定，即lim[y:(k)-r(k)]=0,i=1,2,…,N.应用 L和牵引矩阵M分别为 MATLAB,计算得到最优预见控制器(23)中的增益 矩阵F.和F分别为 「0.191930.00000 -0.04209 0.00000 0.00000 0.000000.15567 0.00000 -0.04909 -0.15066 F.=0.076170.00000 0.11827 0.00000 0.00000 0.000000.07385 0.00000 0.14301 -0.02007 0.000000.09987 0.00000 -0.020070.27059卢延荣等: 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 那么在任意的初始条件 x(0) = x0 下, 使协调预见 跟踪问题可解的全局最优预见控制器为 u(k) = Fe 移 k i = 0 e(i) + Fxx(k) + 移 MR j = 1 FR(j)R(k + j) (23) 证明: 由条件(a)和(b)可得定理 2 的结果, 根 据对闭环系统(22)的分析知, 在控制器(20) 的作 用下, 多智能体系统(1)可实现对参考信号 r(k)的 协调最优预见跟踪. 根据差分格式将控制器(20)表 述为如下形式: u(k) - u(k - 1) = 移 k i = 0 Fe e(i) - 移 k-1 i = 0 Fe e(i) + Fx[x(k) - x(k - 1)] + 移 MR j = 1 FR(j)R(k + j) - 移 MR j = 1 FR(j)R(k + j - 1) 并令 u(0) = 0, R(0) = 0, 比较等式两端可得(23) 的结果. 4 数值仿真 根据文献[35], 移动车辆的位置状态和速度状 态可建模为一个离散时间双积分器系统. 因此本文 提出的控制器设计方法可应用于多车辆系统中. 例. 设一个多智能体系统由 6 辆汽车组成,讨 论 5 辆跟随者车辆跟踪领导者车辆目标轨迹的问 题. 其中智能体间的信息交换拓扑 G 由图 1 表示, 该拓扑满足有向图包含一棵生成树的假设, 即满足 假设 A4. 图 1 车辆间的有向通信拓扑 Fig. 1 Directed communication topology among vehicles 从图 1 看出与有向图 G 相应的 Laplacian 矩阵 L 和牵引矩阵 M 分别为 L = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 1 0 0 0 - 1 0 1 0 é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 0 - 1 0 0 1 , M = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 0 0 0 0 0 假设领导者的输出信号为 r(k) = 0, k < 40 1 20 (k - 40), 40臆k臆80 2, k ì î í ï ï ï ï > 80 跟随者的动力学方程(1)由如下的离散时间双积分 器系统描述 xi1 (k + 1) = xi1 (k) + hxi2 (k) xi2 (k + 1) = xi2 (k) + hui(k) yi(k) = xi1 (k ì î í ïï ïï ) , i = 1,2,…,5 (24) 其中,h 为采样间隔, xi1 (k)沂迬 和 xi2 (k)沂迬 分别 表示第 i 个跟随者在 t k = kh 时刻的位置与速度, 在 本例中取采样间隔为 h = 0郾 1 s. 另外, 假设此处所 取的输出信号满足 A1, 即在当前时刻 t k, 领导者的 输出信息 r(k), r(k + 1), r(k + 2),…,r(k + MR)是 可被跟随者直接利用的. 相应于系统(1), 矩阵 A, B 和 C 分别为 A = é1 0郾 1 ë ê ê ù û ú ú 0 1 , B = é 0 ë ê ê ù û ú ú 0郾 1 , C = [1 0] 利用 PBH 秩判据判断得, (A,B)是可镇定的, (C, A ) 是 可 检 测 的, 此 外 容 易 验 证 矩 阵 I - A B C é ë ê ê ù û ú ú 0 行满秩. 即定理 2 和定理 3 的条件均成 立, 相应于系统(8)和性能指标函数(12), 增益矩 阵 Q 和 R寛 取为 Q = éQe 0 ë ê ê ù û ú ú 0 0 , Qe = diag(0郾 11,0郾 1,0郾 04,0郾 06,0郾 27), R寛 = 2·I5 于是代数 Riccati 方程(14) 存在对称半正定解阵. 从而根据定理 2 可得系统(8) 的闭环系统渐近稳 定, 即lim k寅肄 [yi(k) - r( k)] = 0, i = 1,2,…,N. 应用 MATLAB, 计算得到最优预见控制器(23)中的增益 矩阵 Fe 和 Fx 分别为 Fe = 0郾 19193 0郾 00000 - 0郾 04209 0郾 00000 0郾 00000 0郾 00000 0郾 15567 0郾 00000 - 0郾 04909 - 0郾 15066 0郾 07617 0郾 00000 0郾 11827 0郾 00000 0郾 00000 0郾 00000 0郾 07385 0郾 00000 0郾 14301 - 0郾 02007 é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 0郾 00000 0郾 09987 0郾 00000 - 0郾 02007 0郾 27059 ·247·